MATE 3171

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

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Desigualdades no lineales

Son aquellas desigualdades que envuelven potencias diferentes de 1, y seusa factorización para determinar el conjunto solución.Signos

1 Si un producto o un cociente tiene un número par de factoresnegativos, entonces su valor es positivo.

2 Si un producto o un cociente tiene un número impar de factoresnegativos, entonces su valor es negativo.

Sugerencias para resolver desigualdades no lineales

1 Mover todos los términos a un lado de la desigualdad.2 Factorizar.3 Determine los intervalos para los cuales el factor es cero.4 Hacer un diagrama.5 Resolver.

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Ejemplos Halle el conjunto solución de:1. (x + 2) (x − 3) ≥ 0SoluciónLos valores que anulan a cada factor son x = −2, x = 3, la recta se divideen 3 intervalosLuego se construye una tabla:

(−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)x + 2 − + +x − 3 − − +

(x + 2) (x − 3) + − +

Conjunto solución (−∞,−2] ∪ [3,∞)

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2. 2x2 + x > 0SoluciónSe factoriza la expresión cuadrática: x (2x + 1) > 0Los valores que anulan a cada factor son x = 0, x = − 12 , la recta se divideen 3 intervalosLuego se construye una tabla:(

−∞,− 12) (− 12 , 0

)(0,∞)

2x + 1 − + +x − − +

x (2x + 1) + − +

Conjunto solución(−∞,− 12

)∪ (0,∞)

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3. 25x ≤ x3SoluciónSe factoriza la expresión cúbica: x3 − 25x ≥ 0x(x2 − 25

)≥ 0 ⇔ x (x + 5) (x − 5) ≥ 0

Los valores que anulan a cada factor son x = 0, x = ±5, la recta se divideen 4 intervalosLuego se construye una tabla:

(−∞,−5) (−5, 0) (0, 5) (5,∞)x + 5 − + + +x − − + +

x − 5 − − − +x (x + 5) (x − 5) − + − +

Conjunto solución [−5, 0] ∪ [5,∞)

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4. 5x2 + 3x ≥ 3x2 + 25. 3

x−1 +1x+2 ≤ 0

SoluciónSe simplifica la expresión 3(x+2)+x−1

(x−1)(x+2) ≤ 04x+5

(x−1)(x+2) ≤ 0Los valores que anulan a cada factor son x = − 54 , x = −2, x = 1, la rectase divide en 4 intervalos, pero el conjunto solución no puede contener ni a−2 ni 1Luego se construye una tabla:

(−∞,−2)(−2,− 54

) (− 54 , 1

)(1,∞)

x + 2 − + + +4x + 5 − − + +x − 1 − − − +4x+5

(x−1)(x+2) − + − +

Conjunto solución (−∞,−2) ∪[− 54 , 1

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Desigualdades con valor absoluto

Propiedades de valor absolutoDesigualdad Forma equivalente1. |x | < c −c < x < c2. |x | ≤ c −c ≤ x ≤ c3. |x | < c x < −c o x > c4. |x | > c x ≤ −c o x ≥ c

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Ejemplos1. |4x | ≤ 20SoluciónAplicando propiedades de valor absoluto:−20 ≤ 4x ≤ 20Se mutiplica cada término por 14−5 ≤ x ≤ 5Conjunto solución [−5, 5]

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2. |3− 2x | < 6SoluciónAplicando propiedades de valor absoluto:−6 ≤ 3− 2x ≤ 6Se le suma a cada término −3 : −6− 3 ≤ 3− 3− 2x ≤ 6− 3Simplificando −9 ≤ −2x ≤ 3Se mutiplica cada término por − 1292 ≥ x ≥ −

32 observe que las desigualdades cambian, al multiplicarse por

una cantidad negativaConjunto solución

[− 32 ,

92

]

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3. |2x − 3| > 3SoluciónAplicando propiedades de valor absoluto:2x − 3 > 3 o 2x − 3 < −3Resolviendo cada desiguladad:2x − 3 > 3 2x − 3 < −32x > 6 2x < 0x > 3 x < 0

Conjunto solución (−∞, 0) ∪ (3,∞)

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4. |8− 3x | ≥ 3SoluciónAplicando propiedades de valor absoluto:8− 3x ≥ 3 o 8− 3x ≤ −3Resolviendo cada desiguladad:8− 3x ≥ 3 8− 3x ≤ −3−3x ≥ −5 −3x ≤ −11x ≤ 5

3 x ≥ 113

Conjunto solución(−∞, 53

]∪[ 113 ,∞

)

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5. Escriba una desigualdad con valor absoluto que represente a

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Sistemas de coordenadas

El plano coordenado es el enlace entre álgebra y geometría. En el planocoordenado se puede trazar gráficas de ecuaciones algebraicas.

Plano CoordenadoSe construye trazando dos rectas perpendiculares, una vertical y otrahorizontal que se intersectan en 0. A cada recta se le llama eje. La rectahoriozontal es el eje X y la recta vertical el eje Y . La intersección esllamado origen O. Las rectas dividen al plano en cuatro partes llamadoscuadrantes.

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Ejemplos

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y(1,4)

(0,­4)

(­4,­3)

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Fórmulas de distancia y punto medio

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La distancia entre los puntos A (x1,y1) y B (x2,y2) se determinaconsiderando el triángulo rectángulo con vértices A, B y C y usando elteorema de Pitágoras se tiene:

d(A,B) =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

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El punto medio del segmento de recta que une los puntos A (x1,y1) yB (x2,y2) es

( x1+x22 , y1+y22

).

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EjemplosHalle la distancia y el punto medio de:1. (0, 8) y (4,−5)SoluciónLa distancia es dada por: d(A,B) =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 =√

(4− 0)2 + (−5− 8)2 =√16+ 169 ≈ 13.601

El punto medio: (x , y) =( x1+x2

2 , y1+y22

)=(0+42 ,

8+(−5)2

)=(2, 32)

2. (−1, 2) y (3, 6)SoluciónLa distancia es dada por: d(A,B) =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 =√

(3− (−1))2 + (6− 2)2 =√16+ 16 ≈ 5.6569

El punto medio: (x , y) =( x1+x2

2 , y1+y22

)=(−1+3

2 , 2+62)= (1, 4)

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