Factorización de productos especiales Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico - Arecibo

Productos especiales

Cuando se multiplican dos binomios de la forma

(a – b)(a + b)

obtenemos como resultado el binomio

a2 – b2,

que se conoce como una diferencia de cuadrados.

Diferencia de cuadrados

(x + 6)(x – 6) =

La observación anterior nos permite

generalizar la factorización de una

diferencia de cuadrados.

x2 - 36

La simplificación del producto es

a2 – b2 = (a + b)(a – b) =

Diferencia de cuadrados

Factorice: p2 – 25 =

Factorice: 4w2 – 100 =

(p – 5)(p + 5)

(2w – 10)(2w + 10)

Factorice: y2 – 9 = (y – 3)(y + 3)

Diferencia de cuadrados

Factorice: 36y2 – 132 =

Factorice: 9z2 + 16 =

12(3y2 – 11)

No es una diferencia de cuadrados.

Es una suma de cuadrados. La suma de

cuadrados NO factoriza.

No es una diferencia de cuadrados.

Diferencia de cuadrados

Factorice: 100y2 – 49x2 =

Factorice: 81 – 16x4 =

(10y – 7x)(10y + 7x)

(9 – 4x2)(9 + 4x2)

No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.

(9 – 4x2)= (3 – 2x)(3 + 2x)

La factorización completa es:

81 – 16x4 = (9 + 4x2) (3 – 2x)(3 + 2x)

Diferencia de cuadrados Factorice: 3 – 12q2 =

3(1 – 4q2)

De primera intención, no parece ser una diferencia de cuadrados. Pero si removemos el factor común de 3 tenemos

(1 – 2q)(1 + 2q)

La factorización completa es:

3 – 12q2 =

No está completamente factorizada. Uno de los factores es otra diferencia de cuadrados.

(1 – 4q2) =

3 – 12q2 = 3(1 – 2q)(1 + 2q)

Se llama

trinomio cuadrado perfecto

al polinomio de tres términos en el cual, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el producto doble de las bases de esos cuadrados.

Ejemplo:

4x2 + 4x + 1

Es un trinomio cuadrado perfecto porque

• 4x2 es el cuadrado de 2x

• 1 es el cuadrado de 1

• El doble de (2x)(1) es 4x

Trinomios cuadrados perfectos

Trinomios cuadrados perfectos En el tema 1 vimos que elevar un binomio

al cuadrado es equivalente a multiplicarlo

por sí mismo.

(x + 5)2 = (x + 5)(x + 5)

= x(x + 5) +5(x + 5)

= x2 + 5x + 5x + 25

= x2 + 10x + 25

¿Cuáles observaciones podemos hacer?

(x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5)

Trinomios cuadrados perfectos Multiplicar un binomio por sí,

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

Se puede generalizar: sumar el cuadrado cada término y luego sumarle el producto de los dos términos multiplicado por 2.

Esto es:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Esto se conoce como un trinomio cuadrado perfecto

Trinomios cuadrados perfectos

Multiplicar,

(2x - 1)2 =

= 2x (2x – 1) – 1(2x – 1)

= 4x2 – 2x – 2x + 1

= 4x2 – 4x + 1

¿Cuáles observaciones podemos hacer?

(2x – 1) (2x – 1)

Trinomios cuadrados perfectos Multiplicar el binomio por sí mismo,

(2x - 1)2 = 4x2 – 4x + 1

Se puede generalizar: sumar el cuadrado de cada término y luego restarle el producto de los dos términos multiplicado por 2.

Esto es:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Esto es también un trinomio cuadrado perfecto

Trinomios cuadrados perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto se

factoriza

a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a+b) = (a + b)2

Ó

a2 - 2ab + b2 = (a - b)(a - b) = (a - b)2

Trinomios cuadrados perfectos Elija los que son trinomios cuadrados

perfectos:

x2 – 4x + 25

x2 + 4x + 4

x2 + x + 1

x2 – 8x + 16

4x2 – 12x + 9

9x2 + 6x + 1

x2 + 4

Trinomios cuadrados perfectos

x2 – 10x + 25

x2 + 20x + 100

= (x – 5)2

= (x + 10)2

Factorice:

Factorice:

Trinomios cuadrados perfectos

3x2 – 6x + 12

5x2 + 10x + 5

Lo que queda en paréntesis NO es un trinomio cuadrado perfecto.

No factoriza por el método AC por que NO existen factores de 4 que sumen -2.

= 3(x2 – 2x + 4)

= 5(x + 1)2

= 5(x2 + 2x + 1)

Factorice:

Factorice:

Trinomios cuadrados perfectos

36x2 + 12xy2 + y4

25 - 10xy + x2y2 = (5 - xy)2

Factorice:

Factorice:

= (6x + y2)2