gráficas de una funciones racionales profa. caroline rodríguez upra mate 3011
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Gráficas de una funciones racionales
Profa. Caroline Rodríguez
UPRA
MATE 3011
Una función racional es una función que se puede expresar de la forma
)(
)()(
xg
xfxp donde f(x) y g(x) son funciones
polinómicas.
Ejemplos:
xx
xxg
x
xxf
xxf
9
4)(
3
2)(
2
1)(
3
2
2
532)(
43
4)(
3
44)(
2
2
2
23
x
xxxh
xxxq
xxxxp
Consideremos la función racional: 2
1)(
xxf
Hasta ahora sabemos que:
•El dominio de f(x) es D:
•NO tiene intercepto en x.
•El intercepto en y es y = - ½.
2
No podemos trazar la gráfica correctamente con un sólo punto.
Aunque x=2 NO pertenece al dominio podemos observar lo que ocurre con valores que están muy cerca de x=2 (un poco mayor o un poco menor).
2
1)(
xxf
Grafiquemos algunos puntosSi se eligen valores para la x un poco mayores que 2 (2.01, 2.001, etc) , los valores de la función se hacen muy grandes.
Si se eligen valores para la x un poco menores que 2 (1.9, 1.99, etc) , los valores de la función se hacen muy pequeños.
Grafiquemos algunos puntos
Estos puntos los podemos unir con una curva, disyunta, suave que se extiende en direcciones opuestas.
• Los puntos se acercan a esta línea vertical entrecortada, x=2, por ambos lados, pero extendiéndose en direcciones opuestas.
• La línea vertical, x=2, separa la gráfica en dos partes disyuntas.
• x=2 se llama una asíntota vertical
Veamos que ocurre con los valores de la gráfica a medida que x se hace muy grande o muy pequeño. (Comportamiento en los extremos)
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
A medida que los valores de x se hacen más negativos, los valores de la función (y) se acercan más y más a cero.
A medida que los valores de x se hacen más positivos, los valores de la función (y) se acercan más y más a cero.
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
En este caso, la línea y=0 se llama una asíntota horizontal, porque los valores de la función se quedan bien cerca de esta línea a medida que x aumenta o disminuye grandemente..
2
1)(
xxf
Hallar las asíntotas de funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0.
Una función racional está simplificada si NO existen factores comunes, distintos de uno, entre el numerador y denominador.
Asíntotas Verticales
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) vertical(es) si existe(n).
x
xxf
22
52 .1
Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero:2 + 2x = 0 x = -1La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.
Asíntotas de funciones racionales
x
xxf
22
52
Asíntotas horizontalesLas asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones:
1. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
16
1)(
153
3)(.
2
x
xxg
xxfEj El eje de x (y=0) es la
asíntota horizontal de las gráficas de f(x) y
g(x)
Asíntotas horizontales
2. El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente principal del numerador y b es el del denominador.
2
2
16
14)(
153
19)(.
x
xxg
x
xxfEj
La asíntota horizontal de la gráfica de
f(x) es
g(x) es
33
9y
41
4
y
Asíntotas horizontales
3. Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función NO tiene asíntota horizontal.
1
16)(
153
745)(.
2
3
x
xxg
x
xxxfEj Las gráficas de f(x) y
g(x) NO tienen asíntota horizontal
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) horizontal(es) si existe(n).
x
xxf
22
52 .1
El grado del numerador y del denominador es 1.
La asíntota vertical de la f(x) es la recta
2
5
n
n
b
a
25y
Asíntotas de funciones racionales
x
xxf
22
52
Gráficas de funciones racionales
Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:
•Determinar asíntotas verticales.•Determinar asíntotas horizontales.•Determinar interceptos.•Determinar comportamiento alrededor de las asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos puntos adicionales.•Unir puntos con curvas suaves.
Gráficas de funciones racionales
Los interceptos quedan en un mismo pedazo de la gráfica.
Podemos unir esto dos puntos con una curva suave que se acerca a las asíntotas.
x
xxf
22
52
Gráficas de funciones racionales
Debemos evaluar la función en algunos otros puntos para localizar la otra parte de la gráfica.
x
xxf
22
52
2f
222
252
62
12
Gráficas de funciones racionales
Debemos evaluar la función en algunos otros puntos para localizar la otra parte de la gráfica.
x
xxf
22
52
)6,2(
Trazar la gráfica de:x
xxf
3
2)(
Intercepto - y:
Intercepto - x
0
3
0
03
02)0(
f
)0,0(
0
02
03
2
x
xx
x
Asíntota vertical:
Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero:3 – x = 0 x = 3 (ecuación de la asíntota)
Asíntota horizontal:
n
n
bay 2y
(ecuación de la asíntota)
212
Puntos adicionales
x
-5
0
2.5
3
3.5
5
10
50
x
xy
3
2
-10/8 = -1.25
0
5/.5 = 10
Undefined
7/-.5 = -14
10/-2 = -5
20/-7 = -2.86
100/-47= -2.13
xx
xy
2
42
2
x
-2
-1
-.5
-.1
0
1
1.5
1.9
2
0
-1
-3
-19
Und
3
2.33
2.05
und
Trazar la gráfica de:xx
xxg
2
4)(
2
2
Comportamiento de la función alrededor de estos valores:
Posibles asíntotas verticales: x = 0 y x = 2
Cerca de 0, los valores de f(x) van aumentando. Sin embargo esto no ocurre cerca del 2.
Las asíntotas verticales son los valores que hacen cero el denominador en una expresión racional simplificada.
x
x
xx
xx
xx
xy
2
2
22
2
42
2
Las funciones xx
xy
2
42
2
y x
xy
2
son equivalentes excepto en x = 2.
xx
xxg
2
4)(
2
2
NO tiene una asíntota en x = 2. La gráfica tiene un hueco.
Para identificar asíntotas horizontales, examinemos qué ocurre con los valores de y, cuando x toma valores bien grande.
Al igual que en los casos anteriores, podemos identificar la ecuación de la asíntota horizontal dividiendo el coeficiente principal del numerador entre coeficiente principal del denominador.
xx
xxg
2
4)(
2
2
xxx
xy
2
42
2
10
100
1000
1.2
1.02
1.002
Por lo tanto, la asíntota horizontal es y = 1.1
1
1y
Gráficas de funciones racionales
x
y
Asíntota horizontal en y = 1.
Asíntota vertical en x = 0.
xx
xxg
2
4)(
2
2
Hueco en la gráfica.
Primero simplicamos la función.
33
423
9
121022
2
xx
xx
x
xx
La recta vertical x = 3 es la única asíntota vertical de esta función.
Trazar la gráfica de: 9
121022
2
x
xxxf
La recta horizontal y = 2 es la asíntota horizontal de esta función.
3
42
x
x
Determinemos los interceptos.
3
4
9
12
9)0(
12)0(10)0(2)0(
3
2
f
Trazar la gráfica de: 9
121022
2
x
xxxf
017
0
9)2(
12)2(10)2(2)2(
3
2
f
3
4,0
0,2
Busquemos un punto adicional:
Trazar la gráfica de: 9
121022
2
x
xxxf
8f
)4,8(
455
220)8(
9)8(
12)8(10)8(22
2
f
NOTE el hueco en el
punto
3
2,3