operaciones con fracciones algebraicas
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OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICASTRANSCRIPT
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Suma y resta de fracciones algebraicas:10.1 Calcula el resultado de la suma:
1º Calculas el mínimo común múltiplo de los denominadores: vemos que el m.c.m. (2, 3, 4) = 122º Divides el m.c.m. por cada denominador y el cociente lo multiplicas por el numerador:
10.2 Calcula el valor de:
Respuesta: Solución:
1º Calculamos el m.c.m.(3, 4 y 5) = 60
2º Dividimos 60 entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su numerador y escribiendo por delante el sino que le corresponda.
10.3 Calcula la suma:
Respuesta:
Solución:Cuando tengas un término entero (sin denominador), si encuentras alguna dificultad le pones un 1 como denominador. Dividir o multiplicar un número por 1 es dejarle como está, pero a veces, resuelve alguna duda:
El m.c.m. de denominadores es 5. Cada denominador lo dividimos por este número y el cociente lo multiplicamos por su numerador.
10.4 Calcula:
Respuesta:
10.5 Calcula:
Respuesta:
Solución:
Trabajar con letras es muy sencillo. El m.c.m. de ‘a’ y ‘b’ es ‘ab’. Estas dos letras no tienen nada en común. Imagina que ‘a’ es igual a 7 y ‘b’ es igual a 5. Como 7 y 5 son
primos, no tienen nada en común, el m.c.n. lo mismo que el
m.c.m
El m.c.m. de los denominadores dividimos por cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su numerador:
Dividir es como dividir suponiendo que a = 7 y b = 5 Simplificamos los factores iguales en el numerador y denominador y nos quedarían:
10.6 Calcula:
Respuesta:
Solución:Este ejercicio puedes escribirlo:
El m.c.m. de los denominadores es xy Dividimos este valor por cada denominador y el cociente multiplicamos por su numerador:
No se debe simplificar xy del numerador con el xy del denominador porque el del numerador está sumando y para simplificar los términos tienen que estar multiplicando.
10.7 Calcula la suma:
Respuesta:
Solución:El m.c.m. de los denominadores es ‘ab’. Lo dividimos por cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su correspondiente numerador:
Vemos que el numerador es el cuadrado de la diferencia de dos números:
10.8 Calcula:
Respuesta:
Solución:El denominador para los dos sumandos será (x – y).Al numerador 1 le multiplico por (x – y). Al segundo numerador le multiplico por 1 porque (x – y) entre sí mismo vale 1:
Solución:
Reduzco términos semejantes en el numerador:
10.9 Calcula:
Respuesta:
Solución:Igual al anterior, excepto que en lugar de sumar, ahora se trata de una diferencia y debes tener mucho cuidado con el signo menos delante de una fracción. El signo menos delante de una fracción le afecta solamente al numerador, y al sumar o restar con otros valores, se cambia de signo a cada término:
El denominador común será (x – y).Le multiplico por 1 y queda x – y. Luego tienes el signo menos, que lo escribimos. Al segundo numerador lo encerramos entre paréntesis y le multiplicamos por 1 porque (x – y) entre (x – y) obtenemos 1.Ahora quito el paréntesis del numerador:
Recuerda que un signo menos delante de un paréntesis, al quitarlo, cada término que había dentro del paréntesis cambia de signo:
10.10 Resuelve:
Respuesta:
Solución:
El común denominador será ‘ab’.Al primer numerador le multiplicaremos por ‘b’ porque
Al segundo numerador le multiplicamos por ‘a’ porque
Quitamos paréntesis multiplicando el valor que está fuera por cada uno de los que están dentro:
Reducimos términos semejantes y ordenamos los términos:
El numerador veo que procede de la suma de dos números al cuadrado:
Otra solución sería, a partir de:
veo que en el numerador tengo dos términos que tienen el factor común (a + b). Saco factor común a (a + b):
10.11 Resuelve:
Respuesta:
10.12 Calcula:
Respuesta:
Solución:El denominador común, válido, para ambas fracciones será (a + b)(a – b).
Es como si tuvieras El m.c.m
Al numerador de la segunda fracción que lleva el signo menos por delante, al multiplicarle por (a + b), escribimos el resultado del producto dentro de un paréntesis, para después, con mas seguridad, quitar el paréntesis cambiando de signo a cada término que se encuentre dentro del paréntesis y reducir los términos semejantes.
10.13 Calcula:
Respuesta:
Solución:El denominador válido para ambas fracciones será el producto de los dos
denominadores (a + b)(a – b); es como si tuvieses (5 +2) y (5 – 2), es decir, 7 y 3. El menor número múltiplo de ambos es: 7 X 3
Al dividir (a + b)(a – b) entre (a + b):
y ese cociente lo multiplicamos por ‘a’.Lo mismo hacemos con el segundo denominador: (a + b)(a – b) entre (a – b) y el cociente lo multiplicamos por su numerador ‘b’:
10.14 Calcula el valor de:
Respuesta:
Solución:
Analizamos lo que podemos hacer encada fracción y vemos que en el primer
denominador podemos sacar factor común a ‘a’:
En el primer numerador tenemos el producto ‘ab’ y en el denominador tenemos 2 factores: ‘a’ y ‘(a+b)’. Podemos simplificar el factor ‘a’ del numerador con el factor ‘a’ del denominador y nos quedaría:
Calculamos el m.c.m. de los denominadores compuestos por los valores:(a+b), a y b. Imagina que a = 7 y b = 3: tendrías que calcular el m.c.m. (10, 7 y 3) que sería el producto de los 3.
El m.c.m. de (a+b), a y b es ab(a+b) y este valor lo dividimos por cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su numerador correspondiente:
Para ahorrar trabajo, escribimos en una sola fracción porque sus denominadores son iguales. Cuida el orden alfabético y cuidado con los signos menos delante de un paréntesis al quitar a éstos:
Reducimos los términos semejantes que podamos:
10.15 Resuelve la diferencia
Respuesta:
Solución:
El m.c.m. de los denominadores es el producto de ambos.
tienes que dividir por cada denominador y el factor que te queda como cociente, multiplicar por su numerador: En el caso de la primera fracción:
Nos ha quedado como cociente para multiplicarlo por el primer numerador
que también es .El mismo proceso hacemos para la segunda fracción:
El primer numerador es el cuadrado de la diferencia de dos números y el denominador común equivale a una diferencia de cuadrados:
Desarrollamos los cuadrados de la diferencia y suma de los cuadrados de dos números.
Detrás del signo menos que unen las fracciones ponemos un paréntesis para después, al quitarlos, cambiar de signo a cada término y después, reducimos términos semejantes:
10.16 Calcula:
Respuesta:
o también:
Solución:
Vemos que el primer denominador es el resultado de multiplicar la suma de dos
números por su diferencia; luego el m.c.m. de
los denominadores será que es el que contiene a todos.
Dividimos por el segundo denominador :
Cuidado al quitar un paréntesis con el signo menos por delante.Reducimos términos semejantes:
Como el signo menos delante de una fracción afecta solamente al numerador podemos escribir este resultado:
10.17 Calcula:
Respuesta:
o También:
Solución
Resuelto paso a paso:
10.18 Calcula el valor de:
Respuesta: o también:
Solución:
El tercer denominador: no es el producto de los otros dos denominadores. Nos
falla el segundo denominador . Tendría que ser . El primer
denominador nos vale porque es igual escribirlo como .
Hemos dicho varias veces que el signo menos delante de una fracción afecta solamente al numerador y esto es importante por lo que vas a ver a continuación.Si a los dos términos de una fracción, numerador y denominador les cambias de signo el resultado es el mismo:
Observa el siguiente ejemplo:
Si ahora cambiamos de signos al numerador y denominador, el
resultado será el mismo .
Observa ahora el mismo ejemplo con el signo menos delante de la fracción:
ves que en todos estos casos el resultado es el mismo.
Si tenemos sería lo mismo que escribir: porque el signo menos delante de una fracción afecta solamente al numerador.
Imaginemos que en lugar de quiero que el denominador sea .Ves que cambiamos de signos a cada término del denominador. Si cambio de signos a los términos del denominador tengo que cambiar también a los del
numerador y como el signo que está delante de la fracción afecta solo al
numerador puedo escribir .
Teniendo todo esto en cuenta resolvemos el ejercicio:
También podemos resolverlo cambiando de signos al numerador y denominador de la
segunda fracción: es lo mismo que .
A simple vista los resultados parecen parecen diferentes pero en realidad son iguales:
Supongamos que x es igual a 2, en la primera respuesta, sustituimos x por 2:
La sustitución de x por 2 lo hacemos en la segunda respuesta:
En ambos casos obtenemos los mismos resultados.
Si cambiamos de signos todos los términos de la fracción:
su resultado no varía .
10.19 Halla el resultado de:
Respuesta: .
Solución:
Vemos que el denominador de la tercera fracción si fuese: sería el denominador que engloba a todos. Esto nos exige cambiar de signo a todos los términos del numerador y denominador dejando el ejercicio:
10.20 Halla la diferencia:
Respuesta: Es válida cualquiera de las tres:
Solución:Debo analizar cada fracción antes de empezar el cálculo propuesto.En el denominador de la primera fracción puedo sacar factor común a 10.En el denominador de la tercera fracción puedo sacar factor común a 4. En ambos casos puedo simplificar con un factor de su numerador respectivo:
A partir de aquí veo que el m.c.m. de denominadores es .
Multiplicación y división de fracciones algebraicas.
Basta que tengas en cuenta como se multiplican y dividen las fracciones como estudiaste hasta ahora. Con tener en cuenta, respecto a la parte literal, que, para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes y para dividir se restan, es suficiente.
10.21 Halla el valor de:
Respuesta: .
Solución:
Para multiplicar fracciones se halla el producto de numeradores y se divide por el producto de denominadores. Si se puede, se simplifican factores comunes:
10.22 Calcula el producto:
Respuesta:
Solución:Multiplicamos la parte numérica primero y luego la parte literal sumando los exponentes de las potencias de la misma base:
Dividimos la parte numérica primero y luego la parte literal restando los exponentes de las potencias de igual base y su resultado lo colocamos donde el exponente era mayor:
10.23 Halla el producto de:
Respuesta:
Solución:
Indicando los productos notables y simplificando factores comunes:
10.24 Halla el producto de:
Respuesta:
Solución:
Antes de comenzar a hacer el producto debes fijarte en cada término del numerador y denominador para ver si hay factores comunes para después simplificar y trabajar con valores más pequeños.
10.25 Calcula el producto:
Respuesta:
Solución:
10.26 Divide:
Respuesta: .
Solución:Recuerda que para dividir fracciones puedes multiplicar la primera por el inverso de la segunda, es decir, “darle vuelta” a la segunda fracción, que equivale a poner el numerador como denominador y a éste como numerador.
También puedes multiplicar el primer numerador por el segundo denominador y este producto dividir entre el producto del primer denominador por el numerador de la segunda fracción.
10.27 Divide:
Respuesta: .
10.28 Calcula:
Respuesta:
Solución:
10.29 Calcula:
Respuesta:
Solución:
10.30 Halla el cociente:
Respuesta:
Solución:
10.31 Calcula:
Respuesta:
Solución:
Resolvemos teniendo en cuenta los productos notables: el cuadrado de la diferencia de dos números y suma de dos números por su diferencia igual a la diferencia de sus cuadrados.
10.32 Resuelve :
Respuesta:
Solución:
Siempre que tengas una fracción dividida por otra del tipo:
es lo mismo que .
En los términos extremos son ‘a’ y ‘d’ (1º y 4º) y los términos medios ‘b’ y ‘c’
Este cálculo es muy sencillo, es suficiente que retengas: producto de extremos
dividido por el producto de medios:
Si aplicamos cuanto acabamos de decir al enunciado del presente ejercicio tendríamos:
10.33 Resuelve :
Respuesta:
Solución:
10.34 Calcula:
Respuesta:
Solución:Es muy importante que te fijes donde está situado el signo ‘=’.
Gracias a él podemos saber si es un término medio o un extremo el que nos falta.
En este ejercicio (a – 1) no tiene denominador. Para que tengamos dos extremos y dos medios a (a – 1) le colocamos un 1 como denominador y no alteramos el valor del cociente.
De este modo tenemos dos extremos y dos medios. A partir de aquí: …producto de extremos partido por producto de medios…
10.35 Calcula:
Respuesta:
Solución:Observando el lugar donde se halla el signo ‘=’ vemos que nos falta un extremo (el denominador de ‘a – 1’). Ponemos un 1 en su lugar:
10.36 Halla el valor de:
Respuesta:
Solución:
Comenzamos por el final: y colocamos este valor:
Comprobamos que nos falta un término medio, el que debiera estar debajo del 1. Como siempre colocamos un 1 allí donde nos falte un término:
10.37 Resolver:
Respuesta:
Solución:
10.38 Halla el cociente:
Respuesta:
Solución:
Existe un producto notable cuya aplicación no es tan frecuente como los estudiados hasta ahora:
10.39 Calcula:
Respuesta:
Solución:
10.40 Calcula:
Respuesta:
Solución:
POTENCIAS Y RAÍCES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Elevar una expresión algebraica a una potencia:
CASO 1.- Monomios de base positiva
10.41 Eleva la expresión:
Solución:Para elevar una expresión algebraica a una potencia, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia.Cuando un número o letra no lleva exponente, se entiende que lleva 1.Como para elevar una potencia a otra se multiplican los exponentes tendremos:
10.42 Calcula el valor de:
Recuerda que si una base tiene signo negativo y está elevada a un exponente par, el resultado es positivo.
Respuesta:
10.43 Halla la respuesta de:
Solución:Primero realizamos las operaciones dentro del paréntesis.Recuerda que para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes.Para elevar una potencia a otra, multiplicas los exponentes.
10.44 Calcula:
Elevamos el numerador y el denominador a 3
Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes:
Respuesta:
10.45 Resuelve:
Primero hacemos las operaciones dentro del paréntesis:
En el numerador y denominador multiplicamos las potencias de la misma base:
Es bueno acostumbrarse a colocar los factores en orden alfabético
Dividimos las potencias de la misma base restando sus exponentes:
Elevamos al cubo la fracción obtenida
Respuesta:
Supongamos que nos dicen que hagamos la siguiente operación:
NUNCA se te ocurra elevar un sumando a una potencia. Cuando los términos están sumando o restando tienes que elevar la expresión a la potencia indicada, es decir, multiplicar por sí misma las veces que se indica en el exponente.
EJEMPLO:
La suma a+b la tenemos que multiplicar por sí misma dos veces:
Hemos colocado las expresiones a multiplicar.
Comenzamos a multiplicar con la a del multiplicador. Cada término del multiplicador se multiplica por cada uno de los términos del multiplicando.La a del multiplicador multiplica a cada uno de los términos del multiplicandor (a+b):
Ahora será la b del multiplicador quien multiplica a cada uno de los términos del multiplicando (a+b):
Guarda siempre el orden alfabético de las letras.Los términos semejantes se colocan unos debajo de otros.
Recuerda que son semejantes los términos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes.
Ejemplo:
No importa que la parte numérica de cada término sea diferente.
Una vez que hemos terminado de multiplicar, trazamos una raya por debajo y sumamos los términos que hemos calculado:
Para elevar una expresión algebraica a una potencia se eleva cada factor a dicha potencia y para elevar una potencia a otra se multiplican los exponentes.
Ejemplo:
Tanto la parte numérica como la parte literal está compuesta de factores.
10.46 Calcular:
Respuesta:
Solución:Para elevar una potencia a otra, se multiplican los exponentes.
CASO 2.- Monomios de base negativa:
10.47 Calcula:
Respuesta:
Solución:Cuando la base es negativa tienes que fijarte en el exponente al cual tenemos que elevar. Si el exponente es par, el resultado será positivo. Si es impar, el resultado será negativo:
Ejemplos:
Si el número de factores con signo menos es par, el resultado es positivo y si es impar, el resultado es positivo
Para resolver estos ejercicios te basta con saber:
1º La regla de los signos en el producto y división:
y
2º Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes
3º Para elevar una potencia a otra se multiplican los exponentes.
10.48 ¿Son iguales ?
Respuesta: Sí
Solución:Son iguales porque cualquier potencia de base negativa o positiva y exponente par el resultado siempre es positivo.
10.49 Calcula:
Respuesta:
Solución:Recuerda que cuando el número de signos menos es impar, el resultado es negativo y positivo cuando el número de signos menos es par.
10.50 Calcula:
Respuesta:
EXTRAER FACTORES DE UN RADICAL.
Para sacar factores de un radical divides el exponente entre el índice y el cociente es el exponente de ese factor fuera de la raíz y el resto el exponente del factor pero dentro del radical.
10.51 Saca fuera de la raíz los factores que puedas:
Respuestas:
Solución:
5.- Calculamos la raíz del numerador y dividimos por la raíz del denominador.6.- Calculamos separadamente las raíces del numerador y del denominador, como en el ejercicio anterior.
7.- Simplificamos dentro de la raíz cúbica tanto la parte numérica (dividiendo por 3 al numerador y al denominador)como a la decimal restando los exponentes de potencias de la misma base, después, como hemos hecho anteriormente sacamos factores fuera de la raíz:
8.- En este ejercicio tenemos fuera de la raíz dos factores en el numerador y uno en el denominador. Tenemos que tener en cuenta que los factores que salgan de la raíz multiplican a los que están fuera y como son potencias sumaremos a los exponentes que tengan las mismas bases:
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.
Se trata de una sencilla operación muy útil en muchas circunstancias.El valor de una raíz no varía si multiplicas o divides por un mismo número al índice y al exponente del radicando.
10.52 Simplifica:
Respuesta:
Solución:Al índice 21 y al exponente 7 podemos dividirles por 7 y sus cocientes serán 3 (nuevo índice) y 1 (nuevo exponente del radicando):
10.53 Simplifica:
Respuestas:
Soluciones:
1.- Paso a paso tenemos:
2.- Cuando el cociente del índice es igual a 1, desaparece la raíz:
3.- Cuando simplifiques al índice y exponentes que haya dentro de una raízdebe ser el m.c.d de todos ellos por el que debas dividir a cada uno de ellos; en este ejercicio el número más grande capaz de dividir a 4, 6,12 y 10 es el 2:
¿Qué sucedería si hubiese otro factor con exponente: 1, 3, 5, 7?
Sencillamente, lo dejamos como está. Comprueba el siguiente ejercicio.
4.- : No existe un mismo número capaz de dividir a: 7, 21, 14 y 5 un número exacto de veces (siempre exceptuamos al 1). Si tuviésemos solamente los exponentes 7, 21 y 14 vemos que 7 es el m.c.d. de los tres pero como queda excluido el 5 no vale.Basta que haya un solo exponente no divisible, para que NO podamos simplificar.
SUMAR Y RESTAR RADICALES .
10.54 Calcula:
Respuesta:
Solución:
Has de fijarte que los índices de todas las raíces y los radicandos sean iguales. En este
ejercicio tenemos 9 veces positivas y 6 negativas. Es como si tuvieses 9 € - 6 €
en que € = .
10.55 Calcula:
Respuesta:
Solución:Hemos agrupado los términos semejantes y las hemos reducido separadamente.
10.56 Calcula:
Respuesta:
Solución:
Como las dos raíces tienen el mismo índice restamos los radicandos. El denominador
común es porque contiene a ambos denominadores.
Dividimos este denominador común entre el primer denominador y el cociente ‘b’ lo multiplicamos por su numerador.Dividimos el denominador común entre el segundo denominador y el cociente ‘a’ lo multiplicamos por su numerador.
Como tiene raíz cuadrada exacta saldrá de la raíz, abpero como denominador. Le pondremos 1 como numerador ya que no hemos podido sacar nada del numerador del radicando.
10.57 Calcula:
Respuesta:
Solución:
Observamos que en el segundo término podemos simplificar por 2 el índice y los exponentes del radicando quedándonos
. Ahora veo que los dos términos son semejantes y ya puedo restarlos para ello, calculo la diferencia de la parte numérica conservando la parte literal.
10.58 Calcula:
Respuesta: .
Solución:La parte numérica de cada raíz descompongo en dos factores siendo uno de ellos cuadrado:
Saco fuera de la raíz los factores que tienen raíz cuadrada exacta y reduzco los términos semejantes:
10.59 Halla la respuesta de
Respuesta: .
Solución:
Observo que lo que está dentro de la raíz tiene 3 términos. Dos de ellos son cuadrados perfectos, el otro término tiene signo menos y eso me da la pista para ver si se trata del cuadrado de la diferencia de dos números.
Hallo la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados, pongo el signo menos entre
ellos y esa diferencia la elevo al cuadrado sabiendo que la raíz cuadrada de
es 2a y la de es 3b.
10.60 ¿Crees que la fracción es igual a la fracción ?
Contesta sí o no razonando el por qué.
Respuesta: SíSolución:
Te basta recordar que si al numerador y denominador de una fracción le multiplico por un mismo número, el valor de la fracción no varía: al numerador y denominador de la
fracción multiplico por 3 y obtengo . Las dos fracciones tienen el mismo cociente exacto que es 2.
Lo mismo sucede con , si al numerador y denominador les multiplico por ‘y’ tengo
otra fracción igual .
10.61 ¿Crees que son iguales?Respuesta: Sí
Solución:Si al numerador y denominador de la fracción que se encuentra dentro la raíz les multiplico por ‘y’ obtengo:
Veo que del denominador que está dentro de la raíz pueda extraer fuera 3y y en el denominador no me queda nada más que un 1 que no se pone:
10.62 ¿Se pueden sumar y ? En caso positivo calcula el resultado:
Respuesta:
Solución:
Nos fijamos que en puedo multiplicar al numerador y denominador de la fracción que está dentro de la raíz por el denominador y después, saco fuera de la raíz lo que pueda:
Veo que actualmente ambos sumandos son semejantes porque sus partes literales son iguales lo que me permite sumar sus coeficientes:
RAÍZ DE RAÍZ.
Se trata de hallar la raíz de una raíz. Algo parecido hacíamos cuando teníamos que elevar una potencia a otra. Recordarás que multiplicábamos los exponentes:
En el caso de las raíces, multiplicamos los índices dejando la misma cantidad
subradical:
Al mismo resultado llegamos si a este ejemplo lo consideramos como potencia:
Recordamos que para escribir una raíz en forma de potencia escribimos el radicando elevado a un exponente cuyo numerador es el exponente del radicando (en el ejemplo, 5 tiene de exponente 1) y como denominador el índice de la raíz. A partir de aquí lo tratamos como si elevásemos una potencia a otra y llegamos al mismo resultado.
10.63 Calcula:
Respuesta:
SoluciónNo te olvides de simplificar la raíz dividiendo el índice y exponentes de 1 radicando por un mismo número:
10.64 Calcula:
Respuesta:
Solución:Primero introducimos dentro de la raíz quinta el radicando que está bajo la raíz
cúbica: .
Recuerda que para introducir factores en un radicando multiplicamos los exponentes de cada factor fuera de la raíz por el índice. Como al entrar se encuentran con potencias de las mismas bases, sumamos exponentes:
10.65 Calcula:
Respuesta: .
Solución:Tienes resuelto paso a paso:
10.66 Halla el valor de:
Respuesta:
10.67 Halla el valor de:
Respuesta: .
REDUCCIÓN A ÍNDICE COMÚN.
Puede suceder que tengamos que multiplicar o dividir raíces con índices diferentes. Cuando éstos son iguales la multiplicación y división no produce ninguna dificultad:
10.68 Multiplica:
Respuesta:
Solución:Para recordar lo tienes resuelto paso a paso.
10.69 Calcula el cociente de:
Respuesta:
Cuando los índices son diferentes se calcula el m.c.m. de ellos. Este valor se divide entre cada uno de los índices y el cociente se multiplica por cada uno de los exponentes del radicando.
10.70 Multiplica:
Respuesta: .
Solución:Los índices son 2 y 3. El m.c.m.(2 y 3) = 6Al dividir 6 entre 3 tenemos 2 como cociente. Este cociente multiplicamos por losexponentes de cada uno de los factores del radicando del multiplicador.Al dividir 6 entre 2 tenemos 3 como cociente. Este cociente multiplicamos por losexponentes de cada uno de los factores del radicando del multiplicador:
Siempre que puedas saca fuera de la raíz el factor que te lo permita:
10.71 Multiplica: .
Respuesta:
10.72 Divide:
Respuesta: .
Solución:Calculamos el m.c.m.(3 y 6) = 6. Dividimos el m.c.m. entre cada índice y el cociente lo multiplicamos por cada exponente que tengamos en el radicando, después, reducimos términos semejantes si los hubiera. Para finalizar, dividimos el numerador entre el denominador teniendo en cuenta que para dividir potencias de la misma base restamos los exponentes:
10.73 Calcula:
Respuesta: .
Solución:Sólo tenemos que tener en cuenta lo estudiado hasta ahora respecto a división de fracciones, división de potencias y raíces.Tienes a continuación, el desarrollo de una forma de resolver el ejercicio:
10.74 Halla el valor de:
Respuesta: .
Solución:
Tienes a continuación una forma de resolverlo, paso a paso:
10.75 Halla el valor de:
Respuesta: .
Solución:
Un modo de resolver puede ser el siguiente:
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.
Recuerda que se llama irracional al número que no puede expresarse con números
enteros ni fraccionarios. Son números que su expresión decimal tiene infinitas cifras pero sin formar períodos.
Podemos decir que 0,5 es lo mismo que .
es lo mismo que 0,75.
Todos estos números son racionales, podemos escribirlos como enteros o fraccionarios.
Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por
ejemplo a estos números los llamamos irracionales porque si queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni 11, ni 13, …. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener.Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que no tengan raíces en el denominador llamamos racionalización de radicales de los denominadores:
Ejemplo: .El denominador es un número irracional, por mucho que intentes calcular su valor verás que nunca acabas de hacer operaciones.Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una fracción por un mismo número, su valor sigue siendo el mismo.
Para hacer racional el denominador lo más simple es que le multipliquemos por sí
mismo: .
Pero para que no varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al
numerador por .Podemos decir que: son iguales
pero no tiene como denominador un número irracional.
10.76 Racionaliza:
Respuesta: .
10.77 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
10.78 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
Las operaciones las tienes desarrolladas paso a paso:
10.79 Racionaliza:
Respuesta:
Solución:El proceso de cálculos con letras es el mismo que aplicamos con los números.Tienes desarrollado paso a paso la resolución del ejercicio:
10.80 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
Tratamos ahora una raíz cúbica. Si tienes y quieres quitar la raíz tienes que conseguir que el exponente del radicando(que es 1) sea igual al índice de la
raíz(que es 3). Para que sean iguales a
tendrás que multiplicarle de este modo, en el denominador al multiplicar
por tendrás que sumar los exponentes dejando la misma base: .
Para que el valor de la fracción no varíe tendrás que multiplicar también al numerador
por :
10.81 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
Para poder quitar la raíz de ,5 tenía que tener como exponente un 7. Vemos que
tendríamos que multiplicarle por de este modo al sumar los exponentes el valor obtenido iguala al índice de la raíz y entonces podemos simplificar. Para que no varíe el
valor de la fracción tendremos que multiplicarle al numerador también por :
10.82 Racionaliza:
Respuesta: .
¿CÓMO RACIONALIZAR EL DENOMINADOR CUANDO ESTÁ COMPUESTO DE DOS TÉRMINOS UNIDOS POR LOS SIGNOS
MÁS O MENOS?.
Supongamos que tenemos que racionalizar:
Para racionalizar el denominador de una fracción que consta de un binomio hay que multiplicar al numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador.¿A qué se llama conjugado de un binomio?
Se llama conjugado de un binomio a otro binomio igual al primero pero con la diferencia de que el signo del segundo término es opuesto al que tenía antes:Ejemplos:
El conjugado de
El conjugado de
El conjugado de
Estudiamos con anterioridad el producto notable: suma de dos números por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados.
El cuadrado de cualquier cantidad bajo una raíz cuadrada equivale a quitar el radical y
dejar solo al radicando:
Si al numerador y denominador de les multiplico por su conjugado que
es , en el denominador obtendría la diferencia de sus cuadrados, 3 – 2 = 1:
Recuerda que si multiplico o divido a los dos términos de una fracción por un mismo número, el valor de la fracción no varía.
10.83 Racionaliza:
Respuesta:
Solución:
Multiplicamos al numerador y denominador por .
Vemos que en el numerador nos queda el cuadrado de la suma de dos números:
.
Sabemos que el cuadrado de la suma de dos números es igual: al cuadrado del
primero: , más dos veces el primero por el
segundo: más el cuadrado del
segundo: que es lo que tienes a
continuación:
10.84 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:Vemos que en el numerador y denominador números sin raíces. El cálculo es el mismo debido a que para eliminar raíces en el denominador nos han de quedar diferencia de cuadrados y el cuadrado de un número entero es otro número entero mayor.
Multiplicaremos a ambos miembros de la fracción por el conjugado del denominador
que es: .
En el numerador nos queda el cuadrado de la diferencia de dos números que es igual al
cuadrado del primero (1) menos 2 veces el primero por el segundo
más el cuadrado del segundo :
Al final, multiplicamos por -1 eliminando al denominador,
10.85 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
.
10.86 Racionaliza:
. Respuesta:
y También .
10.87 Racionaliza:
Respuesta:
Solución:
Multiplicamos cada término del multiplicador por todos los del multiplicando. Recuerda que para multiplicar raíces deben de tener el mismo índice y a continuación se
multiplican las cantidades sub-radicales: dejando la misma raíz.
Para multiplicar un número por una raíz: considera que
tienes: .
A continuación tienes la resolución del ejercicio:
10.88 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
Resolución del ejercicio paso a paso:
10.89 Racionaliza:
Respuesta: .
RACIONALIZAR DENOMINADORES COMPUESTOS DE TRINOMIOS.
Ejemplo:
Racionalizar:
Respuesta:
1º Juntamos dos raíces del denominador. Tomamos las dos primeras en un
paréntesis: y a continuación escribimos el término que nos queda con
su signo: . En realidad es lo mismo
que: pero nos facilita para saber cual es el conjugado del
denominador: .
Cuidado ahora que el primer término está compuesto de dos sumandos –los que se encuentran entre paréntesis –.
2º Multiplicamos al numerador y denominador por el conjugado del denominador. Cuidado con los paréntesis:
Tenemos que tener en cuenta que el primer término del denominador está compuesto de dos sumandos y al multiplicar la suma de dos números por su diferencia obtenemos la diferencia de sus cuadrados por eso el cuadrado del primer término lo escribimos
como una suma indicada elevada al cuadrado: .
Desarrollamos el cuadrado del primer término del denominador:
3º Tenemos que volver a multiplicar a los dos miembros de la fracción por el conjugado del denominador:
Simplificamos al numerador y denominador por 2:
Para simplificar un producto de varios factores por un número, basta simplificar UN solo factor.
Podemos seguir simplificando al numerador y denominador, para ello, debo sacar factor
común a 2 en :
10.90 Racionaliza:
Respuesta: .
HALLAR LA RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO.
No es una operación que se utilice con frecuencia. Es bueno que conozcas el modo de extraer la raíz cuadrada de polinomio.
Hallar la raíz cuadrada de un monomio es tarea muy sencilla:
basta hallar la raíz de cada factor: de la parte numérica, si la tiene, y de la parte literal dividiendo cada exponente de cada factor entre 2 por tratarse de una raíz cuadrada.
10.91 Halla la raíz cuadrada de:
Respuesta: .
Solución:De cada factor extraemos todo lo que podamos. Como 48 es igual a 16 x 3, del factor 16 podemos sacar fuera de la raíz cuadrada a 4.Siempre que el exponente de la cantidad subradical sea mayor que el índice de la raíz dividimos, el exponente entre el índice, el cociente indica el exponente del factor fuera de la raíz y el resto es el exponente de ese factor dentro de la raíz:
10.92 Halla la raíz cuadrada de:
Respuesta: .
Vamos a hallar la raíz cuadrada de un polinomio:
1º Tenemos cuidado de que se encuentre ordenado respecto a una letra y en orden descendente:Ejemplo:
Tenemos el radicando ordenado respecto a la ‘x’.
2º Calculamos la raíz cuadrada del primer término del polinomio y lo colocamos en el lugar correspondiente a su resultado:
3º Elevamos al cuadrado el valor hallado y lo pasamos al radicando colocándolo debajo del primer término del radicando cambiándolo de signo. Sumamos y bajamos los dos términos siguientes:
4º Hallamos el doble de la raíz calculada hasta ahora:
5º Dividimos el primero de los términos que ahora tenemos en el radicando entre el doble de la raíz hallada y su resultado, con el signo correspondiente, será el segundo término del resultado:
6º El último valor calculado lo colocamos a continuación del doble de la de la raíz que ya habíamos calculado:
7º Los dos términos que componen: el doble de la raíz que había calculado al principio y el segundo término del resultado, los encierro entre paréntesis y los multiplico por este último valor:
8º Realizo el producto que tengo indicado y los resultados que obtengo loscambio de signo y los coloco debajo de los dos términos que tengo en el radicando (los términos que bajé):
En el caso que tuviésemos más términos en el radicando, en este momento, bajaríamos los que se necesiten hasta completar tres términos.Duplicaríamos la raíz calculada hasta el momento, colocando el resultado en una segunda nueva línea, debajo del doble de la raíz hallada anteriormente.Dividiríamos el primer término del resto (radicando) entre el primer término del valor calculado en el paso anterior y este valor sería el tercer término de la respuesta.Como comprobarás, vamos repitiendo los pasos explicados.
10.93 Calcular la raíz cuadrada de:
Respuesta: .
Solución:Tienes hecha la raíz siguiendo los pasos indicados en el ejercicio anterior.Al comprobar si estaba ordenado (respecto a ‘x’) el polinomio del radicando vemos que el tercero y cuarto términos no lo están. Corregimos su posición:
10.94 Calcular la raíz cuadrada de:
Respuesta: .
Solución:Primero comprueba si el polinomio está debidamente ordenado. Coloca debidamente los términos semejantes.Tienes a continuación resuelta la raíz paso a paso:
10.95 Calcula la raíz cuadrada de:
Respuesta: .