absurdos matemÁticos

5/13/2018 ABSURDOS MATEMÁTICOS - slidepdf.com

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1=2

Partamos de una suposición sencilla, de la igualdad de dos números,a=b Si multiplicamos por ̀ a´ en ambos lados del igual, no se modifica la igualdad:

Restamos en ambos lados:

Haciendo diferencias de cuadrados en el primer término y sacando factor común en el segundo:

Simplificamos y nos queda que

Y como inicialmente supusimos que a=b, reemplazamos donde dice 'a' por 'b':2b=b Simplificamos 'b' y obtenemos el increíble resultado: 2=1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------

El número mas grande del universo es 1

El número mas grande del universo es n. Averigüémoslo. Como es el mas grande que existe, obviamente, no existe un número mayor a él, a lo sumo, si encontramos otro muy grande, será igual a n, peroNUNCA mayor. Para empezar, hacemos una suposición bastante obvia, como n es muy grande, será mayor (o igual) que 1:

Ahora bien, como n es TAN grande, y como es el más grande, ocurre que:

Esta condición es muy rara, pero no es ilógica. Si no hay un número mas grande que n, entonces su cuadrado es a lo sumo igual, porque NADIEpuede superar a n, ni siquiera su propio cuadrado. De esta última desigualdad, pasamos dividiendo 'n' (habíamos dicho que era positiva), y entonces:

Juntando las dos desigualdades, la inicial y la reciente, nos queda:

Por lo que se obtiene, obviamente, quen=1 Y a 'n' lo habíamos supuesto el número mas grande de todos! ¡Increíble! ¡El número más grande del universo es el 1! ------------------------------

1=-1

Recordar:

Situación: Como partida, escribimos al 1 como un producto de -1:

Tomamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:

Distribuimos la raíz de la derecha; y en la izquierda, la raíz de 1 es 1:

Por lo que obtenemos:

Luego:

Otra forma de escribir esta situación, en una sola línea es:

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Recordar: Numero pi: Este numero es de gran importancia es las ciencias de todo tipo, y por lo tanto en la tecnología y en todos los campos donde se aplique lamatemática. Su valor, como el lector sabrá, es 3.1415926... y se extiende por muchísimos decimales (tantos que todavía no se pudo encontrar su fin, osu repetición, y van varios millones de decimales encontrados). Longitud de una circunferencia: 2.(pi).r, donde `r´ es el radio del círculo.Situación: Trataremos de hallar pi de una manera geométrica e interesante. Para empezar, dibujaremos una semi-circunferencia de radio R, o lo que es lo mismo, de diámetro 2R (Recuerde que el diámetro vale el doble que elradio).

Calculamos la longitud (L) de la curva, y nos da que es igual a la mitad la del perímetro del círculo con radio R:

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p g y g j

Ahora lo que hacemos es dividir el segmento 2R (el fragmento de recta en el eje X, entre el punto 0 y 2R) en dos partes iguales (En azul en el dibujo).Y en un paso posterior, hacemos lo mismo, dividiéndolo en 3 partes, que se muestra en color rojo:

Nótese como las curvas, a medida que se aumenta el numero de intervalos, se acerca mas al eje X. Calculamos nuevamente la longitud de las curvas desde el 0 al punto 2R. En el caso en que dividimos el segmento en 2 partes (representación azul), cada semicírculo tiene una longitud dada por su radio R/2 (Note que eldiámetro de cada semicírculo es R). Esta longitud entonces será:

Pero como el otro fragmento de curva es idéntico a este, decimos que la longitud total es 2 veces la del primero (Sumamos dos longitudes iguales):

Por otro lado, si dividimos el segmento en 3 partes (representación en rojo), nos quedaría algo parecido. Todas los fragmentos que conforman la curva(cada medio circulo) son iguales. Cada uno tiene un diámetro 2R/3, o lo que es lo mismo, un radio R/3. Calculamos una longitud y multiplicamos por 3para obtener la total:

Nótese que podemos suponer una fórmula general para la longitud total, viendo estos resultados:

Donde n es la cantidad de intervalos que hagamos en el segmento de 0 a 2R. Si por ejemplo, hacemos una división en 6 partes del intervalo, llegamos al dibujo:

Cada mitad de círculo aquí tendrá un diámetro que surge de dividir el intervalo de 2R en 6 partes: 2R/6. Por lo que su radio es entonces la mitad, o sea2R/12, o R/6 que es lo mismo. Calculamos la longitud total de toda la curva verde (la suma de cada pedacito de círculo) sumando todas las longitudes individualmente, o lo que es lomismo, tomando 6 veces la longitud de media circunferencia:

(Y efectivamente, otra vez nos confirma nuestra fórmula general, para n=6). Nótese nuevamente, que esta vez, la curva está más cerca del eje X que antes.Es fácil darse cuenta de que una vez que partamos el intervalo entre 0 y 2R en muchísimos fragmentos, tantos como infinitos, la curva resultante, va a`aplastarse´ contra el eje X. En la siguiente figura vemos esta curva representada en azul. Caso al que llegamos cuando la cantidad de intervalos(`n´) se acerca a infinito:

Vemos que por mas que n sea muy grande, incluso infinito, en nuestra formula general podemos simplificar el n que multiplica y divide:

Pero notemos que en esta situación, la curva esta pegada al eje X. Y la longitud de la curva (ahora una línea recta, dibujada en azul) es igual al largodel segmento de 0 a 2R, que claramente es 2R. Igualamos las longitudes: "longitud de la curva" = "longitud del segmento"

Lo que implica que si simplificamos el 2, obtenemos el "verdadero valor de pi":

Increíble, ¿no? ---------------------------------------------------

UN TRIANGULO ESCALENO ES UN TRIANGULO ISOSCELES

Recordar: Bisectriz: Línea recta que separa un ángulo en dos partes iguales.

Mediatriz: Línea recta perpendicular a un segmento que lo corta en dos partes iguales.Triángulo Escaleno: Aquel triangulo que cuyos lados son todos distintos.Triángulo Isósceles: Aquel triangulo cuyos dos lados son iguales y el tercero distinto a estos.Triángulo Rectángulo: Triangulo que tiene un ángulo recto (90º o pi/2)Propiedades de triángulo rectángulo:El lado opuesto al ángulo recto (c) se llama hipotenusa (El lado C).

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p g y g j

Nótese que a los lados se los denota con letras mayúscula, mientras que a los ángulos (o vértices) con minúscula.

Sabiendo 2 datos de un tr iángulo rectángulo (además del ángulo recto), se pueden averiguar los demás valores involucrados, tanto ángulos comolados. Hipotenusa*Seno(b)=BHipotenusa*Coseno(b)=AHipotenusa*Seno(a)=AHipotenusa*Coseno(a)=B Y demás identidades trigonométricas, y "fórmulas" como la de Pitágoras o la propiedad que asegura que la suma de los ángulos interiores de untriangulo es 180º (ó pi). Pero más que estas relaciones no necesitamos para abordar el problema.

Problema:Partamos de construir un triángulo escaleno. En uno de sus ángulos tracemos la bisectriz (representada en rojo en la figura). Y en el lado opuesto adicho ángulo, tracemos la mediatriz (representada en azul en la figura). Marcamos el punto donde se cruzan ambas líneas. Nótese lo siguiente:

El ángulo c quedó ̀ partido´ al medio, por lo que cada parte del ángulo son iguales.

El segmento C también queda cortado al medio, por lo que son iguales los segmentos

En la próxima figura hacemos lo siguiente: Al punto de cruce de las semirrectas trazadas, le llamamos X.

Desde este punto, trazamos dos segmentos hacia a y b respectivamente (representados en verde). Y dos más hacia el punto medio de A y hasta elpunto medio de B (representados en negro). De esta manera nos quedan 6 triángulos formados dentro del triangulo inicial: I, II, III, IV, V y VI.

Ahora bien, los triángulos I y VI son iguales, uno reflejado respecto del otro. Se puede decir que como c1 y c2 son iguales, y ambos son rectángulosen los puntos medios de B y A respectivamente, los lados desde X a estos puntos medios son iguales; y los ángulos que forman dichos lados con lalínea roja (la hipotenusa de ambos) son iguales. Por lo tanto, B1 y A1 son iguales. Esta última condición es la que nos interesa. Por otro lado, los triángulos III y IV también son iguales, por argumentos similares: como ambos triángulos son rectángulos en el punto medio de C, ytienen el lado azul (que va desde X al punto medio de C) en común, los ángulos a1 y b2 son iguales (ya habíamos aclarado que los segmentos C1 y C2son iguales). Cumpliéndose todo esto, es inevitable que los lados verdes (desde X hacia a y b respectivamente) sean iguales. Esta última observaciónse debe tener en cuenta. Ahora vayamos a los triángulos II y V:Ambos son rectángulos: en el punto medio de B el II, y en el punto medio de A el triangulo V. Las hipotenusas de ambos (las líneas verdes) son iguales. Por lo tanto, los lados en negro (segmentos desde X al punto medio de B y A), que son iguales, se pueden escribir como el seno de los respectivosángulos opuestos. El seno de a2 por la hipotenusa, en el triangulo II, da el valor de este lado en negro. Lo mismo en el triangulo V: el lado en negro es el seno de b1 por la hipotenusa. Habíamos dicho que ambos lados negros eran iguales, por lo tanto, son iguales las fórmulas para hallarlos:

Puesto que dijimos que las hipotenusas eran iguales, llegamos a la conclusión de que a2=b1. Sabiendo esto, la próxima observación es sencilla: De ambos triángulos sabemos 2 lados y 2 ángulos. Podemos averiguar el otro lado sin dificultad (los segmentos B2 y A2). Usando las propiedades que conocemos sobre triángulos:

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p g y g j

Evidentemente, como las hipotenusas son iguales (las líneas verdes) y también son iguales a2 y b1 por lo que deducimos recién, obtenemos A2=B2 En definitiva, encontramos que B1=A1 y B2=A2. Por lo tanto llegamos a la conclusión: A=B. (Encontramos que dos de sus lados son iguales!). O sea, este triangulo se transformó, solo por el hecho de medir sus lados, de escaleno a isósceles. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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