2. polinomios y fracciones algebraicas

$: 2. Polinomios y fracciones algebraicas$
Universidad de Cadiz

Departamento de Matematicas

MATEMATICAS

para estudiantes de primer curso

de facultades y escuelas tecnicas

Tema 2

Polinomios y fracciones algebraicas

Elaborado por la Profesora Doctora Marıa Teresa Gonzalez Montesinos

Indice

1. Monomios 1

2. El anillo de los polinomios 3

2.1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Suma y diferencia de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Producto de polinomios. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. El anillo de los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Division de polinomios 7

3.1. Division de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Regla de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Divisibilidad de polinomios 10

4.1. Teorema de Ruffini. Regla general de divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . 104.2. Divisibilidad del binomio x

n − an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3. Divisibilidad del binomio xn

+ an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. Descomposicion factorial de polinomios 13

5.1. Sacar factor comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2. Doble extraccion de factor comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3. Trinomio cuadrado perfecto de un binomio. Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . 145.4. Descomposicion de un polinomio conocidos sus ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.5. Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6. Fracciones algebraicas 16

7. El cuerpo de las fracciones algebraicas 18

8. Ejercicios propuestos 20

Tema 2 1

1. Monomios

Llamaremos monomio a toda expresion literal en la que esten involucradas exclusivamente lasoperaciones de multiplicacion, division, potenciacion y radicacion.

Ejemplo 1.1

Son monomios las expresiones 3ax, −2x2y,3

2a√

x,5xy2

3x3z.

No son monomios las expresiones 7a− 2x,3a− 5b

3,

6x2 − 2y

3a + b.

Todo monomio esta formado por un factor numerico, llamado coeficiente, y un factor literal con susexponentes respectivos.

Ejemplo 1.2

1) 3ax2y4

{

3 coeficiente,

ax2y4 parte literal.

2) −1

2mp5

−1

2coeficiente,

mp5 parte literal.

Llamaremos grado de un monomio a la suma de todos los exponentes de sus letras. Ası, por ejemplo,

el grado del monomio 5x5m4z es 5 + 4 + 1 = 10;

el grado del monomio 3m2n5z7 es 2 + 5 + 7 = 14.

Se dira que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. De este modo,

son semejantes los monomios −3a5b, 2ba5 y3

4a5b;

no son semejantes los monomios 6a5b2, 6a2b5,3

2ab6.

Dos monomios semejantes que tienen el mismo coeficiente son iguales, mientras que si tienen coefi-cientes opuestos se llaman opuestos.

Las operaciones que se pueden realizar con los monomios son las siguientes:

Suma y diferencia de monomios.– La suma o la diferencia de dos o mas monomios semejantes esotro monomio semejante a los primeros, cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientesde los monomios dados.

Ejemplo 1.3

1) 7ax5b2 − 2ax5b2 + 3ax5b2 = (7− 2 + 3)ax5b2 = 8ax5b2.

2) −3xy4 − (−6)xy4 = [−3− (−6)] xy4 = 3xy4.

Si los monomios no son semejantes la suma o la diferencia se deja indicada.

2 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas

Ejemplo 1.4

1) La suma de los monomios 3xy5m3, −1

3x2yz3 y 4x3z3m esta representada por la expresion

algebraica 3xy5m3 − 1

3x2yz3 + 4x3z3m.

2) La diferencia de los monomios 6xy5m2 y −2x2ym3 viene dada por la expresion algebraica6xy5m2 − (−2x2ym3) = 6xy5m2 + 2x2ym3.

Producto y potencia de monomios.– El producto de monomios o un monomio elevado a una po-tencia es otro monomio. En el primer caso, el resultado es un monomio que tiene como coeficienteel producto de los coeficientes, y como parte literal las distintas letras con exponente igual ala suma de los exponentes con que figuran en los monomios. En el segundo caso, para elevarun monomio a una potencia, es suficiente elevar el coeficiente a dicha potencia y multiplicar losexponentes de cada letra por el exponente de la potencia a la que se desea elevar.

Ejemplo 1.5

1) El producto de los monomios 3ax2y3z5, −2x3z y1

3az4ym viene dada por

(3ax2y3z5)(−2x3z)

(

1

3az4ym

)

= 3 · (−2) · 13· a2x5y4z10m = −2a2x5y4z10m.

2) (−2xy5)(−6x2z) = 12x3y5z.

3)

(

−2

3ax2y4

)3

= − 8

27a3x6y12.

4) (−3mx5y3)2 = 9m2x10y6.

Division de monomios.– Para dividir dos monomios basta con escribirlos en forma de fraccion, detal manera que el monomio dividendo sea el numerador y el monomio divisor el denominador.A continuacion, se dividen los coeficientes entre sı y se restan los exponentes de las respectivasletras.

Ejemplo 1.6

1)

(

−3

5xy5m2

)

: (2xy3m) = − 3

10y2m;

2) (3x2yz3) : (−2x3y) = −3

2x−1z3;

3)

(

4

3mn2z

)

:

(

2

9xm3

)

= 6m−2n2zx−1.

Observese que en los dos primeros ejemplos se han obtenido como resultado monomios enteros,mientras que en el tercero, el monomio resultante es fraccionario. Cuando el cociente es un mo-nomio entero, diremos que el monomio dividendo es divisible por el monomio divisor, o tambienque el primero es multiplo del segundo.

En la practica, para que un monomio sea multiplo de otro, se requiere que el primero tengatodas las letras del segundo con grado igual o superior, no siendo necesario que el coeficiente delprimer monomio sea multiplo del coeficiente del segundo.

Tema 2 3

Ejemplo 1.7

1) 6m4y5z3 es multiplo de 3my4z2;

2) 7m3yz4 es multiplo de 5m2z3;

3) −5max4 es divisor de 8m2x7a5t2.

Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo de monomios.– El maximo comun divi-sor de varios monomios es el monomio de mayor grado que puede dividir a la vez a todos losmonomios dados. Ası, el m.c.d. de varios monomios es otro monomio cuya parte literal esta for-mada por todas las letras comunes con el menor exponente. Si los coeficientes son numerosenteros, tomaremos su m.c.d. como coeficiente; por el contrario, si todos los coeficientes no sonenteros, tomaremos el 1 como coeficiente del m.c.d.

Ejemplo 1.8

1) m.c.d.(30x3y4t2, 15x2y5,−20x4y6m3) = 5x2y4;

2) m.c.d.

(

3

4x4t6z, 12x3y4t, 8x2yzt3

)

= x2t.

3) m.c.d.(8xy4,−12x2y5t, 16x3m2ta2, 36m2t) = 4.

El mınimo comun multiplo de varios monomios es otro monomio, cuya parte literal esta formadapor todas las letras, comunes y no comunes a los monomios dados, con el mayor exponente. Porcoeficiente se toma el m.c.m. de los coeficientes de los monomios, si estos son numeros enteros;en caso contrario, se tomara el 1 como m.c.m.

Ejemplo 1.9

1) m.c.m.(8x5y2,−12xy3z2, 20x2y5z6) = 120x5y5z6;

2) m.c.m.

(

3ab4,7

3ma2, 5m3z2a,−6t3m4

)

= a2b4m4z2t3.

2. El anillo de los polinomios

2.1. Polinomios

La suma de varios monomios que no sean semejantes no se puede efectuar y da lugar a un poli-

nomio. Cada uno de los terminos que lo componen se denomina termino del polinomio.Un monomio se puede considerar como un caso particular de polinomio con un unico termino.Cuando todos los monomios son enteros, el polinomio se llama entero. Cuando hablemos de

polinomios, nos referiremos siempre a los polinomios enteros. Los polinomios fraccionarios se estudiaranmas adelante.

Ejemplo 2.1

1)3

4xy2 + 2mx5 − 5m2y es un polinomio entero;

2)3xy2

5m− xty

z+

5xy

x + y− 3x2y3z es un polinomio fraccionario.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus terminos. Si todos los terminos tienen elmismo grado, el polinomio se llamara homogeneo.


Ejemplo 2.2

1) 3x4ym3 − 1

2x3y6 + 3y4m es de grado 9;

2)3

4x2y5a + 2a3b5 − 3

5x5y3 es de grado 8.

2.2. Suma y diferencia de polinomios

Para sumar dos o mas polinomios se escriben, uno a continuacion de otro, todos los terminos delos polinomios y se suman los terminos semejantes. Esta ultima operacion se denomina reduccion de

terminos semejantes.

Ejemplo 2.3

1) (3ax5 − 2a3x) + (3a2x2 + ax5) + (3a3x − a2x2) = 3ax5 − 2a3x + 3a2x2 + ax5 + 3a3x − a2x2 =4ax5 + a3x + 2a2x2.

2)

(

3a2 − 1

4ab

)

+

(

3

2b2 − 2ab +

1

3a2

)

+ (4ab − b2) = 3a2 − 1

4ab +

3

2b2 − 2ab +

1

3a2 + 4ab − b2 =

10

3a2 +

7

4ab +

1

2b2.

Las operaciones entre polinomios representan operaciones entre numeros relativos y, por tanto, semantendran las propiedades de las operaciones con dichos numeros:

La suma

es asociativa,es conmutativa,posee elemento neutro (polinomio nulo),cada polinomio tiene su simetrico (polinomio opuesto)

Ejemplo 2.4

Propiedad asociativa:

(3ax2 − 2a2x) +[

(ax2 − x3) + (2a3 − ax2)]

= (3ax2 − 2a2x) + (ax2 − x3 + 2a3 − ax2) =

= 3ax2 − 2a2x + ax2 − x3 + 2a3 − ax2 = 2ax2 − a2x− x3 + 2a3,[

(3ax2 − 2a2x) + (ax2 − x3)]

+ (2a3 − ax2) = (3ax2 − 2a2x + ax2 − x3) + (2a3 − ax2) =

= 3ax2 − 2a2x + ax2 − x3 + 2a3 − ax2 = 2ax2 − a2x− x3 + 2a3.

Propiedad conmutativa:

(

1

3ax2 − 2ax

)

+ (5a2x− 3ax2) =1

3ax2 − 2ax + 5a2x− 3ax2 = −8

3ax2 + 3a2x,

(5a2x− 3ax2) +

(

1

3ax2 − 2ax

)

= 5a2x− 3ax2 +1

3ax2 − 2ax = −8

3ax2 + 3a2x.

Elemento neutro:

(3a2x5 − 2ax + 3x4) + (0a2x5 + 0ax + 0x4) = (3a2x5 − 2ax + 3x4) + 0 =

= 3a2x5 − 2ax + 3x4.

Tema 2 5

Elemento opuesto:

(5mn2 + 3ax2 − 2nm2) + (−5mn2 − 3ax2 + 2nm2) =

= 5mn2 + 3ax2 − 2nm2 − 5mn2 − 3ax2 + 2nm2 = 0.

Resumiendo, podemos decir que en el conjunto P de los polinomios, la suma es una ley de composicioninterna (operacion), que posee las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y elementosimetrico; luego el par (P,+) es un grupo abeliano o conmutativo.

La diferencia de dos polinomios es igual a la suma del primero con el opuesto del segundo.

Ejemplo 2.5

(3a2m− 2am2 − 5am)− (5am2 + 7a2m) = 3a2m− 2am2 − 5am− 5am2 − 7a2m =

= −4a2m− 7am2 − 5am.

En la practica y como se ha podido observar en los ejemplos anteriores, para sumar o restar polinomios,se quitan los parentesis, teniendo presente que si delante hay un signo +, los signos que figuran en elparentesis no varıan, y si delante tenemos el signo −, se cambian todos los signos de los terminos quefiguran dentro del parentesis.

2.3. Producto de polinomios. Propiedades

Como un polinomio es la suma de varios terminos, podemos aplicar la propiedad distributiva delproducto respecto de la suma y enunciar la siguiente regla:

Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica por el monomio cada uno

de los terminos del polinomio.

Con esto hemos reducido el problema al producto de monomios, que ya sabemos realizar.

Ejemplo 2.6(

3

4ax2 − 2a2x +

2

3ax

)

3a2m =9

4a3x2m− 6a4xm + 2a3xm.

Extendiendo la propiedad distributiva al producto de dos sumas, podemos decir que para multiplicardos polinomios, basta multiplicar cada termino de uno de los polinomios por cada uno de los terminosdel otro, y despues, reducir los terminos semejantes.

Ejemplo 2.7

1)

(3m2 + 2mn− n2)(2m− 3n) = (3m2 + 2mn− n2)(2m) + (3m2 + 2mn− n2)(−3n) =

= (6m3 + 4m2n− 2mn2) + (−9m2n− 6mn2 + 3n3) = 6m3 − 5m2n− 8mn2 + 3n3.

2)

(4x2 − 3x + 2)(5x2 − 3x− 2) =

= (4x2 − 3x + 2)(5x2) + (4x2 − 3x + 2)(−3x) + (4x2 − 3x + 2)(−2) =

= (20x4 − 15x3 + 10x2) + (−12x3 + 9x2 − 6x) + (−8x2 + 6x− 4) =

= 20x4 − 27x3 + 11x2 − 4.


El producto de polinomios, al igual que la suma, tiene las propiedades asociativa, conmutativa ydistributiva respecto de la suma.

Propiedad asociativa:

(3x + 2y) [(2x− 3y)(3x − y)] = (3x + 2y)(6x2 − 9xy − 2xy + 3y2) =

= (3x + 2y)(6x2 − 11xy + 3y2) = 18x3 + 12x2y − 33x2y − 22xy2 + 9xy2 + 6y3 =

= 18x3 − 21x2y − 13xy2 + 6y3,

[(3x + 2y)(2x − 3y)] (3x− y) = (6x2 + 4xy − 9xy − 6y2)(3x− y) =

= (6x2 − 5xy − 6y2)(3x − y) = 18x3 − 15x2y − 18xy2 − 6x2y + 5xy2 + 6y3 =

= 18x3 − 21x2y − 13xy2 + 6y3.

Propiedad conmutativa:

(2xy − 3x2)(2x + 5y) = 4x2y − 6x3 + 10xy2 − 15x2y = −11x2y − 6x3 + 10xy2,

(2x + 5y)(2xy − 3x2) = 4x2y + 10xy2 − 6x3 − 15x2y = −11x2y − 6x3 + 10xy2.

Propiedad distributiva respecto de la suma:

3x2 [(2x− 3) + (3x− 5)] = 3x2(2x− 3 + 3x− 5) = 3x2(5x− 8) = 15x3 − 24x2.

Aplicando la propiedad distributiva se tiene que

3x2 [(2x− 3) + (3x− 5)] = 3x2(2x− 3) + 3x2(3x− 5) =

= 6x3 − 9x2 + 9x3 − 15x5 = 15x3 − 24x2.

Elemento neutro: El elemento neutro del producto es el 1, considerandolo como el monomio degrado cero y coeficiente uno. En efecto, multiplicando por 1 cualquier polinomio, este no varıa.

Elemento simetrico: Como el grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados delos factores, dado un polinomio de grado mayor que cero, no existira ningun polinomio quemultiplicado por el primero nos de 1. Ası, ningun polinomio que no se reduzca a un numerotiene elemento simetrico para la multiplicacion.

2.4. El anillo de los polinomios

En el conjunto P de todos los polinomios enteros hemos definido dos operaciones fundamentales:la suma y la multiplicacion. Estas operaciones tienen las siguientes propiedades:

La suma

es asociativa,es conmutativa,posee elemento neutro (polinomio nulo),cada polinomio tiene su simetrico (polinomio opuesto)

La multiplicacion

es conmutativa,es asociativa,posee elemento neutro (el 1),es distributiva respecto de la suma.

Un conjunto dotado de dos operaciones con estas propiedades tiene estructura de anillo abeliano

unitario.

Tema 2 7

3. Division de polinomios

3.1. Division de polinomios

Ası como la suma de varios monomios no se podıa realizar mas que en el caso de monomiossemejantes, y nos veıamos obligados a dejar la suma indicada, obteniendo un polinomio, tambien ladivision de polinomios solo es posible cuando el dividendo es multiplo del divisor. En caso contrario,indicamos la division, obteniendose una fraccion algebraica.

Ejemplo 3.1 El cociente (3x2y − 2axy3 − 3y4) : (5xb2z − 3z2) da lugar a la fraccion algebraica

3x2y − 2axy3 − 3y4

5xb2z − 3z2.

De la division de dos monomios resulta otro monomio entero si el dividendo contiene todas las letrasdel divisor con un grado igual o mayor.

Del mismo modo, para que la division de un polinomio entero por un monomio de otro polinomioentero, es necesario que todos los terminos del polinomio sean divisibles por el monomio divisor; eneste caso diremos que el el dividendo es divisible por el divisor. El cociente es el resultado de dividircada termino del polinomio por el monomio.

Ejemplo 3.2

(3x4yz2 − 4ax2y3 − 7x3y2z + 2x2y) : 2x2y =3

2x2z2 − 2ay2 − 7

2xyz + 1.

Cuando en Z no es posible la division entre dos numeros a y b, expresamos el resultado mediante uncociente c y un resto r, de forma que

a = bc + r, con r < b.

Al numero c se le llama cociente entero y a r, resto de la division.Analogamente, dadas dos expresiones algebraicas A(x) y B(x) en una misma variable, en general,

el cocienteA(x)

B(x)no es un polinomio entero, es decir, A(x) no es divisible por B(x). Se trata de buscar

dos polinomios enteros, C(x) y R(x), tales que

A(x) = B(x)C(x) + R(x),

con la condicion de que el grado de R(x) sea menor que el de B(x).A los dos polinomios C(x) y R(x) se les denomina, respectivamente, cociente entero y resto de

la division.A continuacion se proporciona una regla para la division de dos polinomios. Esta consta de divi-

siones y multiplicaciones; en el ejemplo que se expone a continuacion, indicaremos las primeras con(*) y las segundas con (**).

Ejemplo 3.3 Para realizar la division (−5x− 3x2 + 2x3 − 5) : (x− 2), se disponen los dos polinomiosen orden decreciente:

2x3 − 3x2 − 5x− 5 |x− 2

(∗) Se divide el primer termino, 2x3, por el primer termino del divisor, x; el cociente ası obtenido,2x2, es el primer termino del cociente buscado.

2x3 − 3x2 − 5x− 5 |x− 22x2


(∗∗) Se multiplica el cociente parcial, 2x2, por el divisor, x− 2, y se resta el resultado del dividendo.Para esto es suficiente poner los terminos del producto parcial, con los signos cambiados, debajode los terminos semejantes del dividendo, y efectuar la suma algebraica:

2x3 −3x2 −5x −5 | x− 2−2x3 +4x2 2x2

x2 −5x −5

(∗) Se divide el primer termino del nuevo dividendo, x2, por el primer termino del divisor:

2x3 −3x2 −5x −5 | x− 2−2x3 +4x2 2x2 + x

x2 −5x −5

(∗∗) Se multiplica el cociente obtenido, x, por el divisor, x− 2, y se resta del nuevo dividendo:

2x3 −3x2 −5x −5 | x− 2−2x3 +4x2 2x2 + x

x2 −5x −5−x2 +2x

−3x −5

(∗) Se divide el termino −3x por x, obteniendo −3.

(∗∗) Se multiplica −3 por el divisor, x− 2, y se le resta de −3x− 5:

2x3 −3x2 −5x −5 | x− 2−2x3 +4x2 2x2 + x− 3

x2 −5x −5−x2 +2x

−3x −5+3x −6

−11

Ya no se puede continuar pues el resto obtenido, −11, es de grado inferior al grado del divisor.

Ejemplo 3.4

1) (x− 2x3 − 3 + 3x4) : (2x2 − 1).

3x4 −2x3 +x −3 | 2x2 − 1

−3x4 +3

2x2

3

2x2 − x +

3

4

−2x3 +3

2x2 +x −3

+2x3 −x

+3

2x2 −3

−3

2x2 +

3

4

−9

4

Se obtiene ası el cociente3

2x2 − x +

3

4y de resto −9

4.

Tema 2 9

2) (4x5 + 11a2x3 + a5 − 12ax4 + a4x− 2a3x2) : (2x2 + a2 − 3ax).

4x5 −12ax4 +11a2x3 −2a3x2 +a4x +a5 | 2x2 − 3ax + a2

−4x5 +6ax4 −2a2x3 2x3 − 3ax2 +1

2a3

−6ax4 +9a2x3 −2a3x2 +a4x +a5

+6ax4 −9a2x3 +3a3x2

a3x2 +a4x +a5

−a3x2 +3

2a4x −1

2a5

5

2a4x +

1

2a5

En este caso el cociente viene dado por 2x3 − 3ax2 +1

2y el resto por

5

2a4x +

1

2a5.

3.2. Regla de Ruffini

Cuando tenemos que dividir un polinomio A(x) por un binomio de la forma x− a, la operacion sepuede hacer de otra forma mas sencilla, como puede observarse el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.5 Para dividir el polinomio (4x4 − 5x3 + 3x5 − x2 − 63 − 13x) por el binonio x − 2,primeramente se ordena el polinomio en orden decreciente:

3x5 + 4x4 − 5x3 − x2 − 13x − 63.

Despues se escriben solo los coeficientes del polinomio con su signo, y se separa el termino indepen-diente. El termino independiente del divisor x− 2 se pone a la izquierda con el signo cambiado:

3 4 −5 −1 −13 −632

El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; se coloca debajo delprimer coeficiente del dividendo:

3 4 −5 −1 −13 −632 ↓

3

Este coeficiente se multiplica por el termino independiente del binomio y el resultado se coloca debajodel segundo coeficiente del dividendo, sumandose con este:

3 4 −5 −1 −13 −632 6

3 10

Este proceso se va repitiendo hasta llegar al ultimo coeficiente del polinomio:

3 4 −5 −1 −13 −632 6 20 30 58 90

3 10 15 29 45 27

Los numeros obtenidos, salvo el ultimo, son precisamente los coeficientes del cociente, y el ultimo esel resto; tenemos pues que el cociente viene dado por C(x) = 3x4 + 10x3 + 15x2 + 29x + 45.


Cuando el divisor es un binomio de la forma x + a, tambien se aplica la regla de Ruffini escribiendox + a = x− (−a).

Ejemplo 3.6 Dividir el polinomio A(x) = 16x2y3 + y4x + 7x5 − 20y2x3 − 8yx4 − y5 por el binomiox− 2y.

a) Ordenamos el polinomio segun las potencias decrecientes de x: A(x) = 7x5 − 8yx4 − 20y2x3 +16x2y3 + y4x− y5.

b) Realizamos la division con la precaucion de colocar los coeficientes del polinomio A(x) tanto numeri-cos como literales:

7 −8y −20y2 16y3 y4 −y5

2y ↓ 14y 12y2 −16y3 0 2y5

7 6y −8y2 0 y4 y5

Tenemos pues que C(x) = 7x4 + 6yx3 − 8y2x2 + y4 y R = y5.

4. Divisibilidad de polinomios

4.1. Teorema de Ruffini. Regla general de divisibilidad de polinomios

Cuando tenemos un polinomio P (x) y un binomio x − a, podemos hallar el resto de la divisionP (x) : (x− a) sin realizar la operacion, lo cual sera muy util para determinar si la division es exactao no.

El resto de dicha division es un polinomio en x, de grado inferior al divisor, y como x − a es deprimer grado, el resto R sera de grado cero, es decir, sera un termino independiente de x. Luego siC(x) es el cociente de la division, por la definicion de esta operacion tendremos que

P (x) = (x− a)C(x) + R.

El segundo miembro de esta igualdad es una transformacion del primer miembro y las dos expresionesalgebraicas son identicamente iguales y, por tanto, la igualdad sera cierta para cualquier valor de lavariable x. En particular, si hacemos x = a, se obtiene

P (a) = (a− a)C(a) + R = R.

En consecuencia,

Teorema 4.1 (de Ruffini) El resto de la division P (x) : (x − a) es el valor numerico del polinomio

P (x) para x = a.

Ejemplo 4.1

1) Para calcular el resto de la division (x4 − 3x + 2x2 − 5) : (x − 2), sustituimos en el polinomiodividendo x por 2, obteniendo:

P (2) = 24 − 3 · 2 + 2 · 22 − 5 = 16− 6 + 8− 5 = 13,

luego R = P (2) = 13.

2) ¿Es divisible el polinomio P (x) = 3x3 + x4 − 6x + 2 por el binomio x− 1?

P (1) = 3 · 13 + 14 − 6 · 1 + 2 = 3 + 1− 6 + 2 = 0.

Como R = P (1) = 0, el resto de la division es nulo y P (x) es divisible por x− 1.

Tema 2 11

3) El resto de la division (x4 + 4x + 5− 3x3) : (x + 2) = (x4 + 4x + 5 − 3x3) : [x− (−2)] viene dadopor

P (−2) = (−2)4 + 4(−2) + 5− 3(−2)3 = 16 − 8 + 5 + 24 = 37.

4) ¿Es exacta la division (x4 − 6x− 4 + 3x3) : (x + 2)? Sı, pues

R = P (−2) = (−2)4 − 6(−2) − 4 + 3(−2)3 = 16 + 12− 4− 24 = 0.

De la regla de Ruffini se deducen dos consecuencias:

Si el polinomio P (x) es divisible por x− a, el resto de la division es nulo; luego P (a) = 0.

Recıprocamente; si el polinomio P (x) es tal que P (a) = 0, el resto de la division P (x) : (x− a)es nulo y, por lo tanto, P (x) es divisible por x− a.

El valor a para el que P (a) = 0 recibe el nombre de cero del polinomio P (x).Podremos concluir con esta importante regla general de divisibilidad:

La condicion necesaria y suficiente para que un polinomio P (x) sea divisible por x− a

es que a sea un cero del polinomio.

Ejemplo 4.2 Sin realizar la division, se puede comprobar que el polinomio P (x) = x4− 3x + x3 + 3x5

es divisible por (x + 1), ya que

P (−1) = (−1)4 − 3(−1) + (−1)3 + 3(−1)5 = 1 + 3− 1− 3 = 0,

esto es, x = −1 es un cero de P (x).

4.2. Divisibilidad del binomio xn − a

n

La diferencia de dos potencias de igual exponente es siempre divisible por la diferencia de susbases, es decir, xn−an es siempre divisible por x−a. En efecto, segun la regla general de divisibilidadde los polinomios, para ver si xn− an es divisible por x− a, basta hacer x = a y observar que el restoes nulo:

P (x) = xn − an, R = P (a) = an − an = 0,

luego la division siempre es exacta y, ademas,

xn − an = (x− a)C(x),

donde C(x) puede calcularse aplicando la regla de Ruffini:

1 0 0 0 0 · · · 0 −an

a ↓ a a2 a3 a4 · · · an−1 an

1 a a2 a3 a4 · · · an−1 0

Como el cociente es un polinomio decreciente en x y de grado n− 1, tendremos que

C(x) = xn−1 + axn−2 + a2xn−3 + a3xn−4 + · · ·+ an−2x + an−1.

Ejemplo 4.3

x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2),

x5 − y5 = (x− y)(x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4),

8− x3 = (23 − x3) = (2− x)(4 + 2x + x2).


La diferencia xn − an de dos potencias de igual exponente es divisible por la suma x + a de sus basessi n es un numero par.

Procediendo de forma totalmente analoga a la anterior, se tiene que

P (x) = xn − an, P (−a) = (−a)n − an =

{

an − an = 0 si n es par,

−an − an = −2an si n es impar.

De aquı se deduce que −a es un cero del polinomio P (x) unicamente cuando n es par, ası que solo enese caso P (x) es divisible por x + a y, ademas,

xn − an = (x + a)C(x).

Aplicando la regla de Ruffini se llega a que

C(x) = xn−1 − axn−2 + a2xn−3 − a3xn−4 + · · ·+ an−2x− an−1.

Ejemplo 4.4

x4 − y4 = (x + y)(x3 − x2y + xy2 − y3),

x6 − 64 = (x + 2)(x5 − x42 + x322 − x223 + x24 − 25).

4.3. Divisibilidad del binomio xn

+ an

La suma de dos potencias de igual exponente xn + an nunca es divisible por la diferencia de susbases x− a. Ası es; si P (x) = xn + an, haciendo uso del criterio general de divisibilidad, se tiene que

P (a) = an + an = 2an 6= 0.

La suma de dos potencias de igual exponente xn + an es divisible por x + a solo cuando n es impar.Efectivamente; si hacemos P (x) = xn + an, entonces

P (−a) = (−a)n + an =

{

an + an = 2an si n es par,

−an + an = 0 si n es impar.

Solo cuando n es impar, −a es un cero de P (x) y, por tanto, solo en este caso P (x) es divisible porx + a, siendo

xn + an = (x + a)C(x).

El cociente C(x) puede calcularse aplicando la regla de Ruffini:

1 0 0 0 0 0 · · · 0 0 an

−a ↓ −a a2 −a3 a4 −a5 · · · −an−2 an−1 −an

1 −a a2 −a3 a4 −a5 · · · −an−2 an−1 0

de modo queC(x) = xn−1 − axn−2 + a2xn−3 − a3xn−4 − · · · − an−2x + an−1.

Ejemplo 4.5

(x5 + 1) : (x + 1) =x4 − x3 + x2 − x + 1,

128x7 + 2187 =(2x)7 + 37 =

=(2x + 3)[

(2x)6 − (2x)53 + (2x)432 − (2x)333 + (2x)234 − (2x)35 + 36]

=

=(2x− 3)(64x6 − 96x5 + 144x4 − 216x3 + 324x2 − 486x + 729).

Tema 2 13

5. Descomposicion factorial de polinomios

Descomponer un polinomio en factores significa transformar el polinomio en producto de monomiosu otros polinomios de grado inferior.

Esta operacion suele presentar muchas dificultades y, con frecuencia, no es posible. Por esto, noslimitaremos a los casos mas sencillos, que se reduciran a considerar la propiedad distributiva de lamultiplicacion respecto de la suma, y a los productos notables.

5.1. Sacar factor comun

La descomposicion factorial de polinomios tiene en Algebra las mismas aplicaciones que en Aritmeti-ca la descomposicion en factores primos: hallar el maximo comun divisor (m.c.d.) y el mınimo comunmultiplo (m.c.m.) de varios polinomios y, por consiguiente, la simplificacion de fracciones, la reduccional mınimo denominador comun, resolucion de ecuaciones, etc.

La primera operacion de descomposicion, que siempre tiene que preceder a cualquier otra, consisteen sacar factor comun uno o varios factores que aparecen en todos los terminos. El polinomio dado esigual al producto de esos factores por el polinomio que resulte de dividir cada termino por el factorcomun. Se podrıa considerar esta operacion como la inversa de la propiedad distributiva del productorespecto de la suma. En efecto, si aplicamos la propiedad distributiva al producto, se verifica

m(3x + 3y − 5x2) = 3mx + 3my − 5mx2.

El polinomio del segundo miembro contiene en todos los terminos la letra m, que podra sacarse factorcomun:

Propiedad distributiva−→

m(3x + 3y − 5x2) = 3mx + 3my − 5mx2

←−Sacar factor comun

En general, se saca factor comun el m.c.d. de los terminos del polinomio.

Ejemplo 5.1

1) Los terminos del polinomio 4a2b− 5ab2 + 7ab contienen todos el factor ab, con lo que

4a2b− 5ab2 + 7ab = ab(4a− 5b + 7).

2) Todos los terminos del polinomio 5x4yz2− 15ax3yz +25x3z3b contienen el factor 5x3z, pudiendoseescribir

5x4yz2 − 15ax3yz + 25x3z3b = 5x3z(xyz − 3ay + 5z2b).

3) (a + b)2 − 3(a + b)a + 5(a + b)(a− b) = (a + b)(a + b− 3a + 5a− 5b) = (a + b)(3a − 4b).

4) a2b− b = b(a2 − 1).

5.2. Doble extraccion de factor comun

Puede suceder que algunos terminos de un polinomio presenten un factor comun, mientras que losrestantes ofrezcan otro factor comun distinto. Al sacar factor comun de los primeros y de los segundospor separado, con frecuencia se puede transformar todo el polinomio en factores.


Ejemplo 5.2

1) am− bm + an− bn = m(a− b) + n(a− b) = (a− b)(m + n).En los dos primeros se ha sacado factor comun m y el los otros dos, n. Los dos terminos que hanresultado, contienen el factor comun a − b. Mediante una segunda extraccion de factor comun elpolinomio se ha convertido en un producto.

Esta doble extraccion de factor comun se puede considerar como la operacion inversa del producto

de dos polinomios.

2) 3x2 − 2xy − 6mx + 4my = x(3x− 2y)− 2m(3x − 2y) = (3x− 2y)(x− 2m).

3) 3xma + 3xna−mya−nya+ 3xmb+ 3xnb−myb−nyb = 3ax(m + n)− ya(m + n)+ 3xb(m + n)−yb(m+n) = (m+n)(3ax−ya+3xb−yb) = (m+n) [a(3x− y) + b(3x− y)] = (m+n)(3x−y)(a+b).

5.3. Trinomio cuadrado perfecto de un binomio. Diferencia de cuadrados

Los productos notables son ya conocidos:

(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2.

Un problema que deseamos abordar ahora es como reconocer si un trinomio es un cuadrado perfectode un binomio. Para ello observamos que en el trinomio de la igualdad anterior, tenemos dos monomiosque son cuadrados perfectos, a2 y b2, mientras que el tercer termino, 2ab, es doble producto de lasbases de esos cuadrados perfectos. Cada vez que se cumplen estos requisitos, el trinomio es el desarrollode la suma o diferencia de dos monomios, segun que el doble producto sea positivo o negativo.

Ejemplo 5.3

1)25a2 + 20a + 4↓ ↓

(5a)2 → 2 · 5a · 2 ← 22

25a2 es el cuadrado de 5a; 4 es el cuadrado de 2; y 20a es el doble de 5a · 2. Como el duplo lleva elsigno positivo, se trata del cuadrado de una suma:

25a2 + 20a + 4 = (5a + 2)2.

2)x2

4− 3xy + 9y2 =

(x

2− 3y

)2

↓ ↓(x

2

)2

→ 2 · x2· 3y ← (3y)2

Es mas, leyendo en sentido inverso la igualdad (a + b)(a− b) = a2 − b2 obtenemos

a2 − b2 = (a + b)(a− b).

Ejemplo 5.4

1) x2 − 9 = (x + 3)(x − 3);

2) 16x2y4 − 25 = (4xy2 + 5)(4xy2 − 5);

3) (x− y)2 − z2 = [(x− y) + z] [(x− y)− z] = (x− y + z)(x− y − z).

Tema 2 15

5.4. Descomposicion de un polinomio conocidos sus ceros

Tratemos ahora la descomposicion de un polinomio cualquiera conocidos sus ceros. De este modo,si P (x) es un polinomio de grado n y a es un cero de P (x), sabemos que P (x) es divisible por x− a;hallando C(x) por la regla de Ruffini tendremos que

P (x) = (x− a)C(x),

donde C(x) es un polinomio de grado n− 1. Esta descomposicion ya se ha estudiado anteriormente.

Ahora bien, si P (x) es un polinomio de grado n y a1, a2, . . . , an son n ceros de P (x), entonces estese puede descomponer de la siguiente forma:

P (x) = A(x− a1)(x− a2) · · · (x− an),

donde A es el coeficiente del termino de grado n de P (x), llamado coeficiente lıder de P (x).

5.5. Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo

Estudiemos el maximo comun divisor y el mınimo comun multiplo de dos polinomios:

(A) Un polinomio P (x) es divisible por otro polinomio D(x) si, descompuestos en factores primos,todos los factores de D(x) estan en P (x) con exponentes mayores o iguales.

Ejemplo 5.5 ¿Es divisible P (x) = 8x4y3 − 32x3y4 + 4x3y3 por D(x) = 4x4y2 − 16xy3 + 2xy2?

8x4y3 − 32x3y4 + 4x3y3

4x4y2 − 16xy3 + 2xy2=

4x3y3(2x− 8y + 1)

2xy2(2x− 8y + 1)= 2x2y.

Sı es divisible y el cociente es C(x) = 2x2y.

(B) El m.c.d. (m.c.m.) de dos o mas polinomios es el polinomio de mayor grado (menor grado) quesea divisor (divisible por) los polinomios dados. Descompuestos los polinomios dados en factoresprimos, podemos hallar el m.c.d. y el m.c.m. como sigue:

El m.c.d. de dos o varios polinomios descompuestos en factores primos es igual al polinomioproducto de todos los factores comunes con el menor exponente.

El m.c.m. de dos o varios polinomios descompuestos en factores primos es igual al polinomioproducto de todos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

Ejemplo 5.6 Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios P (x) = 2x4y − 4x3y2 + 2x2y3 yQ(x) = x3y2 − xy4.

Descomponiendo los polinomios resulta:

P (x) =2x2y(x2 − 2xy + y2) = 2x2y(x− y)2,

Q(x) =xy2(x− y)(x + y),

de manera que m.c.d. (P (x), Q(x)) = xy(x− y) y m.c.d. (P (x), Q(x)) = 2x2y2(x− y)2(x + y).


6. Fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas son expresiones literales que representan al cociente inexacto de dosmonomios o polinomios. Cuando el numerador es multiplo del denominador, diremos que la fracciones impropia.

Ejemplo 6.1 Las expresiones

3x− 2y

4x− y,

x

3x2 − 2,

5x− 10y

x− 2y,

x

3x2

son todas fracciones algebraicas; sin embargo, la tercera es una fraccion impropia pues

5x− 10y

x− 2y=

5(x− 2y)

x− 2y= 5.

El valor numerico de una fraccion, para determinados valores de sus letras, es el numero queresulta de sustituir las letras por sus valores respectivos y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplo 6.2 El valor numerico de

x− 2x2 + 3a

2a− 6xpara

{

x = 1,

a = −2,es

1− 2 · 12 + 3(−2)

2(−2) − 6 · 1 =1− 2− 6

−4− 6=−7

−10=

7

10.

Puede ocurrir que la fraccion algebraica no tenga sentido para determinados valores de sus letras; estosucede cuando para dichos valores se anula el denominador. Ası, la expresion anterior no tiene sentidopara los valores x = 1 y a = 3, porque tendrıamos

1− 2 · 12 + 3 · 32 · 3− 6 · 1 =

1− 2 + 9

6− 6=

8

0.

A veces sucede que los valores dados a las letras anulan, a la vez, el numerador y el denominador;diremos que para dichos valores la fraccion es indeterminada.

Ejemplo 6.3 La fraccionx + 1

x2 + 2x + 1es indeterminada para x = −1 ya que, hallando el valor numerico

correspondiente, se obtiene:

(−1) + 1

(−1)2 + 2(−1) + 1=−1 + 1

1− 2 + 1=

0

0.

Dos fracciones son equivalentes si toman los mismos valores numericos para todos los valores atri-buidos a sus letras que no anulan el denominador.

Ejemplo 6.43x− a

4x− 2 + ay

9x2 − a2

12x2 − 6x + 7xa− 2a + a2son equivalentes. Para comprobarlo es suficiente

dar a x y a a dos valores y ver que los correspondientes valores numericos coinciden. Como las letrasrepresentan numeros, se pueden extender a las fracciones algebraicas las propiedades de las fraccionesaritmeticas.

Otra definicion de equivalencia que coincide con la primera es la siguiente:Dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando el producto del numerador de la primera por eldenominador de la segunda es igual al producto del numerador de la segunda por el denominador dela primera. Ası, si m, n, p y q representan polinomios algebraicos, podremos escribir

m

n≡ p

q⇐⇒ mq = np.

Tema 2 17

Las dos fracciones del ejemplo anterior son equivalentes, ya que

(3x− a)(12x2 − 6x + 7xa− 2a + a2) = (9x2 − a2)(4x − 2 + a),

cuya comprobacion se deja al alumno.Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fraccion algebraica por un

mismo polinomio, se obtiene una fraccion algebraica equivalente a la primera. En efecto, si a, b y c son

polinomios, podemos escribir quea

b=

ac

bc, ya que por la asociatividad y conmutatividad del producto

de polinomios resulta ser a(bc) = b(ac). Aplicando esta propiedad fundamental, podemos simplificar

una fraccion, dividiendo sus dos terminos por un divisor comun, si lo tienen.

Ejemplo 6.512a3x

8ax2=

3a2

2x,

3(x− 2)2

4(x2 − 4)=

3(x− 2)2

4(x− 2)(x + 2)=

3(x− 2)

4(x + 2).

Cuando una fraccion no se puede simplificar, diremos que esta reducida a los mınimos terminos o quees irreducible, y la consideramos el representante canonico del conjunto de todas las fraccionesequivalentes a ella.

Reducir a comun denominador dos o mas fracciones algebraicas es hallar otras fracciones algebrai-cas equivalentes a las primeras que tengan el mismo denominador. Para ello, se sigue un procedimientoanalogo al empleado en las fracciones numericas:

a) Se reducen las fracciones dadas a sus mınimos terminos (irreducibles).

b) Se halla el m.c.m. de los denominadores de las fracciones reducidas, obteniendose ası el denominadorcomun.

c) Para hallar el numerador, se divide el m.c.m. por cada denominador y se multiplica el cocienteobtenido por su respectivo numerador.

Ejemplo 6.6 Reducir a comun denominador las siguientes fracciones:

3x2

5ax,

12(x − 1)2

16(x2 − 1),

30(x − 2)

20a2(x + 1)2.

a) Reduccion:3x

5a,

3(x− 1)

4(x + 1),

3(x− 2)

2a2(x + 1)2.

b) Hallar el m.c.m. de los denominadores:

Primer denominador = 5aSegundo denominador = 4(x + 1)Tercer denominador = 2a2(x + 1)2

m.c.m. de denominadores = 225a2(x + 1)2 = 20a2(x + 1)2

c) Calculos de los nuevos numeradores:

Primer numerador (20a2(x + 1)2) : (5a) = 4a(x + 1)2

4a(x + 1)23x = 12ax(x + 1)2

Segundo numerador (20a2(x + 1)2) : [4(x + 1)] = 5a2(x + 1)5a2(x + 1)3(x − 1) = 15a2(x2 − 1)

Tercer numerador (20a2(x + 1)2) :[

2a2(x + 1)2]

= 1010 · 3(x− 2) = 30(x − 2)

Las nuevas fracciones algebraicas seran pues:

12ax(x + 1)2

20a2(x + 1)2,

15a2(x2 − 1)

20a2(x + 1)2,

30(x − 2)

20a2(x + 1)2.


7. El cuerpo de las fracciones algebraicas

Dadas dos fracciones algebraicasm

ny

p

q, donde m, n, p y q son polinomios, se define su suma

comom

n+

p

q=

mq + np

nq.

Ejemplo 7.1

3x

x− y+

x + y

x2 − 1=

3x(x2 − 1) + (x + y)(x− y)

(x− y)(x2 − 1)=

3x3 − 3x + x2 − y2

x3 − x− x2y + y.

En caso de que dos fracciones algebraicas tengan el mismo denominador, p, se tendra que

m

p+

n

p=

m + n

p,

donde m, n y p son polinomios.

Ejemplo 7.2

3a + b

b2+

a− 5b

b2+

6b− 5a

b2=

3a + b + a− 5b + 6b− 5a

b2=−a + 2b

b2.

Si las fracciones dadas tienen distinto denominador, se pueden reducir al mınimo comun denominadory despues hallar la suma de los numeradores aplicando la regla anterior.

Ejemplo 7.3

3x

x− y+

2(x + y)

(x− y)2+

3

(x + y)(x− y)=

3x(x− y)(x + y)

(x− y)2(x + y)+

2(x + y)2

(x− y)2(x + y)+

3(x− y)

(x− y)2(x + y)=

=3x3 − 3xy2 + 2x2 + 4xy + 2y2 + 3x− 3y

(x− y)2(x + y).

Las fracciones algebraicas forman un grupo abeliano para la operacion suma. Efectivamente, sia, b, c, d, m y n son polinomios, se cumplen las siguientes propiedades para la suma de fraccionesalgebraicas:

Conmutativa:a

b+

c

d=

ad + bc

bd,

c

d+

a

b=

cb + ad

db;

como la multiplicacion y la suma de polinomios son conmutativas, las dos sumas son iguales.

Asociativa:

(a

b+

c

d

)

+m

n=

ad + cb

bd+

m

n=

(ad + cb)n + mbd

bdn=

adn + cbn + mdb

bdn,

a

b+( c

d+

m

n

)

=a

b+

cn + md

dn=

adn + (cn + md)b

bdn=

adn + cbn + mdb

bdn.

Existe elemento neutro: El 0 es la fraccion neutra para la suma:

m

n+ 0 =

m

n+

0

n=

m + 0

n=

m

n.

Tema 2 19

Elemento simetrico: La fraccion algebraica simetrica dea

bpara la suma es −a

b, pues

a

b+(

−a

b

)

=a + (−a)

b=

0

b= 0.

Se dira que −a

bes la fraccion algebraica opuesta de

a

b.

La diferencia de dos fracciones algebraicas se puede definir como la suma de la primera con la opuestade la segunda.

Ejemplo 7.43a

2b−(

−4b

a

)

=3a

2b+

4b

a=

3a2 + 8b2

2ab.

Sean ahora los polinomios m, n, p y q. Se define el producto de las fracciones algebraicasm

ny

p

qcomo

m

n

p

q=

mp

nq.

Ejemplo 7.53x(x− y)

x2 + 2xy

a(x− y)

2y=

3ax(x− y)2

2y(x2 + 2xy).

Las fracciones algebraicas forman un grupo abeliano para la operacion producto. Efectivamente,si a, b, c, d, m y n son polinomios, se cumplen las siguientes propiedades para la multiplicacion defracciones algebraicas:

Conmutativa:a

b

c

d=

ac

bd,

c

d

a

b=

ca

db;

como la multiplicacion de polinomios es conmutativa, los dos productos son iguales.

Asociativa: Como el producto de polinomios es asociativo, tambien lo sera el producto de fraccionesalgebraicas.

Existe elemento neutro: El 1 es la fraccion algebraica neutra para el producto:

m

p1 =

m

p

1

1=

m

p.

El 1 es conocido como fraccion unidad.

Elemento simetrico: Sia

bes una fraccion algebraica tal que b 6= 0, entonces su fraccion simetrica

respecto del producto esb

a, pues

a

b

b

a=

ab

ba= 1.

Se dira queb

aes la fraccion algebraica inversa de

a

b.

Hemos definido dos operaciones en el conjunto de las fracciones algebraicas, la suma y el producto,obteniendo dos estructuras de grupo abeliano. Entre estas dos operaciones existe una propiedad quelas liga: la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Ası, si a, b, m, n, p y q sonpolinomios, se cumple que

a

b

(

m

n+

p

q

)

=a

b

m

n+

a

b

p

q.

La demostracion de este resultado se deja como ejercicio para el alumno.Si denotamos por F al conjunto de las fracciones algebraicas, hemos visto que:


(F,+) es un grupo abeliano,

(F, ·) es un grupo abeliano,

· es distributivo respecto de +;

entonces (F,+, ·) tiene estructura de cuerpo.

Para finalizar, decir que la division de dos fracciones algebraicas se puede definir como el productode la primera por la inversa de la segunda.

Ejemplo 7.64x2

5ay2:3ax3

5y=

4x2

5ay2

5y

3ax3=

4

3a2xy.

8. Ejercicios propuestos

(1) Suma las siguientes expresiones:

a) 3xy2 − 2

3y2x + xy2, 5ab2 − 3a2b + 6ba2 + 2b2a;

b)3

2x4y +

2

3xy4 − 3

4x4y − xy4,

2√5xy2 +

√5

2xy2 +

√20xy2.

(2) Indica la suma de los siguientes monomios y reduce terminos semejantes:

a) 3ax2,1

2xa2, −ax2, −3

4a2x;

b) 0′5x3y2,1

2y2x3, −3

4x2y3, −0′3y3x2;

c) −5

3yx4,

3

2xy4, x4y, 0′3y4x.

(3) Multiplica los siguientes monomios:

a) 3ax3y, 2ax, −3x2y;

b)2

3mn2, −3

4nm2, 6n3;

c)5

6ax2y, −3xy3,

12

5ax, −1

9xy.

(4) Realiza las siguientes operaciones:

a) 2ax2b

(

−3

4a2x2

)(

−5

6ab3

)

+ 2a2x2

(

−3

5x2b2

)(

−10

9a2b2

)

;

b)3

4abc(−2a2b)

(

−1

2c2

)

− 3

2a(−a2b2c3);

c)5

3a3b3z5

(

− 9

10b4z6

)

− 7

3a3z10

(

−15

14b7z

)

.

(5) Calcula las potencias de los monomios siguientes:

a)

(

3

2x3y2

)3

,

(

2

5xy2

)4

, (−2ab2z3)4;

Tema 2 21

b)[

(3xy3)2]3

,[

(−3z2ab3)2]2

,{

[

(xy2)2]5}6

;

c)

[

(

3

4xy5

)8(8

9xy2

)5]3

,

[

(3xa3)2(

−1

3x

)3]2

;

d)

(

3

2ab−1c−2

)

−2

, (8a3b6)1/3, (81a−1)−3/4.

(6) Realiza todas las operaciones posibles, simplificando terminos semejantes:

a) 6xy2z

(

2

3xz

)2

− 3y

(

−2

3xz

)2

+3

2xz(−3xyz)2 − 2x2yz2;

b)

(

−3

2a2

)3

(−2x)2 −(

1

3ax

)2

ax2 +4

5(a6x)(−2x) +

2

3a3(−2x2)2.

(7) Divide los siguientes monomios:

a)3

4m2n3 :

5

2m,

(

−1

9x5yz3

)

:

(

3

2xyz

)

;

b) 5a3xy2 : (−3axy), −2x4y : (−3x3);

c)

[

(3x2y)2(

−1

4ax2y

)3

(6xyz)

]

:9

4a2x7y3z.

(8) Realiza las siguientes operaciones con monomios, reduciendo terminos semejantes:

a)

[

(

3

2xy2

)2

:

(

−3

4x2

)

]3

−[

(

1

4x3y2

)2

:

(

1

2x3

)2]3

;

b)

[

2m3

(

−1

4mn2

)3]2

:

[

(

−1

2mn2

)2]3

− (−m2)3.

(9) Halla el m.c.d. de los siguientes monomios:

a) 2a2xy3, 6ax2y, 8a3x2;

b) 26xy5z, 52(xyz)2, 39x2yz3;

c)3

2x6ym2,

4

9x2y7,

9

25a3x5y6z.

(10) Halla el m.c.m. de los siguientes monomios:

a) 33a2m, 99am2, 8a3x2;

b) 26xy5z, 52(xyz)2, 22amn;

c)3

5xy2z,

6

7x2yz2,

7

9z9;

d)3

4a5m4z,

6

5a3m4z3,

(

3

2am2z

)3

.

(11) Efectua las siguientes operaciones de sumas y restas:

a) (3a2b− 2ab2 + ab− 1) + (5ab2 − 2a2b− 1 + ab) + (3− 4ab + a2b− 2ab2);


b)[

2a3 + 3(x− y)− 5(a2 + b)]

+[

−a3 + 2(a2 + b)− 8(x− y)]

++[

12(x − y) + 10(a2 + b)− 6a3]

;

c)

(

1

2x2 − xy +

1

5y2

)

+

(

5

8x2 − 1

3xy +

3

10y2

)

+

(

−3

4x2 +

14

15xy − y2

)

;

d)

(

5

8x3 +

2

3x2 +

7

4x− 3

)

−(

1

2x + 2

1

3− 1

2x3 − 4

5x2

)

;

e) (7y3 − 3xy2 + 5x2y − 7y − 2x− 1)− (7y2 − 3y3 + 5xy2 + 6x3 − 3);

f)[

(x2y − 2x3 − 5xy2) + (5xy2 − 3x2y + 4y3)]

−[

(2x3 − 7x2y + 6y3) + (6xy2 − 5y3)]

.

(12) Calcula A−B + C y A + B − C siendo

A =1

3x2y − 3

2xy2 + 3xy, B =

5

6x2y − 1

3xy +

7

5xy2, C =

3

4xy2 +

3

4x2y − 5

6xy.

(13) Si A, B y C son los polinomios del ejercicio anterior, averigua

B + C −A, A− (B + C), C − (A−B), B − (A− C).

(14) Efectua los siguientes productos:

a) (2a2 − 3ab + b2)(a2 − 5ab + 6b2);

b){

a [b(a− c) + a(a + c)]− c[

(a + b)c− (ac− b2)]}

(a2 − bc);

c)

[

1

2

(

x− 2

3

)

(x + 1)−(

x +2

3

)(

x− 3

4

)]

− 3x2;

d)

(

1

5x3 − 3

2x2

)

2x−(

3

4x +

5

6

)

(−4x3).

(15) Calcula AB, B(−C), −CA, 2AB, siendo

A = x2 + 2x− 2, B = x2 − 3x + 1, C = 2x− x2 + 3.

(16) Con los polinomios del ejercicio anterior, calcula:

(−A)BC, A(−B)C, AB(−C).

¿Como son entre sı estos productos? ¿Por que?

(17) Realiza las siguientes operaciones:

a)

(

x3 − 1

3x

)(

x2 +1

2x

)

−(

3x− 3

4

)(

x4 − 2

5x3

)

;

b)5

2m2n2 −

(

4

3m3n− 1

2mn2 + m4

)

−

−{

3mn3 −[

3

4n4 −

(

2m4 − 4

3m3n +

3

2n4

)]

+3

2m2n2

}

−m(m− n);

c)

(

3− x

2− 2x− 3

6

)(

x− 2

4+

3x− 2

3

)

.

(18) Efectua las divisiones siguientes:

a) (5x5 − 3x7 + 4x4 − 5x3) : 2x2;

Tema 2 23

b)

(

3

4b2x4 − 5

2x6 +

5

6b3x7 − x8

)

:5

4x3;

c)

(

−12m2n2 +3

2mn3 − 1

3m2n3

)

:4

3mn2;

d)[

(3m2 − 1)2 + (3m3 − 2)2 − 5(m3 + 2m2 + 1)]

: (−2m2).

(19) Expresa en forma de producto los siguientes polinomios, buscando un factor comun a todos losterminos:

a) 4x5 − 12x3 + 8x4 − 24x8 + 16x6;

b) 15a4b3c2 − 18a6b2 + 9a5b2c4 − 21a3b6c3;

c)5

12m5n4p− 7

6m3n2 +

4

15m6n3p2.

(20) Realiza las siguientes divisiones:

a) (3m2 − 5m3 − 1 + m4 − 4m) : (3− 4m + m2);

b) (x6 − 3x + x3 − 3) : (x2 − 3x);

c) (3a5 − 11a4b− 10a3b2 − 14a2b3 + 7ab4 − 3b5) : (3a2 − 2ab + b2);

d)

(

3

2x4 − 2

5x3 +

9

4x2 +

3

5x− 1

)

:

(

3

2x2 − 2

5xx + 3

)

;

e)

(

3

2x4 +

19

8x3 − 11

12x2 +

2

3x− 3

)

:

(

1

2x2 + 3

)

;

f)

[

5

2x5 − 2

3x3(a− b)2 + (a− b)5

]

:

[

5

2x + 5(a− b)

]

;

g)[

a3(a2 − 2x2) + x3(4a2 + ax)− 2x(a4 + x4)]

: (a− 2x).

(21) Sirviendote de la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) (8x3 − 3x + x4 + 20 + 12x2) : (x + 3);

b) (20 − 22x3 + x5) : (x− 2);

c)

(

7x2 +2

3x5 +

11

12x− 15

4x3 +

1

2

)

: (x + 3);

d)

(

m +3

2m4 + 2m5 − 13

4m3

)

:

(

m− 1

2

)

;

e) (a5 − 3a3b2 + b5) : (a + b);

f) (x12 − 3x9a3 + 5x6a6 + 3x3a9 − 7a12) : (x3 − a3).

(22) Calcula el resto de las divisiones siguientes, empleando el teorema de Ruffini:

a) (x2 − 3x4 + 3− x) : (x− 3);

b)

(

9

4x5 − 45

8x3 +

3

2− x2

)

:

(

x− 2

3

)

;

c) (3x6 − 4x3 + 3x2 − x + 2) : (x + 2);

d)

(

25

8m3 − 15

4m2 + 3m− 20

3

)

:

(

2

5+ m

)

;

e) (3x4 + 2x− 5x3 + 2− x2) : (2− x).


(23) Reconoce, sin hacer la division, si P (x) es divisible por D(x) = (x∓ a):

a) P (x) = 3x3 − 21x + 18, D(x) = x + 3;

b) P (x) = 7x4 − 5x3 + 3x2 − 4x− 1, D(x) = x− 1;

c) P (x) = a2x3 + ax2 − 2a3 + a2x− 3ax4 + 2x5, D(x) = x− a;

d) P (x) = x3 +1

2a2x + 3ax4 − 3

4x6, D(x) = x + a.

(24) Averigua el resto de las siguientes divisiones. Si son exactas, calcula tambien el cociente y expresael dividendo como producto de dos factores:

a) (5m− 3m3 + 8m2 − 6) : (m− 3);

b) (4a4 − 8a2 − 6 + 2a3 − 2a) :

(

a− 3

2

)

;

c) (x4 + 3ax3 − 10a2x2 + 3x− 6a) : (x− 2a);

d) (my4 + m2a2y3 − 2m3a4y2 + ay −ma3) : (y −ma2);

e)[

(a− c)x3 − (a− c)2x2 + (a− c)x− (a− c)2]

: [x− (a− c)];

f)

(

2y4 + ay3 +1

2a2y2 − a3y +

3

8a4

)

:

(

y − 1

2a

)

;

(25) Halla p para que la division (x2 − 2x + p) : (x + 3) sea exacta.

(26) ¿Que valor debe tomar m para que x5 − 8x2 + mx− 6x3 + 1 sea divisible por x− 4?

(27) Determina el valor de m para que la division del polinomio x4 − 3x3 + 2x− 2m entre x + 2 de 16de resto.

(28) ¿Son exactas estas divisiones? Si lo son, halla directamente el cociente; si no lo son, halla el resto:

a) (x5 − 32) : (x− 2), (x5 − 32) : (x + 2);

b)

(

9

16− a4y8

)

:

(√3

2− ay2

)

,

(

9

16− a4y8

)

:

(√3

2+ ay2

)

;

c) (64 + a6) : (2− a), (64 + a6) : (2 + a);

d) (a6y12 + 1) : (a3y6 − 1), (a6y12 + 1) : (a3y6 + 1);

e) (a + 1) : ( 3√

a− 1) , (a + 1) : ( 3√

a + 1);

f) (a− 1) : ( 3√

a− 1) , (a− 1) : ( 3√

a + 1);

g)

(

81

16y4 −m12

)

:

(

3

2y −m3

)

,

(

81

16y4 −m12

)

:

(

3

2y + m3

)

;

h) (27x6 − 64) : (√

3x− 2), (27x6 − 64) : (√

3x + 2).

(29) Descompon en factores los polinomios siguientes, sacando factor comun:

a) 2ax2 − 4a2x + 12ax;

b) 10x2y − 25xy2;

c) 49x2 − 21ax + 42x3;

d)1

8a2x3 − 3

16a3x2 − 1

4a2x2 +

5

12a5x2;

e) 3(x− 2) + (x− 2)2 − 2x(x− 2) + ab(x− 2)3.

Tema 2 25

(30) Descompon en factores, realizando una doble extraccion:

a) ay − 2by − 2bx + ax;

b) 6ab− 9b2 + 2ax− 3bx;

c) by2 − 2a + ay2 − 2b;

d) y6 − y4 + 2y3 − 2y;

e) 3mn + mp + 3rn + rp;

f) am + 2bn + cm + 2bp + cn + ap + 2bm + an + cp.

(31) Descompon en factores los siguientes trinomios:

a) 4x2 − 12x + 9;

b) x2 − 6x + 9;

c) x6 − 2x3y + y2;

d)1

9− 2

3x + x2;

e) 20 + 20x + 5x2;

f) −x2 − 2xy − y2;

g)x2

y2+

y2

x2+ 2;

h) x4 +1

3x2 +

1

36.

(32) Descompon en factores las diferencias de cuadrados

a) 4x2 − 9;

b) 16y2 − x4;

c) a2x2 − 49y2;

d) x2 − 1;

e) 16a8 − 81b8;

f)a2

9− b2

25;

g) 400a2 − 25b2;

h) a2 − (x− y)2.

(33) Descompon en factores los siguientes binomios:

a) x3 + 8y3, 27a3 − y3, 512 + y3;

b) a8 − 256, a8 + 256, x5 − 243;

c) 128x7 − 27√

3, 8− x6, 1− x6.

(34) Descompon los siguientes polinomios, aplicando las propiedades oportunas:

a) ax− bx + ay − by;

b) a2 − 2ab + b2 − c2;

c) 3mx2 − nx2 + 3my2 − ny2;

d) (2x− 1)2 − (3x + 2)2;


e) x2m + 2xm + 1;

f) 32x6 − 2x4 − 32y4x2 + 2y4.

(35) Comprueba que 5, 3 y −1 son ceros del polinomio x3 − 7x2 + 7x + 15, y descomponlo en factores.

(36) x = 3 y x = ±2 son tres ceros del polinomio x4 + x3 − 16x2 − 4x + 48. Halla el otro cero ydescompon el polinomio.

(37) Busca los ceros y descompon en producto de tres factores los polinomios 3x2 − 12x − 15 y 5x2 +5x− 30.

(38) Halla el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes grupos de polinomios:

a) a2 − b2, a2 − 2ab + b2, a2b− ab;

b) 5x− 10, 15x2 − 60, 3x2 − 12x + 12;

c) ax− ay − bx + by, x2 − 2xy + y2, 3a2 − 6ab + 3b2;

d) x4 − y4, x2 − y2, x3 − x2y + xy2 − y3.

(39) Calcula el valor de las siguientes fracciones algebraicas:

a)3ab2 − 2(a− b)2 + 4a2b

3(a + b)2 − a3 + 1− 2bpara a = 2, b = 3 y para a =

1

2y b =

1

2;

b)a3 + b3 − a(3a − 2b)

(a + b)4para a = 4, b = −5 y para a =

2

3, b =

2

3.

(40) Halla los representantes canonicos de las siguientes fracciones:

a)16a3b− 12a2b3

8a3b;

b)xy2 − x2

x2 − ax;

c)a2 − b2

a3 − b3;

d)x4 − y4

(x + y)2(x− y)2;

e)(m + n)2 − (m− n)2

2m2n− 4mn2;

f)3ax− 3ay

9y2 − 9x2;

g)m4 − 2m2y + y2

am2 − by − ay + bm2;

h)x2n − xn

xn+1.

(41) Reduce las siguientes fracciones al m.c.d.:

a)z

x− y,

y

x− z,

x

y − z;

b)16x

12x + 3y,

y2

16x + 4y,

xy

4x2 + xy;

Tema 2 27

c)a

a2b− 2ab2 + b3,

a

a2b− b3,

b

a3 − a2b;

d)x2 − y2

ax− bx− ay + by,

a + b

x2 − 2xy + y2.

(42) Efectua las siguientes operaciones:

a)3(x− y)

2xy − x2 − y2− x

x2 − y2− 1

x− y;

b)(

1 +a

b

)

:a2 − b2

ab− b2;

c)

[(

9x2 + 4y2

6xy− 2

)

:

(

9x2 − 4y2

6xy− 2

)](

3x

3x− 2y:

2b

3x + 2y

)2

;

d)

(x− y)2 −(

1

2x− 2y

)2

1

2x− y

y+

x− 2y

x

:

(

1

2x− 2y

)2

− (x− y)2

x + 2y

x−

1

2x + y

y

;

e)

x + 2y

2−

1

4x2 + y2

x− 2y

2

x− 2y

2+

x2 + 4y2

4x + 2y

2

:8xy

4y2 − x2

{[(

1− x

x + 2y

)

x2 − 4y2

2x

]

:

(

1 +2y

x

)}

:

(

x

2− x2 + 4y2

2x + 4y

) .

2. polinomios y fracciones algebraicas

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