1.3 ecuaciones

diferenciales como modelos

matemáticos.

En tiempos atrás la mayoría de las personas creían que en caída libre los objetos más pesados, como una bala de cañón, caían con una aceleración mayor que los objetos más ligeros como una pluma. Desde luego cuando se lanzaban simultáneamente desde una misma altura, sí caían a diferentes velocidades pero no era por su peso, la diferencia de las velocidades se debe a la resistencia del aire.

En la caída libre hay dos fuerzas que actúan sobre un objeto: el peso = mg, con una dirección positiva ya que esta orientada hacia abajo y la resistencia del aire = –kv, es una fuerza, llamada amortiguación viscosa que actúa en dirección opuesta la suma de estas dos fuerzas nos da la fuerza neta, ( fuerza neta = el peso + resistencia del aire) .

Caída libre y resistencia del aire

También tenemos que la velocidad instantánea esta relacionada con la aceleración a mediante a= dv/dt, la Segunda Ley de Newton se convierte en F= ma y esto es = m* dv/dt al igualar la fuerza neta de esta forma con la segunda ley de Newton se obtiene una ecuación diferencial de primer orden para la v(t) de un cuerpo en tiempo t.

SEGUNDA LEY DE NEWTON = FUERZA NETA

Ejercicio # 17

Para un movimiento de alta velocidad a través del aire , como el paracaidista que se mueve en la figura cayendo antes de que su paracaídas se abra, la resistencia del aire es más cercana a la velocidad instantánea v(t) exponencial. Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo cayendo con una masa m si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.

DATOS: Cuerpo cayendo con una masa (m). Aceleración con que cae el cuerpo La gravedad Resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad¿ Determinar una ecuación diferencial para la velocidad v(t)?.

1. Identificación de las variables responsables del cambio que se produzca en el sistema

En este problema el paracaidista esta cayendo hacia el suelo, por lo tanto podemos tomarlo como un objeto en caída libre .En el cual actúan 2 fuerza: el peso= mg donde m es la masa del cuerpo y g es la gravedad, como el cuerpo del paracaidista se dirige hacia el suelo entonces la dirección es positiva.

También tenemos la resistencia del aire = - kv² donde k es una constante proporcional de la resistencia del aire y v² es la velocidad instantánea que en este caso esta al cuadrado y es negativa por que es opuesta a la caída del cuerpo. La suma de estas 2 fuerzas nos dará la fuerza neta = el peso + la resistencia del aire.

2. FORMULACIÓN DE UN CONJUNTO DE PREMISAS RAZONABLES O HIPÓTESIS

Además la velocidad instantánea esta relacionada con la aceleración usaremos la segunda ley de Newton F= ma donde m es la masa del cuerpo y a es la aceleración y como a = dv/dt entonces la formula quedaría F= m* dv/dt

3. REPRESENTACIÓN DE LA ECUACIÓN

Al igualar la fuerza neta de esta forma con la segunda ley de Newton se obtiene una ecuación diferencial de primer orden para la v(t) de un cuerpo en tiempo t.

Entonces tenemos:

Segunda ley de Newton= F= ma = m*dv/dtFuerza neta= el peso + resistencia del aire = mg – kv²

La ecuación diferencial quedaría:

kvmgdt

dvm

4. Resolución de la ecuación diferencial mediante separación de variables

dtkvmg

mdv

2

dt

mgkv

mgmg

mdvmg

2

*1

Se multiplica por 1/mg en el núm. Y denom. de la parte derecha deLa ecuación.

dt

mg

kv

mg

mg

mdvmg

2

*1

kvmgdt

dvm Ecuación Diferencial de

primerOrden.

dt

mg

kv

dvg

2

1

*1

Reduciendo términos

dt

mg

kv

dvg

1

1

*1

2Reduciendo términos

dt

mg

kv

dv

g

2

1

1

dt

mgvk

dv

g

2

1

1

Reescribiendo término2

2

11

mg

vk

mg

kv

mg

vkuSea

dvmg

kdu 1*

dt

mg

vk

dvmg

k

2

21gk

mg 1

ca

u

au

du

1

22tanh1

1

gk

mgdt

mg

vk

dvmg

k

2

21

ca

u

au

du

1

22tanh1

1

gk

gm

gk

mg

*

*

gg

g

g

g 121

kg

m

gk

mg

ctcmg

vk

kg

m 1tanh

1

1

cm

kgt

mg

vk 1tanh

ct

m

kg

mg

vktanh

ct

m

kg

k

mgv tanh

ct

m

kg

k

mgtv tanh)(

Por tanto la velocidad con respecto al tiempo es:

POR SU

ATENCIÓN