estática g.errr (1)

7/22/2019 Esttica g.errr (1)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNOFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTUTAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ANLISIS VECTORIALDOCENTE : Ing SUCA SUCA NESTOR

ALUMNOS : YANAPA CHURA HITLER GLIMEL: MAMANI MAMANI EMERSON ALEXY

SEMESTRE : III

PUNO PERU2014

ESTTIC
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unap.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unap.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unap.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unap.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unap.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unap.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unap.pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unap.png


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Universidad Nacional Del ltiplano Puno EstticaEl presente trabajo est dividido en partes, en primera parte y en segunda parte.

PRIMERA PARTE:

EJERCICIOS RESUELTOS POR: YANAPA CHURA, HitlerGlimel , Cdigo 124791

1.- Un hombre camina 25 millas hacia el este y 10 millas hacia el sur. Utilice una escala

apropiada y determine grficamente: (A) a que distancia y (B) en que direccin se encuentra al

final del recorrido, respecto al punto de partida. Es posible determinar esta respuesta

analticamente?.

RESOLUCION: N

O E

S

Segn el grafico tenemos lo siguiente:

(a) A que distancia

25millas

15 millas

10 millas


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Universidad Nacional Del ltiplano Puno Esttica

Por lo tanto necesitamos conocer el ngulo para tener la distancia exacta.

(b) en qu direccin se encuentra al final del recorrido, respecto al punto de partida.Por teora sabemos que:

(). La direccin.Es posible determinar esta respuesta analticamente?

Analticamente no es posible ya que falta el ngulo.

2.- Demostrar que las medianas de un tringulo se intersecan en punto de triseccin de las tres

medianas.

DEMOSTRACION:

Sea el tringulo:

Del grafico se tiene que M,N y P son puntos medios del tringulo , y . O es el centro de la triseccin . Debemos demostrar que: , , , tienen el mismo terminal O.

Tenemos:

A

B

C

M N

P

O


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Universidad Nacional Del ltiplano Puno Estticai. ( )

=

. (

).

= + .. (1)

ii. ( )= = + .. (2)

iii.

(3)

De las ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene lo siguiente:

=

L.Q.Q.D.


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Vemos que los vectores tienen el punto inicial A y tambin punto terminal Oes el mismo.

Por lo tanto Oes el centro de triseccin.

3.- Encontrar a de manera que 2i3j +5k y 3i + aj2k sean perpendiculares.

RESOLUCION:

Sea:

Dos vectores son perpendiculares cuando se cumple lo siguiente:

Entonces se tiene:

( ,

5.-Encontrar el rea del tringulo cuyos vrtices son (2,-3,1), (1,-1,2), (-1,2,3).

RESOLUCION:

Sea el tringulo:

A(2,-3,1)

B(1,-1,2)

C(-1,2,3)


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Sea el rea del tringulo:

Hallamos los vectores direccionales:

Por lo tanto el rea del tringulo es:

6.-Encontrar una ecuacin del plano que pasa por los puntos (2,-1,-2), (-1,2,-3), (4,1,0).

RESOLUCION:

Sea:

A=(2,-1,-2)=2i-j-2k

B=(-1,2,-3)=-i+2j-3k

C= (4,1,0)=4i+j

Hallamos la normal y hacienda:


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Universidad Nacional Del ltiplano Puno Esttica Sabemos por teora la ecuacin del plano:

7.- Demostrar que

= donde Ay Bson funciones derivables de u.DEMOSTRACION:

8.- Si R = , encontrar en el punto (2,1,-2).RESOLUCION:

Como R = entonces hallamos las derivadas parciales de primerorden y segundo orden de x, y, z, respectivamente.

2xy+

Evaluamos en el punto dado:


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9.-Si y A= , encontrar (a), (b) y , (c) , en el punto (3,-1,2).RESOLUCION:

Tenemos: A= Y sabemos por teora que:

Hallamos lo que nos piden:

(a)

,


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(b) ( ),* + - ( )* +, ( )* + ( )

( ) ( ) () 2

(c)


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10.-Encontrar un vector unitario normal a la superficie en el punto(2,1,-1).

RESOLUCION:

Sea la funcin dada:

F(x,y,z)= Hallamos las derivadas parciales evaluado en el punto (2,1,-1).

Entonces sea :

Hallamos el vector unitario normal a la superficie:

entonces

11.-Encontrar las ecuaciones de:

(a) La recta tangente.

(b) El plano normal a la curva alabeada.


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Universidad Nacional Del ltiplano Puno Esttica En el punto donde .RESOLUCION:

12.- Sean Ey Hdos vectores que se supone que tienen derivadas parciales continuas(al menos

de segundo orden) respecto a la posicin y el tiempo. Supngase, adems , que Ey Hverifican

las ecuaciones:

(1)Demostrar que Ey Hverifican la ecuacin:

(2)

{En la ecuacin electromagntica, los vectores Ey Hse llaman vectores de campo elctrico y

magntico. Las ecuaciones (1) son un caso especial de las ecuaciones de Maxwell. El resultado

(2) indujo a Maxwell a concluir que la luz era un fenmeno electromagntica. La constante ces

la velocidad de la luz}.

DEMOSTRACION:

13.-La transformacin de coordenadas rectangulares a coordenadas cilndricas parablicas

est definida por las ecuaciones .(a) Demostrar que el sistema es ortogonal.

(b) Encontrar y los factores de escala.(c) Encontrar la transformacin y el elemento de volumen.

RESOLUCION:

14.- Si Evaluar en (1,-1,0).RESOLUCION:

Tenemos:

Sabemos por teora lo siguiente:


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. (1)

Remplazamos los valores hallados en la ecuacin (1):

[

]

Evaluamos

en el punto (1,-1,0):

SEGUNDA PARTE:

EJERCICIOS RESUELTOS POR: MAMANI MAMANI,Emerson , Cdigo: 122315


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Universidad Nacional Del ltiplano Puno Esttica5.47 Si A, B y C son vectores no coplanares y si A+B+C=A+B+C demostrar quenecesariamente =, =, =.Solucin:

La ecuacin se puede escribir de la siguiente forma: Por propiedad : Demostrando la propiedad :

Supongamos que x es diferente de 0 en : Entonces:

Donde :

son coplanares en el plano b y c contradiciendo el enunciado de no sercoplanares entonces si o si x = 0 de la misma manera se deduce los dems dando que x=y=z=0

Entonces:

O bien

=, =, =

5.51. Evaluar (A+B).(A-B) si A=2i-3j+5k y B=3i+j-2k.

Solucin:

(A+B)=5i-2j+3k

(A-B)=-i-4j+7k

(A+B).(A-B) =-5+8+21= 24

5.55. Los vrtices de un triangulo son A(2,3,1), B(-1,1,2), C(1,-1,3). Encontrar a) La longitud de

la mediana desde B hasta el lado AC y b) el ngulo que esta mediana forma con lado BC.

Solucin:

A(2,3,1)


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D

B(-1,1,2) C(1,-1,3)

Hallando el punto D

Punto medio entre A y C

D=(2+1/2,3-1/2,3+1/2) = (3/2,1,2)

Hallando su magnitud

= Respuesta a)Hallando el ngulo :

Por propiedad:

a.b = ||||cos Reemplazando :

= respuesta b)

5.59 encontrar un vector unitario perpendicular al plano de vectores A=3i-2j+4k y B=i+j-2k

Solucin:

Usando el producto cruz

AxB = = (4-4)i(-6-4)j (3+2)k= 0i + 10j + 5k

Hallamos su modulo

=El vector unitario sera:


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Universidad Nacional Del ltiplano Puno EstticaU =( 0,

)

5.63 Si A=2i+j-3k, B=i-2j+k, C=-i+j-4k, encontrar a) A.(BxC), b) C.(AxB), c) Ax(BxC) d) (AxB)xC

Solucin:

a) A.(BxC)

(BxC)=

= (7i+3j-k)

Hallando

A.(BxC)= (2i+j-3k). (7i+3j-k)= 20

b) C.(AxB)

(AxB) =

=(-5i-5j-5k)Hallando

C.(AxB)= =(-i+j-4k). (-5i+1j-k) = 20

c) Ax(BxC)

de las soluciones anteriores se tiene que:

(BxC) = (7i+3j-k)

Hallando:

Ax(BxC) = (2i+j-3k)x(7i+3j-k)

= = (8i-19j-k)d) (AxB)xC

de las soluciones anteriores se tiene que:

(AxB)= (-5i-5j-5k)


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Universidad Nacional Del ltiplano Puno EstticaHallando:

(AxB)xC=(-5i-5j-5k)x(-i+j-4k)

=

= (-25i-15j-10k)

5.67 demostrar que (AxB).(CxD)+(BxC).(AxD)+(CxA).(BxD)=0

Solucin:

Dando valores:

A=(a,b,c)

B=(d,e,f)

C=(n,o,p)

D=(q,r,s)

AxB= = (bf-ce)i(af-dc)j + (ae-db)kCxD=

= (os-pr)i(ns-pq)j + (nr-oq)k

BxC= = (ep-fo)i(dp-fn)j + (do-ne)kAxD= = (bs-cr)i(as-qc)j + (ar-bq)kCxA=

= (oc-pb)i(nc-ap)j + (nc-ao)k

BxD= = (es-fr)i(ds-fq)j + (dr-eq)kRemplazando en:

(AxB).(CxD)+(BxC).(AxD)+(CxA).(BxD)=

( (bf-ce)i(af-dc)j + (ae-db)k). (os-pr)i(ns-pq)j + (nr-oq)k)+ ((ep-fo)i(dp-fn)j + (do-ne)k).

((bs-cr)i(as-qc)j + (ar-bq)k)+ ((oc-pb)i(nc-ap)j + (nc-ao)k). ((es-fr)i(ds-fq)j + (dr-eq)k)=0


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Universidad Nacional Del ltiplano Puno EstticaEntonces:

(AxB).(CxD)+(BxC).(AxD)+(CxA).(BxD)=0

5.71 si r=acos wt + bsen wt, donde a y b son vectores no colineales constantes cualesquiera y

w es una constante escalar demostrar que: a)

5.75 Sean T y N, respectivamente, el vector unitario tangente y el vector unitario normal

principal a una curva alabeada r=r(u) donde se supone que r(u) es derivable. Definimos un

vector llamado vector unitario binormal. Demostrar que:

Puesto que:

Solucin:

Donde :

ecuacin (1)

Sabemos que:

Es decir:

lo que se deduce, observando la primera ecuacin de (1)es a11= a13= 0 ademas:


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Llamado coeficiente de curvatura de tal modo que:

Que es la primera formula demostrada

Demostrando las siguientes dos formulas:

Multipliquemos por el producto punto las dos ltimas ecuaciones por el vector normal y

binormal, respectivamente. Obtenemos que:

de modo que a22= a33= 0. Ahora derivemos respecto de sla igualdad

y obtenemos:

Al coeficiente a23le llamaremos coeficiente de torsiny lo denotaremos por a23= t( s), y de

paso, en virtud de la tercera ecuacin en (1), hemos encontrado que a31= 0 y a32= - a23= -t( s).

Con esto hemos demostrado la tercera frmula de Frenet.

Solo nos falta determinar el coeficiente a21. Vamos a derivar respecto de sla igualdad

Entonces:

Por lo tanto a21= - k( s). De tal modo que, en virtud de la segunda ecuacin de (3), nos queda

que


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y con esto hemos demostrado la segunda frmula de Frenet.

Asi quedan demostradas las tres formulas de Frenet.

5.95 demostrar q para coordenadas curvilneas ortogonales :

Grad= + +

Solucin:

Hallemos Grad=(

)

Si : = + + Ahora tenemos q encontrar: . Por ser la base ( ) ortogonaluEntonces :

= ,=

, = [ + + ]=

Anlogamente obtenemos:

= = Reemplazando queda:

Grad= + +

La que queramos demostrar

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