Modelo examen tema 2

Además habrá operaciones de fracciones algebraicas del tipo que hemos realizado en clase y que os aparecen en la hoja de ejercicios nº2.

Ejercicio nº 1.-

a) Halla el valor numérico de P(x) 2x3 x2 3x 6 para x 1.

b) ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x 1?

Solución:

a) P(1) 2 1 3 6 0

b) Sí. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x) : (x 1) coincide con P(1). En este caso P(1) 0; por tanto, P(x) es divisible entre x 1.

Ejercicio nº 2.-

Descompón en factores los siguientes polinomios:

a) x 5 x 4 2x 3

b) x 3 3x 2

Solución:

a) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación:

x 5 x4 2x3 x 3 x 2 x 2

Por tanto:

x 5 x4 2x3 x 3 x 1 x 2

b) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 0 3 2 1 1 1 2

1 1 2 0

1 1 2

1 2 0

x 3 3x 2 x 12 x 2

Ejercicio nº 3.-

Descompón en factores el dividendo y el divisor, y luego simplifica:

Solución:

En el primer paso sacamos factor común y en el segundo paso aplicamos el producto notable

a2 b2 a b a b a la expresión x4 1.

Ejercicio nº 4.-

Opera y simplifica:

Solución:

a) Observamos que tenemos el producto notable a b · a b a2 b2.

Así:

x 2 4x 4 (x 2)2

Luego:

Ejercicio nº 5.-

Una cuadrilla de segadores siega un campo de heno en x horas. Una segunda cuadrilla tarda el doble en segar el mismo campo. Expresa en función de x la parte de campo que siegan las dos cuadrillas en 1 hora.

Solución:

Ambas cuadrillas juntas segarán en 1 hora:

Ejercicio nº 6.-

Escribe un polinomio de cuarto grado que cumpla, en cada caso, las siguientes condiciones:

a No tenga raíces.

b Tenga sólo dos raíces: 2 y 3.

Solución:

a Por ejemplo, P(x 3x4 2.

b Por tener como raíces 2 y 3, el polinomio ha de tener como factores x 2 y x 3. Además, otro factor debe ser un polinomio de grado 2 sin raíces, como por ejemplo x2 1.

Por tanto:

Ejercicio nº 7.-

Opera y simplifica:

Solución:

Otro modelo de examen: 

 

 

Matemáticas, opción B Opción B Educación Secundaria 4 SOLUCIONES Evaluación: ................................................................................................................................................... Fecha: ..............

Ejercicio nº 1.-

Halla el valor de k para que el polinomio P(x) kx 3 2kx 2 3x 1 sea divisible entre x 1.

Solución:

Para que P(x) sea divisible ente x 1, ha de ser P(1) 0; es decir:

Ejercicio nº 2.-

Factoriza estos polinomios:

a) x 4 2x 3 x 2

b) x 3 4x 2 x 6

Solución:

a) Sacamos factor común y utilizamos que a 2 2ab b 2 a b 2:

x 4 2x 3 x 2 x 2 x 2 2x 1 x 2 x 1 2

b) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 4 1 6 2 2 4 6

1 2 3 0

3 3 3

1 1 0

x 3 4x 2 x 6 x 2 x 3 x 1

Ejercicio nº 3.-

Descompón en factores el numerador y el denominador, y luego simplifica.

Solución:

En el primer paso sacamos factor común; en el segundo paso aplicamos la identidad notable

a2 b2 a b a b a la expresión x2 49, y finalmente dividimos numerador y denominador entre el máx.c.d. de ambos, que es x (x 7).

Ejercicio nº 4.-

Calcula y simplifica:

Solución:

a Efectuamos el producto:

Factorizamos para simplificar:

x4 3x2 2x x x3 3x 2

Aplicamos Ruffini para calcular las raíces de la ecuación x3 3x 2 0:

1 0 3 2 1 1 1 2

1 1 2 0

Así:

x4 3x2 2x x x 12 x 2

x2 6x 9 x 32

x2 2x 1 x 12

x2 + 2x x x 2

Por tanto:

Ejercicio nº 5.-

Expresa mediante polinomios el área y el volumen de este cilindro:

Solución:

Volumen ABASE · Altura x2 (x 5 x3 5x2

Área ALATERAL ABASES 2x (x 5 2x2 2x2 10x 2x2 4x2 10x

Ejercicio nº 6.-

Razona por qué x 1, x 1, x 2, x 2 son posibles divisores del polinomio x3 2x2 x 4. ¿Puede serlo también x 3?

Solución:

Que x 1, x 1, x 2, x 2 sean posibles divisores de x3 2x2 x 4 equivale a decir que 1, 1, 2 y 2 son posibles raíces de dicho polinomio, lo cuál es cierto porque los cuatro números son divisores del termino independiente 4.

Por ese mismo motivo, 3 no puede ser raíz entera del polinomio y por tanto x 3 no va a ser divisor suyo.

Ejercicio nº 7.-

Opera y simplifica:

Solución:

Matemáticas, opción B Opción E Educación Secundaria 4 SOLUCIONES Evaluación: ................................................................................................................................................... Fecha: ..............

Ejercicio nº 1.-

Halla el valor de k para que el polinomio P(x) kx 3 2kx 2 3x 1 sea divisible entre

x 1.

Solución:

Para que P(x) sea divisible ente x 1, ha de ser P(1) 0; es decir:

Ejercicio nº 2.-

Descompón en factores los siguientes polinomios:

a) x 5 x 4 2x 3

b) x 3 3x 2

Solución:

a) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación:

x 5 x4 2x3 x 3 x 2 x 2

Por tanto:

x 5 x4 2x3 x 3 x 1 x 2

b) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 0 3 2 1 1 1 2

1 1 2 0

1 1 2

1 2 0

x 3 3x 2 x 12 x 2

Ejercicio nº 3.-

Simplifica la siguiente fracción algebraica:

Solución:

Descomponemos factorialmente el numerador y el denominador:

Numerador Sacamos factor común 2 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º grado:

2x3 10x2 16x 8 2x 3 5x 2 8x 4

1 5 8 4

2 2 6 4

1 3 2 0

Así:

2x3 10x2 16x 8 2 x 2 2 x 1

Denominador Sacamos factor común 4 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º grado:

4x3 8x2 4x 8 4x3 2x 2 x 2

1 2 1 2 2 2 0 2

1 0 1 0

x 2 1 0 x 2 1 x 1

Así:

4x3 8x2 4x 8 4 x 2 x 1 x 1

Simplificación:

Se obtiene dividiendo numerador y denominador entre el máx.c.d. de ambos, que es

2x 2 x 1.

Ejercicio nº 4.-

Efectúa y simplifica:

Solución:

a) Efectuamos cada paréntesis y luego multiplicamos:

b) Observamos que 4x2 1 2x 1 2x 1.

Luego:

Ejercicio nº 5.-

Traduce al lenguaje algebraico empleando una sola incógnita:

a El área de un rombo cuyas diagonales suman 46 cm.

b Una cantidad x aumentada un 25%.

c El producto de dos números cuya diferencia es 9.

d La diferencia de precio que habría entre alquilar un autobús por 540 € x estudiantes o seis menos.

Solución:

b 1,25x

c Los números son x y 9 x Producto x (9 x 9x x2

Ejercicio nº 6.-

Opera y simplifica:

Solución:

Ejercicio nº 7.-

Expresa algebraicamente mediante un polinomio el área de esta figura:

Solución: