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Prof. Anneliesse SánchezDepartamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico en AreciboEn estemódulo se definirá lo que es factorización. Se darán ejemplos de cómo se factorizan enteros y la relación que

hay entre factorizar enteros y factorizar polinomios.Consta de 6 capítulos en los que se discutirán losdiferentes casos de factorización de polinomios.

Sitio: Cursos en Línea de la UPRACurso: Mate0006-10-II Desarrollo de Destrezas Básicas en MatemáticasLibro: FactorizaciónImprimido por: Caroline RodriguezFecha: Tuesday, 25 de October de 2011, 06:28

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1 Introducción

2 Factorización por factor común2.1 Factorización por factor común - caso especial

3 Factorización por agrupación

4 Factorización de trinomios cuadráticos4.1 Método de tanteo4.2 Método sin tanteo

5 Factorización de diferencias de cuadrados


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Definición

La factorización es el proceso inverso a la multiplicación. Cuando factorizamos, deshacemos lo quehicimos al multiplicar.Si multiplicamos (4)(2) obtenemos 8.Podemos factorizar 8 como (4)(2).Factorizar entonces es escribir como un producto de dos o más términos.

Note que al multiplicar, siempre obtenemos un único resultado. Sin embargo, al factorizar podemostener muchos resultados diferentes.

Varias formas de factorizar

Al factorizar podemos tener muchos resultados diferentes.

Esto lo que significa es que puede haber varias formas de factorizar un número.Ejemplo:24 = (8)(3)24 = (4)(2)(3)24 = (12)(2)24 = (6)(2)(2)24 = (4)(2)(3)24 = (6)(4)24 = (2)(2)(2)(3)

Esta última es la factorización completa, lo que significa que no se puede seguir factorizando, como lasdemás.

El teorema fundamental de la aritmética

El teorema fundamental de la aritmética establece que:

Cualquier número entero tiene una única factorización de números primos, excepto por el orden.

Esto lo que quiere decir es que cuando usted factoriza un número, puede empezar de la manera queguste, como se le ocurra, pero si continúa factorizando hasta que todos sean primos y por lo tanto no sepuedan seguir factorizando, va a obtener siempre el mismo resultado, no importa cómo comenzó.

Ejemplo:Si vamos a factorizar 100, podemos hacerlo de la siguiente manera:100= 25 x 4= 5 x 5 x 2 x 2Ya no podemos factorizar más pues todos los factores son números primos.

Sin embargo, quizás otra persona empieza diferente:100=20 x 5


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= 5 x 4 x 5= 5 x 2 x 2 x 5Ya no podemos continuar factorizando pues todos los factores son números primos.

Fíjese que la única diferencia entre una forma y la otra es el orden de los factores. Y sabemos que elorden de los factores no altera el producto.


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Factor común

Cuando vamos a factorizar un polinomio, debemos ver si tiene un factor común en todos los términos.Ejemplo:3b2 – 5bc + 6b

En este caso vemos que b es factor de los tres términos. Por lo tanto, b es un factor común.

Al factorizar tenemos:b(3b – 5c +6)

Note que si multiplica, obtiene la expresión original.

Ejemplo:Halle el factor común en cada polinomio y luego factorice:

7xy – 14xy2 + 21x2y

En este caso, examinando visualmente los tres términos de la expresión podemos notar que hay unfactor común de 7xy.

Al factorizar, lo que hacemos es escribir el factor común multiplicado por el factor restante (alfactorizar). El factor restante será la división entre el polinomio original y el factor común.

En este caso, tenemos:7xy(1 - 2y + 3x)

Recuerde que puede verificar el resultado multiplicando.

Ejemplo 2:Factorice completamente:22pq + 33qr

Una inspección visual nos indica rápidamente que 11q es el factor común de los dos términos de esaexpresión.

Factorizamos 11q y tenemos:11q(2p + 3r)

Recuerde que puede revisar multiplicando.

Expresión como factor común

En ocasiones el factor común se presenta como una expresión.

Ejemplo:

3x(a-b) - 5(a-b)


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En ese ejemplo hay dos términos y en cada término está (a-b) como factor común. Si factorizamos(a-b) tendremos (a-b) multiplicado por lo que quede al sacar ese factor de cada término.

(a-b)(3x-5)

Ejemplo 2:Factorice completamente 12xy(x+5) - 15x2y(x+5) + 3xy2(x+5)

La expresión anterior tiene tres términos y cada uno de los términos tiene como factor común 3, x, y,(x+5). Por lo tanto el factor común es 3xy(x+5).

Al factorizar, tenemos:

3xy(x+5)(4-5x+y)


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En ocasiones tenemos dos factores que se parecen aunque en realidad no son iguales.

Ejemplo:2x(a-b) - 5(b-a)

En este caso NO podemos factorizar un factor común, porque en realidad no lo hay.

Aunque a-b y b-a se parecen mucho, en realidad no son iguales.

Factores que se parecen pero no son iguales

Veamos:Si sustituimos algunos valores en a y b obtenemos lo siguiente:Si a = 5 y b = 8Entonces a - b = 5 - 8 = -3Mientras que b - a = 8 - 5 = 3

Tomando otros valores:Si a = -4 y b = 3,Entonces a - b = -4 - 3 = -7 mientras queb - a = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7

¿Observas algo?Posiblemente notaste que a - b y b - a son opuestos uno del otro. Esto ocurre siempre.

Pequeño ajuste

Con esto en mente, podemos cambiar el orden de los términos si le cambiamos el signo, esto es, b - a =-(a - b).

En este caso, el ejercicio que teníamos originalmente: 2x(a - b) - 5(b - a) podemos reescribirlo como2x(a - b) - -5(a - b) o lo que es lo mismo2x(a - b) + 5(a - b)

En la expresión2x(a - b) + 5(a - b) SÍ hay un factor común en ambos términos.

Ahora lo podemos factorizar:(a - b)(2x + 5)

Ejemplo:

Suponga que tenemos la siguiente expresión:5(2x - 9) + 3x(9 - 2x)

En ese caso, como 2x - 9 no es igual a 9 - 2x, tenemos que hacer el pequeño ajuste.


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Recordamos que 9 - 2x = -(2x - 9)Por lo tanto, cambiamos el factor 9 - 2x por su opuesto, cambiando el signo afuera, y tenemos:

5(2x - 9) - 3x(2x - 9)

y ahora SÍ podemos factorizar.

(2x - 9)(5 - 3x)


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Cuando tenemos varias parejas de términos, 4 o 6 por ejemplo, que no tienen todos un factor encomún, podemos tratar de factorizar por agrupación. Este método consiste en agrupar en parejas lostérminos y sacar lo que tengan de factores en común cada uno.

Por ejemplo:

5a + 5b + xa + xb

En ese caso, no hay un factor común en todos los términos, pero observamos que hay un factor comúnen los primeros dos y otro factor común en los otros dos.Los factorizamos y tenemos:

5(a+b) + x(a+b)

Ahora observe que tiene 2 factores en lugar de 4 como al principio.Note que en esos dos factores hay un factor común, que es (a+b). Factorícelo.

(a+b)(5+x)

Veamos otro ejemplo:

Factorice:6ax + 15a + 2xy + 5y

No hay factores en común en los cuatro términos. Trataremos de agruparlos y factorizar en pares.

6ax + 15a + 2xy + 5y3a(2x+5) + y(2x+5)

Ahora vemos que hay un factor en común que es (2x+5). Lo factorizamos y tenemos:

(2x+5)(3a+y)

También puede ver el vídeo siguiente:

Vea el vídeo de Factorización por agrupación en la sección de vídeos.

Debes hacer la práctica 3-1 (P3-1)


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Los trinomios cuadráticos, comúnmente factorizan como el producto de dos binomios. Vamos aseparar en dos casos:- cuando el coeficiente principal es 1 (a=1)- cuando el coeficiente principal es 1 (a≠1)

Factorización de trinomios a = 1Si el coeficiente principal es 1, es fácil notar que los dos binomios comenzarán con la raíz cuadrada deltérmino cuadrático. Esto es:Si tiene los dos binomios comenzarán con x. Los segundos términos de los binomios,multiplicados deben dar 6 y sumados (porque tendrán el mismo signo, deben dar 5. De modo que noserá dificil ver que la factorización será: (x+2)(x+3)En otro ejemplo, si tenemos que factorizar tenemos que encontrar dos números que multiplicados den -3 y restados den -2. Estos son: -3 y 1. Porlo tanto los binomios serán: (x-3)(x+1)

Factorización de trinomios a ≠ 1

Nos referimos a la factorización de trinomios cuadráticos con coeficiente principal diferente de 1.Recuerde que el coeficiente principal es el coeficiente del término cuadrático.

Hay dos métodos para factorizar los trinomios cuadráticos con a ≠ 1.Típicamente se enseña el método de tanteo. Recuerde que cuando tenemos un trinomio cuadrático,queremos tratar de factorizarlo como el producto de dos binomios, aunque sabemos que a veces lospolinomios no factorizan.

Método de tanteo

El método de tanteo consiste en hacer una lista de todas las posibles combinaciones de factores tantopara el coeficiente principal (a) como para el coeficiente constante (c).

Luego, se va tratando una por una cada una de las posibilidades, revisando que la suma o resta de losproductos internos y externos cuadren con el coeficiente del término lineal.

Veamos un ejemplo:3x2+7x-20En este caso, como queremos factorizarlo (si se puede) como el producto de dos binomios, debemosabrir dos paréntesis, para los dos binomios.

( ) ( )

Sabemos que en los primeros términos de los binomios, además del coeficiente tendremos x.

( x ) ( x )

Ahora hacemos las listas. Por un lado tenemos la lista de factores de 3, {1,3} y por otro lado tenemosla lista de factores de 20, {1,2,4,5,10,20}.Con esas listas escribimos todas las posibles combinaciones de factores.


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( x ) ( x )1 1 3 20

20 12 1010 24 55 4

Ahora, hay que tratar uno por uno cada una de las posibilidades hasta encontrar la que cuadra.Trataremos unas cuantas:

En el caso del 3, no hay otros factores por lo que sabemos que tiene que ser

( 1 x ) ( 3 x )

Tratemos con el primero de la segunda lista de combinaciones:

( 1 x 1 ) ( 3 x 20 )

Como el 20 es negativo, sabemos que los signos serán diferentes pero aún no sabemos dónde van.Al multiplicar x(20) = 20xAl multiplicar 1(3x) = 3xComo son semejantes, se van a combinar. Como van a tener signos diferentes, se van a restar. Pero20x y 3x restados no nos da 7x (el término lineal).De modo que ya sabemos que esa posibilidad no es.

Trataremos otra.

( 1 x 20 ) ( 3 x 1 )

Al multiplicar x(1) = xAl multiplicar 20(3x) = 60x60x y x restados no nos da 7x (el término lineal).De modo que ya sabemos que esa posibilidad tampoco es.

Seguimos tratando...

( 1 x 2 ) ( 3 x 10 )

Al multiplicar x(10) = 10xAl multiplicar 2(3x) = 6x10x y 6x restados no nos da 7x (el término lineal).De modo que sabemos que esa posibilidad tampoco es.


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Con el próximo...


( 1 x 10 ) ( 3 x 2 )

Al multiplicar x(2) = 2xAl multiplicar 10(3x) = 30x30x y 2x restados no nos da 7x.De modo que sabemos que esa posibilidad tampoco es.

No hay que desesperarse, sólo faltan dos por tratar...

( 1 x 4 ) ( 3 x 5 )

Al multiplicar x(5) = 5xAl multiplicar 4(3x) = 12x12x y 5x restados nos da 7x. !Bravo!!De modo que sabemos que esa es la combinación que buscábamos. Ahora solo falta colocarcorrectamente los signos. Para que dé 7x (que es positivo) necesitamos que el mayor (12x) seapositivo, y por tanto el 5x negativo. Esto es: 12x - 5x = 7x (lo que necesitamos).Para que el 12x dé positivo, hay que poner el + delante del 4, y el menos delante del 5 para que dé -5x.(x + 4)(3x - 5)

Esta es la factorización.

Si piensan que este método es largo y tedioso, no se equivocan. En ocasiones hay pocas combinacionespero en otras hay muchísimas.

Si desean, pueden ver el siguiente vídeo donde se muestra el proceso. Es mejor que verlo escrito.Verán otros ejemplos. Dura aproximadamente 8 minutos.

Si desean conocer el otro método, deben ver la próxima sección.

Método sin tanteo

Sin embargo hay otro método, que rara vez se enseña. Es un método sin tanteo, que le dicerápidamente si el polinomio factoriza o no.

Comenzaremos definiendo a, b y c como los coeficientes de los términos cuadrático, lineal y constanterespectivamente. Esto es, a será el coeficiente del término cuadrático, b, el coeficiente del términolineal y c el coeficiente del término constante.

Para saber si el polinomio factoriza, lo que debemos hacer el multiplicar a por c y examinar si existendos números que multiplicados den ac y que sumados (o restados) del b. Si va a ser suma o resta,


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dependerá del signo de c: Si es positivo serán sumados y si es negativo serán restados.

Si encuentra estos números, está garantizado que el polinomio factoriza. Si no los puede encontrar, no.

Veamos un ejemplo:

2x2 - 4x + 5

Multiplicamos(2)(5) = 10Tenemos que encontrar dos números que multiplicados den 10 y que sumados (observe el signo entre4x y 5) den 4.

Las posibilidades son:1 x 10 sumados dan 112 x 5 sumados dan 7

Como no hay más posibilidades, sabemos que no hay números que multiplicados den 10 y sumadosden 4 por lo que concluimos que el polinomio no factoriza.

Además, en la sección de vídeos, puede ver varios vídeos donde se explica el proceso de factorizar.


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El método de tanteo consiste en hacer una lista de todas las posibles combinaciones de factores tantopara el coeficiente principal (a) como para el coeficiente constante (c).

Luego, se va tratando una por una cada una de las posibilidades, revisando que la suma o resta de losproductos internos y externos cuadren con el coeficiente del término lineal.

Veamos un ejemplo:3x2+7x-20En este caso, como queremos factorizarlo (si se puede) como el producto de dos binomios, debemosabrir dos paréntesis, para los dos binomios.

( ) ( )

Sabemos que en los primeros términos de los binomios, además del coeficiente tendremos x.

( x ) ( x )

Ahora hacemos las listas. Por un lado tenemos la lista de factores de 3, {1,3} y por otro lado tenemosla lista de factores de 20, {1,2,4,5,10,20}.Con esas listas escribimos todas las posibles combinaciones de factores.

( x ) ( x )1 1 3 20

20 12 1010 24 55 4

Ahora, hay que tratar uno por uno cada una de las posibilidades hasta encontrar la que cuadra.Trataremos unas cuantas:

En el caso del 3, no hay otros factores por lo que sabeos que tiene que ser

( 1 x ) ( 3 x )

Tratemos con el primero de la segunda lista de combinaciones:

( 1 x 1 ) ( 3 x 20 )

Como el 20 es negativo, sabemos que los signos serán diferentes pero aún no sabemos dónde van.Al multiplicar x(20) = 20xAl multiplicar 1(3x) = 3x


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Como son semejantes, se van a combinar. Como van a tener signos diferentes, se van a restar. Pero20x y 3x restados no nos da 7x (el término lineal).De modo que ya sabemos que esa posibilidad no es.

Trataremos otra.

( 1 x 20 ) ( 3 x 1 )

Al multiplicar x(1) = xAl multiplicar 20(3x) = 60x60x y x restados no nos da 7x (el término lineal).De modo que ya sabemos que esa posibilidad tampoco es.


( 1 x 2 ) ( 3 x 10 )

Al multiplicar x(10) = 10xAl multiplicar 2(3x) = 6x10x y 6x restados no nos da 7x (el término lineal).De modo que sabemos que esa posibilidad tampoco es.

Con el próximo...


( 1 x 10 ) ( 3 x 2 )

Al multiplicar x(2) = 2xAl multiplicar 10(3x) = 30x30x y 2x restados no nos da 7x.De modo que sabemos que esa posibilidad tampoco es.

No hay que desesperarse, solo faltan dos por tratar...

( 1 x 4 ) ( 3 x 5 )

Al multiplicar x(5) = 5xAl multiplicar 4(3x) = 12x12x y 5x restados nos da 7x. !Bravo!!De modo que sabemos que esa es la combinación que buscábamos. Ahora solo falta colocarcorrectamente los signos. Para que dé 7x (que es positivo) necesitamos que el mayor (12x) sea


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positivo, y por tanto el 5x negativo. Esto es: 12x - 5x = 7x (lo que necesitamos).Para que el 12x dé positivo, hay que poner el + delante del 4, y el menos delante del 5 para que dé -5x.(x + 4)(3x - 5)

Esta es la factorización.

Si piensan que este método es largo y tedioso, no se equivocan. En ocasiones hay pocas combinacionespero en otras hay muchísimas.

Si desean, pueden ver el siguiente vídeo donde se muestra el proceso. Es mejor que verlo escrito.Verán otros ejemplos. Dura aproximadamente 8 minutos.

Si desean conocer el otro método, deben ver la próxima sección.


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El método sin tanteo es bien sencillo.

Solo tiene que multiplicar el primer y tercer coeficiente (ac) y buscar dos números que multiplicadosden ac y sumados o restados (depende del segundo signo si es suma o resta) den el coeficiente deltérmino lineal (b).

Si esos números no existen, entonces el polinomio no factoriza. Si existen, factoriza. Garantizado!!

Si encuentra los números, los debe usar para reescribir el segundo término, el término lineal. De modoque reescribiré el polinimio para que tenga 4 términos, y no 3, donde la suma o la resta de los dostérminos lineales le den lo mismo que el término lineal original. !Cuidado con los signos!! Búsquelosapropiadamente.

Por último, factorice por agrupación. Repase este método si no lo reucerda.

Veamos el mismo ejercicio anterior.

3x2+7x-20

Multiplique 3(20) = 60Busque dos números que multiplicados den 60 y restados (observe el signo de resta al final) den +7.Haga una lista:1 x 60 restados dan 592 x 30 restados dan 283 x 20 restados dan 174 x 15 restados dan 115 x 12 restados dan 7 ¡Esos son!

Use el 5 y el 12, con los signos apropiados para reescribir el 7.

3x2- 5x + 12x - 20 (pudo haber escrito el 12x antes que el -5x, sin problemas)

Ahora factorice por agrupación:

x(3x-5) + 4(3x-5)

(3x-5)(x+4)

Veamos otro ejemplo:

20x2-27x+9

Hay que buscar dos números que multiplicados den (20)(9) = 180 y sumados den -27.

sumados dan...1 180 1812 90 92


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3 60 634 45 495 36 416 30 369 20 2910 18 2812 15 27

Los números son 12 y 15. Evidentemente tendrán que ser los dos negativos para que se sumen y de-27.

Reescribamos el polinomio.

20x2-12x - 15x + 9

Y ahora, factorizamos por agrupación.

4x(5x-3) - 3(5x-3)

Note que el 3 dentro del segundo binomio tiene que ser negativo para que -3(-3) de igual a +9

Finalizando, factorizamos el factor común 5x-3 y tenemos:

(5x-3)(4x-3)


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En matemáticas, diferencia es sinónimo de resta. Por esto cuando hablamos de Diferencia decuadrados, a lo que nos referimos es a dos expresiones cuadradas restadas. Ejemplos:

x2 - y2

4x2 - 259 - w2

Aprender a factorizar diferencias de cuadrados es muy sencillo. Lo importante y fundamental esreconocer los cuadrados que se están restando.

Cómo surgen las diferencias de cuadrados

Recordemos que cuando multiplicamos dos binomios, obtenemos cuatro términos y en ocasionesalgunos de estos se combinan por ser semejantes y finalmente tenemos menos términos.Unos de estos casos resultaba en dos términos porque los términos que se combinaban daban cero.

Ejemplo:Al multiplicar (x - 3)(x + 3) tenemos:x2 + 3x - 3x - 9lo que resulta, al combinar los términos semejantes en:x2 - 9, que es una diferencia de cuadrados.

Resulta entonces que podemos observar que siempre que multipliquemos dos binomios que seanprácticamente iguales excepto por el signo de uno de sus términos, tendremos una diferencia decuadrados.

Recordemos además que la factorización es el proceso inverso a la multiplicación por lo que si vamos afactorizar una diferencia de cuadrados, sabemos que factoriza como el producto de dos binomios casiiguales, excepto por el signo de uno de sus términos. Y los términos de los binomios serán las raícescuadradas de los términos en la diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

4w2 - 9 = (2w-3)(2w+3) ¡verifíquelo multiplicando!

25y2 - 81x2 = (5y+9x)(5y-9x)

El orden en que coloque el - y el + no importa.

y4 - 25 = (y2-5)(y2+5)

Seguir factorizando ... hasta el final

Si tenemos el siguiente binomio para factorizar:

3x2 - 12


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claramente vemos que NO se trata de una diferencia de cuadrados pues 3 no es un cuadrado perfectoaunque x2 si lo es. Además, 12 tampoco es un cuadrado perfecto.

En este caso vemos sin embargo, que hay un factor común en cada término. Al factorizarlo tenemos:

3(x2 - 4)

Ahora, podemos preciar que uno de los factores que obtuvimos es un cuadrado perfecto. Lo quesignifica que tenemos que seguir factorizando.

3(x-2)(x+2)

En otro ejemplo, suponga que tenemos:y4 - 16Notamos que se trata de una diferencia de cuadrados por lo que factorizamos:(y2-4)(y2+4)

Si observamos bien, podemos notar que uno de los factores es una diferencia de cuadrados. Tenemosque seguir factorizando.

(y-2)(y+2)(y2+4)

El último factor, se conoce como una suma de cuadrados. Veamos si se puede factorizar y cómo.

Sumas de cuadrados

Tratemos de factorizar una suma de cuadrados como

x2 + 4

Sabemos que no puede ser (x+2)(x-2) porque así es como se factoriza la diferencia de cuadrados. Demodo que trataremos con otros signos.

(x+2)(x+2) tampoco puede ser porque no se eliminarían los términos semejantes. Es decir,obtendríamos al multiplicar, x2 + 4x + 4

(x-2)(x-2) tampoco puede ser porque no se eliminarían los términos semejantes. Es decir, obtendríamosal multiplicar, x2 - 4x + 4

La única opción que nos queda es que no sean 2 y 2 sino 4 y 1 los segundos términos de los binomios:

(x-4)(x+1) = x2 - 4x + x - 4 = x2 - 3x - 4(x+4)(x-1) = x2 + 4x - x - 4 = x2 + 3x - 4

que claramente tampoco nos dan el binomio original.

No nos quedan más que concluir que la suma de cuadrados no factoriza.


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Pueden tratar con otras sumas de cuadrados haciendo un análisis similar y llegarán a esa conclusión.

En resumen: LA SUMA DE CUADRADOS NO FACTORIZA


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