Funciones cuadráticas MATE 3171

Funciones cuadráticas • Una función , f , es una función cuadrática si

f(x) = ax2 + bx + c ,

• a , b , y c se llaman coeficientes.

o a es el coeficiente principal

o b es el coeficiente de término lineal

o c es el coeficiente constante

Características generales • La gráfica tiene la forma de U, o U invertida llamada

parábola.

• Su dominio es el conjunto de los Reales.

• No son monotónicas. Cambian de creciente a decreciente o de decreciente a creciente una vez en su dominio.

• El punto donde cambian de creciente a decreciente (o viceversa) se llama el vértice.

• La coordenada en y del vértice es el valor máximo o mínimo de la función

• La parábola tiene 1 intercepto en y; (0, c) .

• La parábola tiene a lo más 2 interceptos en x; f(x) = 0

Ejemplo

• f(0) =

• f(1)=

• f(2)=

• f(3)=

• Trazar la gráfica de f(x) = - ½ x2

• f es una función par.

• f es un encogimiento vertical y una reflexión sobre el eje de x de x2

• Algunos puntos que pertenecen a la gráfica:

Constuya la gráfica:

Ejemplo Trazar la gráfica de g(x) = - ½ x2 + 4

• g es una función par.

• g (x) = - ½ (x2 – 8)

• g es una traslación vertical de x2 de 8 unidades

hacia abajo

• g es un encogimiento vertical de x2

• g es una reflexión sobre x de x2

• g es una traslación vertical de f(x)= - ½ x2 de 4

unidades hacia arriba

• g(0) =

• g(1)=

• g(2)=

• g(3)=

Construya la gráfica:

Usando la forma estándar • La forma estándar de una parábola es

y = a(x – h)2 + k :

o la gráfica de y = a(x – h)2 + k es una

• traslación horizontal de y = ax2 .

• traslación vertical de y = a(x – h)2:

Coeficiente principal

Dado y = a(x – h)2 + k

• Si a > 0 , entonces el punto (h, k) es el

punto más bajo en la parábola, y la función f tiene su valor mínimo en f(h) = k .

• Si a < 0 , entonces el punto (h, k) es el

punto más alto en la parábola, y la función f tiene su valor máximo en f(h) = k .

• Además, si a >0 la gráfica abre hacia arriba

(); si a<0 la gráfica abre hacia abajo ()

Forma Estándar • La forma general de una ecuación cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c ,

se puede cambiar a su forma estándar

f(x) = a(x – h)2 + k .

• La forma estándar nos permite ver

características útiles de la gráfica de f :

o (h,k) es el vértice de la gráfica

o a es coeficiente principal: a >0 gráfica abre

hacia arriba (U); si a<0 la gráfica abre hacia

abajo

Teorema para hallar el vértice

El vértice de la gráfica de una función cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c,

tiene coordenada de x igual a

𝑥 = −

𝑏

2𝑎

y coordenada de y igual a

y= 𝑓(−𝑏

2𝑎)

Ejemplo • Determinar el vértice de la gráfica de

f(x) = 2x2 + 10x - 12

Escriba la función en forma estándar y grafique la

función.

𝑥 = −𝑏

2𝑎 y= 𝑓(−

𝑏

2𝑎)

Coordenada de x: Coordenada de y:

Como a>0, el vértice es un mínimo, y la parábola abre hacia arriba.

Ejemplo (cont.) • Determinar el vértice de la gráfica de

f(x) = 2x2 + 10x - 12

Escriba la función en forma estándar y grafique la

función.

Solución (continuación)

vértice →

𝑓 𝑥 =

Ecuación en forma estándar:

Intercepto en y:

f(0) =

Ejemplo (cont.) • Determinar el vértice de la gráfica de

f(x) = 2x2 + 10x - 12

Escriba la función en forma estándar y grafique la

función.

Solución (continuación)

Determinar interceptos en x:

2x2 + 10x – 12 = 0

Ejemplo

Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4 determinar

a) si la gráfica de f abre hacia arriba () o

hacia abajo ()

b) el intercepto en y

c) el (los) intercepto(s) en x

d) la forma estándar de f

e) el vértice

f) el máximo o mínimo de f

g) la traslación en el plano la gráfica de f

Ejemplo (cont.)

Solución (cont.) Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4

3) determinar el (los) intercepto(s) en x

Los interceptos son .

Ejemplo Solución (cont.)

Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4

4) determinar la forma estándar de f

5) el vértice

6) el máximo o mínimo de f

7) la traslación en el plano de la gráfica de f

Ejemplo Hallar la ecuación (en forma general) de una

función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , que

tiene vértice V(2, 3) y que pasa por (5, 1) .

Solución:

• Usando la ecuación estándar con h = 2 y

k = 3 tenemos

f(x) = a(x – 2)2 + 3 .

Ejemplo (cont) • Que (5, 1) sea un punto en la gráfica de f

implica que satisface la ecuación

y = a(x – 2)2 + 3

Aplicaciones Los problemas de aplicación para funciones cuadráticas, generalmente se relacionan con

o Evaluar para algún valor de la variable independiente.

• Ej. ¿Qué altura tiene el objeto después de 5 segundos?

o Resolver para algún valor de la variable dependiente.

• Ej. ¿Cuántas camisetas se pueden ordenar por $350?

o Determinar el máximo o mínimo (buscar vértice)

• ¿Cuál es la temperatura mínima que alcanza la taza de café?

• ¿Luego de cuántos segundos alcanza la taza de café su temperatura mínima?

Aplicaciones:

Ejemplo 1: Un objeto se lanza verticalmente hacia

arriba con una velocidad inicial de v0 pies por

segundo. La distancia s(t) en pies sobre el suelo

después de t segundos de lanzado el objeto está dada

por

s(t)= -16t 2 + v0t

(a) Si el objeto cae al suelo después de 12 segundos de lanzado, determine la velocidad incial v0.

(b) Determine la distancia máxima sobre el suelo que alcanza el proyectil.

Aplicaciones:

Ejemplo 2: Un objeto se lanza a 19.6 metros por segundo (m / s) desde una plataforma de altura 58.8 metros. La ecuación para la altura del objeto (s) en el tiempo (t segundos) después del lanzamiento es

s(t) = -4.9t2 + 19.6t + 58.8,

donde s es en metros.

Aplicaciones

• Ejemplo 3: Se estudiaron los efectos

nutricionales en ratas variando el porcentaje, P,

de levadura como una fuente de proteína. Se

estimó que el peso promedio ganado (en

gramos) de una rata en un período está dado

por f( P) , donde:

𝒇 𝑷 = −𝟏

𝟓𝟎𝑷𝟐 + 𝟐𝑷 + 𝟐𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 ≤ 𝑷 ≤ 𝟏𝟎𝟎

• Encuentre el máximo peso ganado por las

ratas.

Aplicaciones • Ejemplo 5 (Localización de la Escalera) Una

escalera se reclina contra el edificio, como se indica

en el dibujo. La escalera es 20 pies de largo. La

distancia al tope de la escalera es 4 pies mayor que

la distancia, d, de la base de la escalera al edificio.

Encuentre la distancia d y la distancia al tope de la

escalera.

20 ft 4d

d

Ejemplos adicionales

Ejemplo

• Hagamos el mismo ejercicio para

f(x) = – x2 – 2x + 8 .

• intercepto en y:

• interceptos en x:

– x2 – 2x + 8 = 0

– (x2 + 2x – 8) = 0

x2 + 2x – 8 = 0

(x + 4) (x – 2) = 0

x = -4 x = 2

(0, 8)

En forma de punto (-4,0), (2,0).

Ejemplo – continuación f(x) = – x2 – 2x + 8 .

• Completar el cuadrado nos da

f(x) = – (x2 + 2x ) + 8

f(x) = – (x2 + 2x + 1) + 8 + 1

f(x) = – (x + 1)2 + 9

• h = – 1 and k = 9; el vértice es (-1, 9)

• a < 0 , la parábola abre hacia abajo ().

• 9 es el valor máximo de f(x)

Ejemplo (cont)

Ejemplo (cont)

Ejemplo • Determinar el vértice de la gráfica de

f(x) = -2x2 12x 13

Luego, grafique la función.

𝑥 = −𝑏

2𝑎 y= 𝑓(−

𝑏

2𝑎)

𝑥 = −−12

2 −2=

12

−4

y= 𝑓 −3 =

y= −18 + 36 − 13

Coordenada de x: Coordenada de y:

vértice (-3, 5)

como a<0, el vértice es un máximo

la parábola tiene la forma U

𝑥 = −3

−2(−3)2 − 12(−3) − 13

y= 5

Ejemplo (cont) Determinar interceptos. 1) int-y = f(0) y = -2(0)2 – 12(0) – 13 y = - 13

Localizar vértice e interceptos.

2) int-x f(x) = 0

Aplicaciones

• Ejemplo 4 (Jardinería) Un jardín rectangular

mide 60 pies por 80 pies. Parte del jardín será

removido para instalar una acera de ancho

uniforme alrededor de él. El área del nuevo

jardín es la mitad del área del viejo jardín.

Determine el ancho de la acera.

Aplicaciones

Ejemplo (Jardinería) …

1. Familiarizarnos con el problema.

x

x

x

x x

x x

x

60’

80’

Jardín

viejo

Jardín

nuevo

Acera

Como no sabemos el ancho de la acera,

llamamos su ancho x.

60 – 2x

80 – 2x

Aplicaciones

Ejemplo (Jardinería) …

2. Traduzca a álgebra. El área de un rectángulo

es lw (largo por ancho).

Área de jardín viejo = 60 ∙ 80;

Área del nuevo jardín = (60 - 2x)(80 – 2x)

Debido a que el área del nuevo jardín es ½ del

viejo jardín, tenemos

(60 – 2x)(80 – 2x) = ½ ∙ 60 ∙ 80

Aplicaciones 3. Solución. Resolvemos la ecuación.

Usando en la izquierda

el método FOIL

Coleccionando los términos iguales

Dividiendo entre 4

Factorizar, buscar factores de

600 que sumen -70

Usando el principio de

cero como producto

Aplicaciones

4. Verifique. En la ecuación original verificamos:

Verifica porque da el ancho

y largo números positivos x = 60 no puede ser porque el

ancho y largo dan negativo y

no puede ser negativo. 5. Concluya.

El ancho de la acera es de 10 pies.