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MATE 3171

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 18

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Expresiones algebraicas

Ejemplos1.3.1

Variable es una letra que puede representar cualquier número de unconjunto dado de números.Expresión algebraica es una combinación de variables y números realeslas cuales se unen a través de las operaciones de suma, resta,multiplicación, división y potenciación.

1.3.2.


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1.3.3

Monomio es una expresión algebracia de un solo término y es de la formaaxk , donde a es un número real y k es un número entero no negativo.

1.3.4

Binomio es una suma de dos monomios.

1.3.5

Trinomio es una suma de tres monomios.


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Polinomio Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma:

anxn + an!1xn!1 + an!2xn!2 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0

donde an, an!1, an!2, · · · , a2, a1, a0 son números reales y n es un númeroentero no negativo. Si an 6= 0, entonces el polinomio es de grado n. Losmonomios akxk son llamados los términos del polinomio.

Ejemplos

1.3.6

Polinomio Tipo Términos Grado72x2 + 4x2x3 + 4x2 ! 5x6! 3y4 ! 3y5 + y7


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Suma y resta de polinomiosSe suman y restan polinomios usando las propiedades de números realesdiscutidos en la sección 1.1. El objetivo es combinar términos semejantes(es decir, términos con las mismas variables y que tienen las mismaspotencias) y use la propiedad distributiva.Nota Al restar polinomios, debe recordar que si un signo menos precede auna expresión en paréntesis, entonces el signo de cada término dentro delparéntesis se cambia cuando se eliminan los paréntesis.

Multiplicación de expresiones algebraicasPara multiplicar polinomios o expresiones algebraicas, se usa la propiedaddistributiva las veces que sea necesaria. Por ejemplo para multiplicar dosbinomios, se tiene:(a+ b) (c + d) =

"F

+"O

+"I

+"L

FOIL F: primeros, O: extremos, I: internos, L: últimos


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Ejemplos1.3.5 Halle la suma, diferencia o producto de:

a. (2x ! 6) + (3! 3x) =

b.!3+ 2x ! 3x2

"!!4! 2x ! 4x2

"=

c. 2 (5+ 2y) + y (y + 3)! y2 (4! y) aplicando propiedad distributiva==

d. (4x + 3y) (3x ! 4y) aplicando FOIL===


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1 e. (3x + y) (2x + 3y ! 2) aplicando la propiedad distributiva===

Fórmulas de productos especialesSi A y B representan a cualquier número real o a expresiones algebraicas,entonces:

1. (A+ B) (A! B) = A2 ! B2Producto de una suma poruna diferencia con losmismos términos

2. (A+ B)2 = A2 + 2AB + B2 Cuadrado de una suma3. (A! B)2 = A2 ! 2AB + B2 Cuadrado de una diferencia4. (A+ B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 Cubo de una suma5. (A! B)3 = A3 ! 3A2B + 3AB2 ! B3 Cubo de una diferencia


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Ejemplos1.3.6 Use las fórmulas de productos especiales para hallar el producto:

1 (3+ y)2 =

2 (4! 3x) (4+ 3x) =

3#2+

p2z$ #2!

p2z$=

4!z ! 2

z

"2=

5!2! x2

"3=

6 (2+ 3r)3 =


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Factorización

Es el proceso de representar una expresión algebraicacomo el producto de dos o más factores que sonexpresiones irreducibles.

Factor común: ocurre cuando cada término tiene un factoren común.

Ejemplos1.3.7 Halle el factor común de cada una de las siguientes expresiones:

1. !3x + 9x3 =2. 2x6 + 18x5 ! 26x2 =3. (2x ! 4)2 + 5 (2x ! 4) (x ! 2) ===


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Factorizar x2 + bx + c

Se requiere determinar dos factores de c , r y s, quesatisfagan:

r + s = b, rs = c

tal que: x2 + bx + c = (x + r) (x + s)

Ejemplos1.3.8 Factorice cada expresión algebraica:

1 x2 ! x ! 12; c = !12, :12 =x2 ! x ! 12 =

2 x2 ! 9x + 20; c = 20, se puede expresar:20 =x2 ! 9x + 20 =


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3 x2 + 3x ! 54


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Factorizar ax2 + bx + cSe requiere determinar dos factores de c , r y s, y dosfactores de a, p y q, que satisfagan:

pq = a, qr + ps = b, rs = c

tal que: ax2 + bx + c = (px + r) (qx + s) .


1 2x2 + 5x ! 12; c = !12, a = 2; se pueden expresar12 =p = , q = ; r = , s = y se tiene:2x2 + 5x ! 12 =


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1 6x2 ! x ! 12; c = !12, a = 6; se pueden expresar12 =p = , q = ; r = , s = y se tiene:6x2 ! x ! 12 =

2 12x2 + 2x ! 30

3 2 (a+ b)2 + 5 (a+ b)! 3


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Fórmulas especiales de Factorización

1. A2 ! B2 = (A+ B) (A! B) Diferencia de cuadrados

2. A2 + 2AB + B2 = (A+ B)2 Cuadrado perfecto

3. A2 ! 2AB + B2 = (A! B)2 Cuadrado perfecto

4. A3 + B3 = (A+ B)!A2 ! AB + B2

"Suma de cubos

5. A3 ! B3 = (A! B)!A2 + AB + B2

"Diferencia de cubos


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1. x2 ! 49 =2. x2

!y2 ! 4

"! 16

!y2 ! 4

"=

=

3. z2 ! 16z + 64 es un trinomio cuadrado perfectop

= ;p

= y 16z =

z2 ! 16z + 64 = (z! )2

4. 4x2 + 24x + 36 similar al ejemplo anterior

5. x9 ! 64y6 es una diferencia de cubos3p

= ; 3p

=

x6 ! 27y9 ==

6. x6 + 125z12 similar al ejemplo anterior, pero es una suma de cubos


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Otros casos de factorización

:Se explicarán a través de ejemplos


1. 4x3 ! 8x2 ! x + 2 por agrupación

4x3 ! 8x2 ! x + 2 =

2. x4 + x3 ! 8x ! 8 por agrupación

x4 + x3 ! 8x ! 8 ==

3. 3x!1/2 + 4x1/2 + x3/2 se factoriza la variable x con el menorexponente

3x!1/2 + 4x1/2 + x3/2 =P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 18

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4. 3 (2x ! 1)2 (2) (x + 3)1/2 + (2x ! 1)3! 12

"(x + 3)!1/2 se factorizan

las expresiones comúnes con el menor exponente

3 (2x ! 1)2 (2) (x + 3)1/2 + (2x ! 1)3! 12

"(x + 3)!1/2 =

= =


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