1. Modelos matemticosISAAC NEWTON (1642 - 1727) GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 - 1716) ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

SuposicionesSe expresan las suposiciones en trminos de ecuaciones diferencialesFormulacin matemticaSe resuelven las EDsSe obtiene la solucinSe muestran las predicciones del modelo.Por ejemplo, grficamenteSe comprueban las predicciones del modelo con hechos conocidosSi es necesario,se modifican las suposiciones o se aumentan la resolucin del modelo EDs como modelos matemticos

Modelos linealesCrecimiento y decaimiento k > 0 es una constante de crecimiento, y k > 0 es una constante de decaimiento.

Dinmica Poblacional (Thomas Maltus 1798)Si P(t) representa la poblacin en el tiempo t, entonces dP/dt P dP/dt = kP donde k > 0 es una constante de proporcionalidad.Desintegracin Radiactiva Si A(t) representa la cantidad de sustancia radiactiva restante en el tiempo t, entonces dA/dt A dA/dt = kA donde k < 0 es una constante de proporcionalidad.

Una sola ED puede servir como un modelo matemtico para muchos fenmenos.

Solucin: Como dP/dt = kt, dP/dt kt = 0, tenemos P(t) = cekt, usamos P(0) = P0 luego c = P0 y P(t) = P0ekt Como P(1) = 3/2 P(0), entonces P(1) = P0ek = 3/2 P(0). Por tanto, k = ln(3/2) = 0.4055. Ahora P(t) = P0e0.4055t = 3P0 , t = ln3/0.4055 = 2.71.Crecimiento de bacteriasP0 : cantidad inicial de bacterias = P(0) P(1) = 3/2 P(0) Determine el tiempo necesario para que se triplique el nmero de bacterias.

Un reactor convierte U-238 en el istopo plutonio 239. Despus de pasar 15 aos, 0.043% de la cantidad inicial A0 del plutonio se ha desintegrado. Calcule el perodo de semidesintegracin de este istopo.Solucin: Sea A(t) la cantidad de Plutonio en el tiempo t. La ED es La solucin es A(t) = A0ekt. Si 0.043% de A0 se han desintegrado, queda 99.957%.Perodo de semidesintegracin del plutonioEntonces, 0.99957A0 = A(15) = A0e15k, luegok = (ln 0.99957)/15 =-0.00002867. Sea A(t) = A0e-0.00002867t = A0 En este caso tenemos

Un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la concentracin de C-14 que se encuentra en la materia viva. Determine la edad del fsil.Solucin: Sabemos que el perodo de semidesintegracin p del C-14 es 5600 aos. Entonces A0 /2 = A0e5600k, k = (ln 2)/5600 = 0.00012378.A(t) = A0 /1000 = A0e -0.00012378tFechado con carbono

La ley de Newton del enfriamiento/calentamientoSi T(t) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo t y Tm la temperatura del medio, entonces la rapidez con que un cuerpo se enfra o calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Tm: dT/dt T - Tm dT/dt = k(T - Tm)donde k es una constante de proporcionalidad, el coeficiente de transmisin de calor que depende del material.

a) Verificar que la solucin general de la ED es:

b) Si K = 0.1C/seg. Cunto tiempo tardar en enfriarse una taza de caf hirviendo si la temperatura ambiente es de Ta=15C ?c) Dibujar la familia de curvas solucin para diferentes temperaturas iniciales T0 de la taza de caf.

La temperatura de un pastel es 300F. Tres minutos ms tarde su temperatura es 200F. Cunto tarda el pastel en alcanzar una temperatura ambiente de 70F?Solucin: Se hace la identificacin Tm = 70, luego y T(3) = 200.

Para T(0) = 300, c2 = 230Para T(3) = 200, e3k = 13/23, k = -0.19018 AsT(t) = 70 + 230e-0.19018tA partir de (5), sabemos que slo para t = , T(t) = 70. Esto significa que necesitamos un perodo de tiempo razonablemente largo para llegar a T = 70.

Propagacin de una enfermedad Si x(t) representa el nmero de personas que se han contagiado de una enfermedad e y(t) el nmero de personas que todava no, entonces dx/dt = kxy donde k es una constante de proporcionalidad. Por la descripcin anterior, imagnese una comunidad con una poblacin fija n, si se introduce en esta comunidad una persona infectada, tenemos x + y = n +1, y dx/dt = kx(n + 1 x)

Reacciones QumicasObserve al siguiente reaccin: CH3Cl + NaOH CH3OH + NaCl Si asumimos que x(t) es la cantidad de CH3OH a timpo t, y son las cantidades de los reactivos, entonces la velocidad de reaccin es dx/dt = k( - x)( - x)

Reacciones Qumicas (8) o (9)

La reaccin qumica se describe como entonces Por separacin de variables y fracciones parciales: Para X(10) = 30, 210k = 0.1258, finalmente

MezclasSi A(t) representa la cantidad de sal en el tanque en tiempo t, entonces dA/dt = velocidad de entrada velocidad de salida = Rentrada - Rsalida Tenemos Rentrada = 6 lb/min, Rsalida = A(t)/100 (lb/min), entonces dA/dt = 6 A/100 dA/dt + A/100 = 6

Cunta sal queda en el depsito tras pasar un perodo de tiempo largo?Solucin: Como Para x(0) = 50, tenemos x(t) = 600 - 550e-t/100Cuando el tiempo t es bastante grande, x(t) = 600.

Drenaje de un TanqueBasndonos en la Ley de Torricelli, si V(t) representa el volumen de agua en el tanque en tiempo t:

Como V(t) = Awh, entonces:

Circuitos en SerieA partir de la Segunda Ley de Kirchhoff tenemos:

donde q(t) es la carga y dq(t)/dt = i(t) es la intensidad de corriente.

Circuitos en serie

Supongamos E(t) = 12 Volt, L = Henry R = 10 Ohm. Determine i(t) donde i(0) = 0.Solucin: Luego

Para i(0) = 0, c = -6/5, entonces i(t) = (6/5) (6/5)e-20t.

Una solucin general de es Cuando E(t) = E0 es una constante, la solucin se convierte en donde al primer trmino se conoce como la parte de estado estable, y el segundo termino es un trmino transitorio.

Modelos no linealesDinmica de poblacionesSi P(t) representa el de una poblacin en el tiempo t, la rapidez de crecimiento relativo (o especfico), est definida por Cuando la rapidez de crecimiento solo depende de la cantidad presente, la ED es que se llama hiptesis de dependencia de de densidad.

Si K es la capacidad de soporte, tenemos f(K) = 0, y simplemente se permite que f(0) = r. La siguiente figura muestra tres funciones que satisfacen estas dos condiciones.Ecuacin logstica

Suponemos que f (P) = c1P + c2. Empleando las condiciones, tenemos c2 = r, c1 = r/K. Luego nuestra ec. pasa a ser , lo mismo que a la que se conoce como ecuacin logstica, su solucin se llama funcin logstica y su grfica, curva logstica.

A partir tras una simplificacin, tenemos Solucin de la ecuacin logsticaSi P(0) = P0 a/b, entonces c1 = P0/(a bP0)

Grfica de P(t)De (5), tenemos la grfica como en la Fig. 2.47. Cuando 0 < P0 < a/2b, Fig. 2.47(a). Cuando a/2b < P0 < a/b, Fig. 2.47(b).

Teniendo en cuenta conclusiones previas, imagnese un campus de 1000 estudiantes, en este caso tenemos la ED Determine x(6).Solucin: Identificamos a = 1000k, b = k, de (5)

Como x(4) = 50, -1000k = -0.9906, as x(t) = 1000/(1 + 999e-0.9906t)

Modificacin de la ecuacin logstica que se conoce como ED de Gompertz.

Observacin: En cuanto al ejemplo 1, P(t) es una funcin continua. Sin embargo, esto debera estar descartado teniendo en cuenta que el modelo matemtico no es real. Fig. 2.41.

Fig. 2.41

Cada de los cuerposA parir de la primera ley de Newton tenemos

Problema de valor inicial

Cada de los cuerpos y la resistencia del aireTenemos la ED:

y puede escribirse como:

Deslizamiento de cadenaTenemos:

Cables suspendidosdy/dx = W/T1

Modelos Lineales: PVI

donde = k/m. Movimiento armnico simple o libre no amortiguadoLa solucin general es Perodo T = 2/, frecuencia f = 1/T = /2.

Forma alternativa para x(t)Podemos escribir la solucin tambin como x(t) = A sen(t + ) donde y es la fase,

es una constante de amortiguamiento positiva. Luego x(t) + (/m)x + (k/m)x = 0 puede ponerse como donde 2 = /m, 2 = k/m La ecuacin auxiliar es m2 + 2m + 2 = 0, y las races sonMovimiento libre amortiguado

2 2 > 0. Sea entonces Se dice que es sobreamortiguado.Caso 1:

Caso 2: 2 2 = 0. Luego Se dice que es crticamente amortiguado.

2 2 < 0. Sea entonces Se dice que es subamortiguado.Caso 3: Alternativa:

Movimiento forzado con amortiguamiento

Interprete y resuelva (26) Solucin: Interpretacin: m = 1/5, k = 2, = 1.2, f(t) = 5 cos 4t La masa se libera inicialmente desde el reposo abajo de la posicin de equilibrio Solucin:Ejemplo 6

Suponiendo xp(t) = A cos 4t + B sen 4t, tenemos A = 25/102, B = 50/51, entonces Usando x(0) = 1/2, x(0) = 0 c1 = 38/51, c2 = 86/51, (28)Ejemplo 6 (2)

Trminos Transitorio y de Estado EstableGrfica de (28) se muestra en la Fig 3.29.xc(t) se desvanece cuando t : trmino transitorio xp(t) permanece cuando t : trmino de estado estable

Fig 3.29

La solucin de es Fig 3.30.Ejemplo 7

Fig 3.30

Resolver donde F0 es una constante y .Solucin: xc = c1 cos t + c2 sen t Sea xp = A cos t + B sen t, tras la sustitucin, A = 0, B = F0/(2 2), Ejemplo 8

Como x(0) = 0, x(0) = 0, entonces As (30)Ejemplo 8 (2)

Resonancia PuraCuando = , consideramos el caso . (31)

Cuando t , los desplazamientos se vuelven largos De hecho, |x(tn)| cuando tn = n/, n = 1, 2, .. Como se muestra en la Fig 3.31, se dice que es una resonancia pura.

Fig 3.31

La siguiente ecuacin es la ED de movimiento forzado con amortiguamiento: (32) Si i(t) denota la corriente en Fig 3.32, entonces (33) Como i = dq/dt, tenemos (34) Circuitos LRC en Serie

Fig 3.32

Hallar q(t) en la Fig 3.32, donde L = 0.025 henry, R = 10 ohm, C = 0.001 farad, E(t) = 0, q(0) = q0 coulombs, y i(0) = 0 ampere.Solucin: Usando los datos: Como se ha descrito antes, Usando q(0) = q0, i(0) = q(0) = 0, c1 = q0, c2 = q0/3Ejemplo 9

Encuentre al solucin de estado estable qp(t) y la coriente de estado estable, when E(t) = E0 sen t .Solucin: Sea qp(t) = A sen t + B cos t, Ejemplo 10

Si

SiUsando el mtodo similar, obtenemos So

Observacin: X y Z se denominan reactancia y impedancia, respectivamente.Ejemplo 10 (2)

3.9 Modelos Lineales: PVFDeflexin de una viga Momento de flexin M(x) en un punto x a lo largo de la viga est relacionado con la carga por unidad w(x) mediante la ecuacin (1) Adems, M(x) es proporcional a la curvatura de la curva elstica M(x) = EI (2) donde E, I son constantes.

Del clculo, tenemos y, donde deflexin y(x) es pequea. Finalmente tenemos (3) Entonces (4)

TerminologaFig 3.41

Extremos de la vigaCondiciones en la fronteraempotradosy = 0, y = 0libresy = 0, y = 0apoyados simplemente o abisagradosy = 0, y = 0

Fig 3.41

Una viga de longitud L se fija en ambos extremos. Hallar la deflexin de la viga si una carga constante w0 est uniformemente distribuida a lo largo de su longitud, esto es, w(x)= w0 , 0 < x < L Solucin: De (4) tenemos Extremos empotrados significa Tenemos m4 = 0, yc(x) = c1 + c2x + c3x2 + c4x3, yEjemplo 1

Ejemplo 1 (2)Entonces Usando las condiciones de la frontera, tenemos c1 = 0, c2 = 0, c3 = w0L2/24EI, c4 = w0L/12EI Eligiendo w0 = 24EI y L = 1, tenemos Fig 3.42.

Fig 3.42

ResolverSolucin: Caso 1 : = 0 y = c1x + c2, y(0) = c2 = 0, y(L) = c1L = 0, c1 = 0 luegoy = 0, solucin trivial.Caso 2 : < 0, = 2, > 0 Escogiendoy = c1 Ch x + c2 Sh x y(0) = 0, c1 = 0; y(L) = 0, c2 = 0 luegoy = 0, solucin trivial.Ejemplo 2

Caso 3 : > 0, = 2, > 0 Escogiendoy = c1 cos x + c2 sen x y(0) = 0, c1 = 0; y(L) = 0, c2 sin L= 0 Si c2 = 0, y = 0, solucin trivial. As que c2 0,sen L = 0, L = n, = n/L As, y = c2 sen (nx/L) es una solucin para cada n.Ejemplo 2 (2)

Tomando c2 = 1, para cada: la funcin correspondiente: Observacin: n = (n/L)2, n = 1, 2, 3, se conocen como valores propios. yn = sen (nx/L) se llaman funciones propias.Ejemplo 2 (3)

Pandeo de una Columna Vertical DelgadaEn cuanto a la Fig 3.43, la ED es (5) donde P es una fuerza compresiva vertical constante aplicada en la parte superior de la columna.

Fig 3.43

En cuanto a la Fig 3.43, cuando la columna se fija con bisagras en ambos extremos, hallar la deflexin. Solucin: El PVF es Intuitivamente, si la carga P no es suficientemente grande, no hay deflexin. La pregunta es: para qu valores de P el PVF posee soluciones no triviales?Ejemplo 3

Escribiendo = P/EI, vemos es idntica al ejemplo 2. Del Caso 3, las curvas de deflexin son yn = c2 sen (nx/L), que corresponden a los valores propios n = Pn/EI = n22/L2, n = 1, 2, 3, Desde el punto de vista fsico, solo para Pn = EIn22/L2, la columna experimenta flexin. Llamamos a estas Pn las cargas crticas y la ms pequea P = P1 = EI2/L2 se llama la carga de Euler, y y1 = c2 sen(x/L) se conoce como primer modo de pandeo. Fig 3.44Ejemplo 3 (2)

Fig 3.44

Cuerda RotatoriaLa ED simple y + y = 0(6) ocurre una y otra vez como un modelo matemtico. Fig 3.45.

Fig 3.45

tenemos F = T sen 2 T sen 1(7) Cuando 1 y 2 son pequeos, sen 2 tan 2 , sen 1 tan 1 Como tan2, tan1 son tangentes de las rectas que contienen a los vectoresT1 y T2, entonces tan 2 = y(x + x), tan 1 = y(x) As (7) pasa a ser (8) Porque F = ma, m = x, a = r2. Con x pequeo, obtenemos r = y.

As (9) Al igualndo (8) = (9), tenemos (10) Para x cercano a cero, tenemos (11) Y las condiciones en la frontera son y(0) = y(L) = 0.

3.10 Modelos No LinealesResortes no lineales El modelo (1) cuando F(x) = kx se dice que es lineal. Sin embargo, (2) es un resorte no lineal. Otro modelo (3)

F(x) = kx + k1x3 se dice que es duro si k1 > 0; y es suave, si k1 < 0. Fig 3.50. Resortes Duros y SuavesFig 3.50

Ejemplo 1Las EDs (4) y (5) son casos especiales de(2). Fig3.51 muestra la grfica obtenida de un programa de solucin numrica.

Fig 3.51

El modelo de un pndulo simple se representa en la Fig 3.52. De la figura, tenemos la aceleracin angular a = s = l, la fuerza Luego (6)Pndulo No Lineal

Fig 3.52

Como Si empleamos solo los dos primeros trminos, Si es pequeo, (7)

Linealizacin

Fig 3.53 muestra algunos resultados con condiciones iniciales diferentes obtenidos con un programa de solucin numrica. Podemos observar que si la velocidad inicial es bastante grande, el pndulo se saldr de los lmites. Ejemplo 2

Fig 3.53

Recordando (17) de la Sec 1.3 y Fig 1.26 dy/dx = W/T1, puede modificarse como (8) donde es la densidad y s es la longitud del arco. Como la longitud s es (9) Cables Telefnicos

entonces (10) Al derivar (8) con respecto a x y usando (10), obtenemos (11)

Ejemplo 3De la Fig 1.26, obtenemosy(0) = a, y(0) = 0. Sea u = y, la ecuacin (11) se convierte en As Ahora y(0) = u(0) = 0, sinh-10 = 0 = c1 Como u = sinh(x/T1) = dy/dx, entonces Usando y(0) = a, c2 = a (T1/)

De la Fig 3.54, tenemos (12) cuando y = R, kMm/R2 = Mg, k = gR2/M, entonces (13)Movimiento de un Cohete

Fig 3.54

Suponiendo que la masa es variable, F = ma debera modificarse como (14)Masa Variable

Ejemplo 4Una cadena uniforme de 10 pies de largo se enrolla sin tensin sobre el suelo. Un extremo de ella cadena se jala verticalmente hacia arriba por medio de una fuerza de 5 libras. La cadena pesa 1 libra por pie. Determine la altura del extremo sobre el nivel del suelo en el instante t.Solucin: Seax(t) = la altura v(t) = dx/dt (velocidad) W = x1 = x (peso) m = W/g = x/32 (masa) F = 5 W (fuerza neta)

Entonces (15) Como v = dx/dt (16) es de la forma F(x, x, x) = 0 Como v = x, y luego (15) pasa a ser (17)Ejemplo 4 (2)

Escribiendo (17) como (v2+32x 160) dx + xv = 0(18) (18) puede multiplicarse por un factor de integracin para transformarse en exacta, donde podemos encontrar que le factor de integracin es es (x) = x (comprubese). Luego Use el mtodo de la Sec. 2.4 (19) Como x(0) = 0, entonces c1 = 0. Resolviendo (19) = 0, para v = dx/dt > 0, obtenemosEjemplo 4 (3)

Compruebe que (20) Usando x(0) = 0 de nuevo, , elevamos al cuadrado ambos lados de (20) y resolvemos para x (21)Ejemplo 4 (4)

3.11 Resolucin de Sistemas de Ecuaciones LinealesMuelle conectado/Sistema de masas De la Fig 3.58 y la Ley de Newton (1)

Fig 3.58

Mtodo de SolucinConsidere dx/dt = 3y, dy/dt = 2x Dx 3y = 0, 2x Dy = 0(2) Entonces, multiplicando la primera por D, la segunda por 3, y eliminando la y, se obtiene D2x 6x =0 (3) Un mtodo similar puede proporcionar (4)

Volviendo las ecuaciones originales, dx/dt = 3y tras la simplificacin, tenemos (5)

Resolver Dx + (D + 2)y = 0 (D 3)x 2y = 0(6)Solucin: Multiplicando la primera por D 3, la segunda por D, y restando, [(D 3)(D + 2) + 2D]y = 0 (D2 + D 6)y = 0 luego y(t) = c1e2t + c2e-3t (7) Ejemplo 1

Usando el mtodo similar, x(t) = c3e2t + c4e-3t(8) Sustituyendo (7) y (8) en la primera ecuacin de (6), (4c1 + 2c3)e2t + (c2 3c4)e3t = 0 Luego 4c1 + 2c3 = 0 = c2 3c4 c3 = 2c1, c4 = c2 Ejemplo 1 (2)

Ejemplo 2Resolverx 4x + y = t2 x + x + y = 0(9)Solucin: (D 4)x + D2y = t2 (D + 1)x + Dy = 0(10) Eliminando x, entonces y m = 0, 2i, 2i

Sea podemos obtener A = 1/12, B = , C = 1/8.

As (11) Mtodo similar para obtener x(t) Entonces m= 2i, 2i, Sea xp(t) = At2 + Bt + C, luego podemos obtener A = 1/4, B = 0, C = 1/8 Ejemplo 2 (2)

As (12) Usando la segunda ecuacin de (9), tenemosEjemplo 2 (3)

Ejemplo 3En (3) de Sec. 2.9, tenemos Junto con las condiciones iniciales dadas, podemos usar el mismo mtodo para obtener x1 y x2, no mencionados aqu.

Resolver (13) conSolucin: LuegoEjemplo 4

Ejemplo 4 (2)Usando el mismo mtodo, tenemos (14)

Fig 3.59

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