fracciones algebraicas

ÁLGEBRA ÁLGEBRA

FRACCIONES ALGEBRAICASFRACCIONES ALGEBRAICAS


Una fracción algebraica es el cociente Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas.indicado de dos expresiones algebraicas.

Son fracciones donde tanto el numerador Son fracciones donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.como el denominador son polinomios.

Por ejemplo: Por ejemplo:

ba

yxx

−+ 1

baab

3

2

53

La Tierra y la Luna se atraen La Tierra y la Luna se atraen una a otra con una fuerza una a otra con una fuerza FFque es directa-mente que es directa-mente proporcional al producto de proporcional al producto de sus masas sus masas mm11 y y mm22 e e inversamente proporcional al inversamente proporcional al cuadrado de la distancia cuadrado de la distancia ddentre ellas.entre ellas.

1 22

m mF G

d=

Fracción algebraica

1 22

m m

des una fracción algebraica


SIMPLIFICACIÓN SIMPLIFICACIÓN

DE DE

FRACCIONESFRACCIONES

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESSIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

La simplificación o reducción de fracciones La simplificación o reducción de fracciones algebraicas consiste en cambiar su forma algebraicas consiste en cambiar su forma sin cambiar su valor. sin cambiar su valor.

Para simplificar una fracción algebraica Para simplificar una fracción algebraica debe convertirse en una fracción debe convertirse en una fracción equivalente. equivalente.


Se factoriza completamente tanto el Se factoriza completamente tanto el numerador como el denominador, numerador como el denominador, después se reducen los términos después se reducen los términos comunes dividiendo. comunes dividiendo.

Para simplificar fracciones cuyos términos Para simplificar fracciones cuyos términos sean sean monomiosmonomios debe dividirse el debe dividirse el numerador y el denominador por sus numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos factores comunes hasta que sean primos entre sí (divisibles entre si y el uno). entre sí (divisibles entre si y el uno).

Para lo anterior, primero descomponemos Para lo anterior, primero descomponemos en en factores primosfactores primos cada elemento de la cada elemento de la fracción (numerador y denominador).fracción (numerador y denominador).

Utilizando Utilizando Leyes de ExponentesLeyes de Exponentes, , cancelamos lo que sea posible.cancelamos lo que sea posible.



Simplificar al máximo:Simplificar al máximo:– Descomponemos en Factores Primos:Descomponemos en Factores Primos:

– Usando Leyes de Exponentes:Usando Leyes de Exponentes:

– Así que la solución es:Así que la solución es:

amb

mbaba

32

64 2

33

52

=

mbaba33

52

64

mbaba

mbaba

33

522

33

52

322

64

⋅=

amb

mab

mbaba

32

32

322 2

23

3512

33

522

==⋅ −

−−


Viendo el mismo procedimiento de otra Viendo el mismo procedimiento de otra forma, tenemos:forma, tenemos:

Descomponiendo en factores:Descomponiendo en factores:

Cancelando términos comunes:Cancelando términos comunes:

La solución es:La solución es:

amb

mbaba

32

64 2

33

52

=

mbaba33

52

64

mbaabba

mbaba

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 32

232

33

52

3222

64

mab

mbaabba

mbaba

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

32

3222

64 2

32

232

33

52

Simplificar: Simplificar:

Si al simplificar “desaparecen” todos los Si al simplificar “desaparecen” todos los términos del numerador (o denominador), términos del numerador (o denominador), en su lugar queda el número 1, que no en su lugar queda el número 1, que no puede suprimirse.puede suprimirse.


65

33

369

yxyx

323323

33

65

33

41

499

369

yxyyxxyx

yxyx =

⋅⋅⋅⋅⋅=


Para simplificar fracciones cuyos términos Para simplificar fracciones cuyos términos sean sean polinomiospolinomios, se descomponen en , se descomponen en factores (se factorizan), los polinomios factores (se factorizan), los polinomios hasta donde sea posible y se suprimen los hasta donde sea posible y se suprimen los factores comunes del numerador y el factores comunes del numerador y el denominador.denominador.

Ejemplo:Ejemplo:

)(2)(222

4422

2

baa

baaaa

abaa

−=

−⋅⋅⋅⋅=

−


Simplificar al máximo: Simplificar al máximo: aaxxx62

652

−+−

( ) ( )( )

ax

xaxx

aaxxx

22

3232

62652

−=

−−−=

−+−


Simplificar al máximo:Simplificar al máximo:

)2(5)2(9

)2)(2(54)2(94

)4(20)44(36

802014414436

42

2

2242

22

263

223

636465

+−=

+−⋅−⋅⋅=

−+−=

−+−

xxyx

xxxyxyyxx

xxyxxyx

xyyxyxyxyx

223

636465

802014414436

xyyxyxyxyx

−+−

OTROS EJERCICIOS


MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN

DE DE


MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESMULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

La regla general consiste en:La regla general consiste en:

– Descomponer en factores, hasta donde sea Descomponer en factores, hasta donde sea posible, los términos de las fracciones que se posible, los términos de las fracciones que se van a multiplicar.van a multiplicar.

– Simplificar, suprimiendo los factores comunes Simplificar, suprimiendo los factores comunes en numeradores y denominadores.en numeradores y denominadores.

– Multiplicar entre sí las expresiones que queden Multiplicar entre sí las expresiones que queden en los numeradores después de simplificar, y en los numeradores después de simplificar, y dividir este producto por el producto de las dividir este producto por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.expresiones que queden en los denominadores.


Resolver la siguiente multiplicación:Resolver la siguiente multiplicación:

Así que la solución es:Así que la solución es:

=⋅ 64

3

5

32

8132

827

yxab

bayx

324

2

64

3

5

32

34

8132

827

yxab

yxab

bayx =⋅

324

22

33223

223

43

323

644

35

53

323

64

3

5

32

32

3322

23

32

23

8132

827

yxab

yyxxbab

abayx

yxab

bayx

yxab

bayx

=⋅=

⋅=⋅


Resolver:Resolver:501077

14255

++⋅+

xxx

41

22)1(

)5(52)1(7

72)5(5

501077

14255

+=

⋅+=

+⋅+⋅

⋅+=

++⋅+

x

x

xxx

xxx



.96209

443

2

2

2

2

−−

+−++⋅

−−

aaa

aaaa

aa

)4)(3(2)5(

)4)(4()1(2

)3()4)(5(

)1(43

1622

.96209

443

2

2

2

2

2

−−+=

−+−⋅

−++⋅

−−=

−−

+−++⋅

−−

aaaa

aaaa

aaa

aa

aaa

aaaa

aa

OTROS EJERCICIOS


DIVISIÓN DE FRACCIONESDIVISIÓN DE FRACCIONES


Las reglas para dividir, son simplemente Las reglas para dividir, son simplemente multiplicar el dividendo por el inverso del multiplicar el dividendo por el inverso del divisor, es decir:divisor, es decir:

Se siguen las reglas para multiplicación.Se siguen las reglas para multiplicación.

cd

ba

dc

ba ⋅=÷



2

92

34

bax

bx ÷

abx

abx

axb

bx

bax

bx

6

31

2

29

34

92

34 3

2

2

32

2

=

⋅=

⋅=÷


Resolver:Resolver:xy

xx

xx4

168

4 2

3

2 −÷+

)4(2

)4(21

)4)(4(4

8)4(

164

84

416

84

3

23

22

3

2

−=

−⋅=

+−⋅+=

−⋅+=−÷+

xxy

xy

x

xxxy

xxx

xxy

xxx

xyx

xxx

OTRO EJERCICIO

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONESFRACCIONES

También se puede presentar el caso de que También se puede presentar el caso de que se encuentren combinadas las se encuentren combinadas las multiplicaciones con las divisiones. multiplicaciones con las divisiones. Entonces, para resolverlas, simplemente Entonces, para resolverlas, simplemente invertimos la parte correspondiente a la invertimos la parte correspondiente a la división y el resto se resuelve como división y el resto se resuelve como multiplicación. multiplicación.

EJEMPLO


SUMA Y RESTA SUMA Y RESTA

DE DE


SUMA Y RESTA DE FRACCIONESSUMA Y RESTA DE FRACCIONES

SUMA Y RESTASUMA Y RESTA– Si a, b y c son números reales con b, d

diferentes de 0, entonces:

– Si los denominadores no son iguales, se necesita obtener el mínimo común denominador.

bca

bc

ba

bca

bc

ba −=−+=+

MINIMO COMÚN DENOMINADORMINIMO COMÚN DENOMINADOR

Para obtenerlo, se hace de la siguiente Para obtenerlo, se hace de la siguiente forma:forma:

– Factorizar completamente cada denominador.Factorizar completamente cada denominador.– Formar un producto que contenga cada Formar un producto que contenga cada

factor diferente de todos los factor diferente de todos los denominadores, elevado a la más alta denominadores, elevado a la más alta potencia en que aparece en cualquier potencia en que aparece en cualquier denominador y que es divisible entre todos denominador y que es divisible entre todos los denominadores . El producto es el los denominadores . El producto es el Mínimo Común Denominador (MCD)Mínimo Común Denominador (MCD)


Ejemplo:Ejemplo:

Primero factorizamos denominadores:Primero factorizamos denominadores:

Entonces el mínimo común denominador es:Entonces el mínimo común denominador es:

Resolviendo el problema:Resolviendo el problema:

=−

+−+−

+−+

35

92

963

22 yyy

yyy

( ) ( ) ( ) 33 339 396 222 −=−−+=−−=+− y yyyyyyy

( ) ( ) 33 2−+ yy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2

2

222

222

33

3075

33

455696

33

33532333

592

963

−+−+=

−+−+++−++=

−+−++−+−++=

−+

−+−

+−+

yy

yy

yy

yyyyy

yy

yyyyyyyy

yyy

y

Cada factor diferente Cada factor diferente de todos los de todos los denominadores, denominadores, elevado a la más alta elevado a la más alta potenciapotencia

RESOLVER EN CLASE HACER OTRO EJERCICIO


Resolver:Resolver: 32

2

429

23

22

yyxxxy

yxyx −−−

++

−

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) yyxyx

yyxyxyxyx

yyxyxyxyx

yyxyxxxyyxyyxy

yyxyxxxyyyxyyx

yyxyxxxy

yxyxyyxxxy

yxyx

++=

+−+−=

+−−+=

+−+−−++=

+−−−−++=

+−−−

++

−=

−−−

++

−

2

222

222

22293624

22292322

2229

23

22

429

23

22

22

222

2

2

32

2


Resolver:Resolver: 222222 2523

222

yxyxxy

yxyxxy

yxyxyx

++−+

−−−+

−+−

)2)()(2(3

)2)()(2(342232

)2)()(2())(3()2)(()2)(2(

)2)(2(3

)2)(())(2(2

2523

222

2

222222

222222

yxyxyxy

yxyxyxyxyxyxyxyxyx

yxyxyxyxxyyxxyyxyx

yxyxxy

yxyxxy

yxyxyx

yxyxxy

yxyxxy

yxyxyx

+−+−=

+−+−+−+−−−−=

+−+−−++−++−=

++−+

+−−+

−+−=

++−+

−−−+

−+−


Resolver:Resolver: )1)(3(2

21

652 xxx

xxxx

−−−

−−

+−

)2)(1(1

)3)(2)(1(3

)3)(2)(1(3

)3)(2)(1(4234

)3)(2)(1()2(2)3)(1()1(

)1)(3(2

21

)2)(3(

)1)(3(2

21

65

222

2

−−=

−−−−=

−−−+−=

−−−+−+−+−=

−−−−−−−+−=

−−−

−+

−−=

−−−

−−

+−

xx

xxxx

xxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxx

xxxx

xxx

xxxx


FRACCIONES FRACCIONES

COMPLEJASCOMPLEJAS

ADICIONAL

FRACCIONES COMPLEJASFRACCIONES COMPLEJAS

Son fracciones que contienen una o más Son fracciones que contienen una o más fracciones en su numerador y denominador, fracciones en su numerador y denominador, y también son llamadas y también son llamadas fracciones fracciones compuestas.compuestas.

xaax

xa

+

−

1


La regla para simplificar fracciones La regla para simplificar fracciones complejas consiste en:complejas consiste en:– Efectuar las operaciones indicadas en el Efectuar las operaciones indicadas en el

numerador y denominador de la fracción numerador y denominador de la fracción compleja.compleja.

– Simplificar al máximo la fracción así obtenida.Simplificar al máximo la fracción así obtenida.– La operación puede ser resuelta empezando La operación puede ser resuelta empezando

por la parte más baja del denominador; o bien, por la parte más baja del denominador; o bien, en caso necesario, por la parte más alta del en caso necesario, por la parte más alta del numerador.numerador.


Resolver:Resolver:

– Primero resolvemos la fracción más baja del denominador:Primero resolvemos la fracción más baja del denominador:

– Subimos un nivel, para eso, enseguida resolvemos:Subimos un nivel, para eso, enseguida resolvemos:

– Otro nivel más arriba:Otro nivel más arriba:

41

1

12

31

−+

+

43

414

41

1 =−=−

34

4311

431

41

1

1 ===−

310

346

34

2

41

1

12 =+=+=

−+


– Enseguida, tomamos el numerador que sigue:Enseguida, tomamos el numerador que sigue:

– Y finalmente, resolvemos toda la operación:Y finalmente, resolvemos toda la operación:

109

31013

3103

41

1

12

3 ===

−+

1019

10910

109

1

41

1

12

31 =+=+=

−+

+


Resolver:Resolver:=

+−

−

−

22

1

12

x

x

x

( )( ) ( ) 112

2

22

22

2

12

222

12

22

1

12

2

+=

+−−=

−−−=+−

−=

+

−

−=

+−+−

−=

+−

−

−

xx

xxxx

xxx

x

xx

x

xx

xx

x

xx

x

x

x

x

x


Resolver:Resolver:

216

6

212

1

−++

−−−

xx

xx

( )( )

( )( )

( )( )( )( )

25

)2()2)(5(

44103

161241223

16261221

21626

21221

216

6

212

1

22

2

2

2

+−=

++−=

++−−=

+−+−+−=

+−+−−−=

−+−+

−−−−

=

−++

−−−

xx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

xxx

xx

xx


Resolver:Resolver:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )aaa

aaaaa

aaaaaa

aaa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

+−=

+−−−−=

+−−−=

+−

−−

=−

+−

=−

+−

45

4454

4454

44

54

16

209

16

2091

2

23

3

2

3

2

32

=−

+−

aa

aaa16

209132


Resolver:Resolver:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

12

111

111

1111

1111

1111

11

1

11

11

22

2

+=

++−+−+=

+−+−+

+−+−+

=

+−−−+

+−−−+

=

+−

−

+−

−

xxxxxx

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxx

xxx

xx

=

+−

−

+−

−

11

1

11

11

xxx

xx

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