Tema 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

Factorizar es expresar un objeto o número como producto de otros objetos o factores más pequeños que, al multiplicarlos todos, dan como resultado el objeto original.

Cuando tenemos un número, descomponemos en factores primos al expresarlo como producto de números primos.

Para factorizar un polinomio lo descompondremos en producto de polinomios irreducibles.

Un polinomio es irreducible si no puede descomponerse en producto de dos factores de grado mayor o igual que 1.

Para factorizar un polinomio se pueden usar diversas estrategias, aunque nosotros vamos a utilizar las tres siguientes:

1. Sacar factor común.2. Utilizar las identidades notables.3. Aplicar la regla de Ruffini.

Aplicaremos estas tres estrategias en este orden a cualquier polinomio que nos pidan factorizar. Si en algún momento detectamos alguna identidad notable, la utilizaremos para su factorización.

1ª ESTRATEGIA: Sacar factor comúnCuando nos den algún polinomio siempre debemos

buscar si podemos extraer algún factor común a todos los monomios que lo componen.

Ejemplo 1: P(x) = x4 – 2x3 + xObservo que puedo extraer x

P(x) = x4 – 2x3 + x = x (x3 – 2x2 + 1)

Ejemplo 2: Q(x) = 2x5 + 4x4 – 8x2

En este caso, puedo extraer 2x2

Q(x) = 2x5 + 4x4 – 8x2 = 2x2 (x3 + 2x2 – 4)

2ª ESTRATEGIA: Utilizar los productos notablesUna vez extraído factor común, si se ha podido, se buscan

productos notables en el polinomio que queda.

Ejemplo 1: P(x) = x4 – 2x2 + 1Observo que este es el cuadrado de una resta

P(x) = x4 – 2x2 + 1 = (x2 – 1)2

Ejemplo 2: Q(x) = x4 – 16Observo que es la diferencia de dos cuadrados, es decir,

Q(x) = x4 – 16 = (x2 + 4)(x2 – 4)Observo que el segundo factor también es una suma por diferencia

Q(x) = x4 – 16 = (x2 + 4)(x2 – 4)= (x2 + 4)(x + 2)(x – 2)

2ª ESTRATEGIA: Utilizar los productos notables¿Cómo saber si una expresión polinómica es un producto

notable?

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab(a + b)(a – b) = a2 – b2

Busco expresiones de la forma:

□2 – □2

□2 + □2 ± □

3ª ESTRATEGIA: Aplicar la regla de RuffiniTras aplicar las dos estrategias anteriores, intentamos

expresar el polinomio como producto de factores de la forma (x – r), para lo que aplicamos la regla de Ruffini.

Para aplicar la regla de Ruffini debemos buscar los posibles factores. Para ello, nos fijaremos en el término independiente del polinomio y consideraremos como “r” a todos los divisores enteros del término independiente; éstas serán las posibles raíces enteras del polinomio.

1 0 - 3 2

1 1 1 - 21 1 - 2 0

1 1 21 2 0

3ª ESTRATEGIA: Aplicar la regla de Ruffini

Ejemplo: P(x) = x3 – 3x + 2Posibles divisores: ± 1, ± 2

Comienzo a realizar las divisiones comenzando por los menores, descartando las divisiones que no son exactas.

La división es exacta, por lo que P(x) = x3 – 3x + 2 = (x – 1)(x2 + x

– 2)Pruebo de nuevo por el mismo número. Puesto que obtengo una división exacta he finalizado, aunque si no hubiese sido exacta debería ir probando por los distintos posibles divisores.

Por lo tanto, obtengo queP(x) = x3 – 3x + 2 = (x – 1)(x2 + x – 2) = (x – 1) (x – 1) (x + 2) =

(x – 1)2 (x + 2)

1 5 8 4

-1 - 1 - 4 - 41 4 4 0

Factorizar el polinomio P(x) = x4 + 5x3 +8x2 + 4x

Observo que en todos los monomios aparece x, por lo que puedo sacar factor común

P(x) = x4 + 5x3 +8x2 + 4x = x (x3 + 5x2 +8x + 4)

Intento expresar el segundo factor como producto notable, pero, como no es posible, paso a buscar las posibles raíces para aplicar la regla de Ruffini. Las posibles raíces son los divisores del término independiente, es decir, de 4: ± 1, ± 2, ± 4.

Por lo tanto,P(x) = x4 + 5x3 +8x2 + 4x = x (x3 + 5x2 +8x + 4)= x (x

+ 1) (x2 +4x + 4)Observo que el último factor es un producto notable de forma que

P(x) = x (x + 1) (x + 2)2