Funciones polinómicas

4/23/2015 1 Footer Text

Funciones Polinómicas

• La ecuación general de una función polinómica de

grado n con coeficientes reales está dada por

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 , an ≠ 0 .

• Los casos n = 0, 1, y 2 ya se han discustido:

Teorema del Valor

Intermedio • Las funciones polinómicas son contínuas.

• Si f es una función polinómica y si para a < b, f(a) ≠ f(b),

entonces f(x) existe para cada valor en [a,b].

• Las gráficas de las funciones polinómicas son curvas

suaves, sin huecos ni filos.

Teorema del Valor Intermedio

los ceros reales de f(x) son interceptos en x; la función cambia de signo

• Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe al menos

un valor x= c entre a y b tal que f(c) = 0 .

Si f tiene un cero en [1,3], entonces f(1) y f(3) tendrán signos diferentes. f(1) = 1 + 1 – 4 – 4 = - 6 f(3) = 27 + 9 – 12 – 4 = 20 Como f(1) y f(3) tienen signos opuestos, concluímos que f(x) = 0 para algún valor de x en [1,3].

Usando el teorema de valor intermedio Mostrar que f(x) tiene un cero en [1,3]:

Características de polinomios de grado 3; grado impar

a > 0 a < 0

puntos de retorno: donde la gráfica cambia de forma de crecimiento;

son A LO MAS n – 1, donde n es el grado del polinomio.

interceptos en x: son A LO MAS n, donde n es el grado del polinomio.

)2)(5()( xxxxf

Esta es la factorización final del polinomio. Los interceptos en x de la gráfica de f(x) son: El intercepto en y es: f(0) = 0, el punto (0,0).

)107()( 2 xxxxf

Gráficas de polinomios de grado > 2

)0,2(y (5,0) 0,0)(

xxxxf 107)( 23

Trace la gráfica del polinomio:

Factorizamos el polinomio para hallar los interceptos en x.

)2)(5()( xxxxf

Ejemplo (cont.) xxxxf 107)( 23

Como a>0, f(x) es creciente en los extremos signo f(x) en (0,2) f(1)= f(x) > 0 en (0,2) signo f(x) en (2,5) f(3)= f(x) < 0 en (2, 5) f(4)= -8

4

-6

Características de polinomios de grado 2; grado par

puntos de retorno: donde la

gráfica cambia de forma de

crecimiento; son A LO MAS

n – 1, donde n es el grado del

polinomio.

interceptos en x: son A LO

MAS n, donde n es el grado

del polinomio.

comportamiento en los

extremos: Si a>0, la gráfica es

decreciente en el extremo

izquierdo y creciente en otro.

Si a <0, la gráfica es creciente

en el extremo izquierdo y

decreciente en otro.

Trace la gráfica del polinomio:

𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

¿Qué sabemos?

• grado:

• número de interceptos en x:

• número de puntos de retorno:

• a =

• La ecuación está en su forma factorizada

• Los ceros son:

• Los interceptos en x son:

• El intercepto en y es:

Trace la gráfica del polinomio:

𝑔 𝑥 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)

Evaluar para x en -3<x<-1

• evaluar para algún valor de x en -1<x<1

• evaluar para algún valor de x en 1<x< 2

Usar toda la información para crear una curva suave que une los puntos.

Multiplicidad (cont)

• Si c es un cero real multiplicidad m , entonces

o uno de los factores de f(x) es (x – c)m y

o la gráfica de f tiene un intercepto en x en c .

• La gráfica de f tiene el siguiente comportamiento

cerca de (c, 0) :

Multiplicidad (cont)

Hallar una posible ecuación para la gráfica si f tiene 3 ceros de multiplicidad 1 y un

cero de multiplicidad 2

¿Qué sabemos?

• grado es

• signo del coeficiente principal es

• extremos

• Los interceptos en x son

• El intercepto en y es

División Sintética • Dividir un polinomio entre x – c se puede realizar

mediante división larga o mediante un algoritmo

conocido como división sintética.

• Para dividir anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 , entre

x – c utilizando división sintética , trabajamos

únicamente con los coeficientes del polinomio

como se muestra:

Colocar «0» cuando falta alguna potencia de x

r

se suma

Ejemplo: Dividir f(x) = 2x2 – 5x – 1 entre x – 3

Coeficientes de f(x) 2 – 5 – 1

c 3

Se opera: 2 – 5 – 1

3

Hemos obtenido que: 2x2 – 5x – 1 = (2x + 1 ) (x – 3) + 2

2

6 3

2 1

se multiplica por c

División Sintética: dividir entre x - c

r

se suma

Ejemplo: Dividir P(x) = 2x3 – 7x2 – 4x + 14 entre x + 2

Coeficientes de P 2 – 7 – 4 14

c – 2

Se opera: 2 – 7 – 4 14

– 2

Hemos obtenido que: 2x3 – 7x2 – 4x + 14 = (2x2 – 11x +18) (x + 2) + (-22)

2

– 4 22 -36

-22 –11 18

se multiplica por c

División Sintética: dividir entre x - c

Ejemplo: Factorizar f(x) = x4 + 3x3 – x2 – 3x

División Sintética para factorizar

Teoremas

• Los dos ejemplos anteriores ilustran el siguiente

teorema.

• Como consecuencia de este teorema tenemos:

Teorema del Factor • Demostrar que x – 2 es un factor de

f(x)= x3 - 4x2 + 3x + 2

Ceros Racionales • Las posibilidades para los ceros racionales de un

polinomio con coeficientes enteros se limitan

mediante el siguientes teorema:

• Sea f(x) = anxn + an-1xn-1 + ··· + a1x + a0 , con

coeficientes enteros.

• Si c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no

tienen ningún factor primo común entonces

o c es un factor del término constante a0

o d es un factor del coeficiente principal an

Ceros racionales

• El siguiente cociente nos ayuda a enumerar los

posibles candidatos:

𝑷𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝟎

𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝒏

Ejemplo: Hallar los posibles ceros racionales de

f(x) = x3 – 4x – 2

factores de ao : 2, 1

factores de an : 1

posibles ceros: 2 1

,1 1

esto es, 𝟐,1

Ejemplo

Ejemplo: Demostrar que f(x) = x3 – 4x – 2

NO tiene ceros racionales

Determinamos en el ejemplo anterior que los posibles

ceros son:, 𝟐,1. Si ninguno de los candidatos es un

cero, el polinomio NO tiene ceros racionales.

f(x) NO tiene ceros racionales.

Teorema del Factor

Ejemplo: Hallar un polinomio, f(x), de grado 3 cuyos

ceros son 2, -1 y 3 y que cumple la condición que

f(1)=8.

Por el teorema del factor, f(x), tiene factores x – 2,

x + 1, y x – 3. Por lo tanto,f(x) = a(x – 2)(x + 1)(x – 3).

Utilizando el hecho de que f(1)=8, sustituimos

8 = a(1 – 2)(1 + 1)(1 – 3) que simplificando para a nos

da 8 = 4a o sea que a = 2 y

f(x) = 2(x – 2)(x + 1)(x – 3).

Ejemplo Hallar los ceros racionales de la función

f(x) = 3x4 + 14x3 + 14x2 – 8x – 8

utilizando división sintética.

Primero hallamos los candidatos a ceros racionales:

𝑷𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝟎

𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂𝒏

Example (cont’d)

Tres aseveraciones equivalentes

• Las siguientes aseveraciones son equivalentes para

una función polinómica f :

o El punto (a, b) está en la gráfica de f .

o El valor de f en x = a es b ;

o sea , f(a) = b .

o Si se divide f(x) entre x – a , el residuo de la

división es b .

• Además, si b = 0 , entonces las siguientes

aseveraciones son equivalentes:

o El número a es un cero de la función f .

o El punto (a, 0) está en la gráfica de f ;

esto es, a es un intercepto en x.

o El número a es una solución de la ecuación f(x) = 0 .

o El binomio x – a es un factor del polinomio f(x) .

Cuatro aseveraciones equivalentes

Ejemplos adicionales

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¿Qué sabemos?

• grado:

• factoriza:

• número de ceros en x:

• número de puntos de retorno:

• a=

• Los interceptos en x son:

• El intercepto en y es:

¿Qué sabemos?

• grado impar; n = 5

• factoriza:

• número de ceros en x: 3 (x = 0, x=-3, x=-2)

• número de puntos de retorno, a lo más 4

• a= -1; gráfica sube en el extremo izquierdo y

• baja en el extremo derecho

• Los interceptos en x son {(0,0), (-3,0), (-2,0)}

• El intercepto en y es (0,0).

Trace la gráfica de

grado 5; tiene 3 ceros o

interceptos en x

a = -1 < 0

extremo izquierdo:

gráfica sube

extremos derecho:

gráfica baja

signo f(x) para -3<x<-2 :

evaluar f(-2.5)

signo f(x) para -2<x<0:

evaluar f(-1.5) o f(-0.5)

Trace la gráfica de

División Larga • Si f(x) y g(x) son dos polinomios y g(x) es un

factor de f(x) , entonces f(x) es divisible entre

g(x) o g(x) divide a f(x).

• Por ejemplo, x4 – 16 es divisible entre…

o x2 + 4 ,

o x + 2 , y

o x – 2

o por que

• 𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝒙𝟐 + 𝟒 (𝒙 + 𝟐) 𝒙 − 𝟐

División Larga • Podemos usar división larga para hallar el

cociente y el residuo como de dos polinomios.

• El proceso de división larga termina cuando el

residuo

o es igual a 0

o o tiene un grado menor que el grado del

divisor

• Si durante el proceso de división larga llegamos

a 0, el cociente y el divisor son factores del

dividendo.

• El resultado anterior se puede escribir

•𝟐𝒙𝟐−𝟓𝒙−𝟏

𝒙−𝟑= 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟑 +

𝟐

𝒙−𝟑

• Multiplicando en ambos lados por x – 3 nos da

• 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟑 + 𝟐

Dividir: (2𝑥2−5𝑥 − 1) ÷ (𝑥 − 3)

Dividir: (𝑥4−16) ÷ (𝑥2 + 3𝑥 + 1)

División Larga

• El resultado anterior se puede escribir

• Multiplicando en ambos lados por

x2 + 3x + 1 nos da

4

2

2 2

16 21 243 8 .

3 1 3 1

x xx x

x x x x

4 2 216 3 1 3 8 21 24 .x x x x x x

División Larga