MATEMTICA

Universidad Nacional de IngenieraFacultad de Ingeniera Ambientalrea de Ciencias Bsicas Ciclo 2014 - II

Curso : Matemtica IVTema : Modelos MatemticosProfesor : Lic. Alexander Abel Bonifacio Castro

Prctica Dirigida No 2MA-143

Modelacin por medio de Ecuaciones Diferenciales

Conversin de los fenmenos de la vida real al formalismo matemtico

Qu es un modelo matemtico ?

Es la representacin de algunas caractersticas de los fenmenos de la vida real a travsde frmulas matemticas. Un modelo ser bueno y preciso si de l se obtienen resultadosque concuerdan con la realidad. Si se obtiene un modelo con estas caractersticas,entonces puede ser usado para hacer predicciones cuantitativas. Pero, es casi imposiblereflejar un sistema real a travs de un modelo matemtico, por eso suele usarse, losmodelos matemticos, para hacer predicciones cualitativas.

Sugerencias para el modelo matemtico

Paso 1. Establecer claramente las hiptesis en que se basar el modelo, es decir, des-cribir cmo creemos que funciona el sistema fsico o, por lo menos, cules sonsus aspectos ms importantes. La calidad de las hiptesis determina la validezdel modelo y las situaciones donde el modelo es pertinente. Por ejemplo, algunosmodelos de poblacin slo se aplican a pequeas poblaciones en grandes entornos,mientras que otros consideran espacios y recursos limitados.

Paso 2. Definir completamente las variables y parmetros que se usaran en el modelo,es decir, nombrar las variables independientes y los parmetros que se estudiarny, en caso necesario, describir las unidades y escalas implicadas.

Paso 3. Planteamiento de un modelo matemtico del sistema fsico, es decir, usar lashiptesis formuladas en el paso 1 para obtener la ecuacin o ecuaciones diferen-ciales que relacionan las variables y parmetros del paso 2.

Paso 4. Resolucin de la ecuacin diferencias, es decir, usar mtodos sistemticospara hallar la solucin de la ecuacin, si la tuviera.

Paso 5. Determinacin de una solucin particular, aplicando alguna informacin adi-cional dada, propia del sistema fsico que se modela.

Paso 6. Comprobacin, es decir, verificar si la solucin satisface la ecuacin diferencialplanteada y la informacin adicional dada. Este ltimo paso es muy importantepara garantizar la validez del modelo matemtico.

1. Elabore los siguientes modelos matemticos .

a) Modelo del crecimiento ilimitado de la poblacin. Qu precide el modelo?

b) Modelo logstico de la poblacin.Realice un anlisis cualitativo.

c) Sistema Depredador - Presa.Elabore un anlisis analtico y cualitativo del modelo.

2. Considere el modelo de poblacin :

dP

dt= 0,4P

(1 P

230

)donde P (t) es la poblacin en el tiempo t.

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MATEMTICA

a) Para qu valores de P la poblacin est en equilibrio la poblacin ?

b) Para qu valores de P la poblacin est creciendo la poblacin ?

c) Para qu valores de P la poblacin est decreciendo la poblacin ?

3. Considere la ecuacin diferencial :

dy

dt= y3 y2 12y

donde P (t) es la poblacin en el tiempo t.

a) Para qu valores de y est y(t) en equilibrio ?

b) Para qu valores de y est y(t) creciendo ?

c) Para qu valores de y est y(t) decreciendo ?

4. Supongamos que dos estudiantes memorizan listas de acuerdo al siguiente modelo:

dL

dt= 2(1 L)

a) Si uno de los estudiantes aprende la mitad de la lista en el tiempo t = 0 y el otrono memoriza nada de ella Qu estudiante esta aprendiendo ms rapidamente enese instante ?

b) Alcanzar el estudiante que comienza sin saber nada de la lista al estudiante queempieza sabiendo la mitad de la lista ?

5. Consideremos un gran tanque que contiene azcar y agua con lo que se prepararnrefrescos embotellados.

Elabore el modelo de la mezcla en un tanque . Suponiendo que :

El tanque contiene 100 galones de lquido .Adems la cantidad que fluye haciadentro es la misma que fluye hacia afuera , pero siempre hay 100 galones en eltanque.

El tanque se mantiene bien mezclado , por lo que la concentracin de azcar esuniforme en todo el tanque.

El agua azucarada que contiene 5 cucharadas de azcar por galn entra al tanquea travs de un tubo a razn de 2 galones por minuto.

El agua azucarada que contiene 10 cucharadas de azcar por galn entra al tanquea travs del tubo B a razn de 1 galn por minuto.

El agua azucadara sale del tanque a travs del tubo C a razn de 3 galones porminuto.

UNI, Setiembre 2014El Profesor.

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