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MATE 3171

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 24

MATE 3171

Grá�cas de ecuaciones en dos variables

Una ecuación en dos variables expresa una relación entre dos cantidades.Un punto (x , y) satisface una ecuación si al sustituirlo en ella los valores xe y , la igualdad se cumple.

EjemploDada la ecuación x2 + y = 6 se satisface para:(2, 2) porque 22 + 2 = 6�p

2, 4�porque

p22+ 4 = 6

Pero el punto (1, 3) no satisface porque 12 + 3 = 4 6= 6

La grá�ca de una ecuación en x e y es el conjunto de todos los puntos(x , y) en el plano coordenado que satisfacen la ecuación.


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Ejemplos1.Trazar la grá�ca de y = 2x + 1SoluciónSe hace una tabla de valores:

x y = 2x + 1 (x , y)�1 �1 (�1,�1)0 1 (0, 1)1 3 (1, 3)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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2. Trazar la grá�ca de y2 = 2x + 1SoluciónSe hace una tabla de valores:

yy2 = 2x + 1x = 1

2

�y2 � 1

� (x , y)

�2 32

� 32 ,�2

��1 0 (0,�1)0 � 1

2

�� 12 , 0�

1 0 (0, 1)2 3

2

� 32 , 2�

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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Interceptos

Las coordenadas x de los puntos donde la grá�ca corta al eje X sonllamados los interceptos de x de la grá�ca y se obtienen haciendo y = 0en la ecuación de la grá�ca. Las coordenadas y de los puntos donde lagrá�ca corta al eje Y son llamados los interceptos de y de la grá�ca y seobtienen haciendo x = 0 en la ecuación de la grá�ca.

Interceptos Como hallarlos Grá�ca

Eje X : Las coordenadasde x de los puntos dondela grá�ca corta al eje XEje Y : Las coordenadasde y de los puntos dondela grá�ca corta al eje Y

Haga y = 0y resuelva para xHaga x = 0

y resuelva para y

p. 87


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Simetrías

Tipos Prueba Grá�ca

Eje X

La ecuaciónno cambiaal sustituiry por � y

p. 90

Eje Y

La ecuaciónno cambiaal sustituirx por � x

Origen

La ecuación nocambia al

sustituir y por�y y x por � x


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Ejemplos Halle los interceptos e indique el tipo de simetría de:1. y = 4x � x2Solución

Eje X Eje Yy = 0 x = 0

4x � x2 = 0 y = 0x (4� x) = 0x = 0, x = 4(0, 0) , (4, 0) (0, 0)

Simetriasno no


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2. x2 + y3 � x2y2 = 64SoluciónAl observar la grá�ca:

Eje X Eje Yy = 0 x = 0x2 = 64 y3 = 64x = �8 y = 4

(�8, 0) , (8, 0) (0, 4)

Simetriasno si


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Ejemplos Haga una tabla de valores e indique los interceptos, el tipo desimetría y trace la grá�ca de:1.3y = x3

SoluciónSe hace una tabla de valores:

x y = 13x3 (x , y)

�1 � 13

��1,� 1

3

�0 0 (0, 0)1 1

3

�1, 13

�Simetrias

Eje X Eje Y Origen

8 (�y) =�8y

(�x)3 =�x3

8 (�y) =(�x)38y = x3

no no si

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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2.y = �p4� x2

SoluciónSe hace una tabla de valores:

x y = �p4� x2 (x , y)

�2 0 (�2, 0)�1 �

p3

��1,�

p3�

0 �2 (0,�2)1 �

p3

�1,�

p3�

2 0 (2, 0)Simetrias

Eje X Eje Y Origen

(�y) = �y �q4� (�x)2 = �

p4� x2 (�y) = �

q4� (�x)2

�y = �p4� x2

no si no


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−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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Ecuación de la circunferencia (círculo)

"La circunferencia de un círculo es el conjunto de puntos P (x , y) en elplano cuya distancia, llamada radio, r , a un punto �jo, llamado centro,C (h, k) , es siempre constante".

p. 88


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Ecuación de la circunferencia:Se obtiene al aplicar la fórmula de distancia entre el centro C (h, k) y unpunto P (x , y) sobre la curva:

d (C ,P) =q(x � h)2 + (y � k)2 = r

Elevando al cuadrado:�q(x � h)2 + (y � k)2

�2= r2 ) (x � h)2 + (y � k)2 = r2

Es llamada la ecuación de la circunferencia en su forma estándard.Nota: Si el centro del círculo está en el origen, es decir, C (0, 0), entoncesla ecuación es: x2 + y2 = r2, cuya grá�ca posee las tres simetrías almismo tiempo.


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A continuación se presenta la grá�ca de x2 + y2 = 52


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Ejemplos1. Halle el centro y radio de x2 + (y � 3)2 = 6 y trace su grá�caSoluciónEl centro es C (0, 3) y el radio es r =

p6

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y


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2.Halle el centro y radio de x2 � 6x + y2 + 5y � 4 = 0 y trace su grá�caSoluciónCompletando cuadrados:x2 � 6x +

� 62

�2+ y2 + 5y +

� 52

�2= 4+

� 62

�2+� 52

�2Factorizando y simpli�cando: (x � 3)2 +

�y + 5

2

�2= 77

4

El centro es C�3,� 5

2

�y el radio es r =

p772

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y


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Rectas

Objetivo es determinar la ecuación de una recta en el plano, las cualesdependen de su inclinación.


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Pendiente de una rectaEl concepto de pendiente está relacionado con la distancia que se muevehacia la derecha (cambio en x) y la cantidad que aumenta o disminuyeverticalmente (cambio en y).La pendiente m de una recta no vertical que pasa por los puntos A (x1, y1)y B (x2, y2) es:

m = cambio en ycambio en x =

y2�y1x2�x1


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EjemplosHalle la pendiente de las rectas que pasan por los puntos:1. A (2, 3) y B (�4,�2)SoluciónLa pendiente es: m = �2�3

�4�2 =56 > 0

2. A (6, 3) y B (�4, 3)SoluciónLa pendiente es: m = 3�3

�4�6 = 0 la recta es horizontal

3. A (3, 3) y B (3,�2)SoluciónLa pendiente es: m = �2�3

3�3 no existe la recta es vertical

4. A (�3, 3) y B (4,�3)SoluciónLa pendiente es: m = �3�3

4�(�3) = �67 < 0


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Ecuación de una recta

1 Punto-pendiente: la ecuación de una recta que pasa por el punto(x1, y1) y tiene pendiente m es: y � y1 = m (x � x1)

2 Intercepto eje Y - pendiente: la ecuación de una recta que interceptaal eje Y en (0, b) y tiene pendiente m es: y = mx + b

3 La ecuación general de una recta: la grá�ca de toda ecuación linealAx + By + C = 0 (A,B 6= 0) es una recta. Equivalentemente, todarecta es la grá�ca de una ecuación lineal.


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EjemplosResuelva los siguientes ejercicios:1. Halle la ecuación de la recta cuya grá�ca se muestra

SoluciónHallamos la pendiente: m = 5�1

8�2 =46 =

23 > 0

Usando el caso punto-pendiente y considerando el punto (2, 1), laecuación de la recta es:y � 1 = 2

3 (x � 2) simpli�cando:y = 2

3x �43 + 1 =

23x �

13


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2. Halle la ecuación de la recta que pasa por (2,�3) y tiene pendiente 2SoluciónUsando el caso punto-pendiente y considerando el punto (2,�3), laecuación de la recta es:y � (�3) = 2 (x � 2) simpli�cando:y = 2x � 4� 3 = 2x � 7La grá�ca es:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y


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3. Halle la ecuación de la recta que intercepta al eje Y en (0,�3) y tienependiente � 2

5SoluciónUsando el caso intercepto-pendiente, la ecuación de la recta es:y = � 2

5x � 3La grá�ca es:

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y


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4. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (�2, 3) y (3, 4)SoluciónHallamos la pendiente: m = 4�3

3�(�2) =15 > 0

Usando el caso punto-pendiente y considerando el punto (3, 4), laecuación de la recta es:y � 4 = 1

5 (x � 3) simpli�cando:y = 1

5x �35 + 4 =

15x +

175

La grá�ca es:

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y


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