capítulo 2 - estática de partículas (1)

7/25/2019 Captulo 2 - Esttica de Partculas (1)

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ESTTICA DE PARTCULAS

"Los hombres geniales empiezan grandes obras,

los hombres trabajadores las terminan".

Leonardo da Vinci

Una fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro.

Una fuerza genera el cambio en el estado de esfuerzos, deformacin

y desplazamiento de un cuerpo; pero adems, una fuerza es capazde producir un efecto de rotacin a un cuerpo, cuando ese cuerpopuede rotar alrededor de un cierto punto.

Fuerza, se caracteriza por:

- Punto de aplicacin

- Magnitud o Mdulo

- Direccin

- Sentido

2.1 FUERZAS EN UN PLANO


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Nota:

Las fuerzas, los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones son ejemplos de

magni tudes fsicas que poseen mdulo y di recc in y que suman segn la Ley delParalelogramo.

Estos valores pueden representarse matemticamentepor Vectores, mientras que las

magnitudes fsicas que no tienen direccin (volumen, masa, energa) se representan

mediante nmeros ordinarios o escalares.

Dos fuerzas y que actansobre una partcula o puedenreemplazarse por una solafuerza que tiene el mismo efectosobre la partcula.

A

B

R

2.2 LEY DEL PARALELOGRAMO

Expresiones matemticas que poseen mdulos, direccin y sentido, y quesuman segn la Ley del paralelogramo.

Las Rotaciones finitas de un cuerpo rgido(tienen mdulo y direccin) no se sumanpor la ley del paralelogramo. Pero estasmagnitudes pueden representarse comoflechas (no son vectores).

Nota:

180

Vectores iguales: Mismo mdulo, direccin y sentido.

2.3 VECTORES


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Regla del Polgono, uniendopunta con cola y uniendo losextremos.

Segn la Ley del paralelogramo (observar que por lo general no esigual a la suma de mdulos).

A + B + C

0

A

B

C

P

Q0

P - Q P + Q

2.4 SUMA DE VECTORES

Sobre la partcula o actan las fuerzas coplanarias (contenidas en un mismoplano) y como todas pasan por el punto o se dice que son concurrentes.

B

C

A

B

A

C

o =

o

2.5 RESULTANTE DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTES


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Como un conjunto de fuerzas pueden reemplazarse por una Fuerzanica que tiene el mismo efecto sobre la partcula; inversamente, unafuerza nica F puede reemplazarse por dos o ms fuerzas que, juntas,tienen el mismoefecto sobre la partcula.

Estas fuerzas se llaman Componentes de la fuerza primitiva F, y elproceso se llama Descomposicin de la Fuerza F en suscomponentes.

FF

o

=

Lnea deaccin

Lnea deaccin

=

F1

F2

F1 + F2 = F

o o

F1

F2

NOTA: Se conoce la lnea de accin de los com ponentes

Solucin Grfica oTrigonomtrica

2.6 DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES

PROBLEMA 1:

Dos elementos estructurales B y C estn sujetos con remaches al soporte A,sabiendo que la tensin en el elemento B es 2500 kg y que la tensin en C es2000 kg Determinar el mdulo, direccin y sentido de la fuerza resultante queacta sobre el soporte.

a) Solucin grfica

b) Solucin trigonomtrica

A

B

C40

15

=15

40

B = 2 500 kg = 2,5 tn

C = 2 000 kg = 2 tn


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b) Trigonomtrica:

Se forma un tringulo, dibujando B, C una a continuacin de la otra,determinando los ngulos que son de inters.

a) Grficamente:Se dibuja a escala un paralelogramo, con lados iguales a las fuerzas By C, luego se mide el mdulo y direccin de la resultante:

R = 4 000 kg = 4 tn

= 9,2

R2 = B2 + C2 2BC cos 125

R2 = (2.5)2 + (2)2 2 (2.5) (2) cos 125 = 15,9858

R = 3,998 tn = 4 tn

B = 2.5 tn

2 tn = CR

40

151251540

40

~

c

)(15sen

R

125sen

Se emplea la Ley de Cosenos (se conocen los lados y el ngulo comprendido)

Aplicando la Ley de Senos, se puede determinar el ngulo:

0,409576)( 15sen


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PROBLEMA 2:

Determinar el mdulo, direccin y sentido de la fuerza P, de manera que laresultante de P y la fuerza de 300 kg sea una fuerza vertical de 900 kg dirigidahacia abajo.

300 kg

P

10

a

P R = 900 kg

300 kg

a

10

Por la Ley de Cosenos:

P2 = (300)2 + (900)2 2(300)(900) cos 100

P = 996,88 kg

Por la Ley de Senos:

900 kg = R

90

10

300 kg

P

a

300996,88


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PROBLEMA 3:Un mvil es arrastrado por medio de 2 cables, si la tensin del cable 1 es150 kg.

a) Determinar el mdulo y direccin de la tensin del cable 2, para que laresultante sea una fuerza de 200 kg paralela al eje del mvil.

b) Si el nguloa = 30, determinar la tensin T2 , para que la fuerzaresultante contine siendo paralela al eje del mvil.

c) Encontrar el valor de a, para que la tensin T2 sea la mnima, y el valorcorrespondiente de T2 , si se quiere que la resultante de las dos fuerzasT1 y T2 sea paralela al eje mvil.

15

T2

T1 = 150 kg

a

a) a = ??, T2 = ?? , si R = 200 kg paralela al eje del mvil.

15

T2

T1 = 150 kga

R = 200 kg

Por la Ley de Cosenos:

T22 = (150)2 + (200)2 2(150)(200) cos 15

T2 = 67,41 kg


67,412

150


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b) Si a = 30 T2 = ??, si R es paralela al eje del mvil.

R

135sen

150

30sen

T

15sen

2

c) a = ?? si T2 = mnimo, R es paralela al eje del mvil.

Se requiere formular una funcin:

Y = f (x) o T2 = f ()

T2

T1 = 150 kg

R

T2

T1 = 150 kg

R

135

30 15

15a

Por Ley de Senos:

que haga T2 mnimo

x que haga Y = f (x) mnimo

kg77,6430sen

150T2

kg212,1330sen

150R


Reemplazando:

12 T

sen

T

15sen a

)(fT:sen

1.15senT

sen

15senTT 2112

a

a

900cossen

cos0

d

Td2

2

aaa

a

a

CTE

Kg38,8290sen

TT 12


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Grficamente: Mnimo T2, si se conoce T1 (ngulo y mdulo)

T2 T2

T1

R

15

NOTA: Si buscamos el mnimo T2, para las siguientes condiciones:

Direccin de T1 (ngulo de inclinacin).

Direccin y mdulo de R.

Se determina

con l a mnima

distancia

Lneas de accin de T1

T2

15

R

90

PROBLEMA 4:

La roldana de una gra est sometida a las 3 fuerzas mostradas. Ladireccin de la fuerza F es variable. Determinar, si es posible, ladireccin de la fuerza F, de tal manera que la resultante de las tresfuerzas sea vertical, sabiendo que el mdulo de F es:

a) 240 kg , b) 140 kg

60F1 = 120 kg

a

F2 = 80 kg F


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a)

Resultante vertical, significa que slotiene componente en el eje Y:

Analizamos slo los componentes X de las tres fuerzas:

jRiRR yx

0FR xx

i

ii

i

cos240F

4060cos80F

120F

x

2x

1x

4 8 , 1 9

F1 = 120 kg

F2 = 80 kg

F = 240 kg

a

R

X

Y

b) Rx = -120 40 + 140 cos a = 0 cos a = 1,1428 > 1

Condicin imposible, por lo tanto, No existe para esa magnitud de fuerza.

60

110x6,666cos0cos24040120Rx

R = 100 kg

X

Y

a

F

a

F1 = 70 kg

F2 = 50 kg

2 3

30

FyRy

FxRx

JRyiRxR

FsenFy,cosFFx

PROBLEMA 5:

La resultante de las tres fuerzas representadas debe ser una fuerza de 100kg dirigida hacia la derecha segn la recta a a. Determinar el mdulo,direccin y sentido de la fuerza F.

a


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11

+ 50,0000(= R sen 30o)

+ 86,6025(= R cos 30o)

+ 3,6635+ 1,7450

+ F sena

+ 69,9041+ 49,9645

- F cosa

7050F

F1F2F

COMPONENTE Y

kg(Fy = F sen)

COMPONENTE X

kg(Fx = F cos)

MDULO

kg

FUERZA

69,9041 + 49,9645 F cos a = 86,6025

F cos a = 33,2661 ........... (a)

3,6635 + 1,7450 + F sen a = 50,0000

F sena

= 44,5916 ........... (b)

(Sentido: hacia la izquierda)

DIRECCIN

MDULO

1,340448tag33,2661cosFa

F1 = 80 kg

F2 = 50 kg

20

60

F3 = 60 kg

F4 = 30 kg

senFFy

FcosFx

Fx

FyTag

22 FyFxF

PROBLEMA 6:

Determinar la resultante de las cuatro fuerzas representadas.


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12

Ry = - 17,100Rx = - 110,521

69,282

0

-56,382

- 30,000

- 40,000

- 50,000

-20,521

0

70

50

60

30

F1F2F3F4

COMPONENTE Ykg

(Fy = F sen)

COMPONENTE Xkg

(Fx = F cos)

MDULOkg

FUERZAF1

F2

20

60

F3

F4

70

30

Y

X

Rx

RRy

Y

X

La resultante de las cuatro fuerzas:

J17,100)(i110,521)(R

JRyiRxR

kg111,83617,1000)(110,521)(R 22

8,79510x1,54721110,521

Tag 1

Y

JFyyF

J

i

iFxxF

X

Componentes rectangulares:

Si descomponemos una fuerzaen dos vectores perpendicularesentre si.

F se ha descompuesto en unafuerza Fx, segn el eje X; y unacomponente Fy, segn el eje Y.

F

Por definicin:

i, j: vectores unitarios, vectores de mdulo 1, dirigidossegn los ejes positivos X e Y.

2.7 COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA VECTORES UNITARIOS


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La fuerza puede definirse por:

Las componentes escalares se pueden expresar:

cos = Fx / F Fx = F cos

sen = Fy / F Fy = F sen

Conociendo las componentes rectangulares Fx, Fy de una fuerza F, sedefine su direccin y sentido mediante el ngulo , y el mdulo F de lafuerza aplicando el teorema de pitgoras:

JFyiFxyFxFF

Componentesvectoriales

Componentesescalares

22 FyFxFFx

FyTag

La suma de fuerzas aplicando la Ley del paralelogramo o empleandosoluciones trigonomtricas, se vuelven no prcticas cuando deseamossumar tres o ms fuerzas, ser ms conveniente descomponer las fuerzasen sus componentes rectangulares y adicionar estas:

Y

X

F2

F3

F1

321 FFFR

JFiFJRyiRx 1y1x

JFiF 2y2x

JFiF 3y3x

2.8 SUMA DE FUERZAS POR ADICIN DE COMPONENTES X e Y


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Las componentes escalares Rx, Ry de la resultante R, se obtienensumando algebraicamente las componentes escalares, correspondientesa las fuerzas dadas.

Nota:Evidentemente, esta conclusin se aplica tambin a la suma de otras magnitudesvectoriales (velocidad, aceleracin, etc.).

y3y2y1yy

x3x2x1xx

FFFFR

FFFFR

Recordemos, que una fuerza genera cambios en el estado de esfuerzos,deformacin y desplazamiento de un cuerpo; pero adems, puedeproducir un efecto de rotacin, cuando el cuerpo es capaz de rotaralrededor de un cierto punto.

Momento de una fuerza, o torque, es una magnitud vectorial quecuantifica la rotacin que una fuerza produce a un cuerpo, cuando esecuerpo puede rotar alrededor de un punto que se considera fijo.

En qu caso ser m sfc il af lo jar la tuerca de lallanta del carro?

2.9 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO

(MOMENTO ESTTICO)


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FM

X

M

Z

F

Y

rp

d

0

M = ( r x F )ocon respectoal origen

A (ndice)

Magnitud: u = | r x F | = r F sen

= F d Direccin: Es perpendicular al plano que contiene F y r

Sentido: Esta dada por la regla de la mano derecha

Pto. de Aplicacin: Es O (origen) vector ligado

B (Medio)(Pulgar) C C = A x B

Menor ngulocomprendido


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Nota:

Se puede demostrar que P es un punto arbitrario en la lnea de direccin del vector F.

r x F = r1 x F

Se puede demostrar que:

r1 = r + n F

r1 x F = ( r + n F) x F

Si n es un escalar (Longitud / Fuerza)

r1 x F = r x F + n F x F

o

r1 x F = r x Flqqd

o

r

P

r1 P'

F

F

nF

M

EXPRESIN CARTESIANA:

X

i

KrJrirr

KFJFiFF

zyx

zyx

FxrMo

zyx

zyx

FFF

rrrKJi

Y

Z

K

J

. P (X,Y,Z)

oM zy

zy

FF

rr

zx

zx

FF

rr

yx

yx

FF

rr

i

J

K

Respecto al origende las coordenadas


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MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO O' CUALQUIERA:

X

KrJrirr

KFJFiFF

zyx

zyx

Y

Z

r1

a

o' ( X ',Y ', Z )

(0, 0, 0)

r

o

F 1

1111

rra

)KZJYiX(r

)Z',Y',(X'o'

zyx

zyx'o

'o

zyx

FFF

'zr'yr'XrM

KJi

FxaM

K)'Zr(J)'Yr(i)'Xr(a

X

i

Y

Z

K

Jo

r

F1

F2 F3 R

Fn

p

oii

n

o

n

n

n

FxrRxr

FxrFxrFxrRxr

FFFxrRxr

ZYXPFFFR

)()(

...

)...(

),,(...

1

21

21

21

2.10 TEOREMA DE VARIGNON

El momento respecto a un punto dado (o) de la resultante de variasfuerzas concurrentes (R) es igual a la suma de los momentos de lasfuerzas (F1 , F2 , F3 Fn) respecto al mismopunto (o).

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