Límites (definición formal)

Primero lee la introducción a los límites

Acercándose ...

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.

Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)0.5 1.500000.9 1.90000

0.99 1.990000.999 1.99900

0.9999 1.999900.99999 1.99999

... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe:

Más formal

Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general

De español a matemáticas

Vamos a decirlo primero en español:

"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"

Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir

"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"

 

Calculando "cerca"

A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restar un valor de otro?

Ejemplo 1: 4.01 - 4 = 0.01 Ejemplo 2: 3.8 - 4 = -0.2

Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia". La solución es usar el valor absoluto.

"Qué tan cerca" = |a-b|

Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01 Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2

Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:

"|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| es pequeño"

Y esta animación muestra lo que pasa con la función

f(x) = (x2 - 1) / (x-1)

cuando x se acerca a a=1, f(x) se acerca a L=2

Así que

|f(x)-2| es pequeño cuando |x-1| es pequeño.

Delta y epsilon

Pero "pequeño" es español, no "matemático".

Tenemos que elegir dos valores para ser más pequeños que ellos:

para que |x-a| sea más pequeño que él

para que |f(x)-L| sea más pequeño que él

(Nota: estas dos letras griegas, δ llamada "delta" y ε llamada "epsilon", se suelenusar para esto, de aquí sale la frase "delta-epsilon")

Y tenemos:

"|f(x)-L|< cuando |x-a|< "

¡Y esto lo dice todo! Así que si entiendes esto entenderás los límites...

... pero para ser absolutamente preciso necesitamos poner estas tres condiciones:

1) 2) 3)

se cumple para todos los >0 existe y es >0

x no es exactamente igual que a significa 0<|

x-a|

Y así queda:

"para cada >0, hay un >0 que cumple que |f(x)-L|< cuando 0<|x-a|

< "

Esta es la definición formal. Pero la esencia es que cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.

Cómo se usa en una demostración

Para usar esta definición en una prueba, tenemos que ir

De:   A:

0<|x-a|< |f(x)-L|<

Normalmente esto significa encontrar una fórmula para (en términos de ) que funcione.

¿Cómo la encontramos? ¡Adivina y comprueba!

1. Juega y manipula hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar2. Ponla a prueba para ver si de verdad funciona.

Ejemplo: vamos a intentar probar que

Cómo vamos de:(Nota: a=3, y L=10) 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<

Paso 1: juega con el límite hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar

Empieza con: |(2x+4)-10|<

Simplifica: |2x-6|<

Saca el 2: 2|x-3|<

Pasa el 2 al otro lado: |x-3|< /2

Aquí podemos adivinar que = /2 puede funcionar

Paso 2: comprueba a ver si la fórmula funciona.

Entonces, ¿ cómo vamos de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< ? A ver...

Empieza con: 0<|x-3|<

Sustituye : 0<|x-3|< /2

Pasa el 2 al otro lado: 0<2|x-3|<

Pon el 2 dentro: 0<|2x-6|<

Saca un "10" 0<|(2x+4)-10|<

¡Sí! Podemos ir de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< eligiendo = /2

Así que sí se cumple que siempre hay un , entonces es verdad que:

"para cada , existe un que cumple que |f(x)-L|< cuando 0<|x-a|< "

Y así hemos demostrado que

Conclusión

Esta demostración ha sido bastante simple, espero que explique esas palabras tan extrañas "existe un... ", y que hayas aprendido una buena manera de intentar este tipo de demostraciones.

Límites en el infinito

Primero deberías leer límites (una introducción)

 

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Uno entre infinito

Empecemos por un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞ ?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

 

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x1 1.000002 0.500004 0.25000

10 0.10000100 0.01000

1,000 0.0010010,000 0.00010

 

Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

 

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

 

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

Resumen

A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.

Lo que pasa en ∞ es indefinido... 1/∞     

... pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito

Límites al ir a infinito

¿Cuál es el límite de esta función?

y = 2x

Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":

x y=2x1 22 44 8

10 20100 200

... ...

Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:

Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en realidad que la función no tiene límite).

Infinito y grado

Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.

De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:

Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc.

   

Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro.

Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito

   

Pero ten cuidado, una función como "-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos.

De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber qué va a pasar.     

 

Si el grado es:

mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito) menor que 0, el límite es 0

 

Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular el límite

Funciones racionales

Una función racional es el cociente de dos polinomios:  

     

Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3+2x-1, y Q(x)=6x2:  

Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, el primer paso para calcular el límite es ...

Comparar el grado de P(x) con el grado de Q(x):

 Si el grado de P es menor que el grado de Q ...

... el límite es 0.

 Si el grado de P y de Q son iguales ...

... divide los coeficientes de los términos del grado más grande, así:

 Si el grado de P es mayor que el grado de Q ...

... entonces el límite es infinito positivo ...

   

... o quizás infinito negativo. ¡Tienes que mirar los signos!

Puedes calcular el signo (positivo o negativo) mirando los signos de los términos de máximo exponente, como hicimos arriba:

 

Por ejemplo esta va a infinito positivo, porque los dos ...

x3 (el término de mayor exponente arriba) y 6x2 (el término de mayor exponente abajo)

... son positivos.     

  Pero esta va hacia infinito negativo, porque -2/5 es negativo.

Un ejemplo más difícil: Calcular "e"

Hay una fórmula para el valor de e (el número de Euler) que se basa en infinito y en esta fórmula:

(1+ 1/n)n

En el infinito: (1+1/∞)∞ = ??? ... ¡no lo sabemos!  

Así que en vez de intentar calcularlo para infinito (porque no llegaremos a ninguna respuesta razonable), probemos valores de n más y más grandes:

n (1 + 1/n)n

1 2.000002 2.250005 2.48832

10 2.59374100 2.70481

1,000 2.7169210,000 2.71815

100,000 2.71827

 

Se estabiliza en un valor (2.71828... que es el número mágico e)

Así que tenemos aquí otra situación extraña:

No sabemos cuál es el valor cuando n=infinito Pero vemos que va hacia 2.71828...

Así que escribimos la respuesta con límites:

Es una manera matemática de decir "no estamos hablando de lo que pasa cuando n=∞, pero sabemos que cuando n crece, la respuesta se acerca más y más al valor de e".

¡No te equivoques al escribirlo... !

Puedes ver en el gráfico y la tabla que cuando n crece la función se acerca a2.71828....

¡Pero al intentar usar infinito como si fuera un "número real muy grande" (¡no lo es!) sale esto:

(1+1/∞)∞ = (1+0)∞ = (1)∞ = 1 

Así que no hagas operaciones con infinito como si fuera un número real, ¡te saldrán respuestas equivocadas!

Los límites son la manera correcta de hacerlo.

Evaluar límites

He intentando enseñarte los límites de una manera fácil, y enseñarte tablas y gráficos para que veas lo que pasa.

Pero "evaluar" (es decir calcular) el valor de un límite es algo que puede costar más. Te lo explico en evaluación de límites.

Álgebra - Sustituciones

"Sustituir" significa poner algo en lugar de otra cosa.

Sustitución

En álgebra "sustitución" significa poner números donde hay letras:

Si tienes: x - 2

Y sabes que x=6 ...  

... entonces puedes "sustituir" 6 por x:

6 - 2 = 4

 

Ejemplo 1: si x=5 y y=3, ¿cuánto es 10/x + 2y ?

Pon "5" donde esté la "x", y "3" donde esté la "y": 10/5 + 2×3 = 2 + 6 = 8

 

Ejemplo 2: Si x=3 y y=4, ¿cuánto es x2 + xy ?

Pon "3" donde esté la "x", y "4" donde esté la "y": 32 + 3×4 = 9 + 12 = 21

 

Ejemplo 3: Si x=3 (pero no conoces "y"), ¿cuánto es x2 + xy ?

Pon "3" donde esté la "x": 32 + 3y = 9 + 3y (esto es todo lo que puedes hacer)

 

Y como muestra este último ejemplo, no siempre tendrás un número como respuesta, a veces sólo una fórmula más simple.

Conjugar

El conjugado es cuando cambias el signo que está entre dos términos, así:

Sólo se usa en expresiones con dos términos (llamadas "binomios")

Otros ejemplos:

Expresión Su conjugadox2 - 3 x2 + 3a + b a - ba - b3 a + b3

Ejemplos de uso

El conjugado puede ser muy útil porque...

... cuando multiplicas algo por su conjugado salen cuadrados así:

¿Para qué vale eso?

Puede ayudarte a mover una raíz cuadrada de la parte de abajo (denominador) de una fracción a la parte de arriba (numerador) o al revés. Ahora te enseño cómo.

Nota: muchas raíces cuadradas son números irracionales, así que este proceso se llama "Racionalizar el Denominador"

 

Ejemplo: aquí tienes una fracción con "denominador irracional":

¿Cómo pasamos la raíz de 2 arriba?

Respuesta: Multiplica arriba y abajo por el conjugado (esto no cambia el valor de la fracción), así:

(¿Viste cómo el denominador se convirtió en "a2-b2"?)

Hay otro ejemplo en la página evaluar límites donde muevo una raíz cuadrada del numerador al denominador.

Así que intenta recordar este truco, ¡te puede ayudar algún día a resolver una ecuación!

Expresiones racionales

Una expresión que es cociente de dos polinomios:

 

Otros ejemplos:

En general

Una función racional es el cociente de dos polinomios P(x) y Q(x) así

Excepto que Q(x) no puede ser cero (y cualquier valor de x que hace Q(x)=0 no está definido)

Límites (evaluación)

Primero deberías leer Límites (una introducción)

Resumen breve de límites

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! Por ejemplo: (x2-1)/(x-1)   En x=1: (12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)0.5 1.500000.9 1.90000

0.99 1.990000.999 1.99900

0.9999 1.999900.99999 1.99999

... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada) Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así:

Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.

Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

 

Evaluar límites

"Evaluar" quiere decir calcular el valor de (piensa en e-"valua"-r)

En el ejemplo de arriba dijimos que el límite era 2 porque es lo que parecía. ¡Pero con eso no basta!

De hecho hay muchas maneras de tener la respuesta correcta. Veamos algunas:

1. Sólo sustituye el valor

Lo primero que hay que intentar es poner el valor donde queremos saber el límite, y ver si funciona (en otras palabras hacer una sustitución).

Vamos a probar con ejemplos:

Ejemplo  Valor al sustituir

¿Funciona?

(1-1)/(1-1) = 0/0

       

10/2 = 5

El primero no funcionó (¡ya lo sabíamos!), pero el segundo nos dio una respuesta rápida y fácil.

2. Factores

Podemos probar factorizando.

Ejemplo:

   Factorizando (x2-1) en (x-1)(x+1) tenemos: 

 

   Ahora sustituimos x=1 para calcular el límite:

 

 

3. Conjugar

Si es una fracción, multiplicar arriba y abajo por un conjugado puede ayudar.

El conjugado es cuando cambias el signo entre

dos términos, así:

Aquí tienes un ejemplo en el que te ayuda a calcular un límite:

Evaluando en x=4 sale 0/0, ¡no es una respuesta válida!

Así que vamos a manipular un poco:

Multiplica arriba y abajo por el conjugado de lo de arriba:

 

     Simplifica arriba usando

: 

     

Simplifica arriba un poco más:  

     

Elimina (4-x) arriba y abajo:  

Así que nos queda:

¡Hecho!

 

4. Límites infinitos y funciones racionales

Una función racional es un cociente de dos polinomios:  

     

Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3+2x-1, y Q(x)=6x2:  

Cuando queremos saber el límite cuando x va a infinito, calculando los grados de arriba y abajo podemos saber si es 0, infinito, -infinito, o calcularlo fácilmente a partir de los coeficientes.

Lee sobre esto en límites en el infinito.

5. Método formal

El método formal consiste en demostrar que puedes acercarte tanto como quieras a la respuesta haciendo que "x" se acerque a "a".

Lee sobre esto en Límites (definición formal)

Límites (una introducción)

Aproximarse

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Usemos por ejemplo esta función:

(x2-1)/(x-1)

Y calculemos su valor para x=1:

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)0.5 1.500000.9 1.90000

0.99 1.990000.999 1.99900

0.9999 1.999900.99999 1.99999

... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada) Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así:

Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1.

Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

 

¡Mira los dos lados!

 Es como subir una colina y darte cuenta de que el camino ha "desaparecido" mágicamente...

... pero si sólo miras uno de los dos lados, ¿quién sabe qué está pasando?

¡Así que tienes que mirar las dos direcciones para estar seguro de dónde "debe de estar"!

Probemos por el otro lado: x (x2-1)/(x-1)

1.5 2.500001.1 2.10000

1.01 2.010001.001 2.00100

1.0001 2.000101.00001 2.00001

... ...

También va hacia 2, así que todo está bien

Cuando es distinto en los dos lados

Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:

 

¡En esta función el límite no existe en "a" ... !

No puedes decir cuál es, porque hay dos respuestas contradictorias:

3.8 por la izquierda, y 1.3 por la derecha

Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como en el dibujo) para definir los límites laterales:

el límite por la izquierda (-) es 3.8

el límite por la derecha (+) es 1.3

Y el límite ordinario "no existe"

¿Los límites sólo son para funciones difíciles?

¡Los límites valen también cuando ya sabes el valor al llegar! Nadie ha dicho que sean sólo para funciones complicadas.

Por ejemplo:

Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar límites (¡si queremos!)

Acercarse al infinito

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Vamos a empezar con un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

 

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x1 1.000002 0.500004 0.25000

10 0.10000100 0.01000

1,000 0.0010010,000 0.00010

 

Ahora vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

 

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

Lee más en límites en el infinito.

Resolviendo

Hemos sido un poco vagos, sólo hemos dicho que el límite es un cierto valor porque parece que vamos hacia él.

¡Con eso no basta!

Grado (de una expresión)

El "grado" se llama a veces "orden"

Grado de un polinomio (una variable)

El grado de un polinomio con una sola variable (como x) es el exponente más grande de la variable.

Ejemplos:

El grado es 1 (una variable sin exponente tiene de hecho exponente 1)

   El grado es 3 (el mayor exponente de x)

   El grado es 5 (el mayor exponente de x)

   El grado es 2 (el mayor exponente de z)

Grado de un polinomio (más de una variable)

Si hay más de una variable en el polinomio, tienes que mirar cada término (los términos se separan con signos + o -):

Calcula el grado de cada término haciendo la suma de los exponentes de las variables que tenga,

El mayor de esos grados es el grado del polinomio.

Ejemplo: cuál es el grado de este polinomio:

5xy2 tiene grado 3 (x tiene exponente 1, y tiene 2, y 1+2=3) 3x tiene grado 1 (x tiene exponente 1) 5y3 tiene grado 3 (y tiene exponente 3) 3 tiene grado 0 (no hay variables)

El mayor es 3, así que el polinomio tiene grado 3

Nombres de los grados

¡Cuando conoces el grado también puedes darle un nombre!

0 constante1 lineal2 cuadrático 3 cúbico4 cuártico5 quíntico

Ejemplo: 5xy2 - 3 tiene grado 2, así que es cuadrático

Cuando una expresión es una fracción

Puedes calcular el grado de una expresión racional (una que tenga la forma de una fracción) calculando el grado de arriba (numerador) y restando el grado de abajo (denominador).

Aquí tienes tres ejemplos:

Calculando otros tipos de expresiones

Aviso: ¡Ideas avanzadas en adelante!

A veces puedes calcular el grado de una expresión con una división...

el logaritmo de la función entre el logaritmo de la variable

... para valores más y más grandes, para ver hacia donde "va" el grado.

(Más correctamente, deberías evaluar el límite a infinito de log(f(x))/log(x), pero quería mantener las cosas simples).

Aquí tienes un ejemplo:

Ejemplo: ¿Cuál es el grado de (3 más la raíz cuadrada de x)?

Vamos a tomar valores de x más y más grandes:

x log( ) log(x) log( )/log(x)

2 1.48483 0.69315 2.14224 1.60944 1.38629 1.1610

10 1.81845 2.30259 0.7897100 2.56495 4.60517 0.5570

1,000 3.54451 6.90776 0.513110,000 4.63473 9.21034 0.5032

100,000 5.76590 11.51293 0.50081,000,000 6.91075 13.81551 0.5002

Mirando la tabla:

cuando x crece log( ) / log(x) se acerca más y más a 0.5

Así que el grado es 0.5 (o lo que es lo mismo 1/2)

(Nota: esto coincide bien con x½ = raíz cuadrada de x, lee exponentes fraccionarios)

Algunos valores del grado

Expresión Gradolog(x) 0

ex ∞1/x -1

1/2