Expresiones Algebraicas

• Una expresión algebraica es una expresión en la que se

relacionan valores indeterminados (variables) con constantes,

todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de

suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.

• Ejemplos

1

2.)

2)

2)

2

32

2

x

xyxc

xyxb

xyxa

1

Polinomios

• Los tipos más simples de expresiones algebraicas

sólo utilizan la suma, la resta y la multiplicación.

Estas expresiones se conocen como polinomios.

• Ejemplo

542 3 yyxx

2

• Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un

número natural, llamaremos polinomio en

indeterminada x a toda expresión

algebraica entera de la forma:

a0 + a1 x + a2 x2 + … + an x

n

Donde a0, a1, a2 , … , an son constantes.

3

Ejemplos de polinomios

A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos

con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre

paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

3

2

3

23)

3

1)

xxb

xa

3

3

532)

21)

xxd

xc

4

Términos

• Monomio : polinomio con un solo término.

• Binomio : polinomio con dos términos.

• Trinomio : polinomio con tres términos.

• Cada monomio aixi se llama término.

• El polinomio será de grado n si el término de mayor grado

es anxn con an0.

• A a0 se lo llama término independiente.

• A an se lo llama término principal.

5

Ejemplos

6

El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama

polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).

No se le asigna grado.

Ejercicio

• Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son

polinomios. En este último caso indicar su grado.

7

2

13)

)3)(2()

123

1)

4

3

xc

xxb

xxa

1

32)

312

)

52)

2

2

x

xxf

xxxe

xd

Polinomios iguales

• Dos polinomios son iguales si y sólo si los

coeficientes de los términos de igual grado lo son.

8

Suma de Polinomios

• Para sumar dos polinomios se agrupan los

términos del mismo grado y se suman sus

coeficientes.

• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

9

Resta de Polinomios

• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x)

se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).

P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]

• Ejemplo: Restar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

10

Multiplicación de Polinomios

• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada

monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del

otro y luego se suman los términos de igual grado.

• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2

P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

11

Algunos productos especiales

• (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2

• (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2

• (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

• (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3

• (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2

12

Ejercicio

• Escribir los desarrollos de

2

43

232

2

3

1

3

2)

)()

)32()

xxc

xxb

xa

3

23

34

3

3

2

2

1)

)()

)32()

xxf

xxe

xd

13

División de polinomios

• Existe una estrecha analogía entre el

cociente de polinomios y la división de

números enteros.

• Recordemos algunas definiciones de la

división entre números enteros.

16

División de polinomios

• Dados los polinomios

D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8

d(x) = 3x – 4

determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y

r(x) tales que

D(x) = d(x). C(x) + r(x)

de modo que el grado de r(x) sea menor que el

grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)

19

Ejemplo

6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4

20

-6x3 +8x2 2x2

0x3 - 9x2+ 15x

- 3x

9x2- 12x

0x2+ 3x - 8

+ 1

-3x + 4

0x - 4

6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

División de Polinomios

• Dados los polinomios D(x) y d(x);

d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x)

si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que

D(x) = d(x) . c(x)

22

División de un polinomio por otro de

la forma (x-a)

3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2

- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3

4x2 – 5x

- 4x2 + 8x

3x – 9

-3x + 6

24

Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9

2

-3 -3 3

6

4

8

3

6

3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)

División de un polinomio por otro de

la forma (x-a)

• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9 2 6 8 6

3 4 3 -3

1º operación : 3.2 -2 = 4

2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3

3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3

Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3

25

Raíces de un polinomio

• Un número real a es raíz de un polinomio

P(x) si y solo si P(a) = 0

• Ejercicio:

Verifique que x=1 es raíz del polinomio

P(x) = 3x2 + 2x – 5

26

Raíces de un Polinomio

• Si un polinomio tiene coeficientes enteros y

a es una raíz entera del polinomio entonces

a divide al término independiente.

• Ejercicio: Calcular las raíces de

P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24

27

Ejercicio: Calcular las raíces de

P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24

• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de

24.

• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)

28

2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)

Ver x=2 también

es raíz de

2x2 + 2x -12

2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)

Ejercicio

• Calcular las raíces de

P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8

29

P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)

Factorización de polinomios

• Factorizar un polinomio es el proceso mediante el

cual el polinomio se transforma en un producto de

polinomios primos, (factores primos).

x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

FACTORIZACIÓN

MULTIPLICACIÓN

30

Factores comunes

• Ejemplos:

31

xx 63 2

43324 268 xyyxyx

Diferencia de cuadrados

• Ejemplos

32

254 2 a

6169 x

))(( baba 22 ba

Diferencia de dos enésimas

potencias

• Ejemplos

33

)bab...baa)(ba( nnnn 1221

nn ba

963 5y

16x

Trinomios cuadrados perfectos

962 xx

34

2)( ba

2)( ba

22 2 baba

22 2 baba • Ejemplos

122 xx

Factorización mediante

agrupación

• Ejemplos:

35

632 23 xxx

4423 xxx