Series de Taylor y Maclaurin Seala representacin en serie de potencias de f(x).Si derivamos obtenemos,evaluamos en encontramos la segunda derivada evaluamos en Encontramos la tercera derivada evaluamos enEncontramos la cuarta derivada evaluamos enDe esta manera podemos ver queresolvemos paraComo=sustituimosy obtenemos,Serie de Taylor centrada en c Si ahora hacemos c = 0 entoces obtenemos Serie de Maclaurin Las series de Maclaurin nos pueden ser tiles para encontrar integrales de los cuales no podemos sacar primitivaEvale la integral utilizando seriesBasandonos en la serieconstruimos la serie paraLo que nos interesa es el integral, entonces lo que haremos es integrar la serie

Con ayuda de esta serie ya podemos evaluar una integral definida de la funcin SERIE DE TAYLOR De lo que se obtiene: Si a = 0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin. Serie de Taylor Enmatemticas,laseriedeTaylordeformulafuncinfinfinitamentederivable(realo compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13. Aqu, n! es el factorial n y f (n)(a) indica la n-sima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la funcin f(x) se llama analtica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se sueleutilizarunaestimacindelrestodelteoremadeTaylor.Unafuncinesanalticasiy solo sisepuederepresentar conunaseriedepotencias;los coeficientes deesa serieson necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representacin tiene tres ventajas importantes: -Laderivacineintegracindeunadeestasseriessepuederealizartrminoa trmino, que resultan operaciones triviales.-Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin.-Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de una funcin a una serie de Taylor, es la ptima aproximacin posible.AlgunasfuncionesnosepuedenescribircomoseriedeTaylorporquetienenalguna singularidad.Enestoscasosnormalmentesepuedeconseguirundesarrolloenserie utilizando potencias negativas de x (vase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(1/x) se puede desarrollar como serie de Laurent. DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR Sehavistoqueunaseriedepotenciasrepresentaunafuncin(susuma)analticaen R z < .Acontinuacinsevaaestablecerunrecproco,fundamentalenlateorade funciones de variable compleja. a) Teorema Sif(z)esanalticaen uncrculoabierto 0 0r z z < ,admiteendichodominiouna representacin en serie: ( ) ( ) ... z z! n) z ( f... z z! 1) z ( f) z ( f ) z ( fn00) n000+ + + + =que podemos escribir: ( )= =0 nn00) nz z! n) z ( f) z ( f con) z ( f ) z ( f0 0) 0 (= . Estaseriedepotenciaseselllamadodesarrollodef(z)enseriedeTaylorenun entorno de 0z . Si0 z0 =la serie de Taylor se conoce como serie de MacLaurin de f(z). EJEMPLOS DE LA SERIE DE TAYLOR 1.- Calcule la serie de maclaurin para. Solucin Siparatodax,portanto,paratodan.as,dela ecuacin de maclaurin se tiene la serie de maclaurin: Obtenga la serie te Taylor para sen x en a. si (x) = sen x, entonces `(x) = cos x, ``(x) = -sen x, ````(x) = -cos x,(x) = sen x, y assucesivamente.Deestemodo,delafrmuladeTaylor, laseriede Taylor requerida se obtiene del teorema serie de Taylor.2.-Utilizando la definicin de desarrollo de Taylor ( de MacLaurin ) se obtiene: -Sea ze z f = ) ( . Es entera y z ne z f = ) () (,1 ) 0 () (=nf e n N Luego:== + + + + + =0 nn n 2z! nz...! nz...! 2z! 1z1 e ; = R Anlogamente: - =+ ++= ++ + + =0 n1 n 2 n 1 n 2n5 3)! 1 n 2 (z ) 1 (...)! 1 n 2 (z) 1 ( ...! 5z! 3zz senz ; = R- == + + + =0 nn 2 n n 2n4 2)! n 2 (z ) 1 (...)! n 2 (z) 1 ( ...! 4z! 2z1 z cos , = R- =++=0 n1 n 2)! 1 n 2 (zShz , = R;==0 nn 2)! n 2 (zChz , = R 3.-Como consecuencia de los anteriores es inmediato que por ejemplo: - ==0 nn nz! nz ) 1 (e = R==0 nn nz 3! nz 3e = R- ==0 nn 2z! nze2 = R=+ ++=0 n1 n 2 1 n 2 n)! 1 n 2 (z 5 ) 1 (z 5 sen = R 4.- A partir de la serie geomtrica - == + + + + + =0 nn n 2z ... z ... z z 1z 11,1 R= pueden obtenerse de forma inmediata: - = = + + + =+0 nn n n n 2z ) 1 ( ... z ) 1 ( ... z z 1z 11 ; 1 R=- = = + + =+0 nn 2 n 6 4 22z ) 1 ( ... z z z 1z 11 ;1 R=- ( )=+=(((

+|.|

\|+|.|

\|+ ==0 n2 n 2n 24 223z9123z...3z3z1911z 913 R =