APUNTES DE ECONOMIA MATEMATICA II _____________________________________________________________________________________________

CONCEPTOS BASICOS DE OPTIMIZACION ESTATICAPara entender la optimizacin esttica desarrollaremos algunos conceptos bsicos:Mercado: Conjunto de compradores y vendedores que a travs de sus interacciones reales o potenciales determinan el precio de un producto o de un conjunto de productos.Modelo de mercado en competencia perfecta: El producto o bien sea homogneo. Varios compradores y vendedores. Libre entrada y salida de mercado Informacin perfecta Los precios son aceptantes Consideremos el modelo de mercado de competencia perfecta:A) FUNCION DEMANDA: Es la cantidad de bienes y servicios o factores que el comprador puede adquirir.En la vida real las familias toman muchas decisiones al mismo tiempo. Sin embargo, para ver cmo funcionan las fuerzas de la oferta y la demanda, centrmonos primero en la cantidad de un producto singular que decide consumir una familia individual, en un periodo de tiempo dado:Como es de suponerse, la decisin de una familia en cuanto a la cantidad que demandara de un producto, depender de una serie de factores: Los ingresos que tenga la familia. La cantidad d riqueza acumulada de la familia. El precio del producto en cuestin. Los gustos y preferencias de la familia. Las expectativas de la familia en relacin a sus ingresos, riqueza y precios futuros.La funcin de demanda, expresa una relacin inversa entre el precio y la cantidad, es de pendiente negativa .Conforme aumenta el precio disminuye la cantidad demandada y , conforme disminuye el precio aumenta la cantidad demandada.

(-) relacin inversa(+)Relacin directa

Funcin demanda: - + + + -

Asumiendo las variables precio e ingreso:Recuerda: y son parmetros; es decir; son constantes y variables al mismo tiempo.

- + Simplificando: Expresando en trminos lineales.

;

Asumiendo: (1) B) FUNCION OFERTA:Es la cantidad de bienes y servicios o factores que a un vendedor puede ofrecer y desea hacerlo en un periodo de tiempo dado, este depender del stock de capital (K), de trabajo (L), tecnologa (T), precios (P), precios de insumo (PI), suponiendo que otros factores permanecen constantes.La funcin de oferta expresa una relacin positiva entre la cantidad de la oferta de un bien y su precio. Un aumento del precio de mercado conducir a un incremento de la cantidad de la oferta y un decremento del precio de mercado conducir a una reduccin de la cantidad de la oferta.

Simplificando: Expresando en trminos lineales:

; Asumiendo:

Alternativamente: (2)C) CONDICION DE EQUILIBRIO: Alude a una condicin de mercado, es la situacin que se da cuando la cantidad de la oferta es igual a la cantidad de la demanda. Unequilibrio de mercado, por ejemplo, hace referencia a la condicin en la cual el precio de mercado se establece a travs de la competencia de modo que la cantidad de bienes y servicios deseados por loscompradoreses igual a la cantidad de bienes y servicios producidos por losvendedores. Este precio suele denominarseprecio de equilibrioy tiende a mantenerse estable siempre que la demanda y la oferta no varen.

Desarrollando el siguiente modelo: Variables endgenas: Se caracteriza, porque, es una variable que se determina dentro del modelo, es dependiente.

. (1) .. (2) (3)Variables exgenas: Estas variables estn ya predeterminadas; es decir; no es necesario hallarlo ya est en el modelo, no necesariamente es independiente.

Las variables de mercado son:Variables endgenas: Variables exgenas : SOLUCION DEL MODELO: * Aplicando la condicin de equilibrio:Forma reducida: Es cuando una variable endgena, se expresa en variable exgena.

* Despejando precio: (4)

Esta expresin es la forma reducida del precio de mercado: Variable endgena Variable exgena Adicionalmente sabemos:=

Solucin grfica:Incorporando el valor de las variables exgenas en la oferta y la demanda:Nota: 2250 son las variables que afectan a la demanda, 50 es la variable que tambin afecta pero a la oferta y estas a su vez son constantes.

Demanda

Oferta 2p+50

Para graficar se requiere las funciones inversas de demanda y oferta, despejando se obtiene: (Precio de la demanda) (Precio de la oferta)

ESTATICA COMPARATIVAEn economa, la esttica comparativa es la comparacin de dos resultados econmicos diferentes, antes y despus de un cambio en algn parmetro exgeno subyacente. Como un estudio de la esttica que compara dos diferentes estados de equilibrio, despus de que el proceso de ajuste (si lo hay). No es estudiar el movimiento hacia el equilibrio, ni el proceso de cambio en s.Esttica comparativa se utiliza comnmente para estudiar los cambios en la oferta y la demanda en el anlisis de un solo mercado, y para estudiar los cambios en la poltica monetaria o la poltica fiscal en el anlisis de la totalidad economa. "Esttica comparativa" el trmino en s es ms comnmente utilizado en relacin con la microeconoma (incluyendo el equilibrio general de anlisis) que a la macroeconoma. Para los modelos de tasas de equilibrio estables de cambio, tales como el modelo neoclsico de crecimiento, la dinmica comparativa es la contraparte de esttica comparativa.En este grfico, la esttica comparativa muestra un aumento de la demanda provocada por un aumento de precio y de cantidad. La comparacin de dos estados de equilibrio, de esttica comparativa no describe cmo los aumentos ocurren.

Qu ocurre con el precio y la cantidad de equilibrio del mercado, si incrementamos el nivel de ingreso?Un aumento del ingreso ser I=1000, manteniendo constante el stock de capital k= 10, que afecta solamente a la demanda.Entonces:

Luego las funciones inversas son:

Solucin grfica:

ANALISIS FORMAL:Las funciones de oferta y demanda para son:

Aplicando la condicin de equilibrio: Donde P= 421.4 y Q = 892.8Alternativamente:Reemplazando: k=10 421.4 = I= 892.8

LA TASA DE CAMBIO Y EL CONCEPTO DE DERIVADAConsideremos la tasa de cambio de una variable y como respuesta a un cambio en otra variable x donde las dos variables estn relacionadas entre s por la funcin. La derivada de una funcin se puede utilizar para determinar la tasa de cambio de la variable dependiente con respecto a la variable independiente. A travs de la derivada se puede obtener la ganancia, el costo y el ingreso marginal, dadas las respectivas funciones de ganancia, costo total e ingreso total, adems de otras tasas de cambio como de la tasas de cambio de las poblaciones y de la velocidad. Tambin se puede utilizar para hallar la pendiente de una tangente a una curva en un punto sobre la curva. Adems la derivada es utilizada para minimizar el costo promedio, maximizar el ingreso total maximizar la ganancia y determinar la elasticidad en la demanda.

La tasa de cambio promedio de una funcin y=f(x) de x=a a x=b est definida por:

Segn la figura la tasa de cambio promedio es igual a la pendiente del segmento (x, f(x))y ((x + h), f( x +h)) as:

A) COCIENTE DE DIFERENCIAS Puesto que en este contexto la nocin de cambio ocupa un lugar prominente, necesitamos un smbolo especial para representarlo. Cuando la variable x cambia a a un nuevo valor , el cambio se mide por la diferencia .De donde utilizamos el smbolo (la letra mayscula griega delta, por diferencia) para denotar el cambio escribimos x =. Consideremos la funcin (1)Asumiendo un valor del dominio de f(x) Luego: El valor de y ser Para el valor de y ser Observe los cambios que ocurran en X e Y.Cambio en X. (2)Cambio en Y. (3)Realizamos la siguiente operacin: Explicacin: Muestra que por cada incremento en la unidad de X, Y se elevara 137, en promedio desde 6 a 8.

Formalizar el cociente de diferencias: Sabemos: Esta diferencia muestra el cambio de la variable x entre dos valores consecutivos Despejando. Cuando x cambia de un valor inicial a un nuevo valor (), el valor de la funcin y= f(x) a f (.El cambio en y por unidad de cambio en x puede representarse por el cociente de diferencias.

Es decir: El cociente de diferencias, tambin se puede expresar:

Para que cualquier valor del dominio. La eleccin de es un valor real del dominio de la funcin f(x) por la cociente de diferencias pueda expresar como sigue.De que depende el cociente de es decir.

Ejemplo: Si Para la siguiente funcin: Entonces el cociente de diferencias ser: Reemplazando los valores:

Aplicacin a la economa con cociente de diferencias:Ejemplo. 2 Con el modelo de mercado:

Dada la forma reducida de precios:Qu ocurre con el precio de mercado si el ingreso se incrementa?Se pide lo siguiente:

LIMITE DE UNA FUNCIONIntuitivamente la idea que tenemos de lmite de una funcin en un punto es el nmero hacia donde se aproximan los valores que toma la funcin cuando la variable independiente se aproxima a ese punto. El lmite de la funcin f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imgenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imgenes cuando los originales tienden a x0.

LIMITES LATERALESTomemos ahora un puntodel dominio de aproximndose ac, pero tomando slo valores ms grandes que l. Formalmente estaramos tomando losxque verifican , para ciertos . Si la funcin tiende a un valor, se dice que existe el lmite por derecha y se denota as: , tomando valores ms pequeos, es decir losxtales que , el lmite puede ser escrito como:

Si los dos lmites anteriores son iguales:

Entonces:Lse pueden referir comoel lmitedef(x) enc. Dicho de otro modo, si los lmites laterales no son iguales, entonces el lmite no existe. Esto se deduce porque, bajo estas condiciones, el lmite no sera nico.Estas nociones permiten definir lacontinuidadyderivabilidadde una funcin en un punto.Observaremos en una grfica:El lmite cuando: x x0+ x x0-. Por lo tanto, el lmite cuando x x0no existe.

Ejemplo 1: Consideremos la funcin: .......... (1)Se aprecia que F(x) es indeterminado en x=0 Alternativamente. Cul es el valor de f(x) cuando x se acerca a cero? Existen dos opciones: A.- Limite por la derecha: XF(X)

5-9

4-7

3-5

2-3

1-1

0.50

0.010.98

0.0010.9998

01

B.-Lmite por la izquierda: * La variable de x tiende a cero desde valores inferiores.

X

F(X)

-25

-13

-0.52

-0.011.02

-0.00011.0002

01

Conclusin: Si los lmites laterales de una funcin son iguales entonces dicha funcin posee un lmite.

Ejemplo 1. Halle el lmite de la funcin g(x), cuando x se acerca a 2.

Graficamente:

Solucin: Existir solo si los lmites laterales son iguales.a.- limite por la derecha b.- limite por la izquierdaXF(X)

38

2.519

2.420

2.0018000

2.000180000

2

X F(X)

0-4

1-8

1.5-16

1.99-800

1.999-80000

2

PROPIEDADES:

CONTINUIDAD DE FUNCIONESUnafuncincontinuaes aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeas variaciones en los valores de la funcin. Si la funcin no es continua, se dice que esdiscontinua. Una funcin continua deenes aquella cuya grfica puede dibujarse sin levantar el lpiz del papel (ms formalmente sugrafoes unconjunto conexo).Informalmente hablando, una funcin definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos , con x en I, est constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no est roto.Continuidad de una funcin

Una funcin y = f(x) se dice continua en un punto x = c cuando existe el lmite de la funcin en el punto x = c y dicho lmite es f(c). Esta definicin da lugar a tres condiciones que debe cumplir la funcin para ser continua en c:a) c est en el dominio de la funcin.b) existe (es decir, los limites laterales son finitos e iguales).c)

Esto quiere decir que para que una funcin sea continua no basta que tenga lmite, sino que adems dicho lmite tiene que coincidir con el valor de la funcin en el punto correspondiente. Las funciones que no son continuas se llaman discontinuas. Hay varios tipos de discontinuidad dependiendo de la condicin que no se cumple.A) Discontinuidad evitable: Corresponde al caso en que la funcin tiene lmite pero no coincide con el valor f(c). Se llama evitable porque basta definir f(c) como el lmite de la funcin en c para que la funcin sea ahora continua.B) Discontinuidad de primera especie: Puede ser de salto finito cuando existen los dos lmites laterales pero son distintos, o de salto infinito cuando alguno de los lmites laterales es infinito.C) Discontinuidad esencial o de segunda especie: Si alguno de los dos lmites laterales no existe cContinuidad de una funcinDiscontinuidad de una funcin

Ejemplo: Consideremos la funcin: El dominio es el conjunto de nmeros reales, elegimos un valor: Luego: Analizando lmite por la derecha:

xF(x)

-19

05

13

23

35

49

515

analizando limite por la izquierda

xF(x)

515

733

845

8.551.75

8.653.16

8.754.59

8.99957.51

= 59Se concluye que la funcin cuando x, es continua, por que cumple con la condicin de continuidad.Condicin de continuidad: Que pertenezca al dominio de la funcin f(x). Que exista el , esto implica que el limite por la derecha es la misma que el lmite por la izquierda, y ambos produzcan un nmero real. Que se cumpla lo siguiente: f(, que l limite nos d lo mismo que cuando estemos evaluando en la funcin Existe: f (, que la funcin este definida para el valor de x igual ; es decir; que nos d un nmero real.Cundo la funcin es continua?La f(x) es continua, si para todo x que pertenezca al dominio, cumple con la condicin de continuidad.Ejemplo: 1 Analiza la continuidad de la funcin:

Solucin:Explicacin: Dado que los limites laterales son distintos. Se concluye que no existe el . Por otro lado se aplica lo siguiente

Analizamos los lmites laterales: limite por la derecha limite por la izquierda

xG(x)

-3-1.6

-21-2

-1-2.66

0-4

1-8

2---

38

Podemos sostener que para x=2 la funcin es discontinua porque 2 no forma parte de la funcin; es decir; de su dominio, dado que no cumple con la condicin de continuidad.

Grficamente:

EJERCICIOS RESUELTOS1. Calcular los siguientes limites a)

b)

c) =2. Analice la continuidad de las funciones para todo valor real de Xa) F(x)=

EXPLICACION: La funcin f(x) es continua ya que cumple con la condicin de continuidad.

b) g(x)=

EXPLICACION: La funcin f(x) es continua ya que cumple con la condicin de continuidad y con todos los valores del dominio.

3. Analice la continuidad de las funciones en el intervalo [3,6]a) F(x)= EXPLICACION: La funcin f(x) no es continua ya que no cumple con la condicin de continuidad adems el lmite cuando x tiende a 2 no existe.

4.-G(x)=EXPLICACION: La funcin f(x) no es continua ya que no cumple con la condicin de continuidad adems el lmite cuando x tiende a 2 no existe.

4.- Dada la funcin: a) Encuentre el cociente de diferencias como una funcin de x y x

b) Cul es el lmite del cociente de diferencias cuando x tiende a cero?

= 10x-4

c) Obtenga la derivada de .

d) Determine f(2) y f(3)

DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIONDada la funcin: Si la funcin es continua en x= Las condiciones para la continuidad son:1.- pertenece al dominio de la funcion2.- tiene lmite 3.- dicho lmite es igual a , cuando se satisfacen estas condiciones, podemos escribir: [Condicin de continuidad]Por otro, cuando se aplica el concepto de lmite al cociente de las diferencias cuando , nos enfrentamos a la cuestin de si la funcin es diferenciable en , es decir, si existe la derivada en , o tambin si existe . Aqu se utiliza el trmino diferenciable, porque el proceso de obtencin de la derivada se conoce como diferenciacin (tambin llamada derivacin).puesto que existe si y solamente si existe el limite de existe en , cuando , la expresin simblica es:

Condicin de diferenciabilidad

Diferenciabilidad: es dicha funcin que en cualquier punto, puede ofrecer una derivada.

Toda funcin diferenciable es continua? (V)

Toda funcin continua es diferenciable? (F)

Estas dos propiedades, continuidad y diferenciabilidad, estn estrechamente relacionadas entre si- la continuidad de es una condicin necesaria para su diferenciabilidad. Lo que significa es que para ser diferenciable , la funcin previamente ha de ser continua en , lo veremos mejor en un ejemplo.Consideremos la siguiente funcin:

Esta funcin es continua?

Estamos evaluando:Si:

Por la primera condicin:

Limite por la izquierda: Tomaremos valores por la izquierda, menores a 4 Limite por la derecha:

Tomaremos valores por la derecha, mayor a 4 Seguidamente: Recuerda:

Desarrollando:Limites por la derecha:

Limite por la izquierda:

Conclusiones:Se observa que lo limites laterales no son iguales, no cumple con continuidad, tambin que no existe el , por lo tanto tampoco existe derivada , en este punto. Pero solo en ese punto no existir la tangencia.Esta funcin no es diferenciable, por que necesariamente debera cumplir con las condiciones de continuidad, y este no lo cumple.

LA DERIVADAQu es la derivada?Geomtricamente es la pendiente o grado de inclinacin de una recta en cada uno de los valores del dominio de una funcin. Se denomina tambin como la tangente en cada uno de los puntos de una curva.Qu es la derivada de una funcin ?Dado una funcin la derivada es el grado de inclinacin o pendiente de una recta tangente sobre cada uno de sus puntos en el dominio de la funcin

Sabemos que:

Esto significa que una derivada posee dos componentes, denominado de la variable de otro lado, conocido como diferenciabilidad de la variable . Estas diferenciables son variaciones que sufren las variables y sin embargo, existe una relacin de causalidad expresada por la funcin ello muestra que la variable depende de , es decir, ante cambios en la variable ; la variable se relacionan mediante un cambio.Consideremos la funcin:F(x) = Consideremos una funcin: El cociente de diferencias es:

Nota: se aprecia que depende de x, y ; es decir: )

Si: x=3 y Interpretacin: Por cada incremento en la variable x, en promedio la variable y vara desde 3 hasta 10 unidades en un intervalo de x [3,10].

Entonces el cociente de diferencias es:

Qu ocurre con el cociente de diferencias si se reduce hasta 4, y luego se reduce hasta 2?Caso 1Si: x=3 y Tenemos el cociente de diferencias:

Reemplazando:

Caso 2 Significa que en un entorno de x=3 un incremento de 1 unidad en X ocasiona un aumento de 5 en Y.

Si: x =3 y

Cul es el lmite del cociente de diferencias, cuando ?Si: Solucin:Consideremos el mismo cociente de diferencias:

= 2x 3 A este resultado se conoce como la derivada de la funcin f(x)Con respecto a la variable x.Es decir.

En trminos grficos:

Dada la funcin:

Evaluando: si

Interpretacin: En un entorno de , significa que al aumento de x en 1 unidad Y se elevara a 3 viceversa, si x se reduce a 1, la variable y se reducir a 3.RESPONDIENDO: Qu significado tendr la expresin ?Sabemos que: Cuya derivada es: Evaluando

Qu ocurre con Y si X se eleva en 0.022?

El cambio o variacin de X es la siguiente Adems conocemos:

Evaluando:

REGLAS DE DERIVACION Dependiendo del tipo de funcin y=f(x) se podra aplicar una regla de derivacin.a) Regla de la funcin potencial:

Luego: Demostracin:Sabemos que la

Simplificando:

Ejemplo:

b) Regla de la funcin logartmica La notacin log designa generalmente al logaritmo comn (en base 10).La notacin Ln indica al logaritmo natural, el numero e, base se los logaritmos naturales, se define mediante y es aproximadamente a 2,718. En cada caso que se utilice otra base, esta debe ser especfica.Si c) Regla de la funcin exponencial d) Regla de la funcin trigonomtricaObsrvese que las reglas que se expresan es esta seccin son aplicables solo cuando los ngulos estn en radianes. y=sen f(x) Ejemplo: e) Regla de la funcin constante f) Regla de la suma o diferencia de funciones g) Regla del producto de funciones Ejemplo: h) Regla de cociente de funciones Ejemplo: i) Regla de la cadena Luego:

Existe un efecto indirecto de x sobre y; va z. Alternativamente: Luego:

Ejemplo: Hallar el efecto de x sobre y? Es decir Sabemos: Pero:

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORConsideremos la funcin:

La primera derivada:

La segunda derivada:

La tercera derivada:

La cuarta derivada:

PUNTOS CRITICOSDe denomina puntos crticos de una funcin a los extremos relativos, el mximo y el mnimo relativo, y el punto de inflexin. Existe un mximo relativo Existe un mnimo relativo

CA

B

Alternativamente: El punto A []El punto b []

(- ) es el tramo cncavo( +) es el tramo convexoSe observa lo siguiente: en un entorno de

En Se observa:Entorno a: Entonces si Conclusin: Para encontrar dos extremos relativos de una funcin es necesaria aplicar la siguiente condicin: : es decir; hallar la primera derivada.

Ejemplo 1:Halle los extremos relativos de la funcin:

Solucin:Primero calcularemos la funcin derivada.

Para obtener los valores crticos, es decir, los valores de x que satisfacen la condicin , igualaremos a cero la funcin derivada y escribimos la ecuacin lineal.

Luego de resolver, obtenemos las races (soluciones). [Tenemos

[Tenemos En un entorno prximo de : asi el correspondiente valor de la funcion es un mximo relativo. Anlogamente, en un entorno de la funcin ser un mnimo relativo.

Ejemplo 2.Dada la funcin:

Solucin:Primero calcularemos la funcin derivada.

Para obtener los valores crticos, es decir, los valores de x que satisfacen la condicin , igualaremos a cero la funcin derivada y escribimos la ecuacin lineal.La condicin de primer orden exige:

Por lo tanto; esta funcin no posee extremos relativos, dado que no es posible hallar valores para la funcin .CONCAVIDAD / CONVEXIDAD DE FUNCIONESDado una funcin:

Condiciones de segundo orden:a) es estrictamente cncava, si cumple :Que para todo valor de b) es estrictamente convexa si: Para todo valor de Adicionalmente se puede deducir: existe un mximo relativoXo

existe un mximo relativo

Las condiciones de segunda derivada (criterio de la segunda derivada) se utilizan para determinar la concavidad y convexidad de funciones, adicionalmente para establecer el mximo y mnimo relativo existente en una funcin.Ejemplo.- Encontrar lo extremos relativos de la funcin.Dada la funcin:

Solucin:Primero calculamos la funcin derivada.

Luego de resolver, obtenemos las races (soluciones). [Tenemos [Tenemos En un entorno prximo de -0.82, as el correspondiente valor de la funcion es un mximo relativo. Anlogamente, en un entorno de la funcin ser un mnimo relativo.En un entorno de la funcion es cncava, y la funcin es convexa.Adicionalmente el punto de inflexin de la funcin .

Entonces el punto (0,0) es un punto de inflexin.FUNCION DE BENEFICIOSA.- Ingresos de la empresaB.- Los costosC.- Supuesto de maximizacin de gananciasD.- Anlisis de la condicin de maximizacin de beneficiosEn la teora de la empresa, al supuesto ms importante del comportamiento es la maximizacin de ganancias.La ganancia (), se define como la diferencia entre lo ingresos (I) y costos (C), la empresa, atribuida a la produccin de bienes y servicios.Luego:

FUNCION INGRESOSEs el resultado de las metas realizadas por las empresas en el mercado..(1) Dependiendo del tipo de mercado se tendr:a. Competencia perfecta: las empresas tienden a precios aceptables.(2)a. b. En monopolio: es donde el productor o vendedor es el nico que explota un bien o un servicio lo que le confiere un gran poder y una posicin de privilegio.La empresa define el precio en funcin de la demanda.(2) en (1) En competencia del monopolio, la empresa define el P(x) en funcin a la demanda.)Se deduce que el ingreso es una funcin del nivel de produccin, el ingreso es una funcin de Q. Conclusin: la funcin de ingreso depende de los ingresos de la cantidad producida (Q).INGRESO MARGINAL (IMG)El ingreso marginal constituye o representa un cambio en el ingreso total que se produce cuando la cantidad vendida se incremente en 1 unidad como consecuencia de elevar la produccin; es decir producir una unidad extra para elevar los ingresos.

Observe: un aumento en la cantidad producida ocasiona un ingreso a la empresa aumenta en 50.Es el cambio en el ingreso total como consecuencia de un cambio en la cantidad producida.La empresa A tiene la siguiente funcin de ingreso total: Actualmente produce 10 unidades de Q. Cunto mejorara su ingreso si la produccin se eleva en 3 unidades? Solucin: Sabemos La empresa actualmente produce Q=10 entonces: Observe: Despejando: adems d (Q)=3 Solucin: aproximadamente el nivel de ingreso de la empresa es 270 como consecuencia la produccin se eleva en 3 unidades. Enfoque exacto.

La variacin en el ingreso es:

LOS COSTOS.-El costo o coste es el gasto econmico que representa la fabricacin de un producto o la prestacin de un servicio. Al determinar el costo de produccin, se puede establecer el precio de venta al pblico del bien en cuestin (el precio al pblico es la suma del costo ms el beneficio).El costo de un producto est formado por el precio de la materia prima, el precio de la mano de obra directa empleada en su produccin, el precio de la mano de obra indirecta empleada para el funcionamiento de la empresa y el costo de amortizacin de la maquinaria y de los edificios.

Asumiendo que la empresa solo contrata, trabajo (L) y capital (K), los costos sern:Elcoste laboral es el coste que incurre el empleador por emplear recursos humanos.1El coste laboral incluye tanto el salario, como el pago a la seguridad social y seguros privados, en beneficio de los empleados y ocasionalmente el coste de eventuales indemnizaciones o compensacin, el coste de la formacin de personal, transporte y dietas del personal.Elcoste del capitales el rendimiento mnimo que debe ofrecer una inversin para que merezca la pena realizarla desde el punto de vista de los actuales poseedores de una empresa.El coste del capital es uno de los elementos que determinan el valor de la empresa. Si una empresa obtiene una determinada rentabilidad sobre las inversiones que realiza igual al coste de las fuentes financieras utilizadas en un proyecto, el precio de mercado de las acciones de esa empresa debera mantenerse inalteradoLos costos totales son:

En el corto plazo el stock de capital permanece fijo:

Por lo tanto el costo de capital es fijo a corto plazo, representa el costo fijo (CF).

El costo fijo son desembolsos que realiza la empresa independientemente de su nivel de produccin.Con respecto al trabajo, se puede observar que existe una relacin directa entre la cantidad producida y el nivel de trabajo.

Estos representan los costos variables (CV);es decir; desembolsos que dependen del nivel de produccin.

Finalmente el costo total.

El costo depende de la (Q) cantidad producida o del nivel de produccin de la empresa.

COSTO MARGINAL

Representa el costo adicional, por producir una unidad adicional del bien Q.en este contexto la funcin de beneficios en la empresa.

MAXIMIZACION DE GANANCIASEl objetivo de la empresa es maximizar ganancias mediante la produccin de bienes y servicios.

se busca maximizar la funcin

En competencia perfecta:La empresa es precio- aceptante, por lo tanto:

La funcin de beneficios es:Nota: Con la primera derivada, encontramos los extremos relativos, los niveles de produccin

la condicin de primer orden(la primera derivada).

Esta condicin permite encontrar los valores ptimos de produccin de la empresa que permite alcanzar el mximo o mnimo nivel de beneficios.

Observacin: Si, *la empresa est elevando su produccin de (Q), elevara su ganancia.*pero, la empresa no est obteniendo las mximas ganancias.*no es ptima.Si, * la empresa debe reducir su produccin para elevar sus ganancias.Condicin de segundo ordenEsta condicin nos permite identificar el nivel de produccin que maximiza o minimiza las ganancias de la empresa, se sustenta en la segunda derivada de la funcin de beneficios.

Luego:Pendiente del costo marginal

Esto significa que el nivel de produccin que maximiza ganancias en la empresa debe ubicarse en el tramo de pendiente positiva de la funcin de costo marginal.Ejemplo:Las funciones de ingreso y costo total de una empresa es: en competencia perfecta.

Cul es el nivel de produccin que maximiza las ganancias de la empresa?SOLUCION:Sabemos que:

Primero calcularemos la funcin derivada:Condicin de orden:

Desarrollando tenemos:

Condicin de orden:Necesitamos la segunda condicin de beneficios.Sabemos que:

Para la empresa obtine las ganancias mximas.

Conclusin: la empresa maximiza ganancias produciendo del bien Q.Las ganancias mximas son:

La empresa obtiene 19090u.m como ganancia mxima produciendo unidades del bien Q.SERIES DE TAYLORFUNCION POLINOMICA

Explicacin:La serie de Taylor es la expansin o desarrollo de una funcin alrededor de un punto de su dominio esto significa que dicha funcin se pueda expresar mediante una funcin polinmica.Dada la funcin

Y consideremos x= del dominio de f(x), la serie de Taylor se define de la siguiente manera.

EJEMPLO:Encuentre le desarrollo de la funcin:

Considerando: y La serie de Taylor ser:

Solucin:Se requiere las 2 primeras derivadas:) = ) =

Simplificando tenemos:

Grafica

SERIES DE MACLAURINConstituye una expansin o desarrollo de una funcin en torno al valor de cero cuya expresin es la siguiente:

Ejemplo:Dada la funcin: F(x)=Si: n=2 y la serie de maclaurin ser: F (= F (= F (=Luego:

Se concluye

GrficamenteLa funcin original y la de maclaurin:

Utilizando la serie de maclaurin halle el valor de e.n=2Sabemos por maclaurin n=2 y Luego, si x=1 entonces se tiene el valor de:

n=4, Si x= 1

DERIVADAS PARCIALESFunciones de una ms explicativa Consideremos la funcin

Se aprecia que la variable Y est influenciada o determinada por x, y, n.Es posible encontrar el efecto independiente, de una variable explicativa, sobre la variable y?Respuesta: si, mediante derivadas parcialesQu es una derivada parcial?Muestra el efecto de una variable explicativa sobre la variable dependiente, sin considerar los efectos de las otras variables explicativas sobre la variable dependiente; es decir; considera como si fueran constantes las dems variables.

Se puede obtener 3 derivadas parciales:Muestra el cambio en y como consecuencia del cambio en x, considerando constantes z, n.Muestra el cambio en y como consecuencia del cambio en z, considerando constantes x, n.

Muestra el cambio en y como consecuencia del cambio en n, considerando constantes z, x.Ejemplo 1: Dada la funcin:

Hallar las derivadas parciales =1Solucin:

Ejemplo 2: Dada la funcin Hallar las derivadas parciales y evaluarlas en x =1 m=1 n=1Solucin Evaluando: Evaluando m 2xEvaluando Derivadas parciales APLICACIN A LA ECONOMIAAplicacin:Funcin de produccin Es una relacin entre niveles de produccin de bienes y servicios y los factores productivos utilizados.En general .(1)Donde Q= nivel de produccin producto (bienes y servicios)K= Capital son activos fijos (equipos herramientas)L= trabajo unidad de medida.En la funcin de produccin (1) dada se puede obtener 2 derivadas parciales.a. Productividad marginal del capital: es la derivada parcial de Q respecto de stock de capital La PMGK muestra el aumento del nivel de produccin ante un incremento del stock del capital manteniendo constante el trabajo.b. Productividad marginal del trabajo Ejemplo 2 :Funcin de produccin cogd- Douglas a lardo plazo. Encontrar la productividad del capital y del trabajo en la empresa? Si el precio del mercado del bien Q=100 y los costos de capital y del trabajo so respectivamente 120 y 50 Cul sera su recomendacin respecto a la contratacin del capital y trabajo de la empresa?Solucin:a. Productividad marginal del capital.

Sabemos: K=10 ^ L=80 Se interpreta el 1.29.Elevar en 1 unidad de stock de capital genera un incremento de 1.29 unidades de Q manteniendo constante el nivel de trabajo.b. P=100Costo de capital =120 Costo de trabajo= 50Cul es el ingreso de la empresa?P=100 el ingreso adicional que obtiene la empresa ser: 1,29 x 100=129.Adems contratar 1 unidad de capital ocasiona un costo de 129 por lo tanto la empresa obtendr una ganancia de 9 unidades monetarias por contratar 1 unidad de capital.a. Productividad marginal del trabajo Sabemos: K=10 ^ L=80 Elevar en una unidad de trabajo reduce en 0,38 unidades de Q manteniendo constante el stock de capital.El ingreso adicional que obtiene la empresa ser: 038 x 100 =38Contratar una 1 unidad de trabajo ocasiona un costo de 50 por lo tanto la empresa perder una ganancia de 12 unidades por contratar 1 unidad de trabajo.Pero por otro lado despidiendo 1 unidad la empresa gana 12 soles. En caso de despedir.

Derivadas totalesDada la funcin:Y=Y(x,z)...(1)La variable Y depende de X y Z cualquier cambio en X o Z se refleja a Y Adicionalmente Z=Z(x). (2)Z es determinado por X (2) en (1)Cmo afecta X en Y?Y=Y [X, Z(x)]a. Efecto Directo.- El cambio en X ocasiona un cambio en Y, sin intermediacin de otras variables.

b. Efecto Indirecto.- Representa la influencia de X sobre Y a travs de Z.

La derivada total, muestra el cambio total, atribuido al cambio en X, representa la suma de los efectos directos e indirectos.Es decir:Dada la funcin: La derivada total de Y con respecto a X, es:

Alternativamente:

Ejemplo: Halle la derivada total con Y respecto a X sabiendo que es igual

Sabemos: Observe:

Pero: Entonces:

DiferencialesEn el campo de lamatemticallamadoclculo diferencial, eldiferenciales un objeto matemtico que representa la parte principal del cambio en lalinealizacinde unafuncin y=(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencialdyqueda definido por la expresin

Donde f(x)es laderivadadefcon respecto ax, y dondedxes unavariablereal adicional (de manera quedyes una funcin de dos variablesx, ydx). La notacin es tal que la expresin

Donde la derivada es representada en lanotacin de Leibnizdy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. As se puede escribir

Considerando la siguiente funcin.

Cuya derivada es:

De manera alternativa: es diferencial de la variable Y. Muestra el cambio en Y * El cambio en Y se explica por dos componentes. El cambio en X y la derivada parcial de Cambios infinidecimalesCambios discretos

Diferencial.- Son cambios infinidecimales en una variable objeto de anlisis

Reglas de diferenciacina. Regla de la funcin potencial

b. Regla de la funcin logartmica

c. Regla de funcin exponencial

d. Regla de la funcin trigonomtrica

e. Regla de la suma o diferencia

f. Regla del producto

g. Regla del cociente

h. Regla de la cadena Dnde: ,

Ejemplo: Dada la funcin

Halle la diferencial de Y

APLICACIONES DEL CALCULO DIFERENCIALMODELO IS-LMEs un modelo de la teora keynesiana que surgio en la dcada 1930y fue formalizado.Condicin: para elevar la produccin, tendra que impulsar la demanda agregada.Existen tres mercados: A. Mercado de bienesB. Mercado de preciosC. Mercado de bonosSupuesto:*Pas pequeo y economa cerrada*Precios fijos*existen tres mercados (bienes, dinero, bonos).Argumentacin: para explicar el comportamiento, de un pas desempeo.La produccin es determinada por la demanda agregada.Segn Walras, solo se analiza dos mercados: mercado de bienes y mercado de dinero.C: consumo de las familias (depende del ingreso disponible).I: inversin de empresasG: agente estado

A. MERCADO DE BIENESEn esta economa: . (1)Consumo:

(2)

(3)

.. (5) (7)MERCADO DE DINERO

(9). (10)SOLUCION:Las variables:

Las variables exgenas:

1.- Primero: equilibrio de mercado

Diferenciando totalmente.

OPTIMIZACIN IRRESTRICTA PARA FUNCIONES EN DOS VARIABLES EXPLICATIVAS.Optimizacin matemtica(o bien,optimizacino programacin matemtica) es la seleccin del mejor elemento (con respecto a algn criterio) de un conjunto de elementos disponibles.1En el caso ms simple, unproblema de optimizacinconsiste enmaximizar o minimizarunafuncin realeligiendo sistemticamente valores deentrada(tomados de un conjunto permitido) y computando elvalorde la funcin. La generalizacin de la teora de la optimizacin y tcnicas para otras formulaciones comprende un rea grande de lasmatemticas aplicadas. De forma general, la optimizacin incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna funcin objetivo dado undominiodefinido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.

Grfico de unparaboloidedado por f(x,y) = -(x+y)+4. Elmximoglobal en (0, 0, 4) est indicado por un punto rojo.

Consideremos la siguiente funcin:Ejemplo:Dada la funcin: Los valores ptimos de x y z que maximice o minimice sern obtenidos de aplicar las condiciones de primer orden (C.P.O.)

Resolviendo simultneamente:

Luego: Sabemos:

Recuerda:

El teorema de Young establece:

Factorizando:

Completando cuadrados: Observ:

Qu representa los trminos ?Sabemos: Dado que es una forma cuadrtica admite la siguiente representacin matricial:

Donde, la matriz cuadrada se denomina Hesiana.

Los menores principales de H son:

Conclusiones:Dada la funcin: a. es estrictamente cncava si lo que implica

Segn las condiciones de segundo orden necesitamos evaluar para ello, es necesario construir la Hesiana. Observe:

Luego se aprecia Entonces: es estrictamente convexa respecto a X y Z.

OPTIMIZACIN RESTRICTA

Consideremos un individuo en calidad de consumidor.Este individuo busca tener el mximo bienestar del hecho de consumir bienes y servicios a precio de mercados, sin embargo, solo dispone de un nivel de ingresos, para adquirir bienes y servicios.El problema del consumidor es en contar la cantidad ptima de bienes y servicios que debe adquirir de tal forma que obtenga mximo bienestar.

Formalizando el problema La funcin de utilidad (u) muestra el bienestar del individuo para diferentes niveles de consumo de bienes. Sean los bienes y los nicos existentes entonces:

La restriccin porcentual, bajo el supuesto de mono tonicidad o mas es mejor implica que el ingreso ser igual al gasto de bienes de consumo.I=GEl gasto en bienes de consumo es: Entonces la restriccin es: El problemaMax. Sujeto a: Para realizar el anlisis de optimizacin restringida, asumiendo lo siguiente:

Entonces: Maximizando Sujeto a

FUNCIN LAGRANGIANA

Observe: Se busca encontrar los valores ptimos de x,y,g que maximice o minimice el valor de .Condiciones de primer orden

.(4) Resolviendo simultneamente (2),(3) y (4) se obtendr los valores ptimos de x,y,g.Ejemplo: hallar los valores ptimos de x,y,g para el siguiente problema.Optimizar: Sujeto a

La funcin de lagrange es:

C.P.O.

De (1) y (2)

De (4) y (3)

Los valores ptimos permite establecer el valor de

El valor de constituye un mximo o un mnimoEs necesario evaluar a. Si es estrictamente convexa y se minimiza en Zb. Si es estrictamente cncava y se maximiza en Z.