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MATE 3171
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 24
MATE 3171
Grá�cas de ecuaciones en dos variables
Una ecuación en dos variables expresa una relación entre dos cantidades.Un punto (x , y) satisface una ecuación si al sustituirlo en ella los valores xe y , la igualdad se cumple.
EjemploDada la ecuación x2 + y = 6 se satisface para:(2, 2) porque 22 + 2 = 6�p
2, 4�porque
p22+ 4 = 6
Pero el punto (1, 3) no satisface porque 12 + 3 = 4 6= 6
La grá�ca de una ecuación en x e y es el conjunto de todos los puntos(x , y) en el plano coordenado que satisfacen la ecuación.
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Ejemplos1.Trazar la grá�ca de y = 2x + 1SoluciónSe hace una tabla de valores:
x y = 2x + 1 (x , y)�1 �1 (�1,�1)0 1 (0, 1)1 3 (1, 3)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
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2. Trazar la grá�ca de y2 = 2x + 1SoluciónSe hace una tabla de valores:
yy2 = 2x + 1x = 1
2
�y2 � 1
� (x , y)
�2 32
� 32 ,�2
��1 0 (0,�1)0 � 1
2
�� 12 , 0�
1 0 (0, 1)2 3
2
� 32 , 2�
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
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Interceptos
Las coordenadas x de los puntos donde la grá�ca corta al eje X sonllamados los interceptos de x de la grá�ca y se obtienen haciendo y = 0en la ecuación de la grá�ca. Las coordenadas y de los puntos donde lagrá�ca corta al eje Y son llamados los interceptos de y de la grá�ca y seobtienen haciendo x = 0 en la ecuación de la grá�ca.
Interceptos Como hallarlos Grá�ca
Eje X : Las coordenadasde x de los puntos dondela grá�ca corta al eje XEje Y : Las coordenadasde y de los puntos dondela grá�ca corta al eje Y
Haga y = 0y resuelva para xHaga x = 0
y resuelva para y
p. 87
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Simetrías
Tipos Prueba Grá�ca
Eje X
La ecuaciónno cambiaal sustituiry por � y
p. 90
Eje Y
La ecuaciónno cambiaal sustituirx por � x
Origen
La ecuación nocambia al
sustituir y por�y y x por � x
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Ejemplos Halle los interceptos e indique el tipo de simetría de:1. y = 4x � x2Solución
Eje X Eje Yy = 0 x = 0
4x � x2 = 0 y = 0x (4� x) = 0x = 0, x = 4(0, 0) , (4, 0) (0, 0)
Simetriasno no
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2. x2 + y3 � x2y2 = 64SoluciónAl observar la grá�ca:
Eje X Eje Yy = 0 x = 0x2 = 64 y3 = 64x = �8 y = 4
(�8, 0) , (8, 0) (0, 4)
Simetriasno si
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Ejemplos Haga una tabla de valores e indique los interceptos, el tipo desimetría y trace la grá�ca de:1.3y = x3
SoluciónSe hace una tabla de valores:
x y = 13x3 (x , y)
�1 � 13
��1,� 1
3
�0 0 (0, 0)1 1
3
�1, 13
�Simetrias
Eje X Eje Y Origen
8 (�y) =�8y
(�x)3 =�x3
8 (�y) =(�x)38y = x3
no no si
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
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2.y = �p4� x2
SoluciónSe hace una tabla de valores:
x y = �p4� x2 (x , y)
�2 0 (�2, 0)�1 �
p3
��1,�
p3�
0 �2 (0,�2)1 �
p3
�1,�
p3�
2 0 (2, 0)Simetrias
Eje X Eje Y Origen
(�y) = �y �q4� (�x)2 = �
p4� x2 (�y) = �
q4� (�x)2
�y = �p4� x2
no si no
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−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
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Ecuación de la circunferencia (círculo)
"La circunferencia de un círculo es el conjunto de puntos P (x , y) en elplano cuya distancia, llamada radio, r , a un punto �jo, llamado centro,C (h, k) , es siempre constante".
p. 88
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Ecuación de la circunferencia:Se obtiene al aplicar la fórmula de distancia entre el centro C (h, k) y unpunto P (x , y) sobre la curva:
d (C ,P) =q(x � h)2 + (y � k)2 = r
Elevando al cuadrado:�q(x � h)2 + (y � k)2
�2= r2 ) (x � h)2 + (y � k)2 = r2
Es llamada la ecuación de la circunferencia en su forma estándard.Nota: Si el centro del círculo está en el origen, es decir, C (0, 0), entoncesla ecuación es: x2 + y2 = r2, cuya grá�ca posee las tres simetrías almismo tiempo.
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A continuación se presenta la grá�ca de x2 + y2 = 52
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Ejemplos1. Halle el centro y radio de x2 + (y � 3)2 = 6 y trace su grá�caSoluciónEl centro es C (0, 3) y el radio es r =
p6
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
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2.Halle el centro y radio de x2 � 6x + y2 + 5y � 4 = 0 y trace su grá�caSoluciónCompletando cuadrados:x2 � 6x +
� 62
�2+ y2 + 5y +
� 52
�2= 4+
� 62
�2+� 52
�2Factorizando y simpli�cando: (x � 3)2 +
�y + 5
2
�2= 77
4
El centro es C�3,� 5
2
�y el radio es r =
p772
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
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Rectas
Objetivo es determinar la ecuación de una recta en el plano, las cualesdependen de su inclinación.
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Pendiente de una rectaEl concepto de pendiente está relacionado con la distancia que se muevehacia la derecha (cambio en x) y la cantidad que aumenta o disminuyeverticalmente (cambio en y).La pendiente m de una recta no vertical que pasa por los puntos A (x1, y1)y B (x2, y2) es:
m = cambio en ycambio en x =
y2�y1x2�x1
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EjemplosHalle la pendiente de las rectas que pasan por los puntos:1. A (2, 3) y B (�4,�2)SoluciónLa pendiente es: m = �2�3
�4�2 =56 > 0
2. A (6, 3) y B (�4, 3)SoluciónLa pendiente es: m = 3�3
�4�6 = 0 la recta es horizontal
3. A (3, 3) y B (3,�2)SoluciónLa pendiente es: m = �2�3
3�3 no existe la recta es vertical
4. A (�3, 3) y B (4,�3)SoluciónLa pendiente es: m = �3�3
4�(�3) = �67 < 0
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Ecuación de una recta
1 Punto-pendiente: la ecuación de una recta que pasa por el punto(x1, y1) y tiene pendiente m es: y � y1 = m (x � x1)
2 Intercepto eje Y - pendiente: la ecuación de una recta que interceptaal eje Y en (0, b) y tiene pendiente m es: y = mx + b
3 La ecuación general de una recta: la grá�ca de toda ecuación linealAx + By + C = 0 (A,B 6= 0) es una recta. Equivalentemente, todarecta es la grá�ca de una ecuación lineal.
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EjemplosResuelva los siguientes ejercicios:1. Halle la ecuación de la recta cuya grá�ca se muestra
SoluciónHallamos la pendiente: m = 5�1
8�2 =46 =
23 > 0
Usando el caso punto-pendiente y considerando el punto (2, 1), laecuación de la recta es:y � 1 = 2
3 (x � 2) simpli�cando:y = 2
3x �43 + 1 =
23x �
13
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2. Halle la ecuación de la recta que pasa por (2,�3) y tiene pendiente 2SoluciónUsando el caso punto-pendiente y considerando el punto (2,�3), laecuación de la recta es:y � (�3) = 2 (x � 2) simpli�cando:y = 2x � 4� 3 = 2x � 7La grá�ca es:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
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3. Halle la ecuación de la recta que intercepta al eje Y en (0,�3) y tienependiente � 2
5SoluciónUsando el caso intercepto-pendiente, la ecuación de la recta es:y = � 2
5x � 3La grá�ca es:
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
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4. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (�2, 3) y (3, 4)SoluciónHallamos la pendiente: m = 4�3
3�(�2) =15 > 0
Usando el caso punto-pendiente y considerando el punto (3, 4), laecuación de la recta es:y � 4 = 1
5 (x � 3) simpli�cando:y = 1
5x �35 + 4 =
15x +
175
La grá�ca es:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
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