mate 3031 - recinto universitario de...
TRANSCRIPT
MATE 3031
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77
MATE 3171
¿Qué es una función?
En esta parte se recordará la idea de función y su definición formal.En casi todos los fenómenos físicos se observa la dependencia de unacantidad sobre otra. Por ejemplo:
1 La altura es una función de la edad.2 La temperatura es una función de la época del año.3 Costo de una paquete es función de su peso.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 77
MATE 3171
EjemplosR1 Otros ejemplos:
1 El área de un círculo en función de su radio.
2 La potencia de un circuito es función de la corriente que fluye en elcircuito.
Definción Una función f es una regla que asigna a cada elemento xen un conjunto A exactamente un elemento, f (x) en el conjunto B.Los conjuntos A y B son subconjuntos de los números reales.El símbolo f (x) se lee "f de x” o ”f en x” y es llamado el valor de f en x,o la imagen de x bajo f.El conjunto A es el dominio de la función y se define:Dom (f ) = {x ∈ R|para cada x ∈ A existe un único f (x) ∈ B}El rango de f es el conjunto de todos los posibles valores de f (x) dondex ∈ Dom (f ) , esto es:rango(f ) = {f (x) | x ∈ Dom (f )}La variable x es la variable independiente.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 77
MATE 3171
Se puede pensar una función como una máquina:
O como:
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 77
MATE 3171
Representación de funcionesUna función se puede representar en:
1 Forma verbal2 Algebraicamente3 Visualmente en forma de una gráfica4 Numéricamente en forma de tabla.
EjemplosR2
1. Dado f (x) =√9− x2, evalúe:
f (−3) =√9− (−3)2 =
√9− 9 = 0
f (−2) =√9− (−2)2 =
√9− 4 =
√5
f (−1) =√9− (−1)2 =
√9− 1 =
√8
f (0) =√9− (0)2 =
√9 = 3
f (2) =√9− 22 =
√9− 4 =
√5
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 77
MATE 3171
7. Dado f (x) =
{ 3x
si x < 0
3 si x ≥ 0, evalúe:
f (−4) =f (−1) =f (0) =f (1) =f (−2)− f (1) =
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 77
MATE 3171
2. Si f (x) = 3x + 5, hallef (a+ h)− f (a)
hSoluciónSe halla: f (a) = 3(a) + 5 = 3a+ 5f (a+ h) = 3(a+ h) + 5 = 3a+ 3h+ 5f (a+ h)− f (a)
h=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 77
MATE 3171
3. Halle el dominio de f (x) = x3 − 3, −4 < x ≤ 6SoluciónEl dominio es: Dom (f ) = (−4, 5]
4.Halle el dominio de f (x) = x3 − 3SoluciónDom (f ) = R = (−∞,∞)El dominio de toda función polinómica es el conjunto de los númerosreales.
5. Halle el dominio de f (x) =3
4x + 12SoluciónEl dominio de toda función racional es el conjunto de los números reales,excepto los valores que anulan al denominador.Dom (f ) = R− {−3}
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 77
MATE 3171
6. Halle el dominio de f (x) =x3
x2 + x − 12Solución
f (x) =x3
x2 + x − 12 = f (x) =x3
(x + 4) (x − 3)Dom (f ) =7. Halle el dominio de f (x) =
√x + 4
SoluciónEl dominio de toda función radical cuyo índice es par, es un subconjunto delos números reales, para los cuales el argumento es mayor o igual que cero.Dom (f ) = {x ∈ R|x + 4 ≥ 0} =8. Halle el dominio de f (x) =
√x2 − 16
SoluciónDom (f ) =
{x ∈ R|x2 − 16 ≥ 0
}=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 77
MATE 3171
9. Halle el dominio de f (t) = 5√t − 3
SoluciónEl dominio de toda función radical cuyo índice es impar, es un subconjuntode los números reales, para los cuales el argumento está definido.Dom (f ) = R =
10. Halle el dominio de f (x) =
√x + 4x2
SoluciónDom (f ) = {x ∈ R|x + 4 ≥ 0 y x 6= 2} =
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 77
MATE 3171
9. Halle el dominio de f (t) = 5√t + 2
SoluciónEl dominio de toda función radical cuyo índice es impar, es un subconjuntode los números reales, para los cuales el argumento está definido.Dom (f ) = R =
10. Halle el dominio de f (x) =
√x − 4x2
SoluciónDom (f ) = {x ∈ R|x − 4 ≥ 0 y x 6= 2} =
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 77
MATE 3171
Gráficas de funciones
Para graficar una función f , se marcan los puntos (x , f (x)) en el planocoordenado.Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjuntode pares ordenados
{(x , f (x)) |x ∈ A}graficados en el plano cartesiano. En otras palabras, la gráfica de f es elconjunto de todos los puntos (x , y) tal que y = f (x) ; esto es, la gráficade f es la gráfica de la ecuación y = f (x) .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 77
MATE 3171
Tipos de funciones
1 Funciones lineales: y = f (x) = mx + b, su gráfica es una recta conpendiente m.
2 Función constante: y = c, su gráfica es una recta con pendientem = 0.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 77
MATE 3171
3. Funciones potencia: f (x) = xn, n ∈N
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 77
MATE 3171
4. Función valor absoluto: f (x) = |x | ={
x si x ≤ 0−x si x > 0
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / 77
MATE 3171
5. Funciones radicales:f (x) =
√x , f (x) = 3
√x , f (x) = 4
√x , f (x) = 5
√x
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 77
MATE 3171
6. Funciones recíprocas: f (x) = 1x , f (x) =
1x 2
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / 77
MATE 3171
7. Función mayor entero f (x) = [|x |]
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / 77
MATE 3171
Prueba de la verticalUna curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y solo sininguna recta vertical intersecta a la curva más de una vez.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 19 / 77
MATE 3171
EjemplosR21 Haga un pareo entre entre las funciones y sus gráficas:a. f (x) = x2 b. f (x) = x3 c . f (x) =
√x d . f (x) = |x |
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 20 / 77
MATE 3171
2. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = 5− 2xx −1 0 1
y = f (x) = 5− 2x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
rango(f ) = R
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 21 / 77
MATE 3171
3. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = x2 − 4x −1 0 1
y = f (x) = x2 − 4 Eje X: y = 0⇒ x = ±2;Eje Y: x = 0⇒ y = −4
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
rango(f ) = [−4,∞)P. Vásquez (UPRM) Conferencia 22 / 77
MATE 3171
4. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = x3 − 1x −1 0 1
y = f (x) = x3 − 1 Eje X: y = 0⇒ x = 1;
Eje Y: x = 0⇒ y = −1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
rango(f ) = R
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 23 / 77
MATE 3171
5. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) =√x + 3
Domf (f ) = {x ∈ R|x + 3 ≥ 0} = [−3,∞)x −3 −2 1 6
y = f (x) =√x + 3
Eje X: y = 0⇒ x = −3;
Eje Y: x = 0⇒ y =√3
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
rango(f ) = [0,∞)P. Vásquez (UPRM) Conferencia 24 / 77
MATE 3171
6. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = |x | − x
f (x) ={
x − x si x ≥ 0−x − x si x < 0
=
{0 si x ≥ 0−2x si x < 0
, Domf (f ) = R
x < 0 −2 −1 0y = f (x) = −2x
x ≥ 0 1 2y = f (x) = 0
Eje X: y = 0⇒ x = 0;Eje Y: x = 0⇒ y = 0
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
rango(f ) = [0,∞)P. Vásquez (UPRM) Conferencia 25 / 77
MATE 3171
7. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores:
f (x) = f (x) ={1− x si x < −22 si x ≥ −2 , Domf (f ) = R
x < −2 −4 −3 −2y = f (x) = 1− x
x ≥ −2 −2 −1y = f (x) = 0
Eje X: y = 0⇒ x = 1 /∈ (−∞,−2) ;Eje Y: x = 0⇒ y = 3
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
rango(f ) =P. Vásquez (UPRM) Conferencia 26 / 77
MATE 3171
8. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores:
y = f (x) =
−x si x ≤ 0
9− x2 si 0 < x < 2√x − 2 si x ≥ 2
, Domf (f ) = R
x < 0 −1 0y = −x
0 < x < 2 0 1 2y = 9− x2
x ≥ 2 2 3 6y =√x − 2
Eje X: y = 0⇒ x = 0, x = 2;Eje Y: x = 0⇒ y = 0
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
rango(f ) =P. Vásquez (UPRM) Conferencia 27 / 77
MATE 3171
9. Indique cual de las siguientes curvas no representa a una función:
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 28 / 77
MATE 3171
10. Determine si la ecuación x2 + y2 = 5 representa a una función: no,no se puede despejar y
11. Determine si la ecuación√x + y = −2 representa a una función: si,
si se puede despejar y
12. Determine si la ecuación 2x + |y | = 2 representa a una función: no,no se puede despejar y
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 29 / 77
MATE 3171
13. Dada la gráfica de un función,
a. Halle los máximos locales de f : x = −2; valor máximof (−2) = 3; x = 1; valor máximo f (1) = 2
b. Halle los mínimos locales de f : x = −1; valor mínimof (−1) = 0; x = 2; valor mínimo f (2) = −1
c. f crece en: (−∞,−2) , (−1, 1) , (2,∞)d. f decrece en: (−2,−1) , (1, 2)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 30 / 77
MATE 3171
Razón de cambio promedioLa razón de cambio promedio de una función y = f (x) entre x = a yx = b, es:
razón de cambio promedio (fav ) =cambio en ycambio en x
=f (b)− f (a)
b− a
En otras palabras: la razón de cambio promedio de una función es lapendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y(b, f (b)) .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 31 / 77
MATE 3171
Ejemplos1 Dada la gráfica de una función:
Determine la razón de cambio promedio entre los puntos indicados en lagráfica.
fav =f (5)− f (−1)5− (−1) =
4− 06
= 23
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 32 / 77
MATE 3171
3. Dada la función f (x) = 5− 4x , halle la razón de cambio promedioentre x = −2 y x = 5
fav =f (5)− f (−2)5− (−2) =
4. Dada la función f (z) = 2+ z2, halle la razón de cambio promedioentre z = −1 y z = 3
fav =f (3)− f (−1)3− (−1) =
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 33 / 77
MATE 3171
Transformaciones de funciones
Traslación verticalSi se suma una constante c a una función, su gráfica se desplazaverticalmente hacia arriba si c > 0 y se desplaza verticalmente hacia abajosi c < 0.Suponga c > 0 :La gráfica de y = f (x) + c , se obtiene al mover c unidades hacia arriba lagráfica de y = f (x) .La gráfica de y = f (x)− c , se obtiene al mover c unidades hacia abajo lagráfica de y = f (x) .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 34 / 77
MATE 3171
Ejemplos1 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la funciónconocida y luego aplique la transformación.
f (x) = x2 + 3
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x^2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
x^2+3
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 35 / 77
MATE 3171
Traslación horizontalSi se suma una constante c a x , su gráfica se desplaza horizontalmentehacia la derecha si c > 0 y se desplaza horizontalmente hacia la izquierdasi c < 0.Si se conoce la gráfica de y = f (x), lo anterior se obtiene de la gráfica dey = f (x − c) .Suponga c > 0 :La gráfica de y = f (x − c), se obtiene al mover c unidades hacia laderecha la gráfica de y = f (x) .La gráfica de y = f (x + c), se obtiene al mover c unidades hacia laizquierda la gráfica de y = f (x) .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 36 / 77
MATE 3171
Ejemplos2 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la funciónconocida y luego aplique la transformación.
f (x) = (x + 3)2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x^2
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 37 / 77
MATE 3171
Ejemplos3 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la funciónconocida y luego aplique la transformación.
f (x) = (x + 3)2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x^2
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 38 / 77
MATE 3171
4. Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la funciónconocida y luego aplique la transformación.
f (x) =√x − 2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x^.5
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 39 / 77
MATE 3171
ReflexionesDada la gráfica de y = f (x), se desea conocer que sucede al graficary = −f (x) o y = f (−x) .La gráfica de y = −f (x), es el reflejo de la gráfica de y = f (x) sobre eleje X .La gráfica de y = f (−x), es el reflejo de la gráfica de y = f (x) sobre eleje Y .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 40 / 77
MATE 3171
5 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la funciónconocida y luego aplique la transformación.
f (x) = −√x g(x) =
√−x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x^.5
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x^.5
(x)^.5
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 41 / 77
MATE 3171
Composición de funciones
En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición defunciones, se inicia con un número x en el dominio de gy se halla laimagen g (x) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcularel valor de f (g (x)) . El resultado es una nueva función h (x) = f (g (x))que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición defunciones y se denota por: f ◦ g y se lee ”f compuesta con g”.Dadas dos funciones f y g , la función composición f ◦ g (tambiénllamada composición de f y g) se define:
(f ◦ g) (x) = f (g (x))El dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los x en el dominio de gtalque g (x) está en el dominio de f .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 42 / 77
MATE 3171
Composición de funciones
En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición defunciones, se inicia con un número x en el dominio de g
y se halla laimagen g (x) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcularel valor de f (g (x)) . El resultado es una nueva función h (x) = f (g (x))que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición defunciones y se denota por: f ◦ g y se lee ”f compuesta con g”.Dadas dos funciones f y g , la función composición f ◦ g (tambiénllamada composición de f y g) se define:
(f ◦ g) (x) = f (g (x))El dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los x en el dominio de gtalque g (x) está en el dominio de f .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 42 / 77
MATE 3171
Composición de funciones
En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición defunciones, se inicia con un número x en el dominio de gy se halla laimagen g (x) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcularel valor de f (g (x))
. El resultado es una nueva función h (x) = f (g (x))que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición defunciones y se denota por: f ◦ g y se lee ”f compuesta con g”.Dadas dos funciones f y g , la función composición f ◦ g (tambiénllamada composición de f y g) se define:
(f ◦ g) (x) = f (g (x))El dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los x en el dominio de gtalque g (x) está en el dominio de f .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 42 / 77
MATE 3171
Composición de funciones
En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición defunciones, se inicia con un número x en el dominio de gy se halla laimagen g (x) . Si este número está en el dominio de f , podemos calcularel valor de f (g (x)) . El resultado es una nueva función h (x) = f (g (x))que es obtenida sustituyendo g en f . Se le llama la composición defunciones y se denota por: f ◦ g y se lee ”f compuesta con g”.Dadas dos funciones f y g , la función composición f ◦ g (tambiénllamada composición de f y g) se define:
(f ◦ g) (x) = f (g (x))El dominio de f ◦ g es el conjunto de todos los x en el dominio de gtalque g (x) está en el dominio de f .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 42 / 77
MATE 3171
1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0)
= f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f
(x2 − 4
)=
f. Halle (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g
(x2 − 4
)=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77
MATE 3171
1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1)
= g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f
(x2 − 4
)=
f. Halle (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g
(x2 − 4
)=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77
MATE 3171
1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2)
= f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f
(x2 − 4
)=
f. Halle (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g
(x2 − 4
)=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77
MATE 3171
1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3)
= f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f
(x2 − 4
)=
f. Halle (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g
(x2 − 4
)=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77
MATE 3171
1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x)
= f (g (x)) = f(x2 − 4
)=
f. Halle (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g
(x2 − 4
)=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77
MATE 3171
1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f
(x2 − 4
)=
f. Halle (g ◦ f ) (x)
= g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g
(x2 − 4
)=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77
MATE 3171
1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f
(x2 − 4
)=
f. Halle (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x)
= g (g (x)) = g(x2 − 4
)=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77
MATE 3171
1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x2 − 4, halle:a. Halle (f ◦ g) (0) = f (g (0)) =b. Halle (g ◦ g) (−1) = g (g (−1)) =c. Halle (f ◦ g) (2) = f (g (2)) =d. Halle (f ◦ f ) (3) = f (f (3)) =e. Halle (f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f
(x2 − 4
)=
f. Halle (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) =g. Halle (g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g
(x2 − 4
)=
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)
(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4x+4
dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x))
= f (x + 4) = 4x+4
dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4
dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)
(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x)
= g (f (x)) = g( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f )
= {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x)
= f (f (x)) = f( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f )
= {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x)
= g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g)
= R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
2 Si f (x) = 4x y g (x) = x + 4, halle: f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g y sus
dominios
dom (f ) = (−∞, 0) ∪ (0,∞) ; dom (g) = (−∞,∞)(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4
x+4dom (f ◦ g) = {x ∈ R|x + 4 6= 0} = (−∞,−4) ∪ (−4,∞)(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g
( 4x
)= 4
x + 4dom (g ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = f
( 4x
)= 4
4x= x
dom (f ◦ f ) = {x ∈ R|x 6= 0} = (−∞, 0) ∪ (0,∞)(g ◦ g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8dom (g ◦ g) = R = (−∞,∞)
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77
MATE 3171
Funciones 1-1
Las funciones que son 1-1 son importantes para el estudio de funcionesinversas, observe el siguiente par de gráficas:
DefiniciónUn función con dominio A se dice que es una función1-1 sicualquier par de elementos de A siempre tienen diferentes imágenes, esdecir:
f (x1) 6= f (x2) cuando x1 6= x2P. Vásquez (UPRM) Conferencia 45 / 77
MATE 3171
Función inversa
Toda función que es 1-1 posee inversa.DefiniciónSea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Entonces sufunción inversa f −1 tiene dominio B y rango A y se define por:
f −1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y
para cualquier y ∈ B.Se satisface:dom
(f −1)= rango (f ) y dom (f ) = rango
(f −1)
Propiedad de función inversaSea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Su función inversa f −1
satisface las siguientes propiedades:
f −1 (f (x)) = x para todo x ∈ Af(f −1 (x)
)= x para todo x ∈ B
Una función f −1 que satisface las ecuaciones anteriores es la inversa de f .P. Vásquez (UPRM) Conferencia 46 / 77
MATE 3171
Pasos para hallar la inversa de una función1 Escriba y = f (x) .2 Resuelva la ecuación para x en términos de y (si es posible)3 Intercambie x con y . La ecuación resultante es y = f −1 (x) .
Nota: La gráfica de f −1 se obtiene reflejando la gráfica de f en la rectay = x .
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 47 / 77
MATE 3171
Ejemplos1 La gráfica de una función f es dada,:
Indique cual de ellas es 1-1:
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 48 / 77
MATE 3171
2 Determine si la función dada es 1-1:
a. y = f (x) = 6x + 2, si es 1-1, recuerde su gráfica es una recta,además: para cualquier par:
f (x1) = 6x1 + 2, 6x2 + 2 = f (x2)⇒ 6x1 + 2 6= 6x2 + 2 si x1 6= x21 b. y = f (x) = |x + 2| no es 1-1, un contraejemplo: −4 6= 0 sin embargo
f (−4) = 2 = f (0) , se tiene que para un par de valores diferentes enel dominio, sus imágenes son iguales
c. y = f (x) = x4 + 5, 0 ≤ x ≤ 2 verifique que es 1-1.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 49 / 77
MATE 3171
3 Asuma que f es una función 1-1:
a. Si f (2) = 5, halle f −1 (5) =?b. Si f −1 (4) = 6, halle f (6) =?c. Si f (3) = 10, halle f −1 (10) =?d. Si f −1 (−2) = −5, halle f (−5) =?
4 Si g (x) = x2 + 4x , con x ≥ −2, halle g−1 (5)Se halla el valor de x tal que g (x) = x2 + 4x = 5 y se resuelve laecuación cuadrática:x2 + 4x − 5 = 0, cuya solución es: x = 1, x = −5, de donde se obtieneque g−1 (5) = 1 ¿porqué?
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 50 / 77
MATE 3171
5 Demuestre que las funciones f (x) = 2x − 5 y g (x) =x + 52
son
inversas una de otra.
Se debe verificar que:(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f
( x+52
)= 2
( x+52
)− 5 = x
(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (2x − 5) = 2x−5+52 = x
6 Halle la función inversa de f (x) = 1x+1
Se debe verificar que:Dom (f ) = {x ∈ R|x 6= 1} = rango
(f −1)
Sea y = 1x+1 , despejando x : x + 1 = 1
y ⇒ x =Por lo tanto la función inversa es: f −1 (x) =Dom
(f −1)= {x ∈ R|x 6= 0} = rango (f )
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 51 / 77
MATE 3171
Funciones Polinómicas y sus gráficas
DefiniciónUna función polinómica de grado n se define por:
P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0
donde n ∈N, an 6= 0 y an, an−1, · · · , a1, a0 ∈ R.Los números an, an−1, · · · , a1, a0 son llamados los coeficientes delpolinomio.El número a0 es llamado el coeficiente constante o término constante.El número an es el coeficiente de la potencia mayor, y es llamado elcoeficiente principal, y anxn es llamado el término principal.
Características de las gráficas de FPSe han discutido algunos casos anteriormente, por ejemplo:
1 La función lineal: f (x) = b+mx , su gráfica es una línea.2 La función cuadrática: f (x) = ax2 + bx + c , cuya gráfica es unaparábola.
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 52 / 77
MATE 3171
A continuación se presentan las gráficas de algunas funciones polinómicasbásicas:
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 53 / 77
MATE 3171
1 Paree cada una de las funciones polinómicas con sus gráficas:
a.P(x) = x(x2 − 4
)b.P(x) = −x2
(x2 − 4
)c .P(x) = −x5 + 5x3 − 4x
d .P(x) = 12x6 − 2x4 e.P(x) = x4 + 2x3 f .P(x) = −x3 + 2x2
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 54 / 77
MATE 3171
Funciones exponenciales
DefiniciónUna función exponencial con base a está bien definida paratodos los números reales x y se denota por:
f (x) = ax , donde a > 0, a 6= 1.Gráficas de funciones exponencialesLa función exponencial f (x) = ax , (a > 0, a 6= 1) tiene dominio R yrango (0,∞) . La recta y = 0 es una asíntota horizontal. La gráfica de ftiene una de las siguientes formas:
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 55 / 77
MATE 3171
Ejemplos1 Paree las siguientes funciones con sus gráficas:a.f (x) = 2x b.f (x) = 2−x c.f (x) = −2x a.f (x) = −2−x
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 56 / 77
MATE 3171
Funciones logarítmicas
Toda función exponencial f (x) = ax , donde a > 0, a 6= 1, es 1-1, y por lotanto posee inversa. La función inversa es llamada función logarítmica yse obtiene:y = ax para despejar x se aplica loga a ambos lados y se obtiene:loga y = loga a
x = x loga a = x , porque loga a = 1 para todo a > 0, a 6= 1La función inversa de la exponencial es: f −1 (x) = loga xDefiniciónUna función logarítmica con base a > 0, a 6= 1 se define por:
f (x) = loga x , donde a > 0, a 6= 1.
y se satisface: y = loga x ⇔ x = ay
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 57 / 77
MATE 3171
Gráficas de funciones logarítmicasLa función logarítmica f (x) = loga x , (a > 0, a 6= 1) tiene dominio(0,∞) y rango R. La recta x = 0 es una asíntota vertical. La gráfica def tiene una de las siguientes formas:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
a^x, 0<a<1
loga(x) 0<a<1y=x
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 58 / 77
MATE 3171
Logaritmo comúnEl logaritmo con base 10 es llamado el logaritmo común y se escribe sin labase:
log x = log10 x
Logaritmo naturalEl logaritmo con base e es llamado el logaritmo natural y se denota por ln:
ln x = loge x
Nota: ln x = y ⇐⇒ x = ey
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 59 / 77
MATE 3171
1 Trace la gráfica de la función f (x) = log4 x ,Construyendo una tabla de valores:x 1
1614 1 4 16
log4 x
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 60 / 77
MATE 3171
Funciones trigonométricasSabemos que para encontrar el punto terminal P (x, y) para un númerodado t real, mover una distancia t a lo largo del círculo unitario,comenzando en el punto (1, 0). Se mueven en una dirección hacia laizquierda si t es positivo y en una dirección hacia la derecha si t esnegativo (ver Figura
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 61 / 77
MATE 3171
Funciones trigonométricasSabemos que para encontrar el punto terminal P (x, y) para un númerodado t real, mover una distancia t a lo largo del círculo unitario,comenzando en el punto (1, 0). Se mueven en una dirección hacia laizquierda si t es positivo y en una dirección hacia la derecha si t esnegativo (ver Figura
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 62 / 77
MATE 3171
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 63 / 77
MATE 3171
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 64 / 77
MATE 3171
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 65 / 77
MATE 3171
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 66 / 77
MATE 3171
Función seno
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 67 / 77
MATE 3171
Función coseno
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 68 / 77
MATE 3171
Transformaciones
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 69 / 77
MATE 3171
EjemploGraficar y = 3 sin 2
(x − π
4
)Amplitud: 2; Periodo: P = 2π
2 = π; ángulo de fase: π4
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 70 / 77
MATE 3171
Otras funciones trigonométricas
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 71 / 77
MATE 3171
Función tangente
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 72 / 77
MATE 3171
Función cotangente
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 73 / 77
MATE 3171
Función secante
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 74 / 77
MATE 3171
Función cosecante
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 75 / 77
MATE 3171
EjemploGraficar y = 2 cot
(3x − π
2
)= 2 cot 3
(x − π
6
)Amplitud: 2; Periodo: P = π
3 ; la gráfica de 2 cot 3x se mueve a laderecha π
6
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 76 / 77
MATE 3171
EjemploGraficar y = 1
2 csc(2x + π
2
)= 2 csc 2
(x + π
4
)Amplitud: 2; Periodo: P = 2π
2 ; la gráfica de 2 csc 2x se mueve a laizquierda π
4
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 77 / 77