Factorización

Por ejemplo, podemos escribir

Decimos que 2𝑥 es el factor común de los términos 2𝑥2 𝑦 16𝑥

¿Qué significa factorizar?

Factorizar es escribir una expresión algebraica como un producto de expresiones.

Cada una de estas expresiones se denominan factores de la expresión original.

2𝑥2 − 16𝑥 = 2𝑥(𝑥 − 8)

La factorización es una consecuencia de la propiedad distributiva.

Observación:

Cuando escribimos 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐, decimos que estamos multiplicando 𝑎 y (𝑏 + 𝑐)Cuando escribimos 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐), decimos que estamos factorizando 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 con 𝑎

y 𝑏 + 𝑐 como factores.

Ejemplo:

9𝑥3𝑦2

3⋅𝟑⋅𝒙𝑥𝑥⋅𝑦⋅𝑦

+ 6𝑥𝑦3

2⋅𝟑⋅𝒙⋅𝑦⋅𝑦⋅𝑦

− 3𝑥2𝑦𝟑⋅𝒙⋅𝑥⋅𝑦

= 3𝑥𝑦(3𝑥2𝑦 + 2𝑦2 − 𝑥)

Decimos que 3𝑥𝑦 es factor común de los términos 9𝑥3𝑦2; 6𝑥𝑦3; 3𝑥2𝑦

Definición:

Se llama factor común de una expresión algebraica, al término que se repite como factor

en cada término de la expresión .

Ejemplos:

1. Factoricemos la expresión 8𝑥3𝑦3 + 24. Como en ambos términos el factor común es 8, podemos escribir

8𝑥3𝑦3 + 24 = 8(𝑥3𝑦3 + 3)

2. . Factoricemos la expresión 𝑥 + 4 𝑥 − 3 − 8 𝑥 − 3 . El factor común es 𝑥 − 3

Luego,

𝑥 + 4 𝑥 − 3 − 8 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 𝑥 + 4 − 8= (𝑥 − 3)(𝑥 − 4)

El tipo más sencillo de factorización se presenta cuando los términos de una

expresión algebraica tienen un factor común.

Ejemplos

1. Factoricemos la expresión 𝑥𝑧 + 𝑥𝑤 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑤. Agrupamos de la siguiente forma 𝑥𝑧 + 𝑥𝑤 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑤 . Determinando 𝑥 como factor común del primer grupo e 𝑦 del segundo grupo tenemos:

𝑥𝑧 + 𝑥𝑤 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑤= 𝑥 𝑧 + 𝑤 + 𝑦 𝑧 + 𝑤

= (𝑧 + 𝑤)(𝑥 + 𝑦)

Así, 𝑥𝑧 + 𝑥𝑤 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑤 = (𝑧 + 𝑤)(𝑥 + 𝑦)

No todas las expresiones algebraicas contienen un factor común, pero

haciendo una adecuada agrupación de ellos podemos encontrar factores

comunes de cada grupo.

Observación

2. Factoricemos 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 6. Agrupamos de la forma:

𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 − 6 Extrayendo factor común 𝑥2 𝑦 3 en el primer y segundo grupo respectivamente tenemos:

𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 − 6 = 𝑥2 𝑥 − 2 − 3 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)(𝑥2 − 3)

Así,

𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥2 − 3)

¡Prueba otra agrupación, que te permita obtener la misma

factorización!

Ejemplos.

1. 49𝑥2 − 25𝑦2 = (7𝑥 − 5𝑦)(7𝑥 + 5𝑦)

2. 1

𝑧2−

16

25𝑤2=

1

𝑧+

4

5𝑤(1

𝑧−

4

5𝑤)

3. 4𝑎2 − 16𝑏4 = 4 𝑎2 − 4𝑏4 = 4 𝑎 − 2𝑏2 (𝑎 + 2𝑏2)

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

El producto notable 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 es una forma importante para factorizar, podemos invertir está expresión y a partir de una diferencia de cuadrado

obtener la suma por su diferencia.

Ejemplos

1. Factorizar 4𝑥2 + 20𝑥 + 25 es simplemente verificar que los extremos son raíces cuadradas exactas y el término central el doble producto de las raíces.

Así, en el ejemplo una raíz cuadrada de 4𝑥2 es 2𝑥 y de 25 es 5, el término central 20𝑥 el doble producto de las raíces, 2 ∙ 2𝑥 ∙ 5 = 20𝑥.

Luego,

4𝑥2 + 20𝑥 + 25 = (2𝑥 + 5)2

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

Entendemos como trinomio ordenado (según el grado) a una expresión que tiene la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑥 representan números reales.

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.

Es el resultado de un cuadrado de binomio, (𝑎 ± 𝑏)2= 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

2. Factoricemos 𝑥2 − 14𝑥 + 49Así, 𝑥2 − 14𝑥 + 49 = 𝑥 − 7 2

Observemos que la factorización de 𝑥2 − 14𝑥 + 49 también puede ser 7 − 𝑥 2, es decir 𝑥2 − 14𝑥 + 49 = 7 − 𝑥 2 ¿por qué esto es cierto?

Ejercicio Factorizar 1

9𝑤2 +

4

3𝑤 + 4

Ejemplo.

1. Factorizar 𝑥2+8𝑥 + 15

Debe contener un término cuadrático cuyo coeficiente es 1.

En este caso el procedimiento para factorizar estas expresiones, es buscar parejas de

números cuya suma algebraica sea igual al segundo término y multiplicados den como

resultados el tercer termino.

Factorización de un trinomio con un término común: 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Necesitamos encontrar dos enteros cuya suma sea 8 y cuyo producto sea 15

Vemos que los dos enteros son: 3 y 5.

Por lo tanto, la factorización es

𝑥2 + 8𝑥 + 15 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 5)

2. Factorizar 𝑥2+2𝑥 − 24

Buscamos dos números cuyo producto sea -24

−24 = −1 ∙ 24 = −2 ∙ 12 = −3 ∙ 8 = −4 ∙ 6

Ahora entre estas parejas de números buscamos el que sume 2, en este caso es la pareja

del 6 y -4 ya que -4+6=2 .

Luego, 𝑥2+2𝑥 − 24 = (𝑥 − 4)(𝑥 + 6)

Ejemplo Factorizar 6𝑥2+7𝑥 − 5

El primer término 6𝑥2 no corresponde a un cuadrado perfecto, pero si lo multiplicamos por 6, su producto es un cuadrado perfecto 36𝑥2 entonces para mantener la expresión original amplificamos por 6 y aplicamos casos anteriores.

6𝑥2 + 7𝑥 − 5 ∕6

6

36𝑥2 + 42𝑥 − 30

6=(6𝑥)2+7(6𝑥) − 30

6=(6𝑥 − 3)(6𝑥 + 10)

6

=3(2𝑥 − 1) ⋅ 2(3𝑥 + 5)

6= (2𝑥 − 1)(3𝑥 + 5)

Luego,

6𝑥2 + 7𝑥 − 5 = (2𝑥 − 1)(3𝑥 + 5)

Factorización de 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂 ≠ 𝟎

En este caso 𝑎𝑥2 no corresponde a un cuadrado perfecto. El procedimiento para la factorización es amplificar y simplificar todo el trinomio por 𝑎

Ejemplo

Factoricemos 27𝑥3 + 8 = 3𝑥 3 + 23

Identificamos 𝑎 = 3𝑥 𝑦 𝑏 = 2

Aplicando la formula tenemos:

27𝑥3 + 8 = 3𝑥 + 2 (9𝑥2−6𝑥 + 4)

Factorización de sumas de cubos

𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 (𝑎2−𝑎𝑏 + 𝑏2)

Ejemplo

Factoricemos 𝑥6 − 8 = 𝑥2 3 − 23

Identificamos 𝑎 = 𝑥2 𝑦 𝑏 = 2

Aplicando la formula tenemos:

𝑥6 − 8 = 𝑥2 − 2 (𝑥4 + 2𝑥2 + 4)

Factorización de diferencia de cubos

𝑎3 − 𝑏3 = 𝑎 − 𝑏 (𝑎2+𝑎𝑏 + 𝑏2)

Factorización de expresiones con

exponentes fraccionarios

Factoricemos 3𝑥3

2−9𝑥1

2 + 6𝑥−1

2

Tomamos como factor común 3𝑥−1

2 , puesto que el factor común entre 3,9 y 6 es 3

y 𝑥−1

2 con exponente más pequeño.

Luego,

3𝑥32 − 9𝑥

12 + 6𝑥

−12 = 3𝑥

−12 𝑥2−3𝑥 + 2

= 3𝑥−12 𝑥 − 1)(𝑥 − 2

Ejercicio. Factorizar 𝑥 2 + 𝑥−2

3 + (2 + 𝑥)1

3