matemáticas científico tecnológico · 2019-06-28 · matemÁticascientífico-tecnológico 2....

Educación Secundaria para Personas Adultas

Yolanda Bernal Baños

Nivel

II

Científico Tecnológico

Ámbito

Matemáticas

2 3

Índice general

MATEMÁTICAS

Unidad 0. Introducción ................................................................................ 9

1. Resolución de problemas .................................................................... 10 2. Etapas en la resolución de problemas ............................................ 10 3. Estrategias para la resolución de problemas ................................ 11 4. Herramientas tecnológicas para facilitar el cálculo .................... 14

Resolución de problemas tecnológicos. El proyecto tecnológico .... 15 Software y hardware .................................................................................. 21

Fuentes y recursos ....................................................................................... 25 Autoevaluación ............................................................................................ 26

Unidad 1. Números ........................................................................................ 27

1. Clasificación de los números .............................................................. 28 2. Números racionales ............................................................................... 28

2.1. Suma y diferencia de fracciones ......................................................... 28 2.2. Producto y cociente de fracciones ...................................................... 29

3. Números decimales .............................................................................. 31

3.1. Expresión fraccionaria de un decimal. Fracción generatriz ................ 31

4. Operaciones con números enteros, decimales y fracciones ..... 32 5. Números irracionales ............................................................................ 33 6. Aproximación de números decimales e irracionales ................. 33

6.1. Error absoluto y error relativo ............................................................. 34

7. Potencias ................................................................................................... 34

7.1. Potencia de exponente natural .......................................................... 34 7.2. Potencia de exponente entero negativo ............................................ 35 7.3. Potencia de fracciones ........................................................................ 36 7.4. Potencia de exponente fraccionario ................................................... 36 7.5. Notación científica .............................................................................. 37

8. Radicales ................................................................................................... 38

8.1. Número de soluciones de una raíz ..................................................... 39 8.2. Radicales equivalentes ........................................................................ 39 8.3. Simplificación de radicales ................................................................. 39 8.4. Propiedades de los radicales ............................................................... 39 8.5. Introducir y extraer factores en el radicando ...................................... 40 8.6. Suma y resta de radicales ................................................................... 41 8.7. Producto y cociente de radicales ........................................................ 41


Unidad 2. Proporcionalidad ...................................................................... 45

1. Razón y proporción ......................................................................................... 462. Magnitudes directa e inversamente proporcionales ........................... 463. Problemas de proporcionalidad ................................................................. 47

3.1. Regla de tres simple............................................................................................ 473.2. Regla de tres compuesta ................................................................................... 493.3. Interés simple ...................................................................................................... 50

4. Problemas de repartos................................................................................... 51

4.1. Repartos directamente proporcionales .............................................................. 514.2. Repartos inversamente proporcionales .............................................................. 52

5. Problemas de porcentajes ............................................................................ 53

5.1. Porcentajes encadenados ................................................................................... 53


Unidad 3. Sucesiones numéricas. Progresiones .............................. 57

1. Sucesiones ................................................................................................ 58

1.1. Operaciones con sucesiones ............................................................... 59

2. Progresiones aritméticas ..................................................................... 60

2.1. Término general de una progresión aritmética .................................. 60 2.2. Suma de los términos de una progresión aritmética ......................... 60

3. Progresiones geométricas ................................................................... 62

3.1. Término general de una progresión geométrica ................................ 62 3.2. Suma de los términos de una progresión geométrica ....................... 63


Unidad 4. Polinomios ................................................................................... 67

1. El lenguaje algebraico .......................................................................... 68 2. Monomios y polinomios ..................................................................... 68

2.1. Monomios ........................................................................................... 68 2.2. Polinomios .......................................................................................... 69

3. Operaciones con polinomios .............................................................. 70

3.1. Suma y resta de polinomios ............................................................... 70 3.2. Multiplicación de polinomios ............................................................. 71 3.3. División de polinomios ....................................................................... 72 3.4. División por Ruffini ............................................................................. 73 3.5. Valor numérico de un polinomio ........................................................ 74 3.6. Raíces de un polinomio ..................................................................... 75

4. Factorización de polinomios .............................................................. 75

4.1. Sacar factor común en un polinomio ................................................. 75 4.2. Factorización de polinomios utilizando identidades notables .......... 76 4.3. Aplicación de la regla de Ruffini ......................................................... 76


Unidad 5. Ecuaciones y sistemas ............................................................ 81

1. Igualdades: ecuaciones e identidades ............................................ 82 2. Ecuaciones de primer grado ............................................................... 82

2.1. Ecuaciones de primer grado sencillas ................................................ 82 2.2. Ecuaciones de primer grado con denominadores .............................. 83 2.3. Problemas con ecuaciones de primer grado ...................................... 84

3. Ecuaciones de segundo grado ........................................................... 86

3.1. Ecuaciones de segundo grado incompletas ....................................... 87 3.2. Ecuaciones de segundo grado completas .......................................... 88 3.3. Problemas con ecuaciones de segundo grado ................................... 89

4. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas ................. 90

4.1. Método gráfico .................................................................................... 91 4.2. Método de sustitución ........................................................................ 91 4.3. Método de igualación ......................................................................... 92 4.4. Método de reducción .......................................................................... 92 4.5. Problemas de sistemas de ecuaciones ............................................... 93


Unidad 6. Geometría y medida ............................................................... 99 1. Geometría en el plano y en el espacio ..................................................... 100

1.1. Posición relativa de dos rectas ............................................................ 100 1.2. Posición relativa de recta y plano ....................................................... 100 1.3. Posición relativa de dos planos ........................................................... 101

2. Lugar geométrico ................................................................................... 101 3. El teorema de Pitágoras ....................................................................... 102

3.1. Teorema de Pitágoras generalizado ................................................... 102 3.2. Aplicación del teorema de Pitágoras .................................................. 104

4. Semejanza. El teorema de Tales ........................................................ 105

4.1. Figuras semejantes ............................................................................. 105 4.2. Perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes ...................... 106 4.3. El teorema de Tales .............................................................................. 106 4.4. Criterios de semejanza de triángulos ................................................. 109 4.5. Teorema de la altura ........................................................................... 109 4.6. Teorema del cateto .............................................................................. 110

5. Aplicaciones del teorema de Tales.................................................... 111

5.1. Escala. Mapas, planos y maquetas ..................................................... 111 5.2. Cálculo de alturas y distancias ............................................................ 114 5.3. Método del espejo para medir alturas ............................................... 114

6. Movimientos en el plano .................................................................... 114

6.1. Vectores ............................................................................................... 115 6.2. Traslaciones ......................................................................................... 117 6.3. Giros..................................................................................................... 117 6.4. Simetría central o respecto a un punto .............................................. 118 6.5. Simetría respecto a una recta: simetría axial ..................................... 119

7. Cuerpos geométricos ............................................................................ 120

7.1. Poliedros regulares .............................................................................. 120 7.2. Poliedros irregulares ............................................................................ 121 7.3. Áreas y volúmenes de poliedros irregulares ....................................... 121 7.4. Cuerpos de revolución ......................................................................... 123

Técnicas de expresión y comunicación gráfica ................................................. 128


Unidad 7. Gráficas y funciones ................................................................ 141

1. Localización de puntos en un plano cartesiano ........................... 142 2. Interpretación de gráficos ................................................................... 143 3. Funciones y gráficas .............................................................................. 144

3.1. Construcción de gráficas .................................................................... 145 3.2. Formas de definir una función ............................................................ 146

4. Estudio gráfico de una función .......................................................... 149

4.1. Intervalos ............................................................................................. 149 4.2. Dominio y recorrido ............................................................................ 149 4.3. Crecimiento y decrecimiento .............................................................. 150 4.4. Máximos y mínimos de una función .................................................. 150 4.5. Continuidad y discontinuidad ............................................................. 151 4.6. Periodicidad y simetría ....................................................................... 152 4.7. Puntos de corte con los ejes cartesianos ............................................ 153


Unidad 8. Funciones polinómicas: rectas y parábolas ................. 159

1. Funciones polinómicas de primer grado........................................ 160

1.1. Funciones lineales ............................................................................... 160 1.2. Funciones afines.................................................................................. 161

2. Funciones cuadráticas .......................................................................... 163


Unidad 9. Estadística (I) .............................................................................. 169

1. Caracteres o variables estadísticas ................................................... 170 2. Recuento y agrupación de los datos ................................................ 171

2.1. Tablas de datos agrupados ................................................................. 172

3. Representaciones gráficas ................................................................... 173

3.1. El diagrama de barras ......................................................................... 174 3.2. Histograma .......................................................................................... 174 3.3. El diagrama de sectores ...................................................................... 175 3.4. Pictograma .......................................................................................... 175

4. Medidas de centralización .................................................................. 176

4.1. Media aritmética (x ) .......................................................................... 176 4.2. Mediana (Me) ..................................................................................... 176 4.3. Moda (Mo) .......................................................................................... 177

5. Medidas de dispersión ......................................................................... 178

5.1. Rango o recorrido (R) .......................................................................... 178 5.2. Desviación (di) ..................................................................................... 178 5.3. Desviación media (dm) ........................................................................ 179 5.4. Varianza (V o S2

x o s2 x ) ..................................................................... 179 5.5. Desviación típica (Sx o sx) .................................................................. 179 5.6. Coeficiente de variación (CV) .............................................................. 179

6. Medidas de posición ............................................................................. 181

6.1. Cuartiles............................................................................................... 181 6.2. Percentiles o centiles ........................................................................... 182

7. Las hojas de cálculo .............................................................................. 182


Unidad 10. Cálculo de probabilidades ................................................. 193

1. Experimentos aleatorios ...................................................................... 194

1.1. Tipos de sucesos .................................................................................. 194 1.2. Operaciones con sucesos .................................................................... 195

2. Cálculo de probabilidades en experimentos aleatorios simples .................................................................................. 196

2.1. Regla de Laplace ................................................................................. 197 2.2. Propiedades de la probabilidad .......................................................... 197

3. Cálculo de probabilidades en experimentos aleatorios compuestos ......................................................................... 198

3.1. Espacio muestral de un experimento compuesto .............................. 199 3.2. Sucesos independientes y sucesos dependientes .............................. 199


Solucionario .......................................................................................................... 205

Números Unidad 1 1. Clasificación de los números

2. Números racionales

3. Números decimales

4. Operaciones con números enteros, decimales y fracciones

5. Números irracionales

6. Aproximación de números decimales e irracionales

7. Potencias

8. Radicales

FUENTES Y RECURSOS

AUTOEVALUACIÓN

En muchas ocasiones de la vida cotidiana se hace necesario el uso de un tipo de números diferentes a los enteros.

Por ejemplo, se utilizan los números fraccionarios con una gran frecuencia. Quién no ha escuchado decir en alguna ocasión: «me he comido un cuarto de pollo» o «he llenado la mitad del depósito». En este momento, se están utilizando expresiones que hacen referencia a los números fraccionarios.

De la misma manera, también se hace uso de los decimales, porque ayudan a ser más concretos para expresar el valor numérico de algo.

En unas ocasiones, decir que un pantalón cuesta 39,95 euros o que cuesta 40 euros, no cambia la percepción del valor del pantalón al haber redondeado el precio. Sin embargo, si se trataba de la prueba de atletismo de los 100 metros lisos, es importante tener en cuenta hasta el último decimal, puesto que una centésima puede suponer un nuevo récord.

63,4229235…; p

–4; –17 0; 2; 87 0,25; –12,3

p, √3

3,3; 0,31; 2,47

Números reales

Negativos ExactosNaturales Periódicos

IrracionalesRacionales

Fracciones

Enteros Decimales tienen infinitas y no periódicas

cifras

no se puedenexpresar

como

se puedenexpresar

como

MATEMÁTICAS Científico-Tecnológico2. Números racionales Números

Unidad

1Científico-Tecnológico MATEMÁTICAS

Números 2. Números racionalesUnidad

1

6 7

• Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone como denominador común.

• El resultado de dividir el m.c.m. con el denominador se multiplica por el nu-merador correspondiente.

• Se deja el común denominador y se suman los numeradores.

2 + 5 = 2 ⋅ 5 + 5 ⋅ 3 = 10 + 15 = 25 = 25 : 5 = 518 30 90 90 90 90 90 90 : 5 18

m.c.m. (18,30) = 90 m.c.d. (25,90) = 5

El resultado de una fracción siempre hay que reducirla al máximo, para ello divi-dimos numerador y denominador entre el m.c.d. de ambos. La fracción que se obtiene es una fracción irreducible.

Para sumar números enteros y números fraccionarios, los enteros se expresan en forma de fracción y luego se opera de la forma descrita.

3 + 2 – 6 + 4 = 3 + 2 – 6 + 4 =5 10 1 5 1 10

m.c.m. = 10

30 + 4 – 60 + 4 = 30 + 4 – 60 + 4 = –22 = –1110 10 10 10 10 10 5

m.c.d. (22,10) = 2

2.2. Producto y cociente de fracciones

Producto de fracciones

El producto de fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores. Se multi-plican los numeradores por un lado y los denominadores por otro.

3 ⋅ ( –2 )

=3 ∙ (–2)

=3 ∙ (–2)

=–3

5 10 5 ∙ 10 5 ∙ 5 ∙ 2 25

División de fracciones

El cociente de las fracciones es una fracción cuyo numerador resulta de multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el de-nominador es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

2 : 8 = 2 ⋅ 3 = 6 = 35 3 5 ⋅ 8 40 20

Para dividir más de dos fracciones, se agrupan de 2 en 2 de izquierda a derecha, y el resultado de las 2 primeras se divide por la tercera, y así sucesivamente.

1. Clasificación de los números

La necesidad de contar, de establecer un orden en los elementos de una sucesión fue, posiblemente, el motivo de la aparición de los números. Los números, con posterioridad, según se avanzó en el cálculo hubieron de dar respuesta a nuevas necesidades y de ahí, precisamente, que hoy se contemplen distintas clases de números como:

• Números naturales: son aquellos que se utilizan para contar seres o cosas. No tienen parte decimal: una mesa, dos libros, ninguna persona, etc.

Ν = {0, 1, 2, 3, 4, …}

• Números enteros: aparecen cuando al dar un valor se necesita una referen-cia. Por ejemplo, no es lo mismo decir que estamos a –25 °C que a +25 °C, puesto que el primer valor indica frío y el segundo calor. Tampoco es igual decir que se está a +600 metros que a –20 metros puesto que el primer valor nos indica estar en lo alto de una colina por encima del nivel del mar, y en el otro caso nos indica que, por ejemplo, estamos buceando.

Los números enteros engloban también a los naturales y tampoco tienen de-cimales.

Z = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … }

• Números racionales: son los números que se pueden expresar en forma de fracción, de manera que el numerador y el denominador sean números en-teros.

Por ejemplo, el 2 además de ser un número natural y entero es también racio-nal porque se puede expresar como 2/1. Son también números racionales 5/2 cuyo resultado 2,5 que es un numero decimal exacto. También es un número racional 2/3, cuyo resultado 0,666… es un número periódico. Por tanto, los números racionales también se pueden expresar como números decimales exactos y decimales periódicos (puros o mixtos).

Q = {…, –7/2; 1,46; 6;…}

• Números irracionales: existe un conjunto de números que siendo decimales no son racionales, puesto que no se pueden expresar como una fracción. A estos números se les reconoce porque la parte decimal, con infinitas cifras, no es ni exacta ni periódica.

Ejemplos de estos números son √2 cuyo valor es de 1,414213562…; el núme-ro π que vale 3,14159265…

• Al conjunto de los números racionales e irracionales se les llama números reales, y se les reconoce con la letra R.

2. Números racionales

2.1. Suma y diferencia de fracciones

Para sumar y restar números fraccionarios, es preciso que tengan el mismo deno-minador. Para ello:

Jerarquía de operacionesParéntesis

Potencias y raícesMultiplicaciones y divisiones

Sumas o restasSi en un término aparecen a la vez mul-tiplicaciones y divisiones, se resuelve le-yendo la expresión en orden de lectura, de izquierda a derecha.Observa:

10 : 2 · 5 = 5 · 5 = 25 SÍNo debes operar primero la multiplicación antes que la división, que es lo primero que aparece:

10 : 2 · 5 = 10 : 10 = 1 NO

¡Recuerda!m.c.m. de 18 y 30

Se descompone en factores primos: 18 2 30 2 9 3 15 3 3 3 5 5 1 1 1 1 1 1Se expresan los números como produc-to de factores:

18 = 2 · 32 · 1 30 = 2 · 3 · 5 · 1Se escogen los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente:

32, 2, 5 y 1El producto de los factores escogidos son el m.c.m.

32 · 2 · 5 · 1 = 90

¡Recuerda!m.c.d. de 25 y 90

Descomponemos en factores primos: 25 5 90 2 5 5 45 3 1 1 15 3 1 5 5 1 1 1Se expresan los números como produc-to de factores:

25 = 52 · 1 90 = 2 · 32 · 5 · 1Se escogen los factores comunes eleva-dos al menor exponente: 5 y 1El producto de los factores escogidos son el m.c.d.

5 · 1 = 5

Números reales R

Racionales Q

Enteros Z

Naturales N

Irracionales

3 ∙ 8 = 3 ∙ 4 ∙ 2 = 24 3 4 ∙ 3

MATEMÁTICAS Científico-Tecnológico3. Números decimales Números

Unidad


Números 2. Números racionalesUnidad

1

8 9

A) 5 · ( 19

3 – 376 ) + ( 3

7 · 25 ) = 5 · ( 38

6 – 376 ) + ( 6

35 ) = 5 · ( 16 ) + ( 6

35 ) =

56 + 6

35 = 175210 + 36

210 = 211210

B) 52 · [ 3

5 : ( 14 – 2

3 )] – ( 12 )2

= 52 · [ 3

5 : ( 312 – 8

12)] – 14 = 5

2 · [ 35 : (– 5

12)] – 14 =

52 · [–36

25 ] – 14 = –180

50 – 14 = –360

100 – 25100 = –385

100 = –7720

Ejemplo

1. Efectúa las siguientes operaciones:

A) 2 + 5 + 3 + 7

7 5 2 B)

1 + 5 – 7 + 93 4 2

C) (1 + 2 ) ⋅ 2

3 5D)

(4 – 1 ) : 11

3 6 E)

(5 + 2 ) ⋅ (1 + 4 ) 3 17 F)

2 + 1 ∙ 2 – 4 : 13 3 5 3 6

G)

21 – 174 6

H)

2 + ( 1 )2

⋅2 – 3 : 5

3 3 7 7 14

En una clase de 30 alumnos, 12 estudian alemán como segundo idioma, y 18 francés. ¿Qué fracción del grupo representan los estudiantes de alemán? ¿Y los estudiantes de francés? Expresa el resultado con fracciones irreducibles.

Alemán → 12 = 230 5 Francés →

18 = 330 5 Total de alumnos →

2 + 3 = 55 5 5

Ejemplo

De una cuba se sacan los

45

del vino que contiene, quedando 52 litros. ¿Cuál es su capacidad? 45

→ indica que de 5 partes totales que inicialmente tiene la cuba, se sacan 4 partes, por tanto quedan

dentro de ella

15

que equivale a los 52 litros que nos indica el problema, es decir:

1 = 52 litros → x = 52 ∙ 5 = 260 litros tiene la cuba5 x 1

Ejemplo

De una pieza de tela se han vendido los

34

y a continuación los

25

del resto. Si aún quedan 6 metros

por vender, ¿cuál era la longitud de la pieza? 1.ª venta →

34

→ de cuatro partes se venden 3, con lo cual queda una parte sin vender, es decir

14

2.ª venta → se venden

25

de

14 , es decir,

2 ∙ 1 = 25 4 20

→ de un total de 20 partes se venden dos partes

Total de la venta → 1.ª venta + 2.ª venta =

3 + 2 = 174 20 20

→ de 20 partes se han vendido 17, por

tanto quedan sin vender (20 – 17) = 3 →

320

3 = 6 metros → x = 6 ∙ 20 = 40 metros tenía la pieza20 x 3

Ejemplo

2. Si tenemos dos botellas de agua iguales y una está llena hasta sus

34

partes y la otra hasta sus

23 ,

¿cuál contiene más cantidad de agua?3. Un ama de casa sale con 60 euros. Gasta

14

en la droguería y de lo que le queda se gasta

13

en la

frutería. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?

4. Si me he gastado los

27

de mi dinero y todavía me quedan 450 euros. ¿Cuánto tenía? ¿Cuánto gasté?

5.

16

de una parcela se ha sembrado de habas y

35

de lechugas. ¿Qué fracción queda para tomates?

6. Al comprarme un coche he pagado los

34 de su precio, entregando 9.375 euros. ¿Cuál era el importe

del coche?

7. Al tostar el café se pierde

15

de su peso inicial. Si se disponen de 160 kg de café en crudo. ¿Cuál será

el peso después de tostarlo? 8. El agua al congelarse aumenta su volumen en

110

. ¿Cuál será el volumen ocupado por 200 litros de

agua después de congelada?

3. Números decimales

Una fracción puede escribirse como un número, que es el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Este resultado puede ser un número entero o un número decimal, y dentro de los resultados decimales encontramos varios casos:

• Que sea un decimal exacto: 94 = 2,25

• Que sea un decimal periódico puro: 53 = 1,666… = 1,6

• Que sea un decimal periódico mixto: 176 = 2,8333… = 2,83

3.1. Expresión fraccionaria de un decimal. Fracción generatriz

De la misma forma que se obtiene un número decimal a partir de una fracción, también se puede hacer a la inversa, es decir, se puede expresar un decimal como fracción. A la fracción irreducible que representa a un número decimal se la llama fracción generatriz.

Paso de decimal exacto a fracción

Para pasar un número decimal exacto a fracción, se pone en el numerador el nú-mero decimal sin la coma y en el denominador se pone la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay a la derecha de la coma.

2,5 = 25 = 5 ∙ 5 = 510 5 ∙ 2 2

Paso de decimal periódico puro a fracción

• Sea x el número decimal periódico:

x = 5,1212… = 5,12

• Se multiplica la igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte periódica, o sea 2.

100 ⋅ x = 100 ⋅ 5,121212…

• Se resta a este resultado el número decimal inicial:

100 x = 512,1212… – x = 5,1212 99 x = 507

¡Recuerda!

Los números con decimales infinitos se representan con puntos suspensivos al final: 43,8743279…

Si no los llevan, no son infinitos, sim-plemente tienen muchos decimales, pero se trata de un número decimal exacto: 24,8940929340

Regla de los signos

+ · + = +

– · – = +

+ · – = –

– · + = –

En una fracción, el denominador siempre representa la totalidad

El denominador 5 indica que de un to-tal de 5 alumnos, 2 estudian alemán y 3 estudian francés.

MATEMÁTICAS Científico-Tecnológico6. Aproximación de números decimales e irracionales Números

Unidad


Números 4. Operaciones con números enteros, decimales y fraccionesUnidad

1

10 11

• Se despeja x y se obtiene la fracción generatriz:

x = 507 = 16999 33

Se simplifica.

Paso de decimal periódico mixto a fracción

• Sea x el número:x = 0,3412412412… = 0,3412

• Se multiplica esa igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte decimal, periódica y no periódica.

• Se multiplica la primera igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte decimal no periódica.

• Se restan ambos resultados.• Se despeja x.

10.000 x = 3.412,412 10 x = 3,412 9.990 x = 3.409

x = 3.4099.990

Ejemplo

1. Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

A) 0,352 D) 1,45 F) 5,23 B) 2,353535… E) 5,23 G) 5,23 C) 36,135555…

4. Operaciones con números enteros, decimales y fracciones

Para operar entre números decimales, fracciones y enteros se puede, o bien ex-presarlo todo en forma de entero y decimal, o bien expresarlo todo en forma de fracción.

3 + 4,8 – 17 = 3 + 4,8 – 2,125 = 5,6758

Si al pasar una fracción a decimal, el resultado es un número periódico, entonces es mejor pasarlo todo a fracción.

5 + 14 – 0,65 = 5 + 1,27 – 0,65 = 5 + 14 – 65 =11 1 11 100

5 + 14 – 13 = 1.100 + 280 – 143 = 1.2371 11 20 220 220 220 220

La forma de operar es siguiendo siempre la jerarquía de operaciones.

1. Opera:

A) 2,52 – 1,23 ∙ 5 + 0,3 7

B) ( 1 )2

⋅2 – 0,63

3 5 C)

0,27 – ( 2 )2

⋅ 2,7 + 3,3 3

D) 4,32 : 2,1 + 7,5 ⋅ 5,78

5. Números irracionales

Los números fraccionarios tienen una expresión numérica decimal finita o perió-dica. Sin embargo, existen números decimales que no presentan su parte decimal exacta o periódica. Estos números se conocen con el nombre de irracionales.

Los números irracionales son también decimales que no tienen ninguna repeti-ción periódica.

p = 3,141592653… √2 = 1,4142135623…Ejemplo

1. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales:

A) 5,767676… B) 6,9535353… C) 6,4242242224222… D) √8 E) 3/11

6. Aproximación de números decimales e irracionales

Al trabajar con números decimales periódicos o irracionales no se pueden consi-derar todas sus cifras. Es necesario, pues, tomar aproximaciones, considerando solo un número finito de cifras decimales. Si el número aproximado que se toma es más pequeño que el número original es una aproximación por defecto; si es mayor, es una aproximación por exceso.

La aproximación de un número decimal puede realizarse de dos maneras:

• Por truncamiento: en este caso se rechazan las cifras a partir de aquella don-de se decide hacer el corte.

Corte

3,48735621… 3,4873 5621– Aproximación con 4 cifras decimales: 3,4873

Ejemplo

• Por redondeo: si la primera cifra suprimida es igual o superior a 5, la última cifra decimal del número aproximado aumenta en una unidad, y si por el con-trario es inferior a 5, la última cifra mantiene su valor.

3,48735621… – Aproximación con 4 cifras decimales: 3,4874 3,48735621…

– Aproximación con 3 cifras decimales: 3,487 3,48735621…

Ejemplo

Un caso muy cotidiano del uso del redondeo es el sucedido con la introduc-ción del euro, de forma que al transformar la proporción de pesetas a la nueva moneda se buscó eliminar los decimales, y lo que debía ser 160 pesetas, pasó a ser 1 euro, en lugar de 96 céntimos.

Para expresar un decimal periódico, pero en forma de fracción, se coloca de numerador la parte entera unida a la parte periódica y se resta la parte entera.

Por denominador se ponen tantos 9 como cifras tiene la parte periódica.

a,bcd = abcd – a999

Para expresar en forma de fracción un número decimal periódico mixto, se escribe en el numerador la parte en-tera seguida de la parte no periódica y periódica. Se resta la parte entera, seguida de la parte no periódica.

Por denominador se ponen tantos 9 como cifras tiene la parte periódica, se-guido de tantos 0 como tiene la parte no periódica.

a,bcd = abcd – ab990

¡Recuerda!

En los números irracionales después de los puntos suspensivos, no se indica ni se conoce la siguiente cifra.

MATEMÁTICAS Científico-Tecnológico7. Potencias Números

Unidad


Números 7. PotenciasUnidad

1

12 13

1. Redondea a tres cifras decimales los siguientes números.

A) 45,8752 C) 0,02505

B) 134,4296 D) 4,9084

6.1. Error absoluto y error relativo

El error absoluto viene definido por el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto de un número y su aproximación.

El error relativo se calcula como el cociente entre el error absoluto y su valor exacto.

√3 = 1,73205 … ~ 1,73Error absoluto: Ι√3 – 1,73Ι = 0,00205…

Error relativo:

0,00205 = 0,001181,73205

Ejemplo

2. Calcula el error absoluto y el error relativo del ejercicio anterior.

7. Potencias

7.1. Potencia de exponente natural

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos sus factores son iguales. Al número que se multiplica por sí mismo se deno-mina base, y al que indica las veces que hay que multiplicar la base por sí mismo, exponente.

2 · 2 · 2 · 2 = 24 Dos a la cuarta

Si el exponente es un 2, se lee «al cuadrado» y si es 3 se lee «al cubo». Para el resto de números superiores a tres se lee «a la cuarta», «a la quinta», etc.

Casos particulares a tener en cuenta son:

04 = 0 0 · 0 · 0 · 0 = 0; cero elevado a cualquier número es cero.

13 = 1 1 · 1 · 1 = 1; uno elevado a cualquier número es uno.

a0 = 1 cualquier número elevado a cero es uno.

Signo de una potencia de exponente natural

Base Exponente Resultado Ejemplo

+ Par o impar + 32 = 9; 33 = 27– Par + (–2)2 = 4– Impar – (–2)3 = –8

Propiedades de las potencias

Cómo se opera:

• El producto de dos potencias de igual base y diferente exponente: se deja la misma base y se suman los exponentes.

53 ⋅ 52 = 55

Ejemplo

• El cociente de dos potencias de igual base y diferente exponente: se deja la misma base y se restan los exponentes.

35 : 32 = 33

Ejemplo85

= 83

82

• Potencia de una potencia: se deja la misma base y se multiplican los expo-nentes.

(52)3 = 56

Ejemplo

• Producto de potencias con igual exponente y diferente base: se multiplican las bases y se mantiene el mismo exponente.

22 · 32 = (2 · 3)2 = 62 = 36Ejemplo

• División de potencias con igual exponente y diferente base: se dividen las bases y se mantiene el mismo exponente.

143 : 73 = (14 : 7)3 = 23 = 8Ejemplo

1. Escribe en forma de potencia:A) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 B) (–6) ⋅ (–6) ⋅ (–6)

2. Calcula:A) 32 B) –32 C) 33 D) –33 E) (–3)2 F) (–3)3

3. Calcula:A) 05 B) (–2)0 C) 17 D) (–6)1

4. Expresa en forma de potencia:A) 24 ⋅ 34 B) 53 ⋅ 5 C) (64)3 D) 20 ⋅ 25 ⋅ 24 E) 82 : 42

7.2. Potencia de exponente entero negativo

Las potencias de exponente entero negativo se definen como (a–n) = 1an

A) 5–3 = 1 → 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1

53 5 5 5 125

B)

1 = 10–6

106 C)

( 3 )–2

= ( 5 )2

5 3

Ejemplo

Todas las propiedades de las potencias con exponente natural se aplican a las po-tencias con exponente entero negativo.

¡Recuerda!a

s ⋅ a t = a

s + t

a s

= a s – t

a t

(a ⋅ b)s = a s ⋅ b

s

( a )s = a s

b b s

(as) t = a

s ⋅ t

exponente

base

P o t e n c i a

{

Casos particulares

a0 = 1 → 40 = 1

a1 = a → 31 = 3

1 = a3= a3 – 3 = a0

a3

¡Recuerda!Valor absoluto

El valor absoluto de un número x, se es-cribe como ΙxΙ, y se define como el valor positivo de ese número.

Ejemplo:

Ι3Ι = 3Ι–3Ι = 3

MATEMÁTICAS Científico-Tecnológico7. Potencias Números

Unidad


Números 7. PotenciasUnidad

1

14 15

A)

72= 72 – 5 = 7–3 = 1

75 73 B) 8–3 ⋅ 85 = 82

C)

[(–2)–2]–3 = (–2)(–2) ⋅ (–3) = (–2)6 = 26

Base negativa y exponente par = resultado positivo

D) 54 : 5–6 = 54 – (–6) = 510 E) 63–2 : 9–2 = 7–2 = 1

72

Ejemplo

5. Expresa en forma de potencia:A) 22 ⋅ 2–3 ⋅ 24 B) (3–2)3 C) 55 : 58 D) 3–4 : 5–4 E) 74 ⋅ 64

7.3. Potencia de fracciones

Se eleva el numerador y el denominador a esa potencia.

5 ∙ 54 4

( 5 )2 =

52

= 254 42 16

Si la potencia es de exponente negativo, se invierte la fracción base y se eleva al mismo exponente pero con signo positivo.

( 3 )–4

=

( 2 )4

=

24

=16

2 3 34 81

6. Resuelve las siguientes fracciones:

A) ( 1 )2

2

B) (–1)3

3

C) ( 7 )0

8

D) ( 1 )5

5

E) ( 1 )4

⋅ ( 1 )2

2 2

F) ( 1 )6

⋅ ( 1 )5

5 5

G) (–3)7

⋅ ( –3 )–5

4 4

H) (–1)–1

: ( –1 )–4

3 3

I) ( 2 )3

( 2 )–2( 5 )3

5 5 2

J) ( -3 )3

( 4 )5 : ( 4 )–2

4 3 3

K)

( 1 )3

( 1 )–2

3

L) b5 : b4

b ∙ b2 ∙ b–1

M) a2 ∙ a3 ∙ a–2 ∙ b5 ∙ b–2

(b2 : b) ∙ (a4 : a2)

N) (( 1 )4)2

3

Ñ) (( 1 )3)0

2

O) (( 1 )3)

13

2

P) ((–1)–1)4

4

7.4. Potencia de exponente fraccionario

Las potencias, además de poder presentar un exponente natural o entero, pueden tener un exponente fraccionario, siendo válidas las propiedades anteriormente expre sadas.

A) [(2) ]2

= (2)13( )

⋅

21 = (2)

23( )

13

B) 3

25 : 3

13 = 3

25

– 13 = 3

615

– 5

15 = 31

15

Ejemplo

Para hacer las operaciones de multiplicación y división en este tipo de potencias, hay que realizar con los exponentes las operaciones de suma y resta de las fraccio-nes, de la misma forma que se ha tratado al inicio de esta unidad.

Interpretación de una potencia de exponente fraccionario

Interpretar las potencias con exponente natural y entero no resulta difícil:

A) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

B) 5–3 = 1 → 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 153 5 5 5 125

¿Cuál es el significado de una potencia fraccionaria?

Una potencia de exponente fraccionario se puede expresar como un radical que tiene por índice el denominador del exponente, y por radicando, la base elevada al numerador.

A) 912 = √91 = √9 = 3

B) 1735 = √1735

C) 2

–15 =

12

15

=

1√215

=

1

√25

7. Expresa en forma de raíz las siguientes potencias:

A) 41/2 B) 102/5 C) 271/3 D) 53/7 E) 4–2/3

8. Expresa en forma de potencia las siguientes raíces:

A) √43 6 B) √73

7.5. Notación científica

Un número está expresado en notación científica cuando aparece como un pro-ducto de un decimal y una potencia de base 10, de tal forma que la parte entera del decimal está comprendido entre 1 y 9, ambos incluidos.

Los números científicos surgen por la necesidad de poder expresar ,de una forma más cómoda, números con una gran cantidad de cifras.

• La distancia de la Tierra a la Luna es de 384.000.000 m, que es lo mismo que expresado en forma científica es 3,84 · 108 m.

• La masa del protón es de 1,67 · 10–27 kg, lo que sería igual a colocar 27 ceros a la izquierda de 1,67 correr la coma 27 lugares a la izquierda.

• La edad del Sol es aproximadamente de 5 · 109 años, es decir 5.000.000.000 años.• La velocidad de la luz en el vacío es de 300.000 km/s, es decir 300.000.000 m/s, que expresado en

forma científica es 3 · 108 m/s. • 0,00000345 = 3,45 · 10–6.• 1.040.000.000 = 1,04 · 109.• 45.700.000.000 = 4,57 · 1010.

Ejemplo

Índice Raíz

Radicando

Las raíces cuadradas tienen índice dos, pero no se escribe:

√95 = √952

Observa

a–n = 1an

El numerador y el denominador se invierten y se cambia el signo del

exponente.

MATEMÁTICAS Científico-Tecnológico8. Radicales Números

Unidad


Números 8. RadicalesUnidad

1

16 17

9. Expresa en notación decimal los siguientes números:

A) 8,54 · 107 B) 5,23 · 104 C) 7,34 · 10–6

10. Expresa en notación científica:

A) 32.800.000.000 B) 0,000065 C) 654,23000

Operaciones en notación científica

Al operar con números en notación científica, el resultado también tiene que ex-presarse en notación científica.

Producto:

Para hallar el producto de dos o más expresiones en forma de notación científica, se multiplican las expresiones decimales y se aplica el producto de potencias de igual base:

(8 · 105) · (3 · 104) = 24 · 109 = 2,4 · 1010

Observa que 24 · 109 = 24.000.000.000 = 2,4 · 1010

Cociente:

Se dividen las expresiones decimales y se aplica cociente de potencias con igual base:

(2,25 · 1010) : (7,32 · 1014) = 0,31 · 10–4 = 3,1 · 10–5

Observa que 0,31 · 10–4 = 0,000031 = 3,1 · 10–5

Suma y resta:

Hay que expresar los números en el mismo orden de magnitud, es decir, con el mismo valor de la potencia 10:

8 · 105 + 3 · 104 = 80 · 104 + 3 · 104 = 83 · 104

Los exponentes de las potencias son iguales.

11. Realiza las siguientes operaciones:

A) 1,4 · 102 + 3,8 · 103 C) (7 · 104 ) · (3,2 · 10–6)

B) 7,4 · 104 – 3,6 · 105 D) (12.000) : (2,4 · 102)

8. Radicales

Una raíz se puede expresar como una potencia, pero ¿cómo se calcula el valor de una raíz?

√8 = 2 porque 23 = 8 √16 =± 4 porque 42 =(-4)2=16Ejemplo

3

8.1. Número de soluciones de una raíz

Índice Radicando Soluciones Ejemplo

Par Positivo Dos: una positiva y otra negativa√81 = ± 3

(3)4 = 81 y (–3)4 = 81

Par Negativo No existe solución√–4 No tiene solución puesto que no

existe ningún número que elevado a un resultado par dé negativo

ImparPositivo o negativo

Una y de signo igual al del radicando

√27 = 33 33 = 27 √–64 = –43 (–4)3 = –64

1. ¿Cuántas soluciones tienen los siguientes radicales?

A) √25 B) √–83 C) √164 D) √–36 E) √1 F) √–25

8.2. Radicales equivalentes

√3; √32; √334 6 = 31/2; 32/4; 33/6

Estos radicales son equivalentes porque los exponentes fraccionados son equivalentes:

12

= 24

= 36

.

Al multiplicar o dividir el exponente y el índice por el mismo número, se obtienen radicales equivalentes.

2. ¿Son verdaderas las siguientes igualdades? (V o F)

A) √52 = √546 8 B) √23 = √2643 C) √73 = √7952 D) 3√3 = √326

8.3. Simplificación de radicales

Para simplificar un radical, se divide el índice y el exponente por el m.c.d. de ambos.

√54 = √54:2 = √526:26 3

m.c.d. (4,6) = 2

3. Simplifica los siguientes radicales:

A) √56 8 B) √718 24 C) √26 3 D) √38

8.4. Propiedades de los radicales

Los radicales, al ser potencias de exponente fraccionario, presentan las mismas propiedades que cualquier potencia.

Producto de potencia con el mismo exponente

an · bn = (a · b)n → 51/2 ·21/2 = 101/2

Producto de raíces con el mismo índice

√a · √b = √a · b → √5 · √2 = √10n n n

Cociente de potencia con el mismo exponente

an : bn = (a : b)n →

31/3

51/3 =

35( )1/3

Cociente de raíces con el mismo índice

√a : √b = √a : b → √3√5

3

3 =

√35

3n n n

Ejemplo

√a = b ⇔bn = a

n

MATEMÁTICAS Científico-Tecnológico8. Radicales Números

Unidad


Números 8. RadicalesUnidad

1

18 19

Producto de potencias con la misma base

ap · aq = ap+q → 71/2 · 72/5 = 71/2 + 2/5 = 79/10

Producto de raíces con el mismo radicando

√7 · √72 = √75 · √74 = √75+4 = √795 10 10 10 10

Cociente de potencias con la misma base

ap : aq = ap–q → 23/2 : 21/3 = 23/2 – 1/3 = 27/6

Cociente de raíces con el mismo radicando

√23 : √2 = √29 : √22 = √29–2 = √273 6 6 6 6

Potencia de una potencia

(ap)q = ap · q → (72/3)1/4 = 72/12 = 71/6

Potencia de una raíz

(√a)q = √aq → (√7) = √72p p 3 32

Raíz de una raíz

√√a = √a → √√5 = √5p q 3 6p⋅q

A) √8 : √4 : √2 = √8 : 4 : 2 = √1 = 14 4 4 44

B) √7 ⋅ √2 ⋅31/5 = √7 ⋅ √2 ⋅ √3 = √425 5 5 5 5 5

Ejemplo

4. Expresa en forma de radical:A) 61/3 ⋅ 63/5 D) √6 : √2 G) (51/2)3

B) 42/3 ⋅ 41/4 E) 72 : 71/2 · 72/3 H) 51/2 · √7C) √5 · √7 3 3 F) √√24

p I) 43/5 : √85

8.5. Introducir y extraer factores en el radicando

Para introducir un factor dentro de un radical, se eleva el factor al mismo expo-nente que el índice y se introduce dentro del radical. Luego el factor introducido se multiplica con el radicando.

2√4 = √23 ⋅ 4 = √8 ⋅ 4 = √323 3 33

Para extraer un factor de un radical cuyo radicando viene expresado en forma de potencia, se divide el exponente entre el índice, el cociente se extrae del radical y el resto permanece dentro.

√714 = √712 + 2 = √712 ⋅ 72 = 74 ⋅ √7233 3 3

√108 = √33 ⋅ 22 = 3 ⋅ 2√3 = 6√3

14 3 2 4

Ejemplo

Si el radicando no viene expresado como potencia, se descompone en números primos y se procede como en el caso anterior.

5. Introduce dentro del radical el factor que está delante:

A) 3√4 B) 2√53 C) a√7 D) x√63

6. Extrae factores de las siguientes raíces:

A) √50 B) √36.000 C) √81a6b3 D) √108 E) √803

7. Calcula descomponiendo en factores primos:

A) √2163 B) √1253 C) √1.000 D) √1.0245

8.6. Suma y resta de radicales

Para sumar y restar radicales, estos tienen que ser semejantes, es decir, han de te-ner el mismo radicando, en ese caso se suman o restan los coeficientes que acom-pañan al radicando, sacando el factor común.

Los radicandos se descomponen en números primos y se extraen aquellos facto-res que sea posible, es decir, aquellos cuyo exponente sea mayor o igual al índice de la raíz.

3√50 + 6√18 = 3√52 ⋅ 2 + 6√32 ⋅ 2 = 3 ⋅ 5√2 + 6 ⋅ 3√2 = 15√2 + 18√2 =

= (15 + 18) √2 = 33 √2

Los radicales que no son semejantes, no se pueden sumar ni restar como en el ejemplo anterior. Si se quiere obtener el resultado aproximado de la suma, hay que proceder al cálculo de las raíces por separado y luego operar la suma o resta.

2√5 – 3√2 = 2 ∙ 2,24 – 3 ∙ 1,41 = 1,65

8. Reduce a una sola raíz las siguientes operaciones:

A) 14√3 – 8√3 – 2√3 B) 2√12 + 5√3 – √27 C) √72 – √50 + √18 – √8

D) √32 + √50 – √98 E) √27 – √48 + √300

8.7. Producto y cociente de radicales

Para efectuar el cálculo del producto y de la división de radicales, se puede operar de dos maneras, una como radicales propiamente dicho, y otra como potencias de exponente fraccionado.

Tanto para un caso como para otro hay que hacer uso del m.c.m.

• Producto de radicales:

√3 ⋅ √2 = √33 ⋅ √25 = √33 ⋅ 25 = √27 ⋅ 32 = √8645 3 15 15 15 15 15

m.c.m. (5,3) = 15

el m.c.m. se divide entre el índice y el resultado se multiplica por el exponente del radicando.• Producto de potencias de exponente fraccionario:

315 ⋅ 2

13 = 3

315 ⋅ 2

515 = (33)

115 ⋅ (25)

115 = (33 ⋅ 25)

115 = (27⋅ 32)

115 = 864

115

Ejemplo

• Cociente de radicales:√6 : √3 = √62 : √3 = √62 : 3 = √36 : 3 = √12

• Cociente de de potencias de exponente fraccionario:

612 : 3

14 = 6

24 : 3

14 = (62)

14 : 3

14 = (62 : 3)

14 = 12

14

Ejemplo

9. Opera las siguientes expresiones, simplificando lo máximo posible:

A) 3√5 ∙ √2 B) 4 8√12 : √15 C) 6 8√3 ∙ √5D) 3 6√9 : √18 E) 3 3√5 ∙ √50 F) 4 8 16√27 ∙ √10 : √9

√5 + √2 ≠ √7

Coeficiente

En ocasiones, el coeficiente, dado que multiplica a la raíz, se denomina factor.

3

3

4 4 4 4 4 4

AutoevaluaciónNúmeros

2120

Fuentes y recursos

1 Calcula hasta obtener la fracción irreducible:

A)

21 – 2 – 11 + 10 + 2624 64 64

B)

6 ⋅ 7 ⋅ 87 8 9

C) ( 1 – 1 ) ⋅ 6 2 3

D)

3 ⋅ 75 10

E) 9 : 8

9

F) (8 + 1 ) : (2 + 7 ) 8 16

G) 6 ⋅ ( 19 – 37 ) + 5 ⋅ 2

3 6 7 5

H) ( 5 + 3 + 2) : ( 25 – 6) 8 4 4

I) 2 : 6 – 2 ∙ 5 – 5 – (–2) 15 3 2 2

J) 4 – 12 : 3 – 4 (–9 ) – ( –1) 5 2 3 2 10

K)

3 – 7 ∙ 6 – 1 : 1 + 3 10 3 2 4 6

L)

10 – (2 – 1 ) : ( 3 – 5 ) – 7 ∙ 4 ∙ 5 3 6 4 6 2 3

M) ( 1 )–3

∙ 4 : 105 75 9

N)

(2 – 1 ) – (1 – 1 ) 6 3

3 + 53

O) (–3) ∙ (3 + 2 ) – 6 ∙ 3 3 2

2 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: A) 36 y 24 B) 168 y 140

3 Halla la fracción irreducible de 180135

.

4 Una persona gasta

15

de su dinero en comprar agua mineral a

2 euros la botella. ¿Cuántos euros tenía?

5 En una finca se han plantado árboles frutales. La tercera parte son manzanos, los

38

perales y los

724

almendros. ¿Qué tipo de árbol

es más abundante en la finca? ¿Cuál de los frutales tiene menos ejemplares?

Suponiendo que se han plantado 240 árboles, determina el núme-ro de ejemplares que corresponde a cada especie.

6 Ricardo gastó las dos terceras partes del dinero que tenía ahorrado en comprar un televisor que costaba 960 euros. Del dinero restan-te, empleó la quinta parte en comprar un DVD. ¿Cuánto dinero le quedó? ¿Cuál era el precio del DVD?

7 Una persona compra a plazos un ordenador portátil; el primer mes pagó la mitad del precio, el segundo mes la mitad de lo que que-daba, y el tercer mes los 400 euros restantes. ¿Cuál era el precio del ordenador?

8 Para obtener una mezcla de 750 g de pintura, se utiliza

38

de

color magenta,

24

de color blanco y el resto de color amarillo.

¿Cuántos gramos de cada color contiene la mezcla?

9 De una caja de clavos, se oxidan los

23

. Se utilizan los

45

del resto

para hacer una librería, y los 25 restantes para clavar un mural. ¿Cuántos clavos había en la caja?

10 En una mañana se han recogido 13

de las uvas totales de un vi-ñedo y por la tarde la mitad del resto. Si todavía le quedan 170 ha, ¿cuál es la superficie total del viñedo?

11 En un programa de televisión intervienen 3 periodistas. El primero habla

38

del tiempo total, el segundo ha intervenido durante

25

del resto y el tercero expone sus ideas en 15 minutos. ¿Cuánto ha durado el programa?

12 Un profesor ha corregido

25

de los exámenes con rotulador rojo y 14

con bolígrafo negro. Si todavía le quedan por corregir 42 exá-menes, ¿cuántos tenía que revisar en total?

13 Pasa a fracción generatriz los siguientes números decimales:A) 0,0051 B) 0,0051 C) 0,0051 D) –5,1 E) 2,315252… F) 0,19

14 Realiza las siguientes operaciones:A) 5,6 + 0,1 B) 0,1 + 0,1 – 0,01 C) 2,3 : 1,5

D) (20 / 9) ⋅ 3,02

E)

3 + 2,3 – 0,155

15 Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales:A) 0,126126126… B) 23645777… C) 6 / 7 D) √8

16 Aproxima a dos decimales los siguientes números:A) √8 = 2,828427125… B) 65,795732 C) 28,47297 D) 1,4975

17 Dado el número 17,85562, ¿cuál es el error absoluto y cuál su error relativo si tomamos como valor aproximado 17,855?

18 Calcula las siguientes potencias:A) (–2)5 E) (–10)4 I) (C)0 M) (–2)4 B) (–3)2 F) (–4)3 J) 15 N) (–3)3 C) (–1)6 G) (–5)3 K) 41 Ñ) (0)3 D) (–5)3 H) (–1)8 L) (–7)2

19 Calcula y expresa en forma de potencia:A) (–3)10 (–3)4 (–3) E) (–4)2 (–3)3 (–3)2 (–4)5 B) (–2)2 (–2)3 (–2)10 F) (–2)10 (–1)5 : (–2)4 C) [(–3) 2 (–5)]2 G) 2–2 ⋅ 23 ⋅ 30 ⋅ 32 D) (–5)6 : (–5)2

Enlaces web

www.ematematicas.netPágina con diversos ejercicios de matemáticas para practicar.

www.masmates.comContiene ejercicios, problemas, exámenes y mucho material de apoyo para el estudiante.

www.matesymas.esWeb con información y recursos matemáticos útiles.

Uso de la calculadora científica

Raíces cuadradas

Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 625, tenemos que

escribir 625 presionar y aparece en la pantalla el re-sultado, 25.

Potencias cuadradas

Por ejemplo, para calcular el cuadrado de 6, se obtiene el resultado, 36.

Raíces de cualquier índice

Para calcular √325 : escribimos 32, 5 2

Potencias con exponente entero

Para calcular 35, se escribe 3 5 243.

Expresar un número multiplicado por una potencia de 10

Para obtener 2,34 · 106, escribimos 2,34, luego a continuación

5 y al final 234.000.

Si el número tiene más cifras que celdas presenta el visor de la cal-culadora, el número aparecerá expresado en notación científica.

Por ejemplo, el número 257,4 · 1012 al introducirlo en la calculadora y dar a la tecla = no aparece expresado con todos los ceros a la derecha del decimal, puesto que no cabe. El número aparece en forma de notación científica como: 2,57414, que no es más que 2,574 · 1014.

Ejemplos de la aplicación de los números en notación científica

Masa de la Luna: 7,34 · 1023 kg

Distancia a la galaxia más cercana: 1,7 · 1024 m

Tamaño del virus de la gripe: 9,46 · 10–6 m

Radio del átomo de Carbono: 9,1 · 10–11 m

Distancia de la Tierra a la Luna: 3,84 · 108 m

Distancia de Madrid a Barcelona: 6,5 · 105 m

Unidad

1 Números Unidad

1

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Autoevaluación

22

20 Calcula las siguientes potencias:

A) [(–2)2]3 D) ( 2 )3 ( 2 )–2 [ 5 ]3

5 5 2

B) [(–4)3]4 E) ( –3)3 ( 4 )5 : ( 2 )–2

4 3 3

C) [[(–3)3 (–2)]2]3 F) 244 ⋅ 337 ⋅ 581

243 ⋅ 338 ⋅ 581

21 Realiza las siguientes operaciones combinadas:A) (–2)3 – 3 (–3)2 (–2)2 + 4 [–3 + (–1)3 5] B) (–3)3 (–2) (–5) – [3 (–2)3 + (–2)] – [5 ⋅ 3 ⋅ (–2)]

C) (–2)3 + ( 1 )2 32 + 2–1 2

D) 22 + (–2)5 + ( 3 )2

+ 42 2

E) ( 3 )2

– (–2)3 – (–3)2 + 2–3 2

F) 42 – (–3)3 + ( 2 )2 + 3–1 3

G) 3–2 : ( 2 )3 + 2–1 – (–3)2 – 40 + ( 1 )3

3 2

22 Expresa en notación científica los siguientes números:A) 365400000 B) 6420000000000 C) 0,00000000033D) 0,00000856 E) 21000000 F) 0,000016

23 Escribe en notación decimal los siguientes números escritos en no-tación científica:A) 2,65 ⋅ 105 B) 6,6 ⋅ 102 C) 8,54 ⋅ 10–3

24 Realiza las siguientes operaciones:A) 3,5 ⋅ 103 + 1,4 ⋅ 105 C) (4,2 ⋅ 107 ) ⋅ (4,2 ⋅ 10–4)B) 9,3 ⋅ 105 – 2,9 ⋅ 106 D) (3.200) : (6,4 ⋅ 103)

25 Expresa en forma de radical:A) 35/2 B) 53/4 C) 91/2 D) 12–1/2

26 Expresa en forma de potencia:A) √x34 B) √34 C) √523 D) √4

1

27 Simplifica los siguientes radicales:A) √536 B) √71218 C) √5412 D) √a39

28 Expresa con una sola potencia las siguientes operaciones:A) 35/2 ⋅ 55/2 B) 32/3 : 33/4 C) (35/2)1/3 D) 4–5/2 ⋅ 41/3

29 Expresa en un solo radical las siguientes expresiones:

A) √5 ⋅ √35 5 B) √163

√23 C) √43 ⋅ √65 D) √√73

E) √3 ⋅ √2

√5 F) √3 : √324 3

30 Introduce dentro de la raíz el factor que se encuentra fuera:

A) 3√7 B) 5√23 C) 2x√7 D) 3 √ 3

5 531 Extrae factores de los siguientes radicales:

A) √27 B) √813 C) √80 D) √24 ⋅ 36 ⋅ 723

32 Realiza las siguientes operaciones:A) 8√2 – 4√2 +2√2 – √2B) 7√50 – 2√32 – 3√2 – 4√18C) 2a√3a – √27a3 + a√12aD) 7√16 + 3√54 – 3√1283 3 3

E) – 7 √98 – 5 √32 + 45√50 + 8 √183 9 6

Unidad

1 Números

matemáticas científico tecnológico · 2019-06-28 · matemÁticascientífico-tecnológico 2....

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