El plano cartesiano y las gráficas

Presentación 2 MATE 3171

Coordenadas Rectangulares

• Es un sistema para asignar un par ordenado

(a, b) de números reales a cada punto en el

plano.

• Se basa en dos líneas perpendiculares

llamadas eje de x y eje de y.

– La intersección de los dos ejes se llama el origen.

– Dividen el plano en cuatro cuadrantes ,I-IV como

mostramos

Cuadrantes y puntos • A cada punto P en el

plano le corresponden dos coordenadas:

– La abscisa es la distancia horizontal desde el punto hasta el eje vertical.

– La ordenada es la distancia vertical desde el punto hasta el eje horizontal.

P

Coordenadas de un punto

• Estas coordenadas se representan mediante un par ordenado (a, b)

donde a es la abscisa

y b es la ordenada.

• Usualmente al eje horizontal se le asigna la variable x y al eje vertical la variable y.

Coordenadas de un punto

• ¿Cuál es la abscisa del punto que se muestra?

• ¿Cuál es la ordenada del punto que se muestra?

b

a x

y

abscisa = 3

ordenada = 4

Coordenadas cartesianas

Gráfica de una Ecuación en dos variables

• Por definición, la gráfica de una ecuación en

dos variables es el conjunto de todos los

puntos , P(a, b), donde (a, b) es una

solución de la ecuación.

• Una forma de hacer un boceto (“sketch”) de

la gráfica de una ecuación es localizar

suficientes puntos (soluciones), hasta obtener

una imagen clara de la forma de la gráfica.

Ejemplo

• Considere la ecuación y = 3x + 1.

Una solución de esta ecuación es un par de valores (uno de x y uno de y) que la hagan cierta.

Si x = 2, ¿cuál es el valor de y que hace la ecuación cierta?

y = 3(2) + 1

y = 6 + 1 = 7

Así que, x = 2 y y = 7 son (el par) una solución de la ecuación.

Cont. Ejemplo

• ¿Podemos construir más soluciones?

Sustituyendo valores de x en la ecuación y obteniendo el valor correspondiente de y.

Para organizar las soluciones utilizamos una tabla, la tabla de valores.

x y

2 7

-2 -5

1 4

1/3 2

0 1

y = 3x + 1

Cont. Ejemplo

x y

• Con cada par de valores construimos un punto cuyas coordenadas son los valores de x y y.

• Luego los graficamos en el plano.

2 7 (2, 7)

-2 -5

1 4

1/3 2

0 1

(-2, -5)

(1, 4)

(1/3, 2)

(0, 1)

Cont. Ejemplo

(2, 7)

(-2, -5)

(1, 4)

(1/3, 2)

(0, 1)

Otro ejemplo • Haga un boceto de la gráfica de y = x2 – 3

• Completar la tabla con los valores correspondientes de la y

• Localizemos los puntos en un plano cartesiano: (-3,6) (-2,1) (-1,-2) (0,-3) (1,-2) (2,1) (3,6)

Ejemplo (continución)

• El punto (0, -3) parece dividir la gráfica en dos partes iguales.

• A la derecha de este punto, podemos notar que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande.

• A la izquierda del (0, 3), notamos q a medida que x se hace más pequeño, y se hace más grande.

(-3,6) (-2,1) (-1,-2) (0,-3) (1,-2) (2,1) (3,6)

Ejemplo (continución)

• Unimos los puntos con una curva suave (sin picos ni brincos) que sigue el patrón que observamos.

Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola.

Interceptos de una gráfica

Ejemplo

3,0

Solución:

Ejemplo – continuación

3,0

Solución (continuación):

• Para determinar el intercepto en y, asignamos

a la variable x el valor de 0 y simplificamos.

Fórmula de Distancia

Fórmula de Distancia

• Sean P1 y P2 dos puntos en el plano,

La fórmula de distancia

entre dos puntos en el

plano de puede

determinar.

Aplicando la fórmula de distancia

Localice los puntos A(-3,6) y B(5,1) en el plano y hallar d(A,B).

Fórmula de punto medio

1 21 2 , .2 2

y yx x

Ejemplo

Ejemplo

Solución:

Ejemplo

Solución:

• Cualquier punto en el eje de x tiene coordenadas (x, 0)

• Utilizamos la fórmula de distancia entre dos puntos en el plano para P(-2,4) y Q(x,0) y la igualamos a 5.

d =5

Determine todos los puntos en el eje de x que se

encuentran a una distancia 5 del punto P(-2,4).

Simetría • Antes vimos la gráfica de la

parábola y = x2 – 3.

• Nota que si se doblara el plano sobre el eje de y, la parte de la gráfica que queda en el lado izquierdo coincidiría con la parte de la gráfica que está en el lado derecho.

• Gráficas como éstas se llaman simétricas con respecto al eje de y.

Simetría • Identifica cuál de las gráficas son simétricas con

respecto al eje de y.

a. b. c.

d. e. f.

Simetría (continuación)

• Una gráfica es simétrica con respecto al eje

de y si un punto (-x, y) está en la gráfica

cuando (x, y) está en la gráfica.

– Para determinar si una ecuación cumple la

condición anterior debemos remplazar x con –x y

simplificar la ecuación nueva.

– Si ambas ecuaciones son iguales, entonces la

gráfica es simétrica con respecto a y.

Ejemplo

Determinar si y = 3x2 – 10 es simétrica con

respecto al eje de y.

Solución:

Ejemplo Determinar si y = 12 – 5x3 es simétrica con

respecto al eje de y.

Solución:

Tipos de Simetría

Tipos (continuación)

¿Existe simetría? Deteminar si existe simetría en cada caso:

• x2 + y2 = 7 ¿simétrica con respecto a x?

• y = ¾x3 ¿simétrica con respecto al origen?

Ejemplo

Construya la gráfica de x = -y2 + 3. Solución:

A. Determinar interceptos

B. Determinar las simetrías:

Cont. Ejemplo

x y

x = -y2 + 3

La ecuación de un círculo • Dado un punto C(h, k) en un

plano coordenado, el círculo con

centro C y radio r > 0, consiste

de todos los puntos en el plano

que se encuentran a r unidades

del centro, C.

• Un punto P(x, y) está en el círculo

siempre y cuando d(C, P) = r , o

(por la fórmula de distancia)

rkyhx 22

Círculos (continuación) • Cuadrando en ambos lados de la fórmula

anterior obtenemos a la ecuación estándar del

círculo,

donde (h,k) son las coordenadas del centro

del círculo y r el radio.

• Si r = 1 , llamamos al círculo

un círculo unitario con

ecuación igual a

22 2x h y k r

122 yx

Ejemplo Hallar la ecuación del círculo que tiene centro en

C(- 2, 3) y radio igual a 4.

SOLUCION:

Ejemplo

Dibujar la gráfica del círculo: 163222 yx

Hallar la ecuación del círculo

El centro del círculo

está en ______

El radio del

círculo es _____.

La ecuación del círculo

es:

Ejemplo Demuestre que la siguiente ecuación representa un círculo,

hallando su radio y su centro: 3x2 + 3y2 – 12x + 18y = 9

SOLUCION: Si ésta es la ecuación de un círculo, no está en la forma estándar. Para convertirla a la forma estándar debemos usar el método de completar el cuadrado.

Encontrar el centro y radio del círculo cuya ecuación

es 4x2+4y2-12x+40y+77=0

Ejemplo

EJEMPLO ADICIONAL DEL USO DE LA FORMULA DE DISTANCIA

Ejemplo

La bisectriz l es una recta perpendicular al segmento AB y que pasa por su punto medio.

d(A,C)

d(B,C)

d(A,C) = d(B,C), para cualquier

punto C sobre la bisectriz

l Para los puntos A(-3,2) y B(5,-4), demuestre

que C(7,7) es un punto en la bisectriz

perpendicular al segmento AB.

Solución

• d(A,C)=

2 2

7 3 7 2

2 210 5

100 25

125

d(B, C) =

22

7 5 7 4

2 22 11

4 121

125

5 5 5 5

Como d(A,C) = d(B,C), el punto C(7,7) en un punto

en la bisectriz perpendicular al segmento AB.

A(-3,2) y B(5,-4), y C(7,7)

EJEMPLO ADICIONAL DE SIMETRIA

Una gráfica simétrica con respecto al

origen

Por lo tanto, la gráfica de la ecuación es simétrica

con respecto al origen.

Simetría con respecto al origen (cont.)

• Localizamos los puntos

(0,0), 1

2,1

32, 1,

1

4,

3

2,27

32, 2,2