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Dr. Pedro V·squez

UPRM

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Modelos lineales: PVI

Objetivo En esta secciÛn se resolver·n sistemas din·micos lineales en elcual cada modelo matem·tico es una EDL de 2do orden con coeÖcientesconstantes con condiciones iniciales establecidas en t = 0 : de la forma:

ad2ydt2 + b

dydt + cy = g (t) , y (0) = y0, y 0 (0) = y1

donde la funciÛn g es la entrada, o funciÛn de del sistema. Una soluciÛny (t) de la ED en el intervalo I que contiene a t = 0 que satisface las CIes llamada la salida o respuesta del sistema.

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Ley de Hooke Por la ley de Hooke el resorte el propio resorte ejerce unarestauraciÛn fuerza opuesta a la direcciÛn de alargamiento y proporcional ala cantidad F de elongaciÛn s y se representa por: F = ks.

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Segunda ley de Newton DespuÈs que una masa m se ata a un resorte, ylo estira al resorte por una cantidad s y alcanza una posiciÛn de equilibrioen el que su peso W es equilibrado por la fuerza de restauraciÛn ks. LacondiciÛn de equilibrio es mg " ks = 0. Si la masa se desplaza por unacantidad x desde su posiciÛn de equilibrio, la fuerza de recuperaciÛn delresorte es entonces k(x + s). Por la segunda ley de Newton se obtiene laED:

md 2xdt2 = "k (s + x) +mg = "kx"ks +mg| {z }

0

= "kx (1)

La ecuaciÛn del movimiento libre sin amortiguaciÛn es:md 2xdt2 + kx = 0 Û x 00 + k

w x = 0 Û x 00 + w2x = 0 (2)

La condiciones iniciales son: x (0) = x0 y xí(0) = x1La soluciÛn general de (2) es:

x (t) = c1 coswt + c2 sinwt

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Se considera lo siguiente:Periodo: T = 2π/w y representa el tiempo (en seg) que le toma a lamasa ejecutar un ciclo del movimiento.

Frecuencia: F = 1/T = w/2π representa el n˙mero de cicloscompletados cada segundo.

Frecuencia circular: w =pk/m se mide en radianes por segundo.

Nota La soluciÛn general se puede representar en la forma:

x (t) = A sin (wt + φ)

donde:A =

qc21 + c

22 es la amplitud

φ : ·ngulo de fase

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Ejemplos1 3: p·g. 194

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2 6: p·g. 194

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Movimiento libre amortiguado En el estudio de mec·nica, las fuerzas deamortiguamiento que act˙an sobre un cuerpo se consideran proporcionalesa una potencia de la velocidad instant·nea. En este caso se consideraproporcional a dx

dt = x0 y se obtiene la ED:

md 2xdt2 = "kx " β dxdt (3)

Û md 2xdt2 + β dxdt + kx = 0"Û

d 2xdt2 + 2λ dxdt + w

2x = 0

donde: 2λ = βm , w2 = k

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La ecuaciÛn caracterÌstica es:m2 + 2λ+ w2 = 0

cuya soluciÛn es: m = "λ$p4λ2"4w 22 = "λ$

pλ2 " w2

cada soluciÛn tiene un factor de amortiguamiento: e"λ,λ > 0.

Se tienen los siguientes casos:1. λ2 " w2 > 0, en este caso se dice que el sistema est· sobreamortiguado y su soluciÛn es:

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2. λ2 " w2 = 0, en este caso se dice que el sistema est· criticamenteamortiguado y su soluciÛn es:

3. λ2 " w2 < 0, en este caso se dice que el sistema est· bajoamortiguamiento y su soluciÛn es:

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3 21: p·g. 195

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4 26: p·g. 196

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Movimiento libre amortiguado y forzado Suponga que se considera unafuerza externa f (t) que act˙a sobre sistema masa resorte que esta enmovimiento y se obtiene la ED:

md 2xdt2 = !kx ! β dxdt + f (t) (4)

Û md 2xdt2 + β dxdt + kx = f (t)!Û

d 2xdt2 + 2λ dxdt + w

2x = F (t) (5)

donde: 2λ = βm , w2 = k

m , F (t) = f (t) /m. La funciÛn f (t) esusualmente una funciÛn seno o coseno.

Este sistema tiene una una soluciÛn transitoria (xc (t)) y soluciÛn estable(xp (t)).

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Movimiento libre sin amortiguamiento y forzado Suponga que seconsidera una fuerza externa f (t) que act˙a sobre sistema masa resorteque esta en movimiento y se obtiene la ED:

md 2xdt2 = !kx + f (t) (6)

Û md 2xdt2 + kx = f (t)!Û

d 2xdt2 + w

2x = F (t) (7)

donde: F (t) = F0 sinγt, con x (0) = x0 y xí(0) = x1

Nota Si w = γ entonces se tiene resonancia pura.

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5 30: p·g. 196

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6 36: p·g. 197

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Circuitos en serie Muchos sistemas fÌsicos se pueden describir mediante laecuaciÛn diferencial:

Û md 2xdt2 + β dxdt + kx = f (t)! (8)

Si i (t) representa la corriente en el circuito elÈctirco LRL, entonces lacaÌda de voltaje a travÈs del inductor, resistor y capacitor se muestran enla Ögura. Por la segunda ley de Kircho§ se tiene:

Û L didt + Ri +1C q = E (t)! (9) .

Como la carga q (t) se relacionacon la corriente i (t) por i = dqdt , entonces

(9) se transforma en:

Û Ld2qdt2 + R

dqdt +

1C q = E (t)! (10)

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7 46: p·g. 198

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