Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

1

Multiplicaciónydivisiónconexpresionesracionales

Por:SandraElviaPérezMárquez.

Para realizar operaciones con expresiones racionales,aplicamoslasmismaspropiedadesytécnicasqueseutilizanconlasfraccionesnuméricas.

¿Recuerdascómohacerlassiguientesoperaciones?

=

52

43

=

÷

52

43

Pararealizarunamultiplicacióndefracciones,semultiplicanumeradorpornumeradorydenominadorpordenominador.

Para realizar una división de fracciones, se multiplica en forma cruzada, es decir, numerador pordenominadorydenominadorpornumerador.

En ocasiones, esmás sencillo si encontramos primero losfactoresprimosparasimplificar.

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

2

Enestecasosolamenteel4sepuedefactorizarcomo(2)(2)yahorayasepuedesimplificarelnumeradoryeldenominador:

De la misma forma que se efectúa el procedimiento para los números fraccionarios, se hacen lasoperacionesconexpresionesracionales.

Multiplicacióndeexpresionesracionales

Pararesolverlamultiplicacióndeexpresionesracionales,realizalossiguientespasos:

1)Factoriza completamente todos los numeradores y

denominadores.

2)Simplificalosfactorescomunes.

3)Realizalamultiplicacióndeacuerdoalaregla:

bdac

dc

ba

=⋅

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

3

Observaalgunosejemplos:Ejemplo1:

Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión:

+

−

−

+23

23

561830

36603542

xxxx

xx

1. Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.

( )( )

( )( )56

3563512567

561830

36603542

2

2

23

23

+

−⋅

−

+=

+

−

−

+

xxxx

xx

xxxx

xx

2. Simplificalosfactorescomunes.

3.-Realizalamultiplicaciónyvuelveasimplificar.

4.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:

27

561830

36603542

23

23

=

+−

−+

xxxx

xx

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

4

Ejemplo2:

Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión: =

−−

−−

+−

−+

5432

656

2

2

2

2

xxxx

xxxx

1. Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.

=

−−

−−

+−

−+

5432

656

2

2

2

2

xxxx

xxxx ( )( )

)1)(5()1)(3(

)2)(3(23

+−+−

∗−−−+

xxxx

xxxx

2. Simplificalosfactorescomunes.

3.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.

=

−−

−−

+−

−+

5432

656

2

2

2

2

xxxx

xxxx ( )

)5(1

13

−∗

+x

x ( )( )( )( )

( )( )5

35113

−+

=−

+=

xx

xx

4.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:

( )( )5

35432

656

2

2

2

2

−

+=

−−

−−

+−

−+

xx

xxxx

xxxx

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

5

Ejemplo3:

Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión: =

−−

− 3

2

2

4

92

43

aaa

aa

1. Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.

( )( )( )( )

3

4

3

2

2

4

912

223

92

43

aaa

aaa

aaa

aa +−

∗−+

=

−−

−

2.-Simplificalosfactorescomunes.

3.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.

( )( ) ( )

( )2913

91

23

92

43

3

4

3

4

3

2

2

4

+

+=

+∗

+=

−−

− aaaa

aa

aa

aaa

aa

4.-Simplificanuevamente(primerocoeficientes)yaplicalasleyesdelosexponentes.

31

93= y aa

aa

== −343

4

( )( )

( )( )23

12913

92

43

3

4

3

2

2

4

++

=+

+=

−−

− aaa

aaaa

aaa

aa

5.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:

( )( )23

19

24

33

2

2

4

+

+=

−−

− aaa

aaa

aa

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

6

Ejemplo4:

Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión:

+

−

−

−+

43

3432

xx

xxx

1.-Factorizalosnumeradoresytodoslosdenominadores.

( )( )43

314

43

3432

+

−∗

−

−+=

+

−

−

−+

xx

xxx

xx

xxx

2.-Simplificalosfactorescomunes.

3.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.

( ) ( )13

31

43

3432 −

∗−

−=

+

−

−

−+ xx

xxx

xxx

En este caso, observa cómo ( )3−x y ( )x−3 sonfactores que se parecen mucho, sin embargo, no soncompletamente iguales ya que tienen los signosdiferentes.Puedesfactorizarunodeellos,detalformaquequedenlossignosiguales.

4.-Factoriza: 1− en )3( x− deestaforma:

( )( )x+−− 31 5.-Reacomodalostérminosdelbinomio.( )( )31 −− x

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

7

6.-Sustituyeelfactoranteriorenlaexpresión.

( ) ( ) ( )( )( )

( )13

311

13

31

43

3432 −

∗−−

−=

−∗

−

−=

+

−

−

−+ xxxx

xx

xx

xxx

7.-Simplificanuevamentelosfactorescomunes.

8.-Multiplicalostérminosdespuésdelasimplificación.

( )( )

( )( )( )( )

( )11

1111

11

11

43

3432

−

−=

−

−=∗

−

−=

+

−

−

−+ xxxxx

xxx

9.-Divide la expresión entre ( )1− , aplicando las leyes de los signos de la división y reacomodando lostérminosdelbinomio.

( ) ( ) ( )xxxxx

xxx

−=+−=−

−=

+

−

−

−+ 1111

43

3432

10.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:

( )xxx

xxx

−=

+

−

−

−+ 143

3432

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

8

Ejemplo5:

Multiplicaysimplificaalamínimaexpresión:

−

−

+−

−−

−−

−+

62

8665

3212

2

2

2

2

yy

yyyy

yyyy

1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.

=

−

−

+−

−−

−−

−+

62

8665

3212

2

2

2

2

yy

yyyy

yyyy ( )( )

( )( )( )( )( )( ) 6

22416

1334

−−

∗−−+−

∗+−−+

yy

yyyy

yyyy

2.-Simplificalosfactorescomunes.

3.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.

=

−

−

+−

−−

−−

−+

62

8665

3212

2

2

2

2

yy

yyyy

yyyy ( )

( )( )( )4

411

41

14

−+

=∗−

∗+

yy

yy

4.-Elresultadodelamultiplicaciónylasimplificaciónes:

44

62

8665

3212

2

2

2

2

−

+=

−

−

+−

−−

−−

−+

yy

yy

yyyy

yyyy

La multiplicación de expresiones racionales puederealizarseentre dosomásexpresiones comoenel casoanterior.

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

9

Te recomiendo que sigas practicando lamultiplicación de expresiones racionales resolviendolosproblemasdelmismotipo.Recuerdaquesitienesdificultadesconlafactorizaciónpuedesregresarteyrevisarlaslecturascorrespondientes.

Divisióndeexpresionesracionales

Pararealizarladivisióndeexpresionesracionaleshayqueatenderlossiguientespasos:

1)Factoriza completamente todos losnumeradores y

denominadores.

2)Realizaladivisióndeacuerdoalaregla:

3)Simplificalosfactorescomunes.

Observaalgunosejemplos.

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

10

Ejemplo1:

Divideysimplificaalamínimaexpresión: =

++

−÷

+

−

189255

35

2 xxx

xx

1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.

( )( )( )36

5535

189255

35

2 ++

−÷

+

−=

++

−÷

+

−

xxx

xx

xxx

xx

2.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.

3.-Simplificalosfactorescomunes.

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

11

4.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaron.

( )56

189255

35

2

+=

++

−÷

+

− xxx

xxx

5.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes:

( )56

189255

35

2

+=

++

−÷

+

− xxx

xxx

Ejemplo2:

Divideysimplificaalamínimaexpresión: =

+−

−÷

−−

++

864

3245

2

2

2

2

aaa

aaaa

1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.

=

+−

−÷

−−

++

864

3245

2

2

2

2

aaa

aaaa ( )( )

( )( )( )( )( )( )24

221341

−−−+

÷+−++

aaaa

aaaa

2.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.

3.-Simplificafactorescomunes.

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

12

4.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaronutilizandoproductosnotables.

( )( )( )( ) 6

162344

864

3245

2

2

2

2

2

2

−−

−=

+−

−+=

+−

−÷

−−

++

aaa

aaaa

aaa

aaaa

5.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes:

616

864

3245

2

2

2

2

2

2

−−

−=

+−

−÷

−−

++

aaa

aaa

aaaa

Ejemplo3:

Divideysimplificaalamínimaexpresión: =

−

+−÷

−+

−

434

61

2

2

2

2

yyy

yyy

1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.

( )( )( )( )

( )( )( )( )22

132311

434

61

2

2

2

2

−+

−−÷

−+

−+=

−

+−÷

−+

−

yyyy

yyyy

yyy

yyy

2.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.

3.-Simplificalosfactorescomunes.

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

13

4.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaronutilizandoproductosnotables.

( )( )( )( ) 9

233321

434

61

2

2

2

2

2

2

−

++=

−+

++=

−

+−÷

−+

−

yyy

yyyy

yyy

yyy

5.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes

923

434

61

2

2

2

2

2

2

−

++=

−

+−÷

−+

−

yyy

yyy

yyy

Ejemplo4:

Divideysimplificaalamínimaexpresión: =

−

−+÷

+

−22

22

2

22

42

2 yxyxyx

xyxyx

1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.

( )( )( )

( )( )( )( )yxyx

yxyxyxxyxyx

yxyxyx

xyxyx

222

242

2 22

22

2

22

−+

−+÷

+

−+=

−

−+÷

+

−

2.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.

3.-Simplificalosfactorescomunes.

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

14

4.-Realizalamultiplicaciónconlosfactoresquenosesimplificaronutilizandoproductosnotables.

( )( )( ) xyx

yxyxyxxyxyx

yxyxyx

xyxyx

22

22

42

2 2

22

22

22

2

22

+

−−=

+−+

=

−

−+÷

+

−

5.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes:

xyxyxyx

yxyxyx

xyxyx

22

42

2 2

22

22

22

2

22

+

−−=

−

−+÷

+

−

Ejemplo5:

Divideysimplificaalamínimaexpresión: =

++

−÷

+

−

444

22

2

2

2 xxx

xxx

1.-Factorizatodoslosnumeradoresytodoslosdenominadores.

( )( )( )( )( )22

2222

444

22

2

2

2 ++

−+÷

+

−=

++

−÷

+

−

xxxx

xxx

xxx

xxx

2.-Observaqueelfactor ( )x−2 sepuedefactorizarcomo ( )( )x+−− 21 .Siacomodamoslostérminosdel

binomiocomo ( )( )21 −− x yelfactor ( )x+2 sepuedereacomodarcomo ( )2+x .3.-Deestaforma,laexpresiónfactorizadaquedadelasiguienteforma:

( )( )( )

( )( )( )( )22

22221

444

22

2

2

2 ++

−+÷

+

−−=

++

−÷

+

−

xxxx

xxx

xxx

xxx

Versión2012

©UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoosistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperacióndelainformación,sinlaautorizaciónporescritodelaUniversidadVirtualdelEstadodeGuanajuato.

15

4.-Realizaladivisióndeacuerdoalaregla.

5.-Simplificalosfactorescomunes.

6.-Elresultadodeladivisiónylasimplificaciónes:

xxxx

xxx 1

444

22

2

2

2

−=

++

−÷

+

−

En la división de expresiones racionales es muyimportante que al realizar la multiplicación en cruz sólodejesexpresadalaoperaciónparapoderhacerdespuéslasimplificacióndefactorescomunes.