factorizaciÓn de polinomios....

IES Juan García Valdemora TEMA 4: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Departamento de Matemáticas 3º ESO

1

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. SOLUCIONES

1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:

a) )4(282 −=− xx }4{=Raíz

b) )3(5155 −−=+− xx }3{=Raíz

c) )5(5255 −=− xx }5{=Raíz

d)

+=+4

134134 aa

−=

4

13Raíz

e)

−=−3

113113 xx

=3

11Raíz

f)

+=

+=+2

56

6

156156 xxx

−=

2

5Raíz

g)

−−=

−−=+−3

89

9

249249 xxx

=3

8Raíz

h)

+=+6

12

3

12 xx

−=

6

1Raíz

i)

−−=+−20

18

5

28 xx

=20

1Raíz

j) )2(363 2 −=− xxxx }2,0{=Raíces

k) )4(282 2 −−=+− xxxx }4,0{=Raíces

l) )3(5155 223 −=− xxxx }3 , (doble) 0{=Raíces

m) ( )93273 2 −−=+− xxxx { }9,0=Raíces

n) ( )55255 334 −=− xxxx { }5 (triple), 0=Raíces

o) ( )27147 2 +=+ xxxx { }2 , 0 −=Raíces

p) ( )66366 2 +=+ xxxx { }6,0 −=Raíces

q) )4(3123 223 −−=+− xxxx }4 , (doble) 0{=Raíces

r) )6(2122 223 −−=−− xxxx }6 , (doble) 0{=Raíces

s) )1(3

1

3

1

3

1 334 +=+ xxxx } 1 (triple), 0 { −=Raíces


2


a) 1072 +− xx

1º) Hallamos las raíces del polinomio

=⇒−

=

=⇒+

==

±=

±=

−±=

⋅

⋅⋅−−±=⇒=+−

22

37

52

37

2

37

2

97

2

40497

12

1014)7(70107

2

2

xx

xxxxx

2º) Factorización: )2)(5(1072 −−=+− xxxx }2,5{=Raíces

b) 1872 −− xx

1º) Hallamos las raíces del

polinomio

−=⇒−

=

=⇒+

==

±=

±=

+±=

⋅

−⋅⋅−−±=⇒=−−

22

117

92

117

2

117

2

1217

2

72497

12

)18(14)7(70187

2

2

xx

xxxxx

2º) Factorización: )2)(9(1872 +−=−− xxxx }2,9{ −=Raíces

c) 963 2 −− xx

1º) Extraemos factor común )32(39633 22 −−=−−⇒ xxxx

2º) Hallamos las raíces del polinomio )32( 2 −− xx

)1)(3(32

12

42

32

42

2

42

2

162

2

1242

12

)3(14)2(2032

2

2

2

+−=−−⇒

⇒

−=⇒−

=

=⇒+

==

±=

±=

+±=

⋅

−⋅⋅−−±=⇒=−−

xxxx

xx

xxxxx

3º) Factorización: )1)(3(3963 2 +−=−− xxxx }1,3{ −=Raíces

d) 253 2 +− xx

1º) Hallamos las raíces del

polinomio

=⇒=−

=

=⇒+

==

±=

±=

−±=

⋅

⋅⋅−−±=⇒=+−

3

2

6

4

6

15

16

15

6

15

6

15

6

24255

32

234)5(50253

2

2

xx

xx

xxx


3

2º) Factorización:

−−=+−3

2)1(3253 2 xxxx

=

3

2 , 1Raíces

e) 32 2 ++ xx


realsolución tieneno4

231

4

2411

22

324)1(1032

2

2 =−±−

=−±−

=⋅

⋅⋅−±−=⇒=++ xxx

2º) Factorización: )32( 2 ++ xx es irreducible

f) 202 −+ xx


−=⇒−−

=

=⇒+−

==

±−=

±−=

+±−=

⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

52

91

42

91

2

91

2

811

2

8011

12

)20(14)1(1020

2

2

xx

xxxxx

2º) Factorización: )5)(4(202 +−=−+ xxxx }5,4{ −=Raíces

g) 16 2 −+ xx


−=⇒−

=

=⇒=

=±−

=±−

=+±−

=⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

2

1

12

6

3

1

12

4

12

51

12

251

12

2411

62

)1(64)1(1016

2

2

xx

xx

xxx


+

−=−+2

1

3

1616 2 xxxx

−=

2

1 ,

3

1Raíces

h) 1572 2 −− xx


−=⇒−

=

=⇒==

±=

±=

+±=

⋅

−⋅⋅−−±=⇒=−−

2

3

4

6

54

20

4

137

4

1697

4

120497

22

)15(24)7(701572

2

2

xx

xx

xxx 2

º) Factorización:

+−=−−2

3)5(21572 2 xxxx

−=

2

3 , 5Raíces


4

i) 234 862 xxx ++−

1º) Extraemos factor común 22x−

)43(2862 22234 −−−=++− xxxxxx

2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )43( 2 −− xx

)1)(4(43

12

53

42

53

2

53

2

253

2

1693

12

)4(14)3(3043

2

2

2

+−=−−⇒

⇒

−=⇒−

=

=⇒+

==

±=

±=

+±=

⋅

−⋅⋅−−±=⇒=−−

xxxx

xx

xxxxx

3º) Factorización: )1)(4(2)43(2862 222234 +−−=−−−=++− xxxxxxxxx }1,4 (doble), 0{ −=Raíces

j) xxx 4113 23 −−

1º) Extraemos factor común “ x ”

)4113(4113 223 −−=−− xxxxxx

2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )4113( 2 −− xx

+−=−−⇒

−=⇒−

=

=⇒+

==

±=

=±

=+±

=⋅

−⋅⋅−−±=⇒=−−

3

1)4(34113

3

1

6

1311

46

1311

6

1311

6

16911

6

4812111

32

)4(34)11(1104113

2

2

2

xxxxxx

xx

xxx


+−=

+−⋅⋅=−−=−−3

1)4(3

3

1)4(3)4113(4113 223 xxxxxxxxxxxx

−=

3

1 , 0,4Raíces

k) 345 45396 xxx −−−

1º) Extraemos factor común “33x− ”

)15132(345396 23345 ++−=−−− xxxxxx


5

2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )15132( 2 ++ xx

++=++⇒

−=⇒−−

=

−=⇒+−

==

±−=

=±−

=−±−

=⋅

⋅⋅−±−=⇒=++

2

3)5(215132

54

713

2

3

4

713

4

713

4

4913

4

12016913

22

)15()2(4)13(13015132

2

2

2

xxxx

xx

xx

xxx


++−=

++⋅⋅−=++−=−−−2

3)5(6

2

3)5(23)15132(345396 3323345 xxxxxxxxxxxx

−−=

2

3 , 5 (triple), 0Raíces

l) xxx7

6

7

1

7

1 23 −+

1º) Extraemos factor común “ x7

1”

)6(7

1

7

6

7

1

7

1 223 −+=−+ xxxxxx

2º) Hallamos las raíces y factorizamos el polinomio )6( 2 −+ xx

)3)(2(6

32

51

22

51

2

51

2

251

2

2411

12

)6(14)1(106

2

2

2

+−=−+⇒

⇒

−=⇒−−

=

=⇒+−

==

±−=

±−=

+±−=

⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

xxxx

xx

xxxxx

3º) Factorización: )3)(2(7

1)6(

7

1

7

6

7

1

7

1 223 +−=−+=−+ xxxxxxxxx }3,2 ,0{ −=Raíces


6

2−

1−


a) 863 23 +−− xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de 8} = }8,4,2 ,1{ ±±±±

8 6 3 1 +−−

8 10 2 −+−

0 4 5 1 +− yfactor es )2( raíz es 2 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )45()2()( +−⋅+= xxxxP

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )45( 2 +− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser

irreducible) resolvemos la ecuación de 2º grado:

)1)(4(45

12

2

42

8

2

35

2

16255045

22 −−=+−⇒

==

===

±=

−±=⇒=+− xxxx

x

xxxx

Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

)1()4()2()45()2(863 223 −⋅−⋅+=+−⋅+=+−− xxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)1)(4)(2()( −−+= xxxxP

}1,4,2{−=Raíces

b) 1256 23 ++− xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de 12} = }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±

12 5 6 1 ++−

12 7 1 −+−

0 12 7 1 +− factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )127()1()(y +−⋅+= xxxxP




7

2

)3)(4(127

32

6

42

8

2

17

2

484970127

22 −−=+−⇒

==

===

±=

−±=⇒=+− xxxx

x

xxxx


)3()4()1()127()1(1256 223 −⋅−⋅+=+−⋅+=++− xxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(4)(1()( −−+= xxxxP

}3,4,1{−=Raíces

c) 1834 23 −−+ xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de – 18} = }18,9,6,3,2 ,1{ ±±±±±±

18 3 4 1 −−+

18 12 2 +++

0 9 6 1 ++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )96()2()(y ++⋅−= xxxxP

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )96( 2 ++ xx (en caso de que las tenga, porque podría ser


222)3(96

32

6

32

6

2

06

2

36366096 +=++⇒

−=−

=

−=−

==

±−=

−±−=⇒=++ xxx

x

xxxx

Para factorizar )96( 2 ++ xx también podemos utilizar las identidades notables: 22 )3(96 +=++ xxx


2223 )3()2()96()2(1834 +⋅−=++⋅−=−−+ xxxxxxxx

SOLUCIÓN

2)3)(2()( +−= xxxP

} (doble) 3,2{ −=Raíces


8

2

2

d) 61132 23 −−+ xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de 6− } = }6,3,2 ,1{ ±±±±

6 11 3 2 −−+

6 14 4 +++


2 )372()2()(y ++⋅−= xxxxP



++=++⇒

−=−

=

−=−

==

±−=

−±−=⇒=++

2

1)3(2372

34

12

2

1

4

2

4

57

4

244970372

22 xxxx

x

xxxx


++−=

++⋅−=++⋅−=−−+2

1)3)(2(2

2

1)3(2)2()372()2(61132 223 xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

++−=2

1)3)(2(2)( xxxxP

−−=

2

1,3,2Raíces

e) 1243 23 −−+ xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±

12 4 3 1 −−+

12 10 2 +++


2 )65()2()(y ++⋅−= xxxxP




9

3−

)3)(2(65

32

6

22

4

2

15

2

24255065

22 ++=++⇒

−=−

=

−=−

==

±−=

−±−=⇒=++ xxxx

x

xxxx


)3)(2)(2()65()2(1243 223 ++−=++⋅−=−−+ xxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(2)(2()( ++−= xxxxP

}3,2,2{ −−=Raíces

f) 18693 23 −−+ xxx

Sacamos factor común “3” )623(3 23 −−+→ xxx

Ahora continuamos factorizando el polinomio 623)( 23 −−+= xxxxP

Posibles raíces enteras = {divisores de – 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±

6 2 3 1 −−+

6 0 3 +−

0 2 0 1 − factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x

grado 2º de polinomio

2 )2()3()(y −⋅+= xxxP

Finalmente, para factorizar )2( 2 −x utilizamos las identidades notables, en concreto, 22))(( BABABA −=+−

)2)(2()2( 2 +−=− xxx


)2)(2)(3(3)2)(3(3)623(318663 22323 +−+=−+=−−+=−−+ xxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)2)(2)(3(3)( +−+= xxxxP

}2,2,3{ −−=Raíces


10

3−

5−

g) 122332 23 +−− xxx


12 23 3 2 +−−

12 27 6 −+−

0 4 9 2 +− factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )492()3()(y +−⋅+= xxxxP



−−=+−⇒

==

===

±=

−±=⇒=+−

2

1)4(2492

2

1

4

2

44

16

4

79

4

328190492

22 xxxx

x

xxxx


−−+=

−−⋅+=+−⋅+=+−−2

1)4)(3(2

2

1)4(2)3()492()3(122332 223 xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

−−+=2

1)4)(3(2)( xxxxP

−=

2

1,4,3Raíces

h) 1538236 23 −−+ xxx

Posibles raíces enteras = {divisores de – 15} = }15,5,3,1{ ±±±±

15 38 23 6 −−+

15 35 30 ++−

0 3 7 6 −− factor es )5( raíz es 5 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )376()5()(y −−⋅+= xxxxP

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )376( 2 −− xx (en caso de que las tenga, porque podría ser


+

−=−−⇒

−=−

=

===

±=

±=

+±=⇒=−−

3

1

2

36376

3

1

12

4

2

3

12

18

12

117

12

1217

12

724970376

22 xxxx

x

xxxx


11

1−


+

−+=

+

−⋅+=−−⋅+=−−+3

1

2

3)5(6

3

1

2

36)5()376()5(1538236 223 xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

+

−+=3

1

2

3)5(6)( xxxxP

−−=

3

1,

2

3,5Raíces

i) 65 234 −−++ xxxx


6 1 5 1 1 −−++

6 7 2 1 ++++

0 6 7 2 1 +++ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )672()1()(y 23 +++⋅−= xxxxxP

6 1 1 −−−

0 6 1 1 ++ factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio

2 )6()1()1()(y ++⋅+⋅−= xxxxxP



)6( realsolución tieneno 2

231

2

241106 22 ++⇒⇒

−±−=

−±−=⇒=++ xxxxx es irreducible


)6)(1)(1()672()1(65 223234 +++−=+++⋅−=−−++ xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)6)(1)(1()( 2 +++−= xxxxxP

}1,1{ −=Raíces

1


12

2

3−

j) 18911 234 ++−− xxxx


18 9 11 1 1 ++−−

18 9 2 1 −++−

0 18 9 2 1 +−− factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ x )1892()1()(y 23 +−−⋅+= xxxxxP

18 0 2 −+

0 9 0 1 − factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x

grado 2º depolinomio

2 )9()2()1()(y −⋅−⋅+= xxxxP

Finalmente, para factorizar )9( 2 −x utilizamos las identidades notables, en concreto, 22))(( BABABA −=+−

)3)(3()9( 2 +−=− xxx


)3)(3)(2)(1()9)(2)(1()1892()1(18911 223234 +−−+=−−+=+−−⋅+=++−− xxxxxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(3)(2)(1()( +−−+= xxxxxP

}3,3,2,1{ −−=Raíces

k) 65 234 −+−+ xxxx


6 1 5 1 1 −+−+

6 2 6 2 ++++

0 3 1 3 1 +++ factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )33()2()(y 23 +++⋅−= xxxxxP

3 0 3 −−

0 1 0 1 + factor es )3( raíz es 3 +⇒−⇒ x


2 )1()3()2()(y ++⋅−= xxxxP

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )1( 2 +x (en caso de que las tenga, porque podría ser irreducible)

resolvemos la ecuación de 2º grado:

)1( realsolución tieneno 1101 222 +⇒⇒−=⇒−=⇒=+ xxxx es irreducible

1−

2


13

4−


)1)(3)(2(65 2234 ++−=−+−+ xxxxxxx

SOLUCIÓN

l) 4119 234 −+−+ xxxx

Posibles raíces enteras = {divisores de – 4} = }4,2 ,1{ ±±±

4 11 9 1 1 −+−+

4 7 2 1 +−++

0 4 7 2 1 +−+ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )472()1()(y 23 +−+⋅−= xxxxxP

4 8 4 −+−

0 1 2 1 +− factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio

2 )12()4()1()(y +−⋅+⋅−= xxxxxP



)1(12

1

1

2

02

2

02

2

442012

222 −=+−⇒

=

=

=±

=±

=−±

=⇒=+− xxx

x

x

xxx

Para factorizar )12( 2 +− xx también podemos utilizar las identidades notables: 22 )1(12 −=+− xxx


)4()1(

)1)(4)(1()12)(4)(1()472)(1(4119

3

2223234

+−=

=−+−=+−+−=+−+−=−+−+

xx

xxxxxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)4()1()( 3 +−= xxxP

}4,(triple) 1{ −=Raíces

)1)(3)(2()( 2 ++−= xxxxP

}3,2{ −=Raíces

1


14

5

m) xxxx 206122 234 ++−

1º) Extraemos “2x” factor común y tenemos: )1036(2206122)( 23234 ++−⋅=++−= xxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )1036()( 23 ++−= xxxxQ

Posibles raíces enteras = {divisores de 10}= }10,5,2 ,1{ ±±±±

10 3 6 1 ++−

10 5 5 −−+

0 2 1 1 −− factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )2()5()(y −−⋅−= xxxxQ



)1)(2(2

12

2

22

4

2

31

2

91

2

81102

22 +−=−−⇒

−=−

=

===

±=

±=

+±=⇒=−− xxxx

x

xxxx

Luego, )1)(2)(5()1036()( 23 +−−=++−= xxxxxxxQ

3º) Por tanto,

)1)(2)(5(2)1036(2206122 23234 +−−=++−=++− xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)1)(2)(5(2)( +−−= xxxxxP

}1,2,5,0{ −=Raíces

n) 2345 2222 xxxx ++−−

1º) Extraemos “22x− ” factor común y tenemos: )1(22222)( 2322345 −−+⋅−=++−−= xxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )1()( 23 −−+= xxxxQ .

Posibles raíces enteras = {divisores de – 1}= }1{±


15

1

1 1 1 1 −−+

1 2 1 +++


2 )12()1()(y ++⋅−= xxxxQ



222)1()1)(1(12

12

2

12

2

2

02

2

02

2

442012 +=++=++⇒

−=−

=

−=−

==

±−=

±−=

−±−=⇒=++ xxxxx

x

xxxx

Otra forma de factorizar )12( 2 ++ xx es darnos cuenta que es una identidad notable 22 )1(12 +=++ xxx

Luego, 223 )1)(1()1()( +−=−−+= xxxxxxQ

3º) Por tanto,

222322345 )1)(1(2)1(22222 +−−=−−+−=++−− xxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

22 )1)(1(2)( +−−= xxxxP

} (doble) 1 1, (doble), 0{ −=Raíces

o) xxxx5

6

5

11

5

6

5

1 234 −−−−

1º) Extraemos “ x5

1− ” factor común y tenemos:

)6116(5

1

5

6

5

11

5

6

5

1)( 23234 +++⋅−=−−−−= xxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )6116()( 23 +++= xxxxQ .

Posibles raíces enteras = {divisores de 6} = }6,3,2 ,1{ ±±±±


16

1−

5

6 11 6 1 +++

6 5 1 −−−

0 6 5 1 ++ factor es )1( raíz es 1 +⇒−⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )65()1()(y ++⋅+= xxxxQ



)3)(2(65

32

6

22

4

2

15

2

15

2

24255065

22 ++=++⇒

−=−

=

−=−

==

±−=

±−=

−±−=⇒=++ xxxx

x

xxxx

Luego, )3)(2)(1()6116()( 23 +++=+++= xxxxxxxQ

3º) Por tanto,

)3)(2)(1(5

1)6116(

5

1

5

6

5

11

5

6

5

1 23234 +++−=+++−=−−−− xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(2)(1(5

1)( +++−= xxxxxP

}3,2,1,0{ −−−=Raíces

p) 2345 303110 xxxx −+−

1º) Extraemos “2x ” factor común y tenemos: )303110(303110)( 2322345 −+−⋅=−+−= xxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )303110()( 23 −+−= xxxxQ

Posibles raíces enteras = {divisores de – 30}= }30,15,10,6,5,3,2,1{ ±±±±±±±±

30 31 0 1 1 −+−

30 25 5 +−+

0 6 5 1 +− factor es )5( raíz es 5 −⇒⇒ xgrado 2º de polinomio

2 )65()5()(y +−⋅−= xxxxQ




17

4−

)3)(2(65

22

4

32

6

2

15

2

15

2

24255065

22 −−=+−⇒

==

===

±=

±=

−±=⇒=+− xxxx

x

xxxx

Luego, )3)(2)(5()303110()( 23 −−−=−+−= xxxxxxxQ

3º) Por tanto,

)3)(2)(5()303110(303110 22322345 −−−=−+−=−+− xxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)3)(2)(5()( 2 −−−= xxxxxP

}3 ,2 ,5 , (doble) 0{=Raíces

q) 23456 2414132 xxxxx +−−+

1º) Extraemos “2x ” factor común y tenemos:

)2414132(2414132)( 234223456 +−−+⋅=+−−+= xxxxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )2414132()( 234 +−−+= xxxxxQ

Posibles raíces enteras = {divisores de 24}= }24,12,8,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±±

24 14 13 2 1 +−−+

24 10 3 1 −−++

0 24 10 3 1 −−+ factor es )1( raíz es 1 −⇒⇒ x )24103()1()(y 23 −−+⋅−= xxxxxQ

24 4 4 ++−

0 6 1 1 −− factor es )4( raíz es 4 +⇒−⇒ x grado 2º de polinomio

2 )6()4()1()(y −−⋅+⋅−= xxxxxQ



)2)(3(6

2

3

2

51

2

251

2

241106

22 +−=−−⇒

−=

=

=±

=±

=+±

=⇒=−− xxxx

x

x

xxx

1


18

2−


)2)(3)(4)(1()6)(4)(1(

)24103)(1()2414132(2414132

222

232234223456

+−+−=−−+−=

=−−+−=+−−+=+−−+

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)2)(3)(4)(1()( 2 +−+−= xxxxxxP

}2,3 ,4,1, (doble) 0{ −−=Raíces

r) xxxxxx 12164163284 23456 −−+++

1º) Extraemos “ x ” factor común y tenemos:

)12164163284(12164163284)( 234523456 −−+++⋅=−−+++= xxxxxxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )12164163284()( 2345 −−+++= xxxxxxQ

Posibles raíces enteras = {divisores de – 12}= }12,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±

12 16 41 63 28 4 −−+++

12 10 46 40 8 ++−−−

0 6 5 23 20 4 −−++

6 2 24 8 ++−−

0 3 1 12 4 −−+

3 0 12 +−

0 1 0 4 −


22 )14()3()2()( Luego, −⋅+⋅+= xxxxQ

Finalmente, para buscar las raíces y factorizar )14( 2 −x (en caso de que las tenga, porque podría ser


+

−=−⇒±=⇒=⇒=−2

1

2

1414

2

1

4

1014 222 xxxxxx

)3()2(2

1

2

14

2

1

2

14)3()2()(Luego, 22 ++

+

−=

+

−⋅+⋅+= xxxxxxxxxQ

3−

2−


19

1−

3º) Por tanto,

)3()2(2

1

2

14)()( 2 ++

+

−=⋅= xxxxxxQxxP

SOLUCIÓN

)3()2(2

1

2

14)( 2 ++

+

−= xxxxxxP

−−−= 3doble),(2,

2

1,

2

1,0Raíces

s) 1547655017 23456 −−−−−+ xxxxxx

Posibles raíces enteras = {divisores de 15− } = }15,5,3 ,1{ ±±±±

15 47 65 50 17 1 1 −−−−−+

15 32 33 17 0 1 ++++−

0 15 32 33 17 0 1 −−−−

15 17 16 1 1 ++++−

0 15 17 16 1 1 −−−−

15 20 20 5 ++++

0 3 4 4 1 +++

3 3 3 −−−

0 1 1 1 ++


22 )1()3()5()1()( Luego, +++⋅−⋅+= xxxxxxP



eirreducibl es 1)x( realsolución tieneno2

31

2

41101 22 ++⇒⇒

−±−=

−±−=⇒=++ xxxx

SOLUCIÓN

)1)(3)(5()1()(22 +++−+= xxxxxxP

}3,5, (doble) 1{ −−=Raíces

3−

5

1−


20

2−

t) 34567 18012025305 xxxxx −−++

1º) Extraemos “35x ” factor común y tenemos:

)362456(518012025305)( 234334567 −−++⋅=−−++= xxxxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )362456()( 234 −−++= xxxxxQ

Posibles raíces enteras = {divisores de –36}= }36,18,12;9,6,4,3,2 ,1{ ±±±±±±±±±

36 24 5 6 1 −−++

36 42 16 2 ++++

0 18 21 8 1 +++

18 12 2 −−−

0 9 6 1 ++


2 )96()2()2()( Luego, ++⋅+⋅−= xxxxxQ

Finalmente, factorizamos )96( 2 ++ xx . Se trata de una identidad notable, 22 )3()96( +=++ xxx

2)3()2()2()(Luego, +⋅+⋅−= xxxxQ

3º) Por tanto,

233 )3)(2)(2(5)(5)( ++−=⋅= xxxxxQxxP

SOLUCIÓN

23 )3)(2)(2(5)( ++−= xxxxxP

{ }doble)( 3,2,2, (triple) 0 −−=Raíces

u) xxxxx 16812102 2345 +−−+−

1º) Extraemos “ x2− ” factor común y tenemos:

)8465(216812102)( 2342345 −++−⋅−=+−−+−= xxxxxxxxxxxP

2º) Ahora tenemos que factorizar el polinomio )8465()( 234 −++−= xxxxxQ

Posibles raíces enteras = {divisores de – 8}= }8,4,2 ,1{ ±±±±

2


21

2

8 4 6 5 1 −++−

8 0 6 2 +−+

0 4 0 3 1 +− factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x )43()2()(y 23 +−⋅−= xxxxQ

4 2 2 −−+

0 2 1 1 −− factor es )2( raíz es 2 −⇒⇒ x grado 2º de polinomio

2 )2()2()2()(y −−⋅−⋅−= xxxxxQ



)1)(2(2

1

2

2

31

2

91

2

81102

22 +−=−−⇒

−=

=

=±

=±

=+±

=⇒=−− xxxx

x

x

xxx

3º) Luego, el proceso que hemos seguido ha sido,

)1()2(2)1)(2)(2)(2(2)2)(2)(2(2

)43)(2(2)8465(216812102

32

232342345

+−−=+−−−−=−−−−−=

=+−−−=−++−−=+−−+−

xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

SOLUCIÓN

)1()2(2)( 3 +−−= xxxxP

}1, (triple) 2,0{ −=Raíces

v) )44()4( 22 ++⋅− xxx

Los dos polinomios son identidades notables.

� )2)(2(42 +−=− xxx

� 22 )2(44 +=++ xxx

Por tanto,

3222 )2)(2()2)(2)(2()44()4( +−=++−=++⋅− xxxxxxxx } (triple) 2 ,2{ −=Raíces

w) )76()2510( 22 −+⋅++ xxxx

� 22 )5(2510 +=++ xxx

� ⇒

−=

==

±−=

±−=

+±−=

⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

7

1

2

86

2

646

2

28366

12

)7(14)6(6076

22

x

xxxx

)7)(1(762 +−=−+⇒ xxxx

2


22

Por tanto,

)7)(1()5()76()2510( 222 +−+=−+⋅++ xxxxxxx }7 ,1, (doble) 5{ −−=Raíces

x) )43()23( 22 +−⋅++ xxxx

� ⇒

−=

−==

±−=

±−=

−±−=

⋅

⋅⋅−±−=⇒=++

2

1

2

13

2

13

2

893

12

)2(14)3(3023

22

x

xxxx

)2)(1(232 ++=++⇒ xxxx

� ⇒=−±−

=⋅

⋅⋅−−±=⇒=+− realsolución tieneno

2

1693

12

)4(14)3(3043

22 xxx

)43( 2 +−⇒ xx es irreducible

Por tanto,

)43)(2)(1()43()23( 222 +−++=+−⋅++ xxxxxxxx }2, 1{ −−=Raíces

y) )1()36( 22 ++⋅+ xxx

Los dos polinomios son irreducibles

z) )352()25()42( 22 −+⋅+⋅− xxxx

� )2(2)42( −=− xx

� )25( 2 +x es irreducible

� ⇒

−=

==

±−=

±−=

+±−=

⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

3

2

1

4

75

4

495

4

24255

22

)3(24)5(50352

22

x

xxxx

)3(2

12352 2 +

−=−+⇒ xxxx

Por tanto,

)25)(3(2

1)2(4)3(

2

12)25()2(2)352()25()42( 2222 ++

−−=+⋅

−⋅⋅+⋅−⋅=−+⋅+⋅− xxxxxxxxxxxx

−= 3,

2

1,2Raíces

4. Factoriza los siguientes polinomios extrayendo factor común y/o con ayuda de las identidades

notables e indica las raíces en cada caso:


23

a) 22 )8(6416 −=+− xxx }(doble) 8{=Raíces

b) 2223 )4(5)168(580405 +=++=++ xxxxxxxx }(doble) 4,0{ −=Raíces

c)

+

−=

+

−=−5

2

5

2

10

4

10

4

100

162 xxxxx

−=

5

2,

5

2Raíces

d)

+

−=

−=−3

4

3

49

9

169169 22 xxxx

−=

3

4,

3

4Raíces

e) )4)(4(5)16(5805 22224 +−=−=− xxxxxxx }4,4(doble), 0{ −=Raíces

f) 2223 )6(2)3612(272242 +−=++−=−−− xxxxxxxx }(doble) 6, 0{ −=Raíces

g) 2323345 )3(2)96(218122 −=+−=+− xxxxxxxx }(doble) 3(triple), 0{=Raíces

h) 2323345 )3(7

1)96(

7

1

7

9

7

6

7

1−=+−=+− xxxxxxxx

}(doble) 3(triple), 0{=Raíces

i) )2)(2)(2()2)(2(4 2224 ++−=+−=− xxxxxx }2,2{−=Raíces

j) )5)(5)(5(9)5)(5(9)25(92259 222224226 ++−=+−=−=− xxxxxxxxxxx

}5,5(doble), 0{ −=Raíces

k) 2222234 )2(15)44(15606015 −−=+−−=−+− xxxxxxxx }(doble) 2(doble), 0{=Raíces

l) 222 )1(4

5)12(

4

5

4

5

2

5

4

5−=+−=+− xxxxx

}(doble) 1{=Raíces

m) 222 )1(3)12(3363 −=+−=+− xxxxx }(doble) 1{=Raíces

n) 2223 )4(3)168(348243 +−=++−=−−− xxxxxxxx }(doble) 4, 0{ −=Raíces

o) )9)(3)(3(5)9)(9(5)81(54055 22245 ++−−=+−−=−−=+− xxxxxxxxxxx }3,3, 0{ −=Raíces

p) )4)(2)(2()4)(4(16 2224 ++−=+−=− xxxxxx }2,2{ −=Raíces

q) )2)(2)(2(5

3)2)(2(

5

3)4(

5

3

5

12

5

3 22244 ++−=+−=−=− xxxxxxx

}2,2{−=Raíces

r) )8)(8)(8(5)8)(8(5)64(53205 22245 ++−−=+−−=−−=+− xxxxxxxxxxx }8,8,0{ −=Raíces

s) )1)(1)(1()1)(1(1 2224 ++−=+−=− xxxxxx }1,1{ −=Raíces

t) )16)(4)(2)(2()16)(4)(4()16)(16(256 42422448 +++−=++−=+−=− xxxxxxxxxx }2,2{ −=Raíces

u) )5)(5(2)25(2502 22224 +−=−=− xxxxxxx }5,5(doble), 0{ −=Raíces

v) 2222234 )5(5)2510(5125505 +−=++−=−−− xxxxxxxx }(doble) 5(doble), 0{ −=Raíces

w) )16(2322 23 +=+ xxxx }0{=Raíces

5. Factoriza completamente los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:

a) )1()5)(4)(4()1()2510()16( 22222 +−+−=+⋅+−⋅− xxxxxxxx


24

Los dos primeros polinomios son identidades notables y el tercero es irreducible

}5(doble),4,4{ −=Raíces

b) )22()45( 32 xxxx +−⋅+−

� ⇒

=−

=

=+

==

±=

±=

−±=

⋅

⋅⋅−±=⇒=+−

12

35

42

35

2

35

2

95

2

16255

12

)4(14)5(5045

2

2

x

xxxx

)1)(4(452 −−=+−⇒ xxxx

� )1)(1(2)1(222 23 +−−=−−=+− xxxxxxx

Por tanto,

)1)(4()1(2)1)(1)(2)(1)(4()22()45( 232 +−−−=+−−−−=+−⋅+− xxxxxxxxxxxxx

}1,4(doble),1 ,0{ −=Raíces

c) =+−−+−=−⋅+−⋅− )5)(5()4)(1)(1()25()168()1( 222422 xxxxxxxxx

)5)(5)(5()4)(1)(1( 22 ++−−+−= xxxxxx

Para factorizar los tres polinomios utilizamos las identidades notables.

}5,5(doble), 4,1,1{ −−=Raíces

d) )87()4()4( 222 −+⋅+⋅− xxxx

� )2)(2(42 +−=− xxx

� 42 +x

Es irreducible

� ⇒

−=

==

±−=

±−=

+±−=

⋅

−⋅⋅−±−=⇒=−+

8

1

2

97

2

817

2

32497

12

)8(14)7(7087

2

2

x

xxxx

)8)(1(872 +−=−+⇒ xxxx

Por tanto,

)8)(1)(4)(2)(2()87()4()4( 2222 +−++−=−+⋅+⋅− xxxxxxxxx

}8,1,2,2{ −−=Raíces

e) )96()56()1( 222 +−⋅+−⋅+ xxxxx

� )1( 2 +x

es irreducible


25

� ⇒

=

==

±=

±=

−±=

⋅

⋅⋅−−±=⇒=+−

1

5

2

46

2

166

2

20366

12

514)6(6056

2

2

x

xxxx

)5)(1(562 −−=+−⇒ xxxx

� 22 )3(96 −=+− xxx

Identidad notable

Por tanto,

22222 )3)(5)(1)(1()96()56()1( −−−+=+−⋅+−⋅+ xxxxxxxxx

}(doble) 3,5, 1{=Raíces

f) )49()753( 435 −⋅+− xxx

� )5)(5(3)25(3753 32335 +−−=−−=+− xxxxxxx

� )7)(7)(7()7)(7(49 2224 ++−=+−=− xxxxxx

Por tanto,

)7)(7)(7)(5)(5(3)49)(753( 23435 ++−+−−=−+− xxxxxxxxx

}7,7,5,5(triple), 0{ −−=Raíces

g) )25()1()84( 22 xxxx −⋅++⋅+−

� )2(484 −−=+− xx

� 12 ++ xx

Es irreducible

realsolución tieneno 2

31

2

411

12

114)1(101

2

2 ⇒−±−

=−±−

=⋅

⋅⋅−±−=⇒=++ xxx

� )5)(5()25(2525 222 +−−=−−=−−=− xxxxx

Por tanto,

)5)(5)(1)(2(4)]5)(5()[1)(2(4)25()1()84( 2222 +−++−=+−−++−−=−⋅++⋅+− xxxxxxxxxxxxxx

}5,52,{ −=Raíces

h) )5()16()16( 242 xxx −⋅−⋅−

� )4)(4()16(1616 222 +−−=−−=−−=− xxxxx

� )4)(2)(2()4)(4(16 2224 ++−=+−=− xxxxxx

� )5)(5()5(55 222 +−−=−−=+−=− xxxxx

Por tanto,


26

a

)5)(5)(4)(2)(2)(4)(4(

)]5)(5()[4)(2)(2)(4)(4()5()16()16(

2

2242

+−++−+−=

=+−−++−+−−=−⋅−⋅−

xxxxxxx

xxxxxxxxxx

}5,5,2,2,4,4{ −−−=Raíces

i) )363()4914( 22 −+−⋅+− xxxx

� 22 )7(4914 −=+− xxx

� 222 )1(3)12(3363 −−=+−−=−+− xxxxx

Por tanto,

222222 )1()7(3)1)(3()7()363()4914( −−−=−−−=−+−⋅+− xxxxxxxx

}(doble)1(doble), 7{=Raíces

j) )66()1213()5( 22 +⋅++⋅− xxxx

� )5)(5(52 +−=− xxx

� ⇒

−=

−=

=±−

=−±−

=⋅

⋅⋅−±−=⇒=++

12

1

2

1113

2

4816913

12

1214)13(1301213

2

2

x

x

xxx

)12)(1(12132 ++=++⇒ xxxx

� )1(666 +=+ xx

Por tanto,

)12()1)(5)(5(6)1(6)12)(1)(5)(5()66()1213()5( 222 +++−=++++−=+⋅++⋅− xxxxxxxxxxxxx

}12,(doble)1,5,5{ −−−=Raíces

� +ℜ∈++−=−= aaaxxaxaxxP con ))(()( 2233

0 0 1 3a−


27

a−

32 aaa +++

0 1 2aa ++ factor es )( raíz es axa −⇒⇒grado 2º de polinomio

22 )()()(y aaxxaxxP ++⋅−=

eirreducibl es realsolución 2

3

2

40 22

22222 aaxx

aaaaaxaaxx ++⇒∃/⇒

−±−=

−±−=⇒=++

Luego, ))(()()( 2233 aaxxaxaxxP ++−=−=

� +ℜ∈+−+=+= aaaxxaxaxxP con ))(()( 2233

0 0 1 3a+

32 aaa −+−

0 1 2aa +− factor es )( raíz es axa +⇒−⇒grado 2º de polinomio

22 )()()(y aaxxaxxP +−⋅+=

eirreducibl es realsolución 2

3

2

40 22

22222 aaxx

aaaaaxaaxx +−⇒∃/⇒

−±=

−±=⇒=+−

Luego, ))(()()( 2233 aaxxaxaxxP +−+=+=

k) )1)(1(1 23 ++−=− xxxx }1{=Raíces

l) )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx }1{−=Raíces

m) )42)(2(8 23 ++−=− xxxx }2{=Raíces

n) )42)(2(8 23 +−+=+ xxxx }2{−=Raíces

o) )42)(2(2 33233 ++−=− xxxx }2{3=Raíces

p) )255)(5(5 33233 +−+=+ xxxx }5 { 3−=Raíces

q) )1)(1)(1)(1()1)(1(1 22336 +−+++−=+−=− xxxxxxxxx }1,1{−=Raíces

r) )42)(2)(42)(2()8)(8(64 22336 +−+++−=+−=− xxxxxxxxx }2,2{−=Raíces

s) )255)(5(2)125(22502 234 +−+=+=+ xxxxxxxx }5,0{ −=Raíces

factorizaciÓn de polinomios....

Documents