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Factorizacin de polinomios Anneliesse Snchez y Caroline Rodriguez
Departamento de Matemticas
Universidad de Puerto Rico

Definicin
La factorizacin es el proceso inverso a la
multiplicacin. Cuando factorizamos,
deshacemos lo que hicimos al multiplicar.
Si multiplicamos (4)(2) obtenemos 8.
Podemos factorizar 8 como (4)(2).
Factorizar entonces es escribir una expresin
como un producto de dos o ms trminos.

Note que al multiplicar, siempre obtenemos un
nico resultado. Sin embargo, puede haber
varias formas de factorizar un nmero.
Ejemplo:
24 = (8)(3)
24 = (4)(2)(3)
24 = (6)(2)(2)
24 = (4)(2)(3)
24 = (12)(2)
Esta ltima es la
factorizacin prima, lo que
significa que la expresin ya
no se puede seguir
factorizando.
24 = (6)(4)
24 = (2)(2)(2)(3)

Todo nmero natural compuesto puede
expresarse de forma nica como el
producto de nmeros primos
(excepto por el orden de los
factores).
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4. Teorema Fundamental de la
Aritmtica
Aritmtica
Ejercicio: Determine la factorizacin
prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
a)
90
b)
504
c)
1,183
Ejercicio: Determine la factorizacin
prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
a)
90
b)
504
c)
1,183
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Aritmtica
Aritmtica
Ejercicio: Determine el nmero natural
ms pequeo que sea divisible por
todos los nmeros siguientes:
2, 3, 4, 6, 8, 9.
Ejercicio: Determine el nmero natural
ms pequeo que sea divisible por
todos los nmeros siguientes:
2, 3, 4, 6, 8, 9.
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Cierto o falso?
Cierto o falso?
Todo nmero natural es divisible por 1. Ningn nmero natural es a la vez primo y compuesto. No existen nmeros primos pares. El 1 es el nmero primo ms pequeo. Si 16 divide a un nmero natural, entonces 2, 4 y 8 tambin lo dividen.
Todo nmero natural es divisible por 1. Ningn nmero natural es a la vez primo y compuesto. No existen nmeros primos pares. El 1 es el nmero primo ms pequeo. Si 16 divide a un nmero natural, entonces 2, 4 y 8 tambin lo dividen.
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Cierto o falso?
Cierto o falso?
El nmero compuesto 50 tiene exactamente dos factorizaciones primas. El nmero primo 53 tiene exactamente dos factores.
El nmero compuesto 50 tiene exactamente dos factorizaciones primas. El nmero primo 53 tiene exactamente dos factores.
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Ejercicio
Ejercicio
Determine todos los factores de: a)
12
b)
18
c)
28
d)
63
e)
120
f)
184
Determine todos los factores de: a)
12
b)
18
c)
28
d)
63
e)
120
f)
184
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Decida si cada uno de los siguientes nmeros es divisible por:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Decida si cada uno de los siguientes nmeros es divisible por:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
a)
315
b)
7,425
c)
1,092
d)
4,488
e)
630
a)
315
b)
7,425
c)
1,092
d)
4,488
e)
630
f)
25,025
g)
45,815
h)
5,940
i)
123,456,789
j)
987,654,321
f)
25,025
g)
45,815
h)
5,940
i)
123,456,789
j)
987,654,321
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Determine la factorizacin prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
Determine la factorizacin prima de cada uno de los siguientes
nmeros compuestos:
a)
240
b)
300
c)
360
d)
425
a)
240
b)
300
c)
360
d)
425
e)
663
f)
885
g)
1,280
h)
1,575
e)
663
f)
885
g)
1,280
h)
1,575
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Page 61
5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Los divisores propios de un nmero
natural incluyen todos los divisores
del nmero excepto el nmero mismo.
Los divisores propios de un nmero
natural incluyen todos los divisores
del nmero excepto el nmero mismo.
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Ejemplo:
Los divisores de 8 son:
1, 2, 4 y 8.
Los divisores propios de 8 son:
1, 2 y 4.
Ejemplo:
Los divisores de 8 son:
1, 2, 4 y 8.
Los divisores propios de 8 son:
1, 2 y 4.
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Un nmero perfecto es un nmero
natural que sea igual a la suma de sus
divisores propios.
Un nmero perfecto es un nmero
natural que sea igual a la suma de sus
divisores propios.
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Comenzando con el 2, coteje todos los
nmeros naturales hasta hallar el
nmero perfecto ms pequeo.
Comenzando con el 2, coteje todos los
nmeros naturales hasta hallar el
nmero perfecto ms pequeo.
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Ejercicio: Verifique que los siguientes
son nmeros perfectos:
a)
28
b)
496
c)
8,128
Ejercicio: Verifique que los siguientes
son nmeros perfectos:
a)
28
b)
496
c)
8,128
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5. Nmeros perfectos
5. Nmeros perfectos
Hasta hace una dcada slo se
conocan 33 nmeros perfectos.
Todos los nmeros perfectos
conocidos son pares.
Cualquier nmero perfecto par
terminar en 6 28.
Hasta hace una dcada slo se
conocan 33 nmeros perfectos.
Todos los nmeros perfectos
conocidos son pares.
Cualquier nmero perfecto par
terminar en 6 28.
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6. Nmeros deficientes y abundantes
Un nmero natural es:
deficiente si es mayor que la suma
de sus divisores propios.
abundante si es menor que la suma
Un nmero natural es:
deficiente si es mayor que la suma
abundante si es menor que la suma
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Un nmero deficiente no tiene suficiente
divisores propios para que la suma de todos sea mayor que l mismo. Un nmero abundante tiene ms que
suficientes divisores propios para que la suma de todos sea mayor que l mismo.
Un nmero deficiente no tiene suficiente
divisores propios para que la suma de todos sea mayor que l mismo. Un nmero abundante tiene ms que
suficientes divisores propios para que la suma de todos sea mayor que l mismo.
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Ejercicio: Decida si el nmero dado es
deficiente o abundante.
a)
8
b)
10
c)
12
d)
36
Ejercicio: Decida si el nmero dado es
deficiente o abundante.
a)
8
b)
10
c)
12
d)
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7. Nmeros amigables
7. Nmeros amigables
Ejercicio:
Halle y sume los divisores propios de 284. Ahora, halle y sume los divisores propios de
220.
Qu observa?
Ejercicio:
Halle y sume los divisores propios de 284. Ahora, halle y sume los divisores propios de
220.
Qu observa?
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7. Nmeros amigables
7. Nmeros amigables
Dos nmeros naturales a y b son
amigables si la suma de los divisores
propios de a es b, y la suma de los
divisores propios de b es a.
Dos nmeros naturales a y b son
amigables si la suma de los divisores
propios de a es b, y la suma de los
divisores propios de b es a.
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7. Nmeros amigables
7. Nmeros amigables
El par ms pequeo de nmeros amigables es 220 y 284. El prximo par que se descubri fue 17,296 y 18,416. En 1866 Nicolo Paganini, de 16 aos, descubri que 1,184 y 1,210 se haban pasado por alto. (Verifquelo.)
El par ms pequeo de nmeros amigables es 220 y 284. El prximo par que se descubri fue 17,296 y 18,416. En 1866 Nicolo Paganini, de 16 aos, descubri que 1,184 y 1,210 se haban pasado por alto. (Verifquelo.)
Page 73
7. Nmeros amigables
7. Nmeros amigables
Una extensin de la idea de los nmeros amigables
son los nmeros sociables, que consisten de una cadena de nmeros en que la suma de los divisores propios de cada nmero es el nmero siguiente de la cadena, y la suma de los divisores propios del ltimo nmero de la cadena es el primer nmero.
Una extensin de la

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