Sec. 2.6 Límites en Infinito; Asíntotas Horizontales

Considere la función ( )2 1

2

xf x

x

+=

− e investigue el comportamiento de esta

cuando x es cada vez más grande.

Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a ∞ . Entonces

( )limx

f x L→∞

=

significa que los valores de ( )f x pueden ser arbitrariamente cerca de L

tomando a x suficientemente grande.

Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a−∞ . Entonces

( )limx

f x L→−∞

=

significa que los valores de ( )f x pueden ser arbitrariamente cerca de L

tomando a x suficientemente grande, negativo.

Definición La línea y L= es una asíntota horizontal de la curva ( )y f x=

si

( )limx

f x L→∞

= ó ( )limx

f x L→−∞

=

Ejemplo

3(pág. 140)

Para la función f cuya gráfica es dada, halle:

1. ( )limx

f x→∞

2. ( )limx

f x→−∞

3. ( )1

limxf x

→

4. ( )3

limxf x

→

5.Las ecuaciones de las

asíntotas

Ejemplo

Encuentre 3

limx x→∞ y

3limx x→−∞

Teorema Si 0r > es un número racional, entonces

1lim 0

rx x→∞=

Si 0r > es un número racional tal que rx está bien definido para toda x,

entonces

1lim 0

rx x→−∞=

Ejemplo

Encuentra el límite o demuestra que no existe.

1. 3 2

lim2 1x

x

x→∞

−

+

2. 3 2

3

4 6 2lim

2 4 5x

x x

x x→−∞

+ −

− +

3. 2

4lim

1x

x

x→∞ +

4. 2

4lim

1x

x

x→−∞ +

5. ( )2 2limx

x ax x bx→∞

+ − +

6.

3 3

3 3lim

x x

x xx

e e

e e

−

−→∞

−

+

7. ( )1lim tan lnx

x−

→∞

8. Halle las asíntotas verticales y horizontales de la función

( )2

2

1

2 3 2

xf x

x x

+=

− −

Limites Infinitos en Infinito

La notación

( )limx

f x→∞

= ∞

Es usada para indicar que los valores de ( )f x son bien grandes cuando x

crece.

De manera similar

( )limx

f x→−∞

= ∞

Es usada para indicar que los valores de ( )f x son bien grandes cuando

decrece.

Ejemplo

Encuentra el límite.

1. ( )4 5limx

x x→−∞

+

2.

6

4

1lim

1x

x

x→−∞

+

+

Ejemplo

Halla los límites cuando x→∞ y x→−∞ . Usa la información y los

interceptos para hacer un bosquejo de la gráfica de ( ) ( )23

2 1y x x x= + −

Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a ∞ . Entonces

( )limx

f x L→∞

=

Significa que para todo 0ε > existe un número correspondiente N tal que

si x N> entonces ( )f x L ε− <

Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a−∞ . Entonces

( )limx

f x L→−∞

=

Significa que para todo 0ε > existe un número correspondiente N tal que

si x N< entonces ( )f x L ε− <

Definición Sea f una función definida en algún intervalo ( ),a ∞ . Entonces

( )limx

f x→∞

= ∞

Significa que para todo número positivo M existe un número

correspondiente positivo N tal que

si x N> entonces ( )f x M>

Ejemplo

Use la definición para demostrar que 3limxx

→∞= ∞