fìsica general. capìtulo 1 estática

lUlIV

(a)

(b)

Figura 2 1 (a) Puntos A y B de un mecanismo (b) Vector TAB de A a B

Figura 22 Representacioacuten por un vector F de la fuerza que el cable AB ejerce en la torre

2 1 Escalares y vectores Una cantidad fiacutesica que puede ser descrita por un nuacutemero real se denomi na escalar El tiempo es una cantidad escalar asiacute como la masa Por ejemplo podemos decir q ue la masa de un automoacutevil vale 1200 kg

Por el contrario para describir una cantidad vecto rial se debe especifi car un nuacutemero real o magnitud y una direccioacuten Dos cantidades vecto r iales son iguales soacutelo si sus magnitudes y direcciones son iguales

La posicioacuten de un punto en el espacio en relacioacuten con otro punto es una cantidad vecto ria l P ara describir la locali zacioacuten de una ciudad con respecto a su casa no es suficiente decir que estaacute a 100 m illas Debe decir que estaacute 100 mi llas al oeste La fuerza tambieacuten es una cantidad vectorial Si em puja m mueble aplica una fuerza de magnitud suficiente para moshyverlo en la direccioacuten deseada

Representaremos vectores con letras en negritas U V W y deno taremos la magnitud de un vector U por medio de IUI En trabajos mamiddot nuscritos un vector U se puede representar con los siacutembolos [j U o 1Z Un vector se representa graacute ficamente por medio de una flecha La direc cioacuten de la flecha indica la direccioacuten del vector y la longitud de la flech se define como proporcional a la magnitud

P o r ejemplo consideremos los puntos A y B del mecanismo de la figu ra 2 I(a) La posicioacuten del punto B respecto al punto A se puede especifi car con el vector r A H de la figura 21 (b) La d ireccioacuten de r A B indica la di reccioacuten del punto A hacia el punto B Si la distancia en tre los dos punt es de 200 mm la magnitud I r AB I = 200 mm

En la figura 22 el cable AB ayuda a soportar la to rre La fuerza q el cable ejerce sobre la torre se puede representar con un vector F Si cable ejerce una fuerza de 800 N sobre la to rre IFI = 800 N

22 Coacutemo operar con vectores Los vectores sirven para representar cantidades fiacutesicas que tienen magni tud y direccioacuten aunque eso es soacutelo el principio de su util idad Asiacute com existen reglas para operar con nuacutemeros reales como las de la suma etc existen tambieacuten reglas para operar con vectores Esas reglas propor cio nan una poderosa herramienta para el anaacutelisis en ingenie riacutea

Suma vectorial Cuando un objeto se mueve de un lugar a otro en el espacio decimos que experimenta un desplazamiento Si movemos un libro (o maacutes bien alguacuten Punto de un libro) de un lugar de la mesa a otro como se muest ra en iexcliexcll figura 23(a) podemos representar el desplazamiento con el vector U la direccioacuten de U indica la direccioacuten del desplazamiento y IUI es la dismiddot tmcia recorrida por el libro

Supongamos q ue damos al libro un segundo desplazamiento V co mo

nrHn gu que 10 vu------ bull bull bull bull

sicioacuten final del libro es la misma SI pnmero ocurre el desplaza y luego el desplaz~iento V ~ue si primero ocurre el desplazarn luegO el desplazamiento U (Flg 23d) El desplazamiento W se mo la suma de los desplazamientos U y V

U+v = W

(b) (a)

(d)(e)

La definicioacuten de suma vectorial estaacute basada en la suma de mientas Consideremos tos vectores U y V de la figura 24(a) ~ camas cabeza con cola (Fig 24b) su suma se define como el va de la cola de U a la cabeza de V (Fig 24c) Esto se lIam triaacutengulo en la suma vectorial La figura 24(d) demuestra ql es independjente del orden en que los vectores se colocan cabe la Asiacute surge la regla del paralelogramo de la suma vectorial (

v

(a) (b)

v v (e (dJ

V

16 CAPiTULO 2 VECTORES

(a)

(b)

Figura 21 (a) Puntos A y B de un mecanismo (b) Vector rA B de A a B

Operaciones y definiciones vectoriales

2 1 Escalares y vectores Una cantidad fiacutes ica que puede er descrita por un nuacutemero real se denomishyna escalar El tiempo e una cantidad escalar asiacute como la masa por ejemplo podemos deci r que la masa de un automoacutevil vale 1200 kg

Por el contrario para describir una cantidad vectorial se debe e pecifishycar un nuacutemero real o magnitud y una direccioacuten Dos cantidades vectoshyriales son iguales soacutelo si sus magnitudes y direcciones son iguales

La posicioacuten de un punto en el espacio en relacioacuten con otro punto es una cantidad vectorial Para describir la localizacioacuten de una ciudad con respecto a su casa no es suficiente decir que estaacute a lOO millas Debe decir que estaacute 100 millas al oeste La fuerza tambieacuten es una cantidad vectorial Si empuja m mueble aplica una fuerza de magnitud suficiente para moshyverlo en la direccioacuten deseada

Representaremos vectores con letras en negritas U V W y denoshytaremo la magnitud de un vector U por medio de IU I En trabajos mashynuscritos un vector U se puede representar con los siacutembolos Uuml Uo U rv Un vector se representa graacuteficamente por medio de una flecha La di recshycioacuten de la fle ha indica la direccioacuten del vector y la longitud de la flecha se define como proporcional a la magnitud

Por ejemplo consideremos los puntos A y B del mecanismo de la figushyra 21(a) La posicioacuten del punto B respecto al punto A se puede especifishycar con el vector r A S de la figura 21(b) La direccioacuten de r S indica la dishyreccioacuten del punto A hacia el punto B Si la distancia entre los dos puntos es de 200 mm la magnitud IrA sl = 200 mm

En la figura 22 el cable AB ayuda a soportar la torre La fuerza que el cable ejerce sobre la torre se puede representar con un vector F Si el cable ejerce una fuerza de 800 N sobre la torre IFI = 800 N

22 Coacutemo operar con vectores

Figura 22 Representacioacuten por un vector r de la fuerza que el cable AB ejerce en la torre

Los vectores sirven para representar cantidades fiacutesicas que tienen magnishytud y direccioacuten aunque eso es oacutelo el principio de su utilidad Asiacute como existen reglas para operar con nuacutemeros reale como las de la urna etc exi ten tambieacuten reglas para oper r con vectore Esas reglas proporshycionan una poderosa herramienta para el anaacuteli si en ingenieriacutea

Suma vectorial Cuando un objeto se mueve de un lugar a otro en el espacio decimos experimenta un desplazamiento Si movemos un libro (o maacutes bien punto de un libro) de un lugar de la mesa a otro como se muestra la figura 23(a) podemos representar el desplazamiento con el vector U La direccioacuten de U indica la direccioacuten del desplazamiento y IU I es la dismiddot tancia recorrida por el libro

Supongamos que damos al libro un segundo desplazamiento V como

22 REGLAS PARA OPERAR CON VECTORES 17

ie muestra en la figura 23(b) Los desplazamientos U y V equivalen a un 010 desplazamiento del libro de su posicioacuten inicial a su posicioacuten final que representamos con el vector W en la figura 23(c) Observe que la poshysicioacuten final del libro es la misma si primero ocurre el desplazamiento U y luego el desplazamiento V que si primero ocurre el desplazamiento V y luego el desplazamiento U (Fig 23d) El desplazamiento W se define coshymo la suma de los desplazamientos U y V

u + V= w

Figura 23 (a) Desplazamiento representado por el vector U (b) El de plazamiento U seguido por el de plazamiento V (e) Los desplazamientos U y V son equivalentes al desplazamiento W (d) La posicioacuten final del libro no depende del orden de los desplazamientos

(a) (b)

(e) - (d)

La definicioacuten de suma vectorial estaacute basada en la suma de desplazashymientos Consideremos los vectores U y V de la figura 24(a) Si los coloshycamos cabeza con cola (Fig 24b) su suma se define como el vector que va de la cola de U a la cabeza de V (Fig 24c) Esto se llama regla del triaacutengulo en la suma vectorial La figura 24(d) demuestra que la suma e independiente del orden en que los vectores se colocan cabeza con coshyla Asiacute surge la regla del paralelogramo de la suma vectorial (Fig 24e)

I---v I v

(a) (b) (e)

Figura 24 (a) Vectores U y V (b) La cabeza de U en la cola de V (e) Regla del triaacutengulo para obtener la suma de U y V (d) La suma es independiente del orden en que los vectores se sumen

(d) (e) (e) Regla del paralelogramo para obtener la uma de U y V

18 CAPITULO 2 VECTORES

(a)

v

u w

(b)

Figura 25 (a) Suma de tres vectores (b) Tres vectores cuya suma es igual a cero

Figura 26 Las flechas que denotan las posiciones relativas de puntos son vectores

tu u = (-I)U 2=(12)U

Figura 27 Un vector l y alguno de sus muacuteltiplos escalares

La definicioacuten de la suma vectorial implica que

La suma veclorial es conmulativa

y

La suma veclorial (U + V) + W = U + (V + W) es asocialiva

para vectores U V Y W cualesquiera Estos resultados indican que al mar dos o maacutes vectores no importa el orden en que se sumen La se obtiene colocando los vectores cabeza con cola en cualquier orden vector que va de la cola del primer vector a la cabeza del uacuteltimo es la ma (Fig 25a) Si la suma es igual a cero los vectores forman un no cerrado cuando se colocan cabeza con cola (Fig 25b)

Una cantidad fiacutesica se denomina vector si tiene magnitud y di Y obedece la definicioacuten de la suma vectorial Hemos visto que un d zamiento es un vector La posicioacuten de un punto en el espacio a otro punto tambieacuten es una cantidad vectorial En la figura 26 el r Ae de A a e es la suma de r AB Y r BC bull

Una fuerza tiene direccioacuten y magnitud pero iquestobedecen las fuerzas definicioacuten de la suma vectorial Por ahora supondremos que siacute Cua abordemos la dinaacutemica mostraremos que la segunda ley de Newton plica que la fuerza e un vector

Producto de un escalar y un vector El producto de un escalar (nuacutemero real) a y un vector V es un vector se escribe como aU Su magnitud es iexclaIIVI donde lal es el valor a del escalar a La direccioacuten de aU es igual que la de U cuando a es po iti middot y es opuesta a la direccioacuten de V cuando a es negativa

El producto (-I)V se escribe -U y se llama negativo del vector U tiene la misma magnitud que U pero direccioacuten opuesta

La divisioacuten de un vector V por un escalar a se define como el prod

~ = (~)V En la figura 27 se muestran un vector V y los productos de V con

escalares 2 -1 Y 112 Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un e calar

un vector implican que

El produclo es asociativo con a(bU) = (ab)V res pecIo a la multiplicacioacuten escalar

El produclO es dislribulivo con (a + b)U = aU + bU respetlo a la urna escalar

y

El produclo es dislribulivo con a(U + V) = aU + a V respeclo a la suma vetlorial

para escalares a y b y vectores V y V cualesquiera Necesitaremos esto resultados cuando estudiemos las componentes de lo vectore

2 2 REGLAS PARA OPERAR CON EcrORES 19

Resta vectorial

La diferencia de dos vectore V y V se obtiene sumando V al vector (-[)V

u - V = V + (-I)V (2 6)

Consideremos los vectores V y V de la figura 28(a) El vector (-[)V tiene la misma magnitud que el vector V pero direccioacuten opuesta (Fig 28b) En la figura 28(c) sumamo el vector V al vector (-I)V para obtener V - V

Vectores unitarios

Un vector unitario es implemente un vector cuya magnitud es igual a la unidad Un vector unitario especifica una direccioacuten y permite expresar en forma conveniente un vector que tiene una direccioacuten particular Si un vecshylor llnilario e y un vector U tienen la misma direccioacuten podemo escribir l como el producto de su magnitud IVI y el vector unitario e (Fig 29)

u = IUle

Diiditndo ambos miembros de esta ecuacioacuten entre IUI

u IUI = e

emos que al dividir cualquier vector U por su magnitud se obtiene un ector uni tario con la misma direccioacuten

I UI iexcl Figuro 29 Como U y e tienen la misma direccioacuten el vector U es igual al producto de su magnitud y e

Componentes vectoriales

Iexpre ar un vector U como la uma de un conjunto de vectores cada eclOr e denomina componente vectorial de V Supongamo que el vecshylor l de la figura 210(a) e paralelo al plano definido por las dos liacuteneas que se imersecan Expresamos U como la suma de las componentes vecshyloriale V y W paralelas a las dos liacuteneas (Fig 2lOb) Y decimos que el lor U estaacute descompuesto en las componentes vectoriales V y w 41gunos problema se pueden resolver dibujando diagramas vectoriales a escala J midiendo los resultados o aplicando la trigonometriacutea a los diagrashymas En los ejemplos siguientes demostraremos ambos procedimientos J en la iguiente seccioacuten mostraremos que expresar vectores en teacuterminos de componentes ~Iectoriales mutuamente perpendiculares constituye una manera mucho maacutes sencilla de resolver problemas con vectores

iexcl-Vshy(a)

(b)

(e)

Figuro 28 (a) Vectores U y V (b) Vectores V y (-I)V (c) La suma de U y (- I )V e la diferencia vectorial U - V

(a)

(b)

Figuro 210 (a) Un vector U y dos liacuteneas que se cortan (b) Lo vectores V y W son componentes vectorial e de U


Ejemplo 21

En la figura 211 los cables AB y AC ayudan a soportar el techo en de un estadio deportivo Las fuerzas que los cables ejercen sobre la pila a que estaacuten unidos se representan con los vectores FAB Y FA Las magni tu de las fuerzas son IFABI == 100 kN Y IFA I = 60 kN Determine la y direccioacuten de la suma de las fuerzas ejercidas sobre la pila por los (a) graacuteficamente y (b) usando la trigonometriacutea

Figura 211

ESTRATEGIA

(a) Al di bujar el paralelogramo con los vectores a escala pa ra sumar las fuerzas podemos medir la magn itud y direccioacuten de su suma (b) Podemos calcular la mag nitud y direccioacuten de la suma de las fu erzas cando las leyes de los senos y los cosenos (Ap A Seco A2) a los formados por el paralelogramo de fuerzas

SOLUCiOacuteN

(a) Construimos graacuteficamente el paralelogramo para obtener la suma de(a) Solucioacuten graacute fiacuteca bull dos fuerzas con las longitudes de FA8 Y tc proporcionales a sus

(Fig a) Midiendo la figura calcu lamos que la magnitud del vector FA8

FAC es de 155 kN Ysu direccioacuten es de 19deg so bre la horizontal (b) onsideremos el paralelogramo para obtener la suma de las dos (Fig b) Como a + 30deg = 180deg a = 150deg Aplicando la ley de los

F8+ FAe al triaacutengu lo sombreado

1F1I8 + FAe l2 = F 018 12 + IFd2 - 21FAoIIFAel cosa

= (l OO)2 + (60)2 - 2(1 00)(60) cos 150deg

~e determinamos que la magnitud FAB + FAc es de 1549 k Para obtener el aacutengulo (3 entre el vector F iexcltl + FAC y la horizontal

lb) Solucioacuten trigonomeacutetrica mos la ley de los senos al triaacutengulo sombreado

sen (3 sen (Y

F1I 81 IF A8 + FAe

La olucioacuten es

arcsen ( 100 sen 1500)

1549

22 REG LAS PARA OPERAR CON VECTORES

Ejemplo 22

n la fig ura 212 la fuerza F se encuentra en el plano definido por las liacuteneas LA ) LII que se inter ecan Su magnitud es de 400 lb Supongamos que F se quieshyre separar en componen tes paralelas a LA y a LB Determine las magnitudes de las componentes vectoriale (a) graacute ficamente y (b) usando la trigonom triacutea

Figura 212

iexcl SOLUCiOacuteN

(a) Dibujamo lineas discont inuas desde la cabeza de F paralelas a LA y LB LB para con truir la componentes vectoriales que denotamos como FA Y F B

(Fig a) Midiendo la figura ca lculamos que sus magnitudes son IFAI = 540 lb Y JF81 = 610 lb (b) Considere la fuerza F y la component s vectoriales FA y F8 (Fig b) Co mo a + 80deg + 60deg = IBOdeg ex = 40deg Apl icando la ley de los senos al triaacutengulo 1

sen 60deg sen ex ---= --

1F11 IFI

obtenemos la magnitud de FA

IF Al = IFI sen 60deg sen ex

400 sen 60deg

sen 40deg 53B 9 lb

pli ando la ley de los senos al triaacutengulo 2

sen BOdeg sen ex --shy = --

IFBI IFI

obten mo la magni tud de F8

1 F_LIsenBODIFBI = -sen ex

400 sen 80deg = 61 2B lb

sen 40deg

F~

(a) Solucioacuten graacutefica

(b) Solucioacuten trigonomeacutetrica


~________________________ Problemas~__________ __________~~~ ~

Problemas 21-27

P21-P27

21 Se tienen las magnilUde IFAl = 60 N Y IF81 = 80 N El aacutenshygulo ex e de 45deg Determine graacuteficamente la magnitud de la sushyma de las fuerza F = FA + FB Y el aacutengulo entre F 8 Y F

Estrategia Construya un paralelogramo para determinar la suma de las fuerzas dibujando la longitudes de Fll y F 8 proshyporcionales a sus magnitudes y midiendo exactamente 1aacutengushylo ex omo lo hicimo en el ejemplo 21 Usted puede ahora medir la magnit ud de su suma y el aacutengulo entre ellas

22 Se tienen las magnitudes IFAl = 60 y IF81 = 80 N El aacutengulo ex es de 45deg Determine graacuteficamente la magnitud de la fuerza F = 2FA - 3F8 Y el aacutengulo entre 8 y F

23 Se tienen la magnitudes Fd = 100 lb Y IF 81 = 140 lb El aacutengulo ex es de 40 Use la trigonometriacutea para determinar la magnitud de la suma de las fuerzas F = FA + F8 Y el aacutenshygulo entre F8 Y F

Estrategia Use las leyes de los senos y cosenos ara analizar los triaacutengulos formados por la regla del paralelogramo para la uma de las fuerzas como lo hicimos en el ejemplo 21 a middot leshy

yes de los senos y osenos se incluyen en la seccioacuten A2 del apeacutendice A

24 Se tienen la magnitudes IFA I = 60 N Y IF81 = 80 N El aacutengulo ex es de 45deg Use la trigonometriacutea para determinar la magnitud de la fuerza F = 2fA - 3F8 el aacutengulo ent re F 8 Y F

25 Sc dan la magnitudes IFd = 100 lb y 1181 = 140 lb Si ex puede tener cualquier valor iquestcuaacuteles son lo valores miacuten imo y maacuteximo posibles de la magnitud de la suma de las fuerzas F = FA + FBY cuaacutele son 10 valores correspondientes de ex

26 Se tienen las magnitude de Ftl = 60 N y el aacutengulo ex es de 45 deg Si la magnitud de la urna dc las fuerzas IFA + F81 = 180 N iquestcuaacutel e la magnitud de F8

27 Se tienen las magnitudes IFI = 100 lb y IF81 = 140 Suponga que el soporte sobre el que actuacutean las do r puede resistir con seguridad una fuerza total de 240 lb iquest e el in tervalo de valores aceptable para el aacutengulo ex

28 La fuerza de magnitud 8 kN de la figura e en el plano definido por las liacutenea LA y L8 que se intgtrlt~n Suponga que se quiere eparar F en una componente FA paralela a LA yen una componente vectorial F B paralela L8 Determine las magnitudes de FA Y FB (a) graacuteficamente (b) u ando la trigonometriacutea

F

29 n motor de cohete ejerce una fuerza hacia arriba magnitud 4 MN (meganewtons) sobre la plataforma de baso i la fuerza se descompone en compon nte paralelas a las barra AB y CD iquestcuaacuteles son las magnitudes la componentes

210 Los vectore f 1 y rIJ lienen magnitudes IfAI = Ir8 1= 40 m Determine la magnitud de u su m r A

(a) si r4 y f8 tienen la mi ma direccioacuten (b) i rA y f8 son perpendiculares

L

211 Un tanque de almacenamiento esfeacuterico estaacute soportado por cables El tanque estaacute sometido a tres fuerzas las fuerzas FA y F8 ejercidas por los cables y el peso W El peso del tanshyque es IWI = 600 lb La suma vectorial de las fuerzas que actuacutean sobre el tanque es igual a cero Determine las magnitudes de FA y FB (a) graacuteficamente y (b) usando la trigonometriacutea

P211

2 2 La cuerda A Be ejerce fuerzas F 8A Y F 8e sobre la poshylea en B Sus magnitudes son F8AI = IF8c1 = 800 N Detershymine IFSA + FscI (a) graacuteficamente y (b) con trigonometriacutea

P212

213 Dos tracLOres remolcan una unidad habitacional hacia una nueva localidad en la base McMurdo de la Antaacutertica (se muestra una vi ta aeacuterea Los cables son horizontales) La sushyma de las fuerzas FA YF 8 ejercidas sobre la unidad es paraleshy


la a la linea L y IF Al = 1000 lb Determine I si y IFA + FsI (a) graacuteficamente y (b) usando la trigonometriacutea

VIS A UPERIOR

P213

2 14 Un topoacutegrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B de la figura es de 400 m y que la distancia horishyzontal de A a e es de 600 m Determine la magnitud del vector horizontal rs de B a e y el aacutengulo a (a) graacuteficamente y (b) usando la trigonometriacutea

P214

215 El vector r va del punto A de la figura al punto medio del segmento definido por los puntos B y C Demuestre que

r = 21 (rA8 + rAegtmiddot

e

P215

2 16 Esbozando los vectores explique por queacute U + (V + W) = (U + V) + W

32a) y paralelo si la liacuteneas de accioacuten son paralelas (Fig 32b)

Figura 32 (a) Fuerzas concurrentes

(b) Fuerza p ralelas

Aacute -Y I

l (al (b)

uando e po por la se puede

La mag

Las

78 CAPiacuteTULO 3 FUERZAS

3 1 Tipos de fuerzas El conc~etoe fuerza nos es muy familiar como se evidencia con palabrltb de uso diar como empujar tirar y elevar En ingenkriacutea se tratan mushychos tjp de fuerzas con un gran intervalo de magnitudes (Tabla 31) y ) necesario familiarizarse con los teacuterminos baacutesicos usados para describirla

Tabla 31 Magn itudes de algunas fuerzas

El sobrealimentador Energiacutea podriacutea usarse en un programa espacial de EUA y Rusia

Ten ioacuten en la cinta de un impulsor magneacutetico Fuerza de la atmoacutesfera sobre una superficie

de I metro cudrado al nivel del mar Fuerza de traccioacuten maacutexima de una locomotora Empuje del coh te Energiacutea Tensioacuten en lo cab les principales del puente

V rrazano-Narrows (Nueva York)

22 N (05 lb)

JO X 105 N (22 X l()-l lbl 90 x iexclOS N (2_ 0 x lOS lbl 39 x 107 N (8 8 x 1()6 Ihl

11 x 109 N (2 5 IOS lbl

Las cinta magneacutet icas se utilizan para almacenar informacioacuten

Liacutenea de accioacuten Cuando una fuerza se representa con uh vector la liacutenea recta colineal al vecto r se denomina liacutenea de accioacuten de la fuerza (Fig 31)

Figura 31

donde g esLiacutenea deUna fuerza F y su liacutenea de accioacuten accioacuten los valores de F

Sistemas de fuerzas Un sistema de fuerzas e simplemente un conju nshyto particular de fuerzas Un sistema de fuerzas e coplanar o bidimensional si las liacuteneas de accioacuten de las fuerzas estaacuten contenidas en un plano De lo contrario el sistema es tridimensional Un sistema de fuerzas es concumiddot rrente si las liacuteneas de accioacuten de las fuerzas se encuentran en un punto (Fig

11 o 1shy

Fuerzas externas e Infernas Se dice que un cuerpo estaacute sometido a una fuerza externa si eacutesta es ejercida por un cuerpo diferente Cuando una parte cualquiera de un cuerpo estaacute sometida a una fuerza por otra parte del mismo cuerpo estaacute sometida a una fuerza interna Estas definiciones reshyquieren que se precise con claridad el cuerpo que se estaacute considerando Por ejemplo suponga que u ted es el cuerpo Cuando usted estaacute de pie el piso que es un cuerpo diferente ejerce una fuerza exterpa sobre sus pies Si aprieta sus manos su mano izquierda ejerce una merza interna sobre su mano derecha Sin embargo si su mano derecha es el cuerpo en consideshyracioacuten la fuerza ejercida por su mano izquierda es una fuerza externa

Fuerzas de cuerpo y de superficie Una fuerza que actuacutea sobre un cuerpo se denomina fuerza de cuerpo si actuacutea sobre el volumen del cuerpo y fuerza de superficie si actuacutea sobre su sup~rficie La fuerza gravitatoria sobre un cuerpo es una fuerza de cuerpo Una fuerza de superficie se puede ejercer sobre un cuerpo por contacto con otro cuerpo Las fuerzas de cuershypo y las de superficie pueden resultar de efectos electromagneacuteticos

Fuerzas gravitatorias

Cuando se levanta algo pesado se percibe la fuerza ejercida sobre un cuershypo por la gravedad de la Tierra La fuerza gravitatoria o peso de un cuerpo se puede representar por medio de un vector (Fig 33)

La magnitud del peso de un cuerpo se relaciona con su masa a iacute

IWI = mg

donde g es la aceleracioacuten debida a la gravedad al nivel del mar Usaremos lo valores g = 981 ms2 (SI) y g = 322 pies2 (sistema ingleacutes)

La fuerzas gravitatorias y tambieacuten las electroRlagneacuteticas actuacutean a di shytancia Los cuerpos sobre los que actuacutean no tienen que estar en contacto con los cuerpos que ejercen las fuerzas En la seccioacuten siguiente analizareshymos fuerzas que resultan del contacto entre cuerpos

Fuerzas de contacto

Las fuerzas de contacto son las fuerzas que resultan del contacto entre cuerpos por ejemplo al empujar una pared (Fig 34a) La superficie de la mano ejerce una fuerza sobre la superficie de la pared que se puede representar con un vector F (Fig 34b) La pared ejerce una fuerza igual yopuesta -F sobre la mano (Fig 3 4c) (Recuerde la tercera ley de Newton citada en la paacutegina 4) Si duda que la paredmiddot ejerce una fuerza sobre la mano intente empujar la pared montado en patines

3 l TIPOS DE FUERZAS 79

Figura 33 Representacioacuten del peso de un cuerpo por un vector

Figura 34 (a) Se ejerce una fu erza de contacto sobre una pared al empujar sobre ella (b) El vector F representa la fuerza que se ejerce sobre la pa red (c) La pared ejerce una fuerza -F sobre la mano

(a) (b) (e)

8U CAPiacuteTULO 3 FUERZAS

Trataremos con fuerzas de contacto ejercidas sobre cuerpos por el conshytacto con las superficies de otros uerpos y por cuerda cables y resortes

SuperfIcIes Considere dos superficies planas en contacto (Fig 3Sa) La fuerza ejercida so re la superficie derecha por la superficie izquierda se representa con el vector F (Fig 35b) Podemos separar F en una omposhynente N normal a la superficie y una componente f paralela a eacutesta (Fig 35c) La componente N se denomina fuerza normal y la componenl I se denomina fuerza de friccioacuten Si la fuerza de friccioacuten entre dos superficies es despreciable respecto a la fuerza normal diremo que las superficies son lisas Aquiacute mostramos soacutelo la fuerza normal (Fig 35d) Si la fuerza de friccioacuten no se puede despreciar las uperficie son rugo a

iquest

Figura 35 (a) Dos superficies planas en contacto

(b) La fuerza F ejercida sobre la superfi ie derecha (e) La fuerza F se separa en sus componente no rmal y

paral la a la superficie (d) Soacutelo se muestra la fuerza normal cuando se desprecia

la friccioacute n (a) (b)

(e) (el)

Si las superficies de contacto son curvas (Fig 36a) la fuerza normal y la fuerza de friccioacuten son respectivamente perpendicular y paralela al plano tangente a las superficies en su punto comuacuten de contacto ( ig 36b)

Figura 36 (a) Superfici s curvas de contacto La liacutenea

di continua indica el plano tangente a las super ficies en su punto de contacto

(b) La fuerza normal y la fuerza de friccioacuten sobre la superficie dere ha

N

( a) (b)

3 1 TIPOS DE FUERZAS 81

Cuerdas y cables Se puede ejercer una fuerza de contacto sobre un cuerpo uniendo una cuerda o un cable al cuerpo y tirando de eacutel En la figura 37(a) el cable de la gruacutea estaacute unido a un contenedor de materiales de construccioacuten La fuerza que el cable jerce sobre el contenedor se puede repre enlar con un vector T (Fig 37b) La magnitud de T se denomina iexclensioacuten en el cable y la liacutenea de accioacuten de T e colineal al cable El cable ejerce una fuerza igual y opuesta -T sobre la gruacutea (Fig 37c)

(a)

Figura 37 (a) Gruacutea con su cable unido a un contenedor

(b) Fuerza T ejercida por el cable obre el contenedor (e) Fuerza -T ejercida por el cable sobre la gruacutea

Observe que hemos supuesto que el cable es recto y que la tensioacuten donde el cable se conecta al contenedor es igual a la ten ioacuten cerca de la gruacutea Esto es aproximadamente cierto si el peso del cable es pequentildeo comparado con la tensioacuten De lo contrario el cable se colgaraacute en forma con iderable yla ten ioacuten variaraacute a lo largo de eacutel En el capiacutetulo 9 analjzaremo cuerdas y cable cuyo pesos no son pequentildeos en comparacioacuten con su tensiones Por ahora upondremos que las cuerdas y los cables son rectos y que sus tensiones son constantes a traveacutes de su longitud

Una polea es una rueda con un borde ranurado que se puede usar para cambiar la direccioacuten de una cuerda o de un cable (Fig 38a) Por ahora supondremos que la tensioacuten es la misma en ambos lados de una polea (Fig 38b) Esto e cierto por lo menos de manera aproximada cuando la polea puede girar libremente y la cuerda o el cable es estacionario o bien hace girar la polea a una velocidad constante

(a) (b)

(e)

Figura 38 (a) Una polea cambia la direccioacuten de una cuerda o un cable (b) Por ahora e debe suponer que las tensiones a cada lado de la polea son iguales

82 CAPiTULO 3 FUERZAS

Resortes Lo resortes se usan para ejercer fuerzas de contacto en di pomiddot jercer jtivos mecaacutenicos por ejemplo en la suspensioacuten de vehiacuteculos (Fig 39) venir el

Consideremos un re orte cuya longitud no estirada es decir la longitu pension del resorte cuando sus extremos estaacuten sueltos es Lo (Fig 3 lOa) Cuando dentro el resorte se estira una longitud L mayor que Lo (Fig 3IOb) jalaraacute omiddot Lam bre el cuerpo a l que estaacute unido con una fuerza F (Fig 3 lOe) El cuetO ejerce una fuerza igual y opuesta -F sobr el re orte (Fig 3lOd)

Figuro 39 Re~orte

Resortes en la suspensioacuten de un auto El dispositivo Amort iguado r

de la derecha se llama soporte MaePherson

Como

(a)

unre de la e

Cuando el resorte se comprime una longitud L menor que Lo (Figs 311 a b) empuja sobre el cuerpo con una fuerza F y el cuerpo ejerce una

(b) fuerza igual y opue~ta - F sobre el resorte (Fig 3 llc d) Si eacute te se comprimiddot Aun me demasiado puede pandearse (Fig 3lle) Un resorte disentildeado para niea

lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)

si oacute no la fue una teacute

Figuro 310 (b) mo ca

(d)

(a) Resorte de longitud no estirada igual a Lo (b) El resorte estirado a una longitud L

gt Lomiddot (e d) Fuerza F ejercida por el resorte y fuerza -F sobre el resorte

Figuro 311 (a) Re orle de longitud Lo

(b) El resorte comprimido a una longi tud L lt Lo

(e d) El resorte empuja sobre un cuerpo con una fuerza F y el cuerpo ejerce una

fuerza -F obre el resorte (e) Un resorte se pandearaacute si se comprime

d masiado (e)

(d)

3 I TIPOS DE FUERZAS 83

ejercer una fuerza al comprimirse suele tener un soporte lateral para preshyvenir el pandeo por ejemplo suele encerraacutersele en un cilindro En las susshypensiones de automoacuteviles mostradas en la figura 39 los amortiguadores dentro del resorte impiden que eacuteste se pandee

La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte depende de su material su disentildeo y de cuaacutento variacutea con respecto a su longitud original Cuando el cambio de longitud no es muy grande en comparacioacuten con la longitud no estirada los resortes que suelen usarse en dispositivos mecaacutenicos ejershycen una fuerza aproximadamente proporcional al cambio de longitud

I iFl=kIL-Lolmiddot1 (31 )

Como la fuerza es una funcioacuten lineal del cambio de longitud (Fig 3) 2) un resorte que cumple con esta relacioacuten se denomina resorte lineal El valor de la constante del resorte k depende del material y del disentildeo del resorte Sus dimensiones son (fuerza)(Iongitud) Observe en la ecuacioacuten (31) que k es igual a la magnitud de la fuerza requerida para e tirar o comprimir el resorte una unidad de longitud

Suponga que la longitud no estirada de un resorte es Lo = ) m y k = 3000 Nm Si el resorte se estira hasta alcanzar una longitud L = 12 m la magnitud de la fuerza que ejerce es

klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N

Aunque es cierto que los resortes suelen utilizarse en dispositivo mecaacuteshynicos nos interesan por una razoacuten mucho maacutes genera) sirven para modeshylar situaciones en que las fuerzas dependen de los desplazamientos Por ejemplo la fuerza necesaria para flexionar la viga de acero de la figura 313(a) es una funcioacuten lineal del desplazamiento 5

IFI = koacute

si 5 no es muy grande Asiacute representamos el comportamiento debido a la fuerza de flexioacuten de la viga con un resorte lineal (Fig 313b) Esto revela una teacutecnica poderosa analizar estructuras complicadas modelaacutendolas coshymo conjuntos de pequentildeos elementos conectado por resortes lineales

FF

(b)

Figura 313 (a) Viga de acero nexionada por una fuerza (b) Modelado del comportamiento de la viga por medio de un re orte lineal

(a)

IFI

Figura 312 La graacutefica de la fuerza ejercida por un resorte lineal en funcioacuten de su alargamjento o contraccioacuten e una liacutenea recta con pendiente k


32 Equilibrio y diagramas de cuerpo libre

La estaacutetica es el estudio de cuerpos en equilibrio En la conversacioacuten diaria equilibrio significa un estado invariable e decir una situacioacuten balanmiddot ceada Ante de explicar con precisioacuten queacute signifi a este teacutermino en mecaacutemiddot nica consideremos algunos ejemplos Los muebles de una habitacioacuten y una persona inmoacutevil y de pie en esa habitacioacuten estaacuten en equilibrio Si un tren viaja a velocidad constante en una trayectoria recta los cuerpos que e taacuten en repo o con respecto al tren como una persona de pie en el pa iHo de eacuteste se hallan en equilibrio (Fig 3 14a) La per ona de pie en la habitamiddot cioacuten y la persona de pie en el pa illo del tren no sufren aceleraciones in embargo si el tren aumenta o di minuje u velocidad la per50na de Vil en el pasillo ya no estaraacute en equilibrio y podriacutea caerse (Fig 314b)

Figuro 314 (a) Mientras el tren se mueve a velocidad

con tante una persona de pie en el pasillo estaacute en equilibrio

(b) Si el tren acelera la persona ya no estaacute en equili bri

(a) (b)

Decimos que un cuerpo estaacute en equilibrio soacutelo si cada punto del cuerp tiene la misma velocidad constante denominada traslacioacuten uniforme La velocidad debe medirse respecto a un marco de referencia en el que sean vaacutelidas las leyes de Newton es decir respecto a un marco de referencia inercial En la mayoriacutea de las aplitiexclciones de ingenieriacutea la velocidad e puede medir respecto a la superficie de la Tierra

La suma vectorial de las fuerzas externas que actuacutean obre un cuerpo en equilibrio es igual a cero Usaremos el siacutembolo EF para denotar la suma de las fuerzas externas Asiacute cuando un cuerpo estaacute en equilibrio

(32)

En ocasiones esta ecuacioacuten de equilibrio se usa para determinar fuerzas desconocidas que actuacutean sobre un cuerpo en equilibrio Lo primero es dibujar un diagrama de cuerpo libre para identificar las fuerzas externas que actuacutean sobre el cuerpo El diagrama de cuerpo libre es una herramienta esencial de la mecaacutenica Con eacutel se centra la atencioacuten en el cuerpo de intereacutes y se identifican las fuerzas externas que actuacutean sobre eacutel En estaacutetica no )tl r~arim fgtbo erpm en equluacuteono a 1que os olagrama a cuerpo libre se usan en dinaacutemica para analizar los movimientos de los cuerpo

El diagrama de cuerpo libre es un concepto sencillo Es el dibujo d un cuerpo y de las fuerzas externas que actuacutean sobre eacutel sin incluir nada aparte del cuerpo de intereacutes muestra el cuerpo aislado o liberado de su entorno El dibujo de un diagrama de cuerpo libre consta de tres p m

l Identificar el cuerpo por aislar Como se veraacute la eleccioacuten suele estar dictada por las fuerzas particulares que se quiere determinar (al

32 EQUILIBRIO Y DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE 85

2 Dibujar un croquis del cuerpo aislado de su entorno y mostrar las dimensiones y aacutengulos pertinentes El dibujo debe ser razonablemenshyte preci o pero pueden omitirse detalles irrelevantes

3 Dibujar los vectores que representen todas las fuerzas externas que actuacuteen sobre el cuerpo aislado y designarlos apropiadamente No se debe olvidar incluir la fuerza gravitatoria a menos que intencionalshymente no se considere

A menudo debe elegirse un sistema de coordenadas para expresar las fuerzas sobre el cuerpo aislado en funcioacuten de sus componentes Es conveshyniente elegir el sistema de coordenadas antes de dibuiar el diagrama de cuerpo libre pero en ciertos casos la mejor eleccioacuten de un sistema de coorshydenadas no seraacute notoria hasta despueacutes de dibujar el diagrama

Un ejemplo sencillo mostraraacute coacutemo elegir los diagramas de cuerpo libre para determinar fuerzas particulares recuerde que se debe distingui r con cuidado entre fuerzas externas e internas En la figura 315 dos bloques en reposo de igual peso Westaacuten suspendidos por medio de cables El sisteshyma estaacute en equilibrio Se quiere determinar las tensiones en los dos cables

Para determjnar la tensioacuten en el cable AB aislamos un cuerpo que consista en el bloque inferior y parte del cable A B (Fig 316a) Luego iquestqueacute fuerzas se pueden ejercer sobre este cuerpo aislado por cuerpo no incluidos en el diagrama La Tierra ejerce una fuerza gravitatoria de magshynitud W sobre el bloque yen el sitio donde cortamos el cable AB eacuteste se encuentra sometido a una fuerza de contacto igual a la ten ioacuten en el cable (Fig 316b) Las flechas indican las direcciones de las fuerzas El escalar Wes el peso del bloque y TA8 es la tensioacuten en el cable AB El peso de la parte del cable incluida en el diagrama de cuerpo libre puede despreshyciarse si se compara con el peso del bloque

Como el diagrama de cuerpo libre estaacute en equilibrio la suma de la fue rshyzas externas es cero La ecuacioacuten de equilibrio se obtiene en funcioacuten de un sistema coordenado con el eje y dirigido hacia arriba (Fig 316c)

EF = TABj - W j = (TAB - W) j = O

En consecuencia la tensioacuten en el cable AB es TA B W

e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A

Figuro 315 Bloques en reposo uspendidos por cables

Figuro 316 (a) Aislamiento del bloque in ferior y parte del cab le AB (b) La indicacioacuten de las fuerzas exteriores completa el diagram de cuerpo libre (c) Introduccioacuten de un sistema de coordenadas


Podemos determinar ahora la tensioacuten en el cable CD aislando el bloque superior (Fig 3 17a) Las fuerzas exteriores son el peso del bloque superior y las tensiones en los dos cables (Fig 317b) Para este caso obtenemo la ecuacioacuten de equilibrio

EF = TcDj - TARj - W j = (Tcn - TAB - W) j = o

TAB = W encontramos que TCD = 2 W

yFigura 317 (a) Aislamiento del bloque superior par determinar

la tensioacuten en el ca ble CD - -

---

I I I I I I I

(b) Diagrama de cuerpo libre del bloque superior --

~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)

Podriacuteamos tambieacuten haber determinado la tensioacuten en el cable CD tratanshydo los dos bloque y el cable AB como un solo cuerpo ( igs 318a b)

La ecuacioacuten de equilibrio es

EF = TC Dj - W j - W j = (TcD - 2W)j = O

y obtenemos de nuevo T D = 2 W

Figura 318 (a) Alternat i a para determinar la tensioacuten

en el cable CD (b) Diagrama de cuerpo libre de ambos bloqu

y del cable AB

1 --shyI I I I I I I

I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)

33 SISTEMAS BIDIMENSIONALES DE FUERZAS 87

iquestPor queacute la tensioacuten en el cable AB no aQa(ece enet diab(ama de cuetlQ

Ibre J e la gura 3 18(b)1 Recuerde que en los diagramas de cuerpo libre soacutelo se muestran fuerzas externas Como en este caso el cable A B es parle del diagrama de cuerpo libre las fuerzas que ejerce sobre los bloques supeshyTIacute res e inferiores son fuerzas internas

33 Sistemas bidimensionales de fuerzas

Suponga que el sistema de fuerzas externas que actuacutean sobre un cuerpo en equilibrio e bidimensional (coplanar) Orientando un sistema coo rdeshynado de manera que las fuerzas qued n en el plano x-y podemos expresar la suma de las fuerzas externas como

LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0

donde rFr y rFv son las sumas d las componentes x y y de las fuerzas Esta e u cioacuten se satis face si y soacutelo si

1 1F =0 1Fy =0middot 1 Obtenemos asiacute dos ecuaciones de equil ib rio Cada una de las sumas de las compon ntes x y y de las fuerzas externas que actuacutean sobre un cuerpo en quilibrio deb ser igual a cero

Los ejemplos siguientes presentan situaciones en las cuales se pueden usar las ecuaciones (33) para determinar fuerzas desconocidas que actuacutean soshybre cuerpos en equilibrio Se requiere efectuar dos pasos

l Dibujar un diagrama de cu rpo libre El cuerpo por aislar debe ser lal que conduzca a un diagrama de cuerpo libre donde se incluyan las fuerzas conocidas y las que se quieren determinar

2 E tablecer las cuaciones de equilibrio Fije un sislema oordenado y use la ecuacioacuten (33) para obtener expresiones que relacionen las fuerzas conocidas con las desconocidas

oordenado y eparacioacuten de T en sus omponente haciendo la sumas de las fuerzas en las direcciones x y y iguales a cero


ESTRATE

Neiexclcsitan

(o) Ai lamiento del cajoacuten neumaacutet ico

r

f

(b) El diagrama de cuerpo libre completo muestra las fuerzas externa conocidas y desconocidas

y

(e) Introduccioacuten de un sistema

Ejemplo 31

El cable de la gruacutea de la figura 319 estaacute unido a un cajoacuten neumaacutetico en reposo de masa igual a 300 kg La tensioacuten en el cable es de 1 kN Determine las fuerza normal y de friccioacuten ejercidas sobre el cajoacuten por el suelo

Figuro 319

ESTRATEGIA

Como el cajoacuten estaacute en equilibrio podemo determinar las fu erzas normal y de friccioacuten dibujando su diagrama de cuerpo libre y usando las ecuaciones (33)

SOLUCiOacuteN

Dibujo del diagrama de cuerpo libre Ai lamos el cajoacuten (Fig a) de u entorno y luego completamos el diagrama de cuerpo libre mostrando las fuerzas xterna que actuacutean sobre eacutel (Fig b) Las fuerzas son el peso W == mg == (300

kg)(981 ms2) == 2943 N I fuerza T = 1000 N ejercid por el cable y la fuerza normal N y la fuerza f de friccioacuten ejercida por el uelo

Aplicacioacuten de los ecuaciones de equilibrio E tableciendo el sistema coordenado que se muestra en la figura (c) a l descomponer la fuerza ejercid por el cable en sus componentes x y y obtenemos las ecuacione de equilibrio

EFy == f - T cos 40deg == O

EF = T sen 40deg + N - W == O

La fuerLa de friccioacuten es

f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N

y la fu erza normal es

N == W - T sen 40deg 2943 - (1000) sen 40deg 2300 N

COMENTARIOS

iempre se debe tratar de entender el ignificado fiacutesico de las ecuaciones utilizamiddot das En este ejemplo podemos ver en el diagrama de cuerpo libre (Hg b) que el cajoacuten estaraacute en equilibrio soacutelo si la fuerza de friccioacuten e taacute equilibrada por la componente horizon tal de la fuerza ejercida por el cable f == T cos 40middot Podemos ver tambieacuten que la fuerza normal y la componente vertical de la fuerza ejercida por el cable deben equilibrar a l peso del cajoacuten N + T en 40deg == W Eacutestas son la mi mas ecuaciones de equilibrio que obtuvimo de manera formal

ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32

El motor (Fig 320) e taacute suspendido por un si tema de cables La masa del motor es de 200 kg iquestQueacute valores tienen la tensiones en los ca bIes A B YA C

ESTRATEGIA

Necesitamos un diagrama de cuerpo libre en el que se muestren la fuerzas que queremos determinar A islando parte del sistema de cables cerca del punto A donde se unen los cables obtenemos un diagrama de cuerpo libre que estaacute someshytido al peso del motor y a las tensiones desconocidas en los cable AB yAC

SOLUCiOacuteN

33 SISTEMAS BIDIMENSIONALES DE FU ERZAS 89

Dibujo del diagrama de cuerpo libre Aislando parte del sistema de cashybles cerca del punto A (Fig a) se obtiene un diagrama de cuerpo libre sometido al peso del motor W = mg = (200 kg)(981 ms2) = 1962 N ya las tensiones Figura 320 en los cables AB y AC (Fig b)

Aplicacioacuten de las ecuaciones de equilibrio Seleccionamos el sistema coordenado de la figu ra (e) y de componemos las tensiones de los cables en sus componentes x y y Las ecuacion s de equilibrio re ultantes son

EF TAc sen 45deg + TAn sen 60deg - 1962 = O

Al re olver e tas ecuaciones las tensiones son TA8 = 1436 N Y T4C = 10 16 N Solucioacuten alternati va Podemos determinar las tensiones en lo cables de otra

manera que nos ayudaraacute tambieacuten a visualizar la condiciones de equi librio Coshymo la suma de la tres fuerza que actuacutean en el diagrama de cuerpo libre e igual a cero los vectores forman un poliacutegono cerrado cuando se colocan uno a cont inuacioacuten del otr (Fig d) Se puede ver que la suma de los component es verticales de la tensioacuten equil ibra al pe o y que las componentes horizonta les de las tensione e deben equilibrar entre sIacute El aacutengulo opuesto al peso W en el triaacutengulo es 1800

- 30deg - 45deg = 105deg Al aplicar la ley de los senos

obtenemo TAn = 1436 Y Tle

COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N

iquestCoacutemo escogimo~ el diagrama de cuerpo libre que nos permitiOacute determinar las tensione desconocidas en Jos cables No hay regla especiacuteficas para ello U ted aprenderaacute a hacerlo con los ejemplos que presentaremo pero si mpr encontraraacute situaciones nuevas Quizaacute sea necesario ensayar varios d iagramas de cuerpo libre antes de enco ntra r el que proporcione la informacioacuten requerida Recuerde que las fuerzas que se quieren determinar deben aparecer como fuershyzas externas en el diagrama de cuerpo libre y que el Objetivo es obtener u n nuacutemero de ecuaciones de equ il ibri igual a l nuacutemero de fuerzas desco nocidas

8

(a) Ai lam iento de parte del sistema de cables

(b) Diagrama de cuerpo libre completo

r T T IH s~ n 60 AHe T sen 45

I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -

LL---shy ---shy --shy --shy x

(e) Seleccioacuten de un si tema coordenado y descomposicioacuten de las fuerzas en componentes

r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg

(d) Triaacute ngulo formad por la suma de la t re fuerzas

90 cAPiTULO 3 FUERZAS

Figura 321

Ejemplo 33

Una caja de 300 lb se mantiene en equilibrio en la bodega de un barco inclinad (Fig 321) con ayuda de una cuerda elaacutestica en el lado izquierdo de la caja (La cuerda floja en el lado derecho de la caja ejerce una fuerza de pr ciable )LA

cuerda se comporta como un resorte lineal con con tante k = 200 lbpie yla longitud sin estirar es de 5 pies Desprecie la friccioacuten (a) Determine la tensioacuten en la cuerda y la fuerza normal ejercida sobre la ca)1

por el piso de la bodega (b) iquestCuaacutel es la longitud de la cuerda estirada

ESTRATEGIA (a) La caja estaacute fija respecto al ba rco y suponemos que eacuteste se halla en re pOlO

por lo que la caja estaacute en equilibrio Para determinar las fuerzas ejercidas sobre la caja debemos dibujar su diagrama de cuerpo libre y aplicar las ecuacion de equilibrio Este ejemplo ugiere dos posibles orientaciones para el sislerno coordenado iquestDeben los ejes ser horizontal y vertical o paralelo y perpendicua al piso Usaremos ambas orientaciones con el fin de compararla (b) Una vez que se ha determinado la tensioacuten en la cuerda podemos usar~ ecuacioacuten (31) para calcular su longitud estirada

SOLUCiOacuteN

(a) Para determinar la tensioacuten en la cuerda y la fuerza normal sobre la caja se deben completar do pasos

Dibujo del diagrama de cuerpo libre Aislamos la caja de su entorno (Fig a) y completamos el diagrama de cuerpo libre mostrando el peso Wl fuerza Tejercida por la cuerda y la fuerza normal N ejer ida por el piso (Fig b)

(a) Aislami nto del cajoacuten (b) Diagrama de cuerpo libre completo


Aplicacioacuten de las ecuaciones de equilibrio Alineando el sistema y

coordenado como se muestra en la figura (e) y descomponiendo T y N en sus componente x y y obtenemos las ecuaciones de equilibrio

~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O

~Fy = Neos 20deg + T sen 20deg - W = O

i multiplicamos la primera ecuacioacuten por sen 200 y la segunda por co 200 y

I sumamos encontramos que la fuerza normal es

N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb

Ahora podemos resolver la primera ecuacioacuten de equilibrio y obtener la tensioacuten en el re orte

T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200

Solucioacuten alternativa Si alineamos el sistema coordenado como e muestra en la figura (d) y separamos el peso Wen sus componentes x y y obtenemos las ecuaciones de equilibrio

~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O

Las oluciones para N y T son

N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb

(b) La tensioacuten en la cuerda estaacute relacionada con su longitud seguacuten la expresioacuten

T = k(L - Lo)

donde L Y Lo son las longitudes estirada y in estirar respectivamente Si reshyollemos esta ecuacioacuten para la longitud est irada obtenemos

T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS

Si bien pudimos determinar las fuerzas desconocida sobre la caja usando amshyb orientacion s del sis tema coordenado la alineacioacuten de los ejes paral lamenshyte a las fuerza desconocidas ( ig d) dio origen a ecuaciones maacutes faacuteci les de resolver A veces la soluciones de los problemas se pueden simplificar escoshy~endo en forma adecuada los sistemas coordenados Aunque se obtendraacuten di ferentes ecuacione de equil ibrio u ando distintos sistemas coordenados los resu ltados para las fuerzas desconocidas no dependeraacuten de la seleccioacuten del sisteshyma oordenado

L-------------____________ x

(e) El sistema coordenado dispuesto horizontal y vert icalmente

y

(d) El sis [~ma coordenado dispuesto paralela y

perpendicu larmente al piso


El aacutengulo de ata(Ejemplo 34 (34) para delern

T=

Aplicaciones a la ingenieriacutea

FIgura 322 Fuerzas externas sobre un avioacute n en vuel

Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN

En teacuterminos del sistema coo rdenado las ecuaciones de equilibrio son

EFlt = T co ex - D - W sen Y -= 0 (34)

EFy = T en ex + L - W cos Y = O (3 5)

En la ecuacioacuten (35) despejamos sen ex en la ecuacioacuten (34) despejamos cos a y las d ivid imos para obtener una ecuacioacuten pa ra tan ex

tan ex sen ex

cos a W cos Y - L W sen Y + D

(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3

Ob erve que el er d I pe o del avi

TEMAS DE DIS

n lo middot ejemplos I sobre un uerpo desconocidas hac ingenieriacutea un cu diferentes en con

Cuando un ai (35) se red ucen

bull consumo de IIbrio Gran (O~ anaacutelisis al desarrollo d

Vuelo uniforme Las fuerzas quc actuacutean obre el avioacuten son u pe o W el empuje T ejercido por sus motores y la fuerzas aerod inaacutemicas La liacutenea di conti nua ind ica la trayectoria que sigue el avioacuten Al descomponer la fuerza aerod inaacutemicas se tienen una o mponente p rpendicular a la trayectoria la fuerza de sus tentacioacuten L y una componente paralela a la trayectoria la fuerza de arrastre D El aacutengulo Y entre la horizon ta l y la trayectoria se denomina aacutengulo de la trayectoria de vuelo ya es el aacutengulo de ataque Si el avioacuten permanece en equil ibrio durante un intervalo de tiempo se dice que se encuentra en vuelo uniforme Si Y =

6deg D = 125 kN L = 680 kN Y la masa del avioacuten = 72 Mg (megagramos) iquestq ueacute valore de T y de ex so n nece ario para mantener un vuelo uniforme

3 3 SISTEMAS BIDIMENSIONALES DE FUERZAS 93

El aacutengulo de ataque a == arctan (0 113) == 644 0 Ahora usamos la ecuacioacutenbull

(34) para determinar el empuje

T == W en y + D == (72 000)(981) sen 6deg + 125 000 == 200 094 N cos a cos 6440

Observe que el empuje nec ario para un vuelo uniforme corresponde al 28070 del pe o del avioacuten

m~AS DE DISENtildeO

nlo ejemplos hasta ahora se dieron los valores de ciertas fuerzas que actuacutean obre un cuerpo en equi librio y el objetivo fue tan soacutelo determinar las fuerza delconocidas haciendo la urna de la fuerzas igual a cero En casos reales de ingenieriacutea un cuerpo en equilibrio estaacute sometido a fuerzas que tienen valores diferente en cond iciones distintas y esto in fluye mucho en u disefto

uando un avioacuten viaja a altitud constante (y = O) las ecuaciones (34) y l5) se reducen a

T cos a D

Tsen a + L W

La omponente horizon tal del empuje debe ser igua l a l arrastre y la suma de lacomponente vertical d I empuje y de la sustentacioacuten debe ser igua l al peso Para un valor fijo de a la sustentacioacuten y el arrastre aumentan con forme se incrementa la velocidad del avioacuten Un aspecto importante del disefto es mi ni mi- middot zar Deacutel la clocidad de crucero para reducir el empuje (yen con ecuenciacutea el con umo de combustible) necesario para satisfacer la primera ecuacioacuten de equishylibrio Gran parte de la in estigacioacuten relativa a l d isentildeo de aviones incluidos 101 anaacuteli i teoacutericos y los ensayo en tuacuteneles de viento (Fig 323) se dedica al d~arrollo de perfiles aerodinaacutemico que minimicen el arra treo

Figura 323 Lo tuacuteneles de viento se usan para medir las fuerzas aerodinaacutemicas sobre modelos de aviones


Cuando un avioacuten va a aterrizar su velocidad es mucho menor y el arr tr es de menor influencia en el di entildeo Tambieacuten la sustentacioacuten es menor yel cumplimiento de la ecuacioacuten (35) se convierte en la principal consideracioacuten en el disentildeo Dentro de ciertos liacutemites el piloto puede incrementar los teacuterminOl T sen a y L incrementando el aacutengulo de ataque Esto es muy evidente en cl gran aacutengulo de ataque empleado durante el aterrizaje del Concorde (Fig 324) avioacuten en el que los ing nieros tuvieron que sacrifi car buenas caracteriacutesticas aemiddot rodinaacutemicas durante el aterrizaje para obtener un arrastre suficientemente bajo a velocidades de crucero muy altas En el so del F-14 (Fig 325) se usaron alas con flecha o barrido variable para obtener buenas caracteriacutesticas de sustenmiddot tacioacuten a baja velocidad asiacute como un bajo arrastre a alta velocidad

Figura 324 El Concorde tiene que aterr izar con un gran aacutengulo de ataque para generar

Figura 325suficiente sustentacioacuten El avioacuten de cada F-14 con sus alas configurada para el despegue y aterrizaje y configuradas par altas velo iexcldades

Problemas

31 Tre fuerzas externas actuacutean sobre un cuerpo en equil ishybrio F = 20i - 30j(N) F2 = lOi - IOj(N) Y FJ iquestCuaacutel es la magnitud de FJ

32 Tres fuerzas externas actuacutean sobre un elemento estructushyral en equilibrio F = 40i + 30jklb) F2 Y FJ bull La fuerza F2

es paralela al vector unitar io (- 21 5)i + (IV5)j Y FJ es parashylela al vector unitario (-2 5)i - (1 5)j Determine F2 y FJ

33 Se muestran las fuerzas externas que actuacutean sobre un cuerpo en equili brio Si F I = 75 N iquestqueacute valor tienen F2 y Fiexcl

y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3

34 La fuerza Fiexcl = 100 lb (a) iquestCuaacutel es el miacutenimo valor de FJ para el cuaJ el diagrama de cuerpo libre puede estar en equilishybrio (b) Si F] tiene el vaJor determinado en la parte (a) iquestqueacute valor tiene el aacutengulo o

Estrategia Dibuje un diagrama vectoriaJ de la suma de las tres fuerza

(tI-~ ---- - --shy x Fiexcl

P34

35 La viga mo trada estaacute en equilibrio Si B = 260 N Y e = 100 N iquestqueacute valor tienen las fuerzas Ax Y Ay

B e

2 m shy ----iexcl---shy -l In shy --shy

P35

36 Un zooacutelogo calcula que la quijada de un predador estaacute sometida a una fuerza P de 800 N iquestQueacute fuerza Ty M deben ejercer lo muacutesculos temporal y masetero para soportar este vashylor de P

33 SI STEMAS BIDIMENSIONALES DE FUERZAS 95

37 Se tienen dos resor tes ideacutenticos con longitudes sin e tirar de 250 mm y constante k = 1200 Nm (a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del bloque A (b) Dibuje el diagrama de uerpo libre del bloque B (e) iquestCuaacuteles son las masas de los dos bloques

A

1 280 mm

1

8 1 P37

38 En la figura P38la barra horizontal de 200 lb estaacute colgashyda de los resortes A By C Las longitudes sin e tirar de los resorte son iguales Las constantes de los resortes on k A = k c = 400 lbpie y k B = 300 lbpie iquestCuaacuteles son las tensiones en los resor tes

P38

39 Si e desprecian los pesos de las poleas mostradas iquestqueacute fuerza F e nec sita para soportar el peso W

F

P39


310 La masa dc una gruacutea es de 20 Mg (megagramos) y la tensioacuten en su cable es de I kN El cable de la gruacutea estaacute unido a un bloque cuya masa es de 400 kg Determine la magnit udes de las fuerzas normal y de friccioacuten ejercidas obre la gruacutea por el terreno a nivel

Estrategia Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la gruacutea y la parte de su cable den tro de la liacutenea discontinua

r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310

311 Un auto de 2400 lb se aparca en una calle inclinada Si Ci = 25deg iquestcuaacuteles on la magnitudes de las fuerzas totales norshymal y de friccioacuten ejercidas obre el auto por el pavimento

P311

312 Suponga que el automoacutevil de 2400 lb del problema 311 permaneceraacute en equilibrio sobre la calle inclinada soacutelo si la fuershyza de fr iccioacuten ejercida obre eacutel por el pavimento no es mayor nup O 6 ( e~ la fuerz nQrmal iquestCuaacutel es el maacuteximo aacutengulo Ci

~eO~ ~~ces l~ fuerza normal iquestCual - ~ 1 m~n- ~ ~ara ~l cual el automoacutevil permaneceraacute en eqUlhbno

316 Lo314 Una caja de 600 lb se mantiene en equilibrio sobre la y Wz = 5 plataforma lisa de un camioacuten de volteo por medio de la cuerda laper ona AB (Recuerde que lisa significa que 1 friccioacuten es despremiddot ciable) (a) Si ex = 25deg iquestcuaacutel e a tensioacuten en la cuerda (b) Si la cuerda resi te con seguridad una tensioacuten de 400 lb iquest uaacutel es el valor maacuteximo admisible para ex

317 Los estirada y magnitudes

P314

315 El cable AB impide que la caja de 5 Mg (megagramos) se deslice sobre el piso liso de la bodega del barco escorado Si el cable puede resistir con seguridad una tensioacuten de 40 kN iquestcuaacutel es el valor maacuteximo seguro del aacutengulo Ci de escora

P315

d s de 40 kg La uperficie inclinada3 13 La ma a e una caja emiddot 1 t d e~ rugosa La longitud del resorte es dekl~ ~~N~mon~aacutel d 200 mm Y su con rante es - (

e ls~~~~tu~ de la fuerza de friccioacuten ejercida sobre la caja

por la superficie rugosa

P313


316 Lospesosdedosbloques(Fig P3 16)son Wiexcl = 200 lb 319 Si el alambre que soporta el cuadro del problema 318 YW2 = 50 lb Ignorando la friccioacuten determine la fuerza que e rompe cuando la tensioacuten excede de 150 N Y se qu iere tener la persona debe ejercer para mantener los bloques en equilibrio un factor de seguridad de 100070 (o sea e quiere que el alambre

resi ta un peso igual al doble del peso del cuadro) iquestcuaacutel es el valor miacutenimo que se puede usar para a

320 Se requiere una tensioacuten de 50 lb para jalar el are a la posicioacuten mostrada Determine la tensioacuten en la cuerda del arco (a) dibujando un diagrama de cuerpo libre de la uerda y (b) dibujando un diagrama de cuerpo libre del arco

P316

317 Los dos resortes mostrados tienen la misma longitud no estirada y la superficie inclinada es lisa Demuestre que las magnitudes de las fuerzas ejercida por los dos re ortes on

Fiexcl W sen a(l + k~kl)

W sen al(1 + k iexcllk2)F2

P317

318 Un cuadro de 10 kg estaacute cOlgado de un alambre Si a = 25 deg iquestcuaacutel es la tensioacuten en el alambre

P318

P320

321 Un cohete estaacute suspendido por medio de dos cables La masa del cohete es de 45 Mg (megagramo ) (a) iquest uaacutel es la tensioacuten en los cables cuando el cohete se encuenshyt ra en la posicioacuten mo trada (b) Si el cohete mostrado e levanta enrollando los dos cables cantidade iguales iquestqueacute ten ioacuten deben soportar los cables (co n base en la tensioacuten requerida para soportar el cohete en reposo) a fin de levantar el cohete 2 m arriba de la posicioacuten mostrada

3m

1

P321

98 CAPiacuteTULO 3 FUER S

322 Un obrero mantiene en equilibrio una caja de 500 lb co- 324 Determine las tensiones en los cablesABy ACmostrados mo se muestra en la figura iquestQueacute fuerza debe ejercer sobre el cable

e

100010

P324

325 Un emaacute foro de J40 kg pende de dos cables iquestCuaacutel e la tensioacuten en los cables

P322

323 Un obrero en la Luna (acelera ioacuten debida a la gravedad = 532 pies2) man tiene en equilibrio la misma caja descrita en el problema 322 en la posicioacuten mostrada iquestQueacute fuerza debe ejercer sobre el cable

P323

I

PJ25

328 iquest (

rior (Dcbera de la polea

12 m

326 Considere el semaacuteforo del problema 325 Para levantar temporalmente el emaacuteforo durante un desfile un ingeniero quiere conectar el cable DE de 17 m de longitud a lo puntos medios de los cable A B YA e como e muestra en la figura Sin embargo por razone de seguridad no quiere someter ninguno de los cables a una tensioacuten mayor que 4 kN iquestPodraacute lograrlo

I ~-- 17m

P326

327 La masa de una caja suspendida es de 5 kg iquest uaacuteles son las ten iones en los cables A B Y A el

tOm

P327

328 iquestCuaacuteles son las ten iones en los cable uperior e infeshyrior (Deberaacute dar sus respuestas en funcioacuten de W Jgnore el peso de la polea)


329 Un astronauta realiza experimentos obre una plataforshyma neumaacutetica Mientras efectuacutea calibracione la plataforma e mantiene en equiljbrio por los tirantes AB AC y AD a

fuerza ejercidas por lo tirantes son las uacutenicas fuerzas horizonshytales que actuacutean sobre la plataforma Si la tensioacuten en el tirante A C es de 2 N iquestcuaacuteles son las tensiones en lo otros dos tirantes

VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329

330 El poste mostrado ancla un cable que ayuda a oportar una torre petrolera Si ex = 35 0 Y3 = 500

iquestcuaacuteles son las tensioshynes en lo cable A B YA el (Deberaacute dar su respuestas en funshy cioacuten de la tensioacuten T)

~T

P330

ICapiacutetulo 4 I

Sistemas de fuerzas y momentos

Llmiddot

os efectos de las fuerzas dependen no soacutelo de sus

magnitudes y direcciones sino tambieacuten de los mo- c

mentos que ejercen El momento de una fuerza es una

medida de su tendencia a causar giros Los momentos

causan el giro de maquinaria como la manivela de un

barco de vela las ruedas de un vehiacuteculo los ciguumlentildeales

y las turbinas Aun si la suma de las fuerzas que actuacutean

sobre un cuerpo es nula eacutestas pueden ejercer un moshy

mento que se denomina par Si un cuerpo estaacute en equishy

librio la suma de los momentos respecto a cualguier punto debido a las fuerzas externas y pares actuantes en

eacutel es igual a cero Antes de que continuacutee su estudio del

diagrama de cuerpo libre y del equilibrio es necesario

que usted se familiarice con los momentos los pares y

el concepto de sistemas equivalentes de fuerzas y moshy

mentos

121

122 CAPITuLO 4 SISTEMAS DE FUERZAS Y MOMENTOS

~ Q~toacutee4 1 Descripcioacuten bidimensional uma de os del momento eacutestas son bid

l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)

Consideremos una fuerza de magnitud F y un punto O en la direccioacuten perpendicular al plano que los contiene (Fig 4 la) La magnitud del momento de la fuerza respecto a O es DF donde D es la distancia pershypendicular de O a la linea de accioacuten de la fuerza (Fig 4lb) La fuerza tiende a causar un giro antihorario alrededor de O Es decir si la fuershyza actuacutea sobre un cuerpo que puede girar alrededor del punto O la fuermiddot za generaraacute un giro antihorario (Fig 41 c) Se dice que el sentido del momento es antihorario Definimos los momentos antihorarios como positivos y los momentos horarios como negativos (Eacutesta es la convenshycioacuten usual aunque encontraremos situaciones en las que seraacute maacutes convemiddot niente definir los momentos horarios como positivos) El momento de la fuerza respecto a O es entonces

(41) I Mo = DFmiddot I Si la liacutenea de accioacuten de F pasa por O la distancia perpendicular U es igual a cero y el momento de F respecto a O tambieacuten es igual a cero

Las dimensiones del momento son (fuerza) X (distancia) Por ejemmiddot plo los momentos se pueden expresar en newton-metro en unidades SI y en lb-pie en el sistema ingleacutes

Se colocaraacute un televisor en una repisa pero iquestla unioacuten de la repisa a la pared es suficientemente fuerte para resistir la carga De manera instinmiddot tiva se colocaraacute el aparato cerca de la pared (Fig 42a) pues es maacutes probable que la conexioacuten falle si se coloca lejos de la pared (Fig 42b) iquestCuaacutel es la diferencia en los dos casos La magnitud y la direccioacuten de la fuerza ejercida sobre la repisa por el peso del televisor son las mismas en ambos casos pero los momentos ejercidos sobre la unioacuten son diferentes El momento ejercido respecto a O por el peso cuando eacuteste se halla cer a de la pared Mo = -n W es de menor magnitud que el momento resmiddot pecto a O M o = -D2 W cuando el peso estaacute lejos de la pared

mo plano PI El momento

Este momen1 gire lo cual J modo que DI carga y al COI

Si descom fuerza res component utiUsimo

Figura 43 Gruacutea de torre

Figura 41 (a) La fuerza F y un punto O (b) Distancia perpendicular D del punto O a la linea de accioacuten de F (e) El sentido del momento es antihorario

t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42

Es- mejor colocar el televisor cerca de la pared (a) y no lejos de ella (b) porque el momento ejercido sobre la unioacuten de la repisa con la pared es menor en el primer caso

Ios siguientes USIIr kl lI_~rrliexcl 1Ulcioacuten del pasos

3

41 DESCRIPCiOacuteN BIDIMENSIONAL DEL MOMENTO 123

Se puede usar el meacutetodo descrito en esta secciOacuten para determinar la suma de los momentos de un sistema de fuerzas respecto a un punto si eacutestas son bidimensionales (coplanares) yel punto se encuentra en el misshymo plano Por ejemplo consideremos la gruacutea mostrada en la figura 43 El momento ejercido respecto a O por la carga W1 y el contrapeso W1 es

Este momento tiende a hacer que la parte superior de la torre vertical gire lo cual podriacutea ocasionar su colapso Si la distancia Dl se ajusta de modo que Diexcl Wiexcl = D1W1 el momento respecto al punto O debido a la carga y al contrapeso seraacute igual a cero

Si descomponemos una fuerza en sus componentes el momento de la fuerza respecto a un punto O es igual a la suma de Jos momentos de sus componentes respecto a O En la prOacutexima secciOn demostraremos este utiliacutesimo resultado

Figura 43 Gruacutea de torre usada en la construccioacuten de edificios altos

Los siguientes ejemplos ilustran algulUlS situaciones en las que se puede usar lil descripcioacuten bidimensional para cakuar momentos La determishylUleloacuten del momento de una fuerza respecto a un punto O requiere tres pasos

l Determinar la distancia perpendicular Se debe determinar la disshytancia perpendicular de O a 0 lInea de accioacuten de la fuerza Si esto resulta difIcil la fuerza se puede separar en componentes para deshyterminar las distancias perpendiculares a las componentes

2 Calcular la magnitud del momento La magnitud del momento es el producto de la fuerza por la distancia perpendicular

3 Determinar el signo El momento se define como positivo si el senshytido del momento (0 direccioacuten en que la fuerza tiende a girar resshypecto a O) es antihorario

124 CAPiTULO 4 SISTEMAS DE FUERZAS Y MOMENTOS

Ejemplo 41

40 kN iquestQueacute valor tiene el momento de la fuerza de 40 kN en la figura 44 respecto al punto A

A ESTRATEGIA Podemos calcular el momento de dos maneras determinando la distancia

~--- 6 m - - --1 perpendicular del punto A a la liacutenea de accioacuten de la fuerza o hacienJo la descomposicioacuten de la fuerza en sus componentes y determinando luego la

Figura 44 suma de los momentos de las componentes respecto a A

SOLUCiOacuteN PrImer meacutetodo De la figura (a) la distancia perpendicular de A a la liacutenea de accioacuten de la fuerza es

D = 6 sen 30deg = 3 m

La magnitud del momento de la fuerza respecto a A es (3 m)(40 kN) = 120 kN-m y el sentido del momento respecto a A es antihorario Por tanto el momento es

M A = 120 kN-m

(a) Determinacioacuten de la distancia perpendicular D

Segundo meacutetodo middotEn la figura (b) separamos la fuerza en sus componenmiddot tes horizontal y vertical La distancia perpendicular de A a la liacutenea de accioacuten de la componente horizontal es cero por lo que la componente horizontal no ejerce momento respecto a A La magnitud del momento de la componente vertical respecto a A es (6 m)(40 sen 30deg leN) = 120 kN-m y el sentido de su momento respecto a A es antihorarlo El momento es

MA = 120 kN -m La urna

Las cuatro puntoO

~ -- 6 m

(b) Descomposicioacuten de la fuerza en componentes


Ejemplo 42

Cuatro fuerzas actuacutean sobre la parte de maacutequina mostrada en la figura 45 iquestQueacute valor tiene la suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen 07

ESTRATEGIA Podemos determjnar los momentos de las fuerzas respecto al punto O direcshy[amente de la informacioacuten dada excepto para la fuerza de 4 kN Determinashyremos su momento separaacutendolas en sus componentes y sumando los momentos de eacutestas

SOLUCiOacuteN

Momento de la fuerza de 3 kN La Ifnea de accioacuten de la fuerza de 3 kN pasa por O No ejerce momento respecto a O

Momento de la fuerza de 5 kN La liacutenea de accioacuten de la fuerza de 5 kN tambieacuten pasa por O No ejerce tampoco momento respecto a O

Momento de la fuerza de 2 kN La distancia perpendicular de O a la linea de accioacuten de la fuerza de 2 kN es 03 m y el sentido del momento res shypecto a O es horario El momento de la fuerza de 2 kN respecto a O es

-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m

(Observe que convertimos la distancia perpendicular de mHiacutemetros a metros para expresar el resultado en teacuterminos de kilonewton-metro)

Momento de la fuerza de 4 kN En la figura (a) incluimos un sistema coordenado y descomponemos la fuerza de 4 kN en sus componentes x y y La distancia perpendicular de O a la Unea de accioacuten de la componente x es de 03 m y el sentido del momento respecto a O es horario El momento de la componente x respecto a O es

-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m

La distancia perpendicular del punto O a la linea de accioacuten de la componente y es de 07 m y el sentido del momento respecto a O es antihorario El moshymento de la componente y respecto a O es

(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m

La suma de los momentos de las cuatro fuerzas respecto a O es

EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m

Las cuatro fuerzas ejercen un momento horario de 0239 kN-m respecto al punto O

4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN

(a) Descomposicioacuten de la fuerza de 4 kN en componentes

--x

126 CAPTTULO 4 SISTEMAS DE FUERZAS Y MOMENTOS

7 pie

Figura 46

Ejemplo 43

El peso de la barra OA de la figura 46 es W =--300 lb La suma de lo momentos respecto a O del peso W y de la fuerza que -ejerce el cable AB sobre la barra OA es igual a cero iquestCuaacutel es la tensioacuten en el 9ble

ESTRATEGIA Sea T la tensioacuten en el cable AB Usando las dimensiones dadas podemos exmiddot presar las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre la barra por el cable en funcioacuten de T Luego haciendo la suma de los momenmiddot tos respecto a O debidos al pe o de la barra y de la fuerza ejercida por el cable igual a cero podemos obtener una ecuacioacuten para T ~

SOLUCION Usando triaacutengulos semejantes descomponemos la fuerza aercida sobre la barra por el cable en componentes horizontal y vertical (Fig a) La suma de los momentos respecto a O debidos al peso de la barra y a la fuerza ejercida por el cable AB es

iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O

Despejando T se obtiene

T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie

(a) Descomposicioacuten de la fuerza ejercida por el cable en sus componentes horizontal Y vertical

42 al punto A

43 Las

~ I

4 1 DESCRIPCiOacuteN BIDIMENSIONAL DEL MOMENTO 127

---------------------1 Problemas ~1IE~L~fra

41 Determine el momento de la fuerza de 50 N respecto (a) al punto A y (b) al punto B de la figura

5m ~N

7 A

P41

42 Determine el momento de (a fuerza de 50 lb respecto (a) al punto A (b) al punto B y (c) al punto e de la figura

A e -

44 Si se ejerce una fuerza de 90 Nobre la llave en la direcshycioacuten mostrada en (a figura iquestqueacute momento se ejerce respecto al centro de la tuerca

P44

f----shy6 pie ----1-shy 4 piacutee --

45 Si se ejerce una fuerza F sobre la llave en la direccioacuten mostrada y se requiere un momento de 50 N-m para aflojar la

P42 tuerca iquestqueacute fuerza F se debe aplicar

43 Las ruedas de la gruacutea aeacuterea ejercen fuerzas de 40 klb sobre la viga I en B y C Determine la suma de los momentos de las fuerzas de 40 klb (a) respecto a A y (b) respecto a D

e---iexcl- IS piacutec -

D

P43

128 CAPITULO 4 SISTEMAS DE FUERZAS Y MOMENTOS

46 En la figura P46 la fuerza de 20 N ejerce un momento antihorario de 20 N-m respecto a P (a) iquestCuaacutel es la distancia perpendicular de P a la I1nea de acshycioacuten de la fuerza (b) iquestQueacute valor tiene el aacutengulo a

p

2 m--------------1

P46

47 Los engranes mostrados ejercen fuerzas de 200 N entre si en sus puntos de contacto (a) Determine el momento respecto a A debido a la fuerza ejercida sobre el engrane izquierdo (b) Determine el momento respecto a B debido a la fuerza ejercida sobre el engrane derecho

P47

48 En la figura P4 la viga AB de 5 pies de longitud fallamiddot raacute en A si el momento de la fuerza F respecto a A excede de 10 pie-klb Con base en tISte criterio iquestqueacute magnitud puede tener la fuerza F7

P4I

49 Con base en la figura P49 determine el momento de fuerza de 80 lb respecto al punto P

p

P41

410 La fuerza F de 20 N mostrada ejerce un momento ano tihorario de 20 N-m respecto al punto P (a) Cuaacutel es la distancia perpendicular de P a la linea de accioacuter deFl (b) iquestQueacute valor tiene el aacutengulo a

F

P41

4 10 Si rariode

llave Un otro teni de ejercer cen ellos s

16 P

bull13 Los aflojar la t el10s se parmiddot bre ella El un par de be ejercer

150lb


(a)

(b)

Figura 21 (a) Puntos A y B de un mecanismo (b) Vector rA B de A a B

Operaciones y definiciones vectoriales

2 1 Escalares y vectores Una cantidad fiacutes ica que puede er descrita por un nuacutemero real se denomishyna escalar El tiempo e una cantidad escalar asiacute como la masa por ejemplo podemos deci r que la masa de un automoacutevil vale 1200 kg

Por el contrario para describir una cantidad vectorial se debe e pecifishycar un nuacutemero real o magnitud y una direccioacuten Dos cantidades vectoshyriales son iguales soacutelo si sus magnitudes y direcciones son iguales

La posicioacuten de un punto en el espacio en relacioacuten con otro punto es una cantidad vectorial Para describir la localizacioacuten de una ciudad con respecto a su casa no es suficiente decir que estaacute a lOO millas Debe decir que estaacute 100 millas al oeste La fuerza tambieacuten es una cantidad vectorial Si empuja m mueble aplica una fuerza de magnitud suficiente para moshyverlo en la direccioacuten deseada

Representaremos vectores con letras en negritas U V W y denoshytaremo la magnitud de un vector U por medio de IU I En trabajos mashynuscritos un vector U se puede representar con los siacutembolos Uuml Uo U rv Un vector se representa graacuteficamente por medio de una flecha La di recshycioacuten de la fle ha indica la direccioacuten del vector y la longitud de la flecha se define como proporcional a la magnitud

Por ejemplo consideremos los puntos A y B del mecanismo de la figushyra 21(a) La posicioacuten del punto B respecto al punto A se puede especifishycar con el vector r A S de la figura 21(b) La direccioacuten de r S indica la dishyreccioacuten del punto A hacia el punto B Si la distancia entre los dos puntos es de 200 mm la magnitud IrA sl = 200 mm

En la figura 22 el cable AB ayuda a soportar la torre La fuerza que el cable ejerce sobre la torre se puede representar con un vector F Si el cable ejerce una fuerza de 800 N sobre la torre IFI = 800 N

22 Coacutemo operar con vectores

Figura 22 Representacioacuten por un vector r de la fuerza que el cable AB ejerce en la torre

Los vectores sirven para representar cantidades fiacutesicas que tienen magnishytud y direccioacuten aunque eso es oacutelo el principio de su utilidad Asiacute como existen reglas para operar con nuacutemeros reale como las de la urna etc exi ten tambieacuten reglas para oper r con vectore Esas reglas proporshycionan una poderosa herramienta para el anaacuteli si en ingenieriacutea

Suma vectorial Cuando un objeto se mueve de un lugar a otro en el espacio decimos experimenta un desplazamiento Si movemos un libro (o maacutes bien punto de un libro) de un lugar de la mesa a otro como se muestra la figura 23(a) podemos representar el desplazamiento con el vector U La direccioacuten de U indica la direccioacuten del desplazamiento y IU I es la dismiddot tancia recorrida por el libro

Supongamos que damos al libro un segundo desplazamiento V como



u + V= w


(a) (b)

(e) - (d)


I---v I v

(a) (b) (e)




(a)

v

u w

(b)



tu u = (-I)U 2=(12)U




y













y




Resta vectorial


u - V = V + (-I)V (2 6)


Vectores unitarios


u = IUle


u IUI = e





iexcl-Vshy(a)

(b)

(e)


(a)

(b)



Ejemplo 21


Figura 211

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN






= (l OO)2 + (60)2 - 2(1 00)(60) cos 150deg



sen (3 sen (Y

F1I 81 IF A8 + FAe

La olucioacuten es


1549


Ejemplo 22


Figura 212

iexcl SOLUCiOacuteN




1F11 IFI



400 sen 60deg

sen 40deg 53B 9 lb



IFBI IFI



400 sen 80deg = 61 2B lb

sen 40deg

F~




~________________________ Problemas~__________ __________~~~ ~

Problemas 21-27

P21-P27












F




L


P211


P212




VIS A UPERIOR

P213


P214



e

P215





Aacute -Y I

l (al (b)


La mag

Las








22 N (05 lb)


11 x 109 N (2 5 IOS lbl



Figura 31



11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb



u + V= w


(a) (b)

(e) - (d)


I---v I v

(a) (b) (e)




(a)

v

u w

(b)



tu u = (-I)U 2=(12)U




y













y




Resta vectorial


u - V = V + (-I)V (2 6)


Vectores unitarios


u = IUle


u IUI = e





iexcl-Vshy(a)

(b)

(e)


(a)

(b)



Ejemplo 21


Figura 211

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN






= (l OO)2 + (60)2 - 2(1 00)(60) cos 150deg



sen (3 sen (Y

F1I 81 IF A8 + FAe

La olucioacuten es


1549


Ejemplo 22


Figura 212

iexcl SOLUCiOacuteN




1F11 IFI



400 sen 60deg

sen 40deg 53B 9 lb



IFBI IFI



400 sen 80deg = 61 2B lb

sen 40deg

F~




~________________________ Problemas~__________ __________~~~ ~

Problemas 21-27

P21-P27












F




L


P211


P212




VIS A UPERIOR

P213


P214



e

P215





Aacute -Y I

l (al (b)


La mag

Las








22 N (05 lb)


11 x 109 N (2 5 IOS lbl



Figura 31



11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb


(a)

v

u w

(b)



tu u = (-I)U 2=(12)U




y













y




Resta vectorial


u - V = V + (-I)V (2 6)


Vectores unitarios


u = IUle


u IUI = e





iexcl-Vshy(a)

(b)

(e)


(a)

(b)



Ejemplo 21


Figura 211

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN






= (l OO)2 + (60)2 - 2(1 00)(60) cos 150deg



sen (3 sen (Y

F1I 81 IF A8 + FAe

La olucioacuten es


1549


Ejemplo 22


Figura 212

iexcl SOLUCiOacuteN




1F11 IFI



400 sen 60deg

sen 40deg 53B 9 lb



IFBI IFI



400 sen 80deg = 61 2B lb

sen 40deg

F~




~________________________ Problemas~__________ __________~~~ ~

Problemas 21-27

P21-P27












F




L


P211


P212




VIS A UPERIOR

P213


P214



e

P215





Aacute -Y I

l (al (b)


La mag

Las








22 N (05 lb)


11 x 109 N (2 5 IOS lbl



Figura 31



11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb


Resta vectorial


u - V = V + (-I)V (2 6)


Vectores unitarios


u = IUle


u IUI = e





iexcl-Vshy(a)

(b)

(e)


(a)

(b)



Ejemplo 21


Figura 211

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN






= (l OO)2 + (60)2 - 2(1 00)(60) cos 150deg



sen (3 sen (Y

F1I 81 IF A8 + FAe

La olucioacuten es


1549


Ejemplo 22


Figura 212

iexcl SOLUCiOacuteN




1F11 IFI



400 sen 60deg

sen 40deg 53B 9 lb



IFBI IFI



400 sen 80deg = 61 2B lb

sen 40deg

F~




~________________________ Problemas~__________ __________~~~ ~

Problemas 21-27

P21-P27












F




L


P211


P212




VIS A UPERIOR

P213


P214



e

P215





Aacute -Y I

l (al (b)


La mag

Las








22 N (05 lb)


11 x 109 N (2 5 IOS lbl



Figura 31



11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb


Ejemplo 21


Figura 211

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN






= (l OO)2 + (60)2 - 2(1 00)(60) cos 150deg



sen (3 sen (Y

F1I 81 IF A8 + FAe

La olucioacuten es


1549


Ejemplo 22


Figura 212

iexcl SOLUCiOacuteN




1F11 IFI



400 sen 60deg

sen 40deg 53B 9 lb



IFBI IFI



400 sen 80deg = 61 2B lb

sen 40deg

F~




~________________________ Problemas~__________ __________~~~ ~

Problemas 21-27

P21-P27












F




L


P211


P212




VIS A UPERIOR

P213


P214



e

P215





Aacute -Y I

l (al (b)


La mag

Las








22 N (05 lb)


11 x 109 N (2 5 IOS lbl



Figura 31



11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb


Ejemplo 22


Figura 212

iexcl SOLUCiOacuteN




1F11 IFI



400 sen 60deg

sen 40deg 53B 9 lb



IFBI IFI



400 sen 80deg = 61 2B lb

sen 40deg

F~




~________________________ Problemas~__________ __________~~~ ~

Problemas 21-27

P21-P27












F




L


P211


P212




VIS A UPERIOR

P213


P214



e

P215





Aacute -Y I

l (al (b)


La mag

Las








22 N (05 lb)


11 x 109 N (2 5 IOS lbl



Figura 31



11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb


~________________________ Problemas~__________ __________~~~ ~

Problemas 21-27

P21-P27












F




L


P211


P212




VIS A UPERIOR

P213


P214



e

P215





Aacute -Y I

l (al (b)


La mag

Las








22 N (05 lb)


11 x 109 N (2 5 IOS lbl



Figura 31



11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb

L


P211


P212




VIS A UPERIOR

P213


P214



e

P215





Aacute -Y I

l (al (b)


La mag

Las








22 N (05 lb)


11 x 109 N (2 5 IOS lbl



Figura 31



11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb




Aacute -Y I

l (al (b)


La mag

Las








22 N (05 lb)


11 x 109 N (2 5 IOS lbl



Figura 31



11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb

11 o 1shy






IWI = mg



Fuerzas de contacto





(a) (b) (e)




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb




iquest





(e) (el)





N

( a) (b)



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb



(a)





(a) (b)

(e)





Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb




Figuro 39 Re~orte



Como

(a)

unre de la e



lar situ ejempl

(e) 313(a) --- Lo-shy

(a)



(d)







d masiado (e)

(d)







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb







klL - Lol = 3000(12 - 1) = 600 N


IFI = koacute


FF

(b)


(a)

IFI








(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb







(a) (b)



(32)













e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb










e

y t IRB

1 --- --- I I I A I A A

I I I I I I I I W I I xL _______ -1

(al (b ) (e)

e

B

A









---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb







---

I I I I I I I


~

A

(a)

t TCD

e

IV

B

la suma de

1TAB

x

(b)







y del cable AB


I I I I I I I I

B

--- I I

L _____ _ _ J

(a)

y

tTCD

e

w B

A

L=====--x (b)






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb






LF = (L FJ i + (1 Fl ) j = 0








ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb



ESTRATE

Neiexclcsitan


r

f


y


Ejemplo 31


Figuro 319

ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN







f == Tco 40 (1000) cos 40deg 766 N



COMENTARIOS


ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb

ISO

1 Y 3)

su ms 100 la

Ejemplo 32


ESTRATEGIA


SOLUCiOacuteN









COMENTARIOS

sen 105deg

1962

1016 N


8




I AC T ~ A(

145

TAB COS 60 -



r~c 450 w= 1962 N

lB 30deg



Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb


Figura 321

Ejemplo 33






SOLUCiOacuteN







~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb




~Fx = N sen 200 - T cos 20 0 = O




N = W cos 200 = (300) cos 200 = 2819 lb


T = N sen 20 0

= (2819) sen 20 0 = 1026 lb

cos 200 cos 200


~Fx = W sen 200 - T = O

~Fy = N - W cos 200 O


N = W cos 20 0 (300) cos 20 0 2819 lb

T = W sen 200 = (300) sen 200 1026 lb


T = k(L - Lo)


T 1026 L = Lo + k = 5 + 200 = 55 1 pIe

COMENTARIOS


L-------------____________ x


y





T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb



T=



Trayecto riiexcll

w

SOLU CiOacuteN





tan ex sen ex


(72 000)(9 8 1) cos 6deg - 680000

(72 000)(981 ) en 6deg + 125 000

01I 3


TEMAS DE DIS











m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb






m~AS DE DISENtildeO



T cos a D

Tsen a + L W







Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb





Problemas





y

~_ ___ _____ x-j~_L-

P3

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb

I

3




P34


B e


P35




A

1 280 mm

1

8 1 P37


P38


F

P39




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb




r------ --- --- -- - - I I I I I I I I I I I I I

P310


P311





P314


P315




P313





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb





P316




P317


P318

P320


3m

1

P321



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb



e

100010

P324


P322


P323

I

PJ25

328 iquest (


12 m


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

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D

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p

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P46


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p

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F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb


I ~-- 17m

P326


tOm

P327





VISTA SUPERIOR

()

411 111

lO ni

P329



~T

P330

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb

ICapiacutetulo 4 I


Llmiddot















mentos

121



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

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Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

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42 al punto A

43 Las

~ I




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D

P43



p

2 m--------------1

P46


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p

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F

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4 10 Si rariode


16 P


150lb



l

1 O

(a)

I

O

~D I

eb)

O

(e)










t----- D2----iexcl

(a) (b)

Figura 42



3











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

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D

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p

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P46


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p

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F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb











Ejemplo 41






D = 6 sen 30deg = 3 m


M A = 120 kN-m




Las cuatro puntoO

~ -- 6 m



Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

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42 al punto A

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p

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F

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16 P


150lb


Ejemplo 42



SOLUCiOacuteN




-(03 m) (2 kN) = -0600 kN-m



-(03 m) (4 cos 30deg leN) = -1039 kN-m


(07 m)(4 sen 30deg kN) = 1400 kN-m


EMo = -0600 - 1039 + 1400 = -0239 kN-m


4kN

Figura 45

y

4sen 30deg k~ 4 k

4co 30deg kN 300 mm

O 3 k i --shy

_ 400 _ mm 300

mm

5 kN


--x


7 pie

Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

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A e -


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D

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p

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p

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F

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16 P


150lb


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Figura 46

Ejemplo 43




iquestMo = (4)(~T) + (4)GT) - (2)W = O


T = 0357W = 1071 lb

3 pie

4pie


42 al punto A

43 Las

~ I




5m ~N

7 A

P41


A e -


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D

P43



p

2 m--------------1

P46


P47


P4I


p

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F

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16 P


150lb




5m ~N

7 A

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A e -


P44






D

P43



p

2 m--------------1

P46


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p

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F

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4 10 Si rariode


16 P


150lb



p

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P4I


p

P41


F

P41

4 10 Si rariode


16 P


150lb

fìsica general. capìtulo 1 estática

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