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MATE 3032

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 31

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Series de Maclurin y Taylor

Considere a una función f , cuya serie de potencias, es:

(1) f (x) =•Ân=0cn (x − a)n =

c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + c3 (x − a)3 + · · · , |x − a| < Rel objetivo es obtener los coeficientes cn, los cuales deben estar entérminos de f y sus derivadas.


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Resolviendo la ecuación para el coeficiente n-ésimo cn, se obtiene:

cn =

esta fórmula es válida inclusive para n = 0, porque se asume que 0! = 1,esto nos lleva al siguiente resultado:

Sustituyendo la fórmula para cn en la serie, y si la serie tiene unaexpansión en x = a, entonces se obtiene:


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que se conoce como la serie de Taylor de la función f en x = a.Para el caso especial a = 0, la serie de Taylor se convierte en:

que se conoce como la serie de Maclaurin.P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 31

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Ejemplo1. Halle la serie de Maclaurin de f (x) = ex y halle su intervalo deconvergencia:


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2. Halle la serie de Maclaurin de f (x) = cos x y halle su intervalo deconvergencia:


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Si f tiene derivadas de todos los órdenes, entonces:

entonces como toda serie convergente, f es el límite de la sucesión desumas parciales, y en el caso de la serie de Taylor, las suma parciales son:

observe que Tn (x) es un polinomio de grado n que se conoce como elpolinomio de Taylor de grado n de f en x = a.


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3. La función exponencial f (x) = ex , tiene como polinomios de Maclaurincon n = 1, n = 2, n = 3 :

T1 (x) = 1+ x

T2 (x) = 1+ x +x2

2!T3 (x) = 1+ x +

x2

2!+x3

3!

En general. f (x) es la suma de su serie de Taylor si:

f (x) = limn!•

Tn (x)

Y se define:

Rn (x) = f (x)− Tn (x)) f (x) = Rn (x) + Tn (x)

entonces Rn (x) se conoce como el residuo de la serie de Taylor.P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 31

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Si limn!•

Rn (x) = 0, entonces se tiene que:

limn!•

Tn (x) = limn!•

[f (x)− Rn (x)] = f (x)− limn!•

Rn (x) = f (x) ,

por lo tanto se obtiene el siguiente resultado:

También es importante considerar el siguiente resultado:


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4. Halle la serie de Maclaurin de f (x) = x cos x y su radio de convergencia


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5. Halle la serie de Taylor de f (x) = 1/xx , a = −3 y su radio deconvergencia


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6. Halle la serie de Taylor de f (x) = sin x , a = p y su radio deconvergencia


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La serie de Maclaurin de f (x) = (1+ x)k :


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La notación tradicional de los coeficientes en la serie binomial es:

y se les llama los coeficientes binomiales. A continuación se presenta elsiguiente teorema:

La serie binomial converge si |x | < 1.Converge en x = 1 si −1 < k ≤ 0 y converge en x = ±1 si k ≥ 0


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7. Use la tabla anterior para hallar la SM de f (x) = x cos( 12x2)


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8. Use la tabla anterior para hallar la SM de f (x) =xp4+ x2


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9. Ejer. 43 pág. 771


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10. EvaluateZ ex − 1

xdx


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11. Evalúe limn!•

1− cos x1+ x − ex


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12. Halle la suma:•

Ân=0

(−1)n p2n

62n (2n)!


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