Precálculo

02/15/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada

La Ecuación de la Recta

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Actividades 2.6

• Referencia: Seccíón 2.3 – Ecuaciones de una recta.

Vea ejemplos del 1 al 7; Ejercicios de Práctica:

impares 19-43, 49-55, 59-65.

• Asignación 2.6 – Use GRAPH para graficar la

ecuación 26, guarde en formato de imagen JPG e

imprima. Luego, realice problemas 36, 44, 56, 62

• Referencias del Web

– Math2me: Pendiente de una recta, Pendiente de la recta

Ejercicio 1, Ejercicio 2; Pendiente de una recta abscisa y

ordenada; Pendiente cero de una recta; Rectas paralelas o

perpendiculares

– Descargar GRAPH de Padowan: https://www.padowan.dk/

– Tutoriales de GRAPH

• ¿Cómo graficar?

• ¿Cómo guardar como imagen?

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La ecuación de una recta

• Si A, B y C son números reales, con A,

B distintos de 0 entonces la gráfica de la

ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶 es una recta

(Forma estándar).

• Ejemplo:

3𝑥 − 4𝑦 = 12

• Si m y b son constantes, la gráfica de la

ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es una recta

(Forma pendiente-intercepto)

• Ejemplo:

𝑦 = 2𝑥 + 1

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Programa GRAPH

• Permite graficar ecuaciones con dos

variables.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/15/2016

Pasos:

1. Active Programa

2. Seleccione “Insert

relation” del menú

Function

Bajar de: http://www.padowan.dk/graph/

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Interceptos• Puntos donde la gráfica cruza los ejes.

Intercepto en x es (4,0)

Intercepto en y es (0,3)Interceptos en x son …

Intercepto en y es (0,0)

aproximadamente (0,0) y (6,0)

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Intercepto en x

• Punto(s) donde la gráfica cruza eje de 𝑥.

• Soluciones de la ecuación de la forma (𝑥, 0).

Ejemplo: Determine el los interceptos en x de la ecuación 𝑦 = 3𝑥 − 12

• Solución:Deje y = 0, resuelva por x.

0 = 3𝑥 − 1212 = 3𝑥𝑥 = 4

El intercepto en x es (4,0)

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Intercepto en y

• Punto(s) donde la gráfica cruza eje de 𝑦.

• Soluciones de la ecuación de la forma (0, 𝑦).

Ejemplo: Determine el los interceptos en y de la ecuación 𝑦 = 3𝑥 − 12

• Solución:Deje x = 0, resuelva por y.

𝑦 = 3(0) − 12𝑦 = −12

El intercepto en y es (0,−12)

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Pendiente (Slope)

• La pendiente de una línea recta no vertical es una

medida de inclinación de la recta con respecto al eje

horizontal.

• La líneas rectas verticales no tienen pendiente.

• Hay tres casos:

Pendiente positivaPendiente negativa

Pendiente 0

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• Sea y dos puntos en una recta tal que

𝑥1 ≠ 𝑥2. Entonces, la pendiente (m) de la recta que

por esos puntos es:

Ejemplo:

La pendiente de la recta por

(1,3) y (4,5):

Pendiente (Slope)

12

12

xx

yym

11, yx 22 , yx

12

12

xx

yym

)1()4(

)3()5(

3

2

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Pendiente-Intercepto

• Si y = mx + b es la ecuación de una línea en

el plano, su pendiente es el coeficiente de x

(m) y su intercepto en y es (0,b).

• Ejemplos:

– y = 5x + 3 pendiente 5 , intercepto en y (0, 3)

– y = -3x - 5 pendiente -3 , intercepto en y (0, -5)

– y = x pendiente 1, intercepto en y (0, 0)

– tiene 1/2 e intercepto en y (0, 1)

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12

xy

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Ejemploa 1 & 2

1) Determine la pendiente e intercepto en y de la recta cuya ecuación es 3x - 2y = 6.– Despeje y de la ecuación:

– Pendiente es3

2.

– El intercepto en y es (0,-3)

2) Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es

-4 e intercepto en y es -3.

y = mx + b

y = (-4)x + (- 3)

y = -4x - 3

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2

6

2

3

2

2

x

y

32

3 xy

632 xy

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Ejercicio #1

1. Determine la ecuación de la recta que tiene

pendiente -2 e intercepto-y 5

2. Determine la pendiente e intercepto en y de

la recta cuya ecuación es 2x + 3y = 8

52 xy

623 xy

3

6

3

2

3

3

xy

23

2

xy

Pendiente es -2/3.El intercepto en y es (0,2)

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• Una ecuación de una recta no vertical con

pendiente m que pasa por el punto (x1, y1) es:

• Ejemplo: La ecuación de la recta con pendiente -2

y que pasa por (-1,5) tiene como ecuación:

Pendiente - Punto

11 xxmyy

1)2()5( xy

225 xy

32 xy

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125 xy

522 xy

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Ejercicio #2

1. Determine la ecuación de la recta que tiene

pendiente -2 e intercepto-y 5

2. Determine la pendiente e intercepto en y de

la recta cuya ecuación es 2x + 3y = 8

52 xy

623 xy

3

6

3

2

3

3

xy

23

2

xy

Pendiente es -2/3.El intercepto en y es (0,2)

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• La ecuación de una recta

horizontal es dado por la

ecuación y = b , donde (0,b)

es el intercepto en y.

• Ejemplo:

La gráfica de y = 4

• La ecuación de una recta

vertical es dado por la

ecuación x = a , donde (a,0)

es el intercepto en x.

• Ejemplo:

• La gráfica de x = 4

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Rectas horizontales y verticales

y

x)0,4(=P

),4(=Q 2y

Ly

x

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Rectas paralelas

• Dos rectas son paralelas si no tienen un punto en

común.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma

pendiente pero diferentes interceptos en y.

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𝑚1 =𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥𝑚2 =

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥

𝑚1 = 𝑚2

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(1,5)

Ejemplo 3

• Determine la ecuación de la recta que pasa

por el punto (1,5) y es paralela a la recta con

ecuación y = -3x + 5

11 xxmyy

)1()3()5( xy

335 xy

83 xy

Pendiente = -3

Pendiente = -3

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Por tanto la recta por el punto (1,5)

también tiene pendiente 𝑚2 = -3

135 xy

533 xy

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Rectas perpendiculares

• Dos rectas

perpendiculares

son dos rectas que

se intersecan y

forman un ángulo

de 90 grados.

• Dos rectas

perpendiculares

son dos rectas

donde el producto

de sus pendientes

es igual a -1.

121 mm

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Ejemplo 4

• Determine la ecuación de la recta que pasa por el

punto (1,5) y es perpendicular a la recta y = -3x + 5

13

15 xy

3

1

3

15 xy

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(1,5)

Pendiente = -3

Pendiente = m

tal que …

𝑚 ∙ −3 = −1

𝑚 =−1

−3

𝑚 =1

3

11 xxmyy

Por tanto la recta perpendicular por el

punto (1,5) tiene pendiente 𝑚 =1

3

)1()3

1()5( xy

53

1

3

1 xy y x

1

3

14

3

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(-2,2)

Ejercicio #3

• Determine la ecuación de la recta que pasa por el

punto (-2,2) y es perpendicular a la recta

• Solución:

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3𝑦 − 2𝑥 = 6

3𝑦 − 2𝑥 = 6

3𝑦 = 2𝑥 + 6

𝑦 =2

3𝑥 + 2

𝑚 ∙2

3= −1

𝑚 =−3

2

11 xxmyy

)2()2

3()2(

xy

32

32

xy

232

3

xy

12

3

xy

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Ejercicios del Texto

• Grafique

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Halla la ecuación y exprésela

en forma estándar

Halla la ecuación que pasa a través

del punto con pendiente m. Exprésela

en forma pendiente intercepto

Halla la ecuación que contiene los

puntos indicados. Exprésela en forma

pendiente intercepto

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Ejercicios del Texto

• Halla la ecuación que contiene el punto indicado y satisface la

condición señalada. Exprésela en forma estándar

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