Esttica grfica

Arbotantes de la catedral de ChartresLas curvas funiculares poseen la interesante propiedad de reducir un sistema de fuerzas a una lnea de tensiones. En sistemas de construccin tradicionales, es necesario que exista una lnea de presiones contenida en el volumen de la estructura. Esto hace que el estudio de las curvas funiculares preste una valiosa ayuda en algunas estructuras arquitectnicas, como se ver en los siguientes epgrafes donde se concretarn estas ideas.1Polgonos funicular y de VarignonCuando slo se consideran las fuerzas concentradas que actan sobre un hilo, debido a que las densidades lineales de fuerza son despreciables, la curva funicular, segn se ha deducido anteriormente, es una curva poligonal o polgono funicular. Sus vrticesAicoinciden con los puntos de aplicacin de las fuerzasFi; en sus lados adyacentesti,ti+1las tensionesTi,Ti+1son constantes. La ecuacin de equilibrio, aplicada a cada punto esTi=Ti+1-Ti= -Fi

Grficamente, esta ecuacin implica que en cada vrtice, la fuerza y los lados adyacentes son coplanarios.Si se representa grficamente la suma vectorial de fuerzasFi, se tendr otra lnea quebrada, llamadapolgono de Varignon. Sus vrticesBiverifican queBiBi+1=Fi

Razonando sobre el polgono de Varignon, puede representarse la suma vectorialTi+1-Ti= -Fi

de forma que el vectorTi=BiPirepresente la tensin del lado i-simo. La ecuacin de equilibrio resultaBi+1Pi+1+PiBi+BiBi+1=PiPi+1= 0

es decir,Pi=Pi+1==Pn, lo que significa que los extremos del vector tensin coinciden en un puntoP, llamadopolo del polgono de VarignonLa consideracin anterior implica que si se trazan paralelas a los lados funiculares desde los vrtices del polgono de Varignon, se obtiene una radiacin de rectas concurrentes. El punto en el que se cortan es el polo del polgono de Varignon.Obviamente existen mltiples configuraciones funiculares que equilibren un sistema dado de fuerzas, lo que se traduce en la existencia de mltiples polos y polgonos funiculares para dicho sistema.En todo caso, el sistema de fuerzas que actan sobre el hilo{ {Fi}i= 1n,Tn+1,-T1}

debe ser nulo, lo que implica que ste reduce un sistema cualquiera de fuerzas a otro equivalente formado por nicamente dos fuerzasT1,-Tn+1

sobre los lados 1,n+1 del polgono funicular. Por lo tanto, cuando el sistema de fuerzas tiene resultante nula, los lados extremos del funicular deben ser paralelos, mientras que el polgono de Varignon es cerrado. Si el sistema de fuerzas es nulo desde el punto de vista de los sistemas de vectores deslizantes, los dos polgonos han de ser cerrados.2ArcosUn arco es una estructura de forma curva cuya misin es soportar una carga (a veces su propio peso) dejando un espacio difano o vano en su parte inferior. Cuando est formado por dovelas con caras planas, el anlisis del equilibrio es el siguiente.

Figure 1: Polgono funicular de un arco de medio puntoSeadila coleccin de dovelas,Fiel vector deslizante que representa la carga que soporta la doveladi,Tiel vector deslizante que representa la fuerza que ejerce la doveladisobre la doveladi-1. Dado que el sistema de fuerzas entre dovelas debe ser de compresin, la recta soporte deTidebe cortar la cara plana que separa las dovelasdi,di-1. La condicin de equilibrio esTi+1-Ti+Fi= 0

que coincide con la que define los polgonos funiculares. Si existe un coeficiente de rozamientoentre las dovelas, la fuerzaTino tiene que ser normal a la superficie de separacin, sino que basta con que forme con la normal un ngulo menor que el atan. En el arco, pues,debe existir un polgono funicular del sistemaFien el que la recta soporte del lado i-simo corte la cara de separacin entredi,di-1, bajo el ngulo que permita el rozamiento(la tangente del ngulo que forme la normal a la cara con el lado del polgono debe ser menor que el coeficiente de rozamiento). sta constituye la condicin de equilibrio del arco.Obviamente, cuanto mayor sea el espesor del arco, ms probabilidades tiene de contener un funicular adecuado. En arcos muy estrechos, su forma debe haberse calculado con exactitud de manera que su forma sea la de un polgono funicular del sistema de fuerzas que debe soportar.2.1Problema 1Se desea construir un arco semicircular (de medio punto), de radio medio R con cuatro dovelas, como muestra la figura. El peso de cada dovela debe serfy la componente horizontal la reaccin sobre los arranques tambin ha de ser como mnimof. Obtenga el espesor mnimo del arco.En el siguiente applet puede apreciar la variacin de la curva funicular de un arco de medio punto. Puede fijar la posicin del vrtice (ajustada con la barra vertical derecha), la componente horizontal de la tensin (barra horizontal) y el espesor del arco (barra vertical izquierda). La curva funicular corresponde a una densidad angular (con vrtice en el centro del arco) de fuerzas constante. Para que el arco no se desmorone es necesario que exista una curva funicular contenida ntegramente en su espesor, as como que el rozamiento permita el ngulo de inclinacin de la curva funicular respecto a las normales a los planos de las dovelas.

En primer lugar se traza un polgono funicular del sistema de pesos de las dovelas

Figure 3:SeayA=R

y seanr1,r2,r3las distancias al origen (centro del arco) de las intersecciones de los lados correspondientes del polgono funicular con las superficies de separacin de las dovelas. Mediante razonamientos geomtricos es inmediato quer1=R

r2=2

2R+2

2Rsen/8

r3=1

2R+cos/8 + sen/8

2R

Para comparar estos valores en funcin de gamma se pueden representar las rectas correspondientes.

Figure 4:Los valores extremos cuya media esRsonra= 0,8978R

rb= 1,1022R

Ntese que este problema es equivalente al del diseo de una semibveda o incluso un arbotante circular que equilibre un empuje horizontalf.2.1Problema 2

Se desea construir un arco semicircular (de medio punto), de radio medio R con cinco dovelas, como muestra la figura. El peso de cada dovela debe serfy la componente horizontal la reaccin sobre los arranques tambin ha de ser como mnimof/2. Obtenga el espesor mnimo del arco. Puede considerar que el centro de gravedad de cada dovela se encuentra en su circunferencia media.

Por consideraciones geomtricas, se tienen las siguientes coordenadas para los puntosA,B,C,D,E, con cuatro decimales en las razones trigonomtricas.xA=r1sen

10 = 0.3090r1

yA=r1cos

10 = 0.9511r1

xB=rsen

5= 0.5878r

yB= 1.2601r1- 0.5878r

xC= 0.3381r10.3155r

xD= 0.9511r

yD= 1.2601r1- 1.6776r

xE= 0.252r1+ 0.6156r

con lo querA=r1

rC= 0.4179r1+ 0.39r

rE= 0.252r1+ 0.6156r

Los valores extremos cuya media esrsonrc= 8645rre= 0.901rra= 1.1355r

Figure 6:A continuacin se muestra un applet de un arco de mltiples dovelas.

3MurosUna aplicacin directa de las propiedades de los polgonos funiculares lo constituyen los muros. stos deben soportar, adems de su propio peso, el empuje adicional proporcionado por vigas o arcos que cargan su parte superior. Puede considerarse el muro, formado por sillares, como un caso particular de arco, en el que todas las fuerzas tienen la misma lnea de accin. Considrese, en primer lugar, el puntoQinterseccin de la carga que soporta el sillar superior del muro con la recta soporte de los pesos de los propios sillares.En el siguiente applet puede variar la altura del arco (deslizador derecho), la anchura de la pared (deslizador superior), la densidad de su material (deslizador izquierdo) y el peso vertical superpuesto (deslizador inferior), observando la curva funicular en el muro. Si transciende sus dimensiones, la pared se desmoronar.

Considrese el polgono de Varignon del sistema de fuerzas, con polo enP. Obviamente, las pendientes de los lados del polgono funicular serntank= tan0+kf

T0

dondeT0es la componente horizontal deTi. Si la altura de cada sillar esh, su anchura esey el peso por unidad de superficie vista esq, entoncesf=qhe. Tomando origen de coordenadas enQ, y ejesxhorizontal eyvertical ascendente, se tieneyk= -kh

yxk= -yk-yQ

tan0+kqhe

T0

con una asntota vertical enx=T0

qe

Para que un muro alto aguante, debe verificarse quex=T0

qee

2e2T0

q1/2

4Esttica grficaLas propiedades de los polgonos funiculares permite resolver problemas de esttica, como el siguiente:Sea un slido rgido apoyado sobre una articulacin fija en A y una mvil en B segn muestra la figura. Sobre el slido actan las fuerzasF2,F3,F4cuyas lneas de accin se dan en el funicular y mdulos en el polgono de Varignon. Se trata de encontrar las reacciones en A (F1) y B (F5) que equilibran el sistema.

Figure 6:Considerando que los polgonos funicular y de Varignon deben ser cerrados para cualquier hilo en equilibrio bajo el sistema de fuerzas, puede comenzarse seleccionando un polo del polgono de Varignon y dibujando un funicular que pase por A. Obviamente, ni el ladot1ni el ladot6pueden dibujarse, pues faltan los vrticesB1,B6del polgono de Varignon. SIn embargo, la condicin de cierre del polgono funicular s permite, una vez establecidos el resto de los lados, trazart1,t6, imponiendo la clausura del polgono. Dado que se conoce la direccin deF5,B6se debe encontrar sobre la recta paralela desdeB5; la paralela at1,t6desde el polo de Varignon corta a la recta anterior enB6. Finalmente, la clausura del polgono de Varignon hace queB1=B6, con lo queF1,F5quedan totalmente determinadas.

En sistemas planos de fuerzas, los polgonos funiculares no tienen porqu ser planos; no obstante, si el primer lado se encuentra en el plano de las fuerzas, o dos puntos lo estn, entonces todo el polgono es coplanario con el sistema de fuerzas.Sean dos polgonos funiculares planos correspondientes al mismo sistema plano de fuerzas {F}i; obviamente, para cada fuerza, se puede escribirFi{Ti,-Ti+1}{Ti,Ti+1}

lo que implica{Ti,-Ti}{Ti+1,-Ti+1}

dado que las resultantes de ambos sistemas deben ser iguales se tieneBiP-BiP=BiP-BiP=PP

SeaSi=tities decir, la interseccin de los lados de los dos funiculares. El sistema de vectores deslizantes formado por el vectorPPaplicado enSies equivalente al formado por el mismo vector libre aplicado enSi+1, lo que implica queSi,Si+1se encuentran alineados sobre una recta paralela al vectorPP. Esto implica que para sistemas planoslas intersecciones de los lados homnimos de dos funiculares de un mismo sistema de fuerzas se encuentran alineadas en una recta, que recibe el nombre de recta polar.El concepto de recta polar facilita la realizacin de un funicular que pase por tres puntos dadosA,B,C. Sea un sistema de fuerzas {F}i; este sistema puede equilibrarse mediante dos fuerzas paralelas a la resultante que pasen porA,B, segn se ha descrito en la seccin anterior. El polgono funicular entonces hallado pasaba porA, pero no porB. No obstante, si se elige un nuevo polo en el polgono de Varignon, en el que el vrticeQen el que se encuentran las fuerzas equilibrantes cumpla quePQsea paralelo aAB, el ltimo lado del polgono funicular de las fuerzas dadas pasar, obviamente, porB. La recta polar del polgono buscado y la de este ltimo ser la que contiene a los puntosA,B; por lo tanto, las intersecciones de esta recta con los ladostide ste pueden determinarse y en concreto la interseccin con la recta polar del lado del polgono buscado que contenga aC. A partir de estos puntos, puede trazarse el polgono de forma inmediata.