NÚMEROS RACIONALES

Las fracciones

Profra. Iris Camarena

¿qué es un número racional?

En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común).

El término «racional» alude a «ración» o

«parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.

O cuando tardamos media hora en hacer los deberes,

En estas situaciones estamos utilizando las fracciones.

Cuando decimos que nos hemos comido las tres cuartas partes de un pastel,

Términos de una fracción.Recuerda que ya hemos estudiado lo que es una fracción.

a

Si tenemos dos números a y b , y b 0, entonces la expresión ----es una fracción .

b

b se llama denominador de la fracción, y nos indica en cuántas partes se divide la unidad.

a se llama numerador de la fracción , y nos indica cuántas partes tomamos.

a NUMERADOR------------------

b DENOMINADOR

1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el resultado por 210 : 5 = 2 2 . 2 = 4

2) Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado entre 5.10 . 2 = 2020 : 5 = 4

Fracción de un número.

Si queremos calcular cuanto valen los 2 / 5 de 10, ¿ Cómo lo hacemos?Para calcularlo, lo puedes hacer de dos formas distintas :

Tipos de Fracciones: Propias e Impropias.

Dentro de las fracciones podemos distinguir tres tipos diferentes:

Fracciones que tienen el numerador igual al denominador: 3 5 9 456 ------ , -------- , ------- , -------- , 3 5 9 456 Todas estas fracciones son iguales a la unidad:

UNIDAD

Fracciones que tienen el numerador menor que el denominador:

2 1 5 4 21------ , -------- , ------- , -------- , ---------- 3 4 7 9 47

Todas estas fracciones son más pequeñas que la unidad.

2Por ejemplo ---- 3 Si la representamos gráficamente:

2/3Este tipo de fracciones se llaman fracciones propias.

Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador:

4 5 74 7 9------ , -------- , ------- , -------- , ---------- , --------- 3 3 9 5 4

Todas estas fracciones son mayores que la unidad. 4Por ejemplo ------ 3Si la representamos gráficamente:

1 Unidad 1 Unidad

Este tipo de fracciones se llaman fracciones impropias.

3/3 + 1/3

Numero Mixtos. Como acabas de ver, las fracciones impropias son

mayores que la unidadLas fracciones impropias las podemos escribir como

suma de un número natural y una fracción.

4 3 1 1 5 4 1 1

------ = -------- + ------- = 1 + ------ ------- = ------ + ------ = 1 + ----- 3 3 3 3 4 4

4 4

También podemos escribirlas de la siguiente forma.

4 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 -------

3 3 3

5 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 -------

4 4 4 1 1

1 ------ y 1 ------- 3 4

son números mixtos, y se leen “ uno y un tercio” y “ uno y un cuarto “

Fracciones Equivalentes. a c

Si dos fracciones ----- y ------ son equivalentes, entonces se verifica b dque a . d = b . c

Los productos a . d y b . c se llaman productos cruzados.

Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones. a c ------ = ---- a . d = b . c b d

Luego, podemos decir que dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son

iguales.

Si las fracciones no son equivalentes, entonces los productos cruzados son diferentes

a . d b . C

3 4Por ejemplo : ------ y ---- 2 5

3 . 5 = 15 2 . 4 = 8

Comprobamos que 15 8

Entonces decimos que las fracciones no son equivalentes

Comprobación y Ordenación de Fracciones. a c

Si tenemos dos fracciones ---- y ---- b d

¿ cómo podemos saber cuál de ellas es la menor y cuál la mayor?

Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tienen mayor numerador.

2 3 3 2 Por ejemplo : ------ y ---- ------ > ----- 5 5 5 5

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

2 2 2 2 Por ejemplo : ------ y ---- ------ < -----

4 3 4 3

¿ Qué sucede cuando las fracciones no tienen ninguno de sus términos iguales?

En este caso buscamos fracciones equivalentes con el mismo denominador, y comparamos los numeradores.

2 3 Por ejemplo : ------ y ---- 3 4

2 4 6 8 ------ = ---- = ----- = ----- 3 6 9 12

Buscamos fracciones equivalentes. 3 6 9

------ = ---- = ----- 4 8 12

8 9 2 3 Como ------ < ---- , entonces ---- < -----

12 12 3 4

suma y resta con:a) Mismo Denominador:

Cuando tenemos dos fracciones con el mismo denominador. a c ---- y ----

b b Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y dejando el mismo

denominador. a c a + c ------ + ---- = --------

b b b

3 2 3+ 2 5 ------ + ------ = -------- = ----- 7 7 7 7

O también podemos restarlas de la misma forma. a c a - c

----- - ---- = -------- b b b

3 2 Por ejemplo ------ y ----- 7 7

3 2 3 - 2 1

------ - ---- = -------- = ----- 7 7 7 7

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador,

sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.

b) Distinto Denominador.

Para sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador.

Si no lo tiene, debemos buscar fracciones equivalentes, hasta que éstas tengan el mismo denominador

3 4 Por ejemplo ------ y ----- 5 2

3 6 ------ = ----- 5 10

4 8 12 16 20 ------ = ----- = ----- = ------ = -------

2 4 6 8 10

4 3 20 6 20 + 6 26 ------ + ----- = ----- + ------ = ----------- = ------- 2 5 10 10 10 10

4 3 20 6 20 – 6 14

------ - ----- = ----- - ------ = --------- = ------

2 5 10 10 10 10

Para hallar fracciones con distinto denominador, podemos usar el método del mínimo común múltiplo de los denominadores ( m. c. m. )

1 2 3Tenemos las fracciones ----, ----- , ------ 2 3 4

1) Calculamos el m.c.m. de los denominadores:m.c.m. ( 2, 3, 4 ) = 2. 2. 3 = 12

2) Multiplicamos el numerador de cada fracción por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fracción.

1 1 6

------ 12 : 2 = 6 ; 6 . 1 = 6 ------ = ------ 2 2 12

2 2 8 ------ 12 : 3 = 4 ; 4 . 2 = 8 ------ = ------

3 3 12 3 3 9

------ 12 : 4 = 3 ; 3 . 3 = 9 ------ = ------ 4 4 12

6 8 9 1 2 3 A si , las fracciones ------, ----- y ----- son equivalentes a ---- , ---- y ----- 12 12 12 2 3 4 y tienen el mismo denominador, luego podemos sumarlas y restarlas.

1 2 3 6 8 9 6 + 8 + 9 23 ------ + ----- + ----- = ------ + ------ + ----- = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12

1 2 3 6 8 9 6 + 8 - 9 5 ------ + ----- - ----- = ------ + ------ - ------ = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12

Multiplicación y División a c

Para multiplicar las fracciones ------ y ----- , hacemos b d

a c a . c

------ . ---- = ---------- b d b . d

Al multiplicar dos fracciones, obtenemos otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de

los denominadores.

Por ejemplo:

1 2 1 . 2 2 ------ . ----- = -------- = ------ 3 5 3 . 5 15 a cPara dividir dos fracciones ---- y ---- , hacemos

b d a c a d a . d ---- ---- = ----- . ------- = ---------- b d b c b . c

Dividir dos fracciones es lo mismo que multiplicar la primera de ellas por el inverso de la segunda.

Por ejemplo: 3 2 3 5 3 . 5 15 ------ ----- = ----- . ---- = ---------- = ------ 2 5 2 2 2 . 2 4

También podemos hacer el producto cruzado de las fracciones, que consiste en multiplicar el numerador de cada una de las fracciones por el denominador de la

otra. a c a . d

---- : --- = --------- b d b . C Por ejemplo:

3 2 3 . 5 15---- : --- = --------- = ------

2 5 2 . 2 4