estÁtica irrigaciÓn

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO

DEPARTAMENTO DE IRRIGACIÓN

Ramón Lobato Silva

Ramón Lobato Silva

Chapingo, México, agosto de 2012

ESTÁTICA

ESTÁTICA IRRIGACIÓN

2

PRESENTACIÓN

En el marco del proceso docente educativo encaminado hacia la formación de profesionales en

irrigación, la Estática representa una asignatura básica del plan de estudios de la carrera de

Ingeniería en Irrigación. Esto, entre otras razones, porque durante su explotación todas las

estructuras invariablemente se ven sometidas a la acción de sistemas de fuerzas.

La Estática, como la rama de la Mecánica, estudia un aspecto de los efectos externos de la fuerzas

sobre los cuerpos o sistemas: las condiciones de equilibrio mecánico; la Dinámica, por su parte,

estudia otro aspecto de los efectos externos: la relación entre las fuerzas y el movimiento;

mientras que en la Mecánica de Materiales, se estudian los efectos internos de las fuerzas,

principalmente lo relativo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad elástica de elementos de

máquinas y estructuras.

Por tratarse de una asignatura básica para el estudio de la ingeniería, el contenido del curso de

Estática contribuye a la adquisición de los conocimientos imprescindibles para la comprensión de

los fundamentos del objeto de la carrera, y para la formación en ingeniería del futuro profesional

en irrigación. En particular, los conocimientos y habilidades que se adquieran en Estática

resultarán esenciales para la asimilación de asignaturas subsecuentes del plan de estudios, a

saber: Dinámica, Mecánica de Materiales, Hidráulica, Análisis Estructural, Concreto,

Construcciones Ingenieriles Agropecuarias y Obras Hidráulicas.

Como sucede con cualquier asignatura básica de ingeniería, todos los conceptos que se estudian

en Estática tienen un significado físico bien definido y ofrecen posibilidades de aplicaciones

básicas o fundamentales, que permiten comprender los fenómenos físicos, así como predecir el

funcionamiento y la respuesta de los sistemas de ingeniería en relación con los efectos externos

de las fuerzas que actúan sobre ellos; aplicaciones prácticas o de ingeniería, para el análisis y

diseño de componentes de máquinas y estructuras; y aplicaciones académicas, para el estudio de

otras disciplinas de la ingeniería y asignaturas del plan de estudios de la carrera.

La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico de

los cuerpos y establece los métodos generales para la solución de los problemas relacionados con

este tipo de movimiento. El movimiento mecánico (o simplemente movimiento) se refiere al

cambio de posición de los cuerpos, unos con respecto a otros, que sucede en el transcurso del

tiempo, así como a la variación de la posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es

decir, la deformación de este último. El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de

movimiento, de cuyo estudio se encarga la rama de la Mecánica denominada Estática.

Con mayor precisión, el objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las propiedades

generales de las fuerzas y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a la acción de

fuerzas.

En correspondencia con las consideraciones anteriores, el contenido del presente curso incluye la

presentación y derivación de la teoría de los sistemas de fuerzas y del equilibrio mecánico de los

cuerpos o sistemas -conceptos, definiciones, teoremas y principios- y sus aplicaciones a la

solución de problemas. Se procura hacer una exposición lo más unificada y concisa posible, es


3

decir, hacer la deducción de las ecuaciones para las categorías más generales de sistemas de

fuerzas y, a partir de ellas, obtener las correspondientes a los sistemas más simples. Se hace uso

intensivo del formalismo matemático correspondiente al Álgebra Vectorial.

Finalmente, a pesar de que la asignatura de Estática es de naturaleza básica y de tipo teórico, y,

no obstante, que sus leyes y teoremas son muy pocos, la asimilación de su contenido, así como la

habilidad para su aplicación a situaciones reales, requiere un alto nivel de entrenamiento. Por esta

razón la parte práctica del curso se desarrolla mediante la formulación y solución de numerosos

problemas, unos de valoración académica, con el propósito de asimilar los conceptos y teoría

básica de la asignatura; otros relacionados con el ejercicio de la profesión, para motivar la

solución de problemas que se presentarán en la vida profesional; y algunos orientados hacia la

investigación, a fin de inducir actitudes hacia la búsqueda de nuevos conocimientos que

fomenten la creatividad y el trabajo independiente del futuro profesional. En todos los casos es

imprescindible la participación activa del estudiante, tanto en las clases como fuera de ellas.

OBJETIVOS GENERALES:

Analizar los conceptos y leyes correspondientes a: la composición y descomposición de

fuerzas; la reducción de los sistemas de fuerzas a su expresión más simple; y la

determinación de las condiciones de equilibrio de los sistemas de fuerzas que actúan sobre

un cuerpo rígido. Todo a través de sus aplicaciones al análisis y diseño de sistemas en

equilibrio.

Valorar la importancia del conocimiento y comprensión de los conceptos de las ciencias

básicas de la ingeniería, para lograr su aplicación a problemas de análisis y diseño de

sistemas.

CONTENIDO: UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA ............................................................. 7

1.1 Caracterización de la Estática ........................................................................................................... 7

1.2 El papel de la Estática en la ingeniería ........................................................................................... 10

1.3 Dimensiones y unidades de las magnitudes físicas ........................................................................ 11

1.4 Algebra vectorial ............................................................................................................................ 27

1.5 Leyes de la Mecánica Clásica: Leyes de Newton …………………………………………………………………………45

1.6 Conceptos fundamentales de la Estática ........................................................................................ 51

1.7 Axiomas de la Estática .................................................................................................................... 54

1.8 Fuerzas y sistemas de fuerzas ......................................................................................................... 56

1.9 Composición y descomposición de fuerzas .................................................................................... 57

1.10 Momento de una fuerza .............................................................................................................. 61


4

1.11 Teorema de Varignon o principio de los momentos .................................................................... 63

1.12 Par de fuerzas .............................................................................................................................. 70

1.13 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza: reducción fuerza - par ................................ 73

1.14 Fuerzas distribuidas ...................................................................................................................... 75

1.15 Reducción de los sistemas de fuerzas: resultantes...................................................................... 77

UNIDAD 2. EQUILIBRIO .................................................................................................... 82

2.1 Definición de equilibrio ................................................................................................................... 82

2.2 Condiciones de equilibrio ............................................................................................................... 82

2.3 Apoyos y sus reacciones ................................................................................................................. 83

2.4 Diagrama de cuerpo libre (DCL) ...................................................................................................... 86

2.5 Formas independientes de las condiciones de equilibrio ............................................................... 88

2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos.............................................................................................. 89

2.7 Solución de problemas de equilibrio .............................................................................................. 89

2.8 Equilibrio de partículas ................................................................................................................... 90

2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos .......................................................................................................... 96

2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas ....................................................................................... 114

UNIDAD 3. FRICCIÓN SECA ........................................................................................... 129

3.1 Principios básicos .......................................................................................................................... 129

3.2 Leyes de la fricción seca ................................................................................................................ 130

3.3 Problemas generales ..................................................................................................................... 131

3.4 Problemas especiales: cuñas y bandas ......................................................................................... 135

UNIDAD 4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES PLANAS

................................................................................................................................................ 140

4.1 Centro de gravedad, centro de masas y centroides. .................................................................... 140

4.2 Momento estático ........................................................................................................................ 145

4.3 Momento de inercia ..................................................................................................................... 147

4.4 Producto de inercia ....................................................................................................................... 148

4.5 Momento polar de inercia ............................................................................................................ 150

4.6 Ejes principales y momentos principales de inercia ..................................................................... 151

4.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero…………………………..…………………155


5

UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS ................. 158

5.1 Método de secciones .................................................................................................................... 158

5.2 Componentes de fuerzas internas. ............................................................................................... 163

5.3 Cálculo de fuerzas internas. .......................................................................................................... 164

5.4 Armaduras..................................................................................................................................... 168

5.5 Vigas: diagramas de fuerzas internas ........................................................................................... 172

5.6 Marcos. ......................................................................................................................................... 184

METODOLOGÍA DIDÁCTICA:

Con el propósito de facilitar la adquisición de conocimientos, el profesor, al inicio de cada tema,

realizará clases teóricas, donde se hará el análisis de los conceptos y leyes principales.

Para desarrollar habilidades en la aplicación de la teoría, el profesor realizará clases prácticas,

donde se resolverán problemas representativos de cada tema. Este tipo de clases representarán

más del 50% del curso.

Durante las clases prácticas se hará énfasis en los aspectos metodológicos para la solución de los

problemas y se promoverá la participación activa del estudiante.

Con el fin de fomentar el trabajo independiente por parte de los estudiantes, para cada tema el

profesor indicará la lectura de material bibliográfico, que permita complementar las clases del

curso; asimismo, se asignarán problemas para que sean resueltos por los estudiantes como tareas.

EVALUACIÓN:

Evaluaciones frecuentes 10%

Cinco exámenes parciales 60%

Tareas y trabajos 30%

BIBLIOGRAFÍA:

Texto:

Meriam, J. L. and Kraige, L. G. 2012. “Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics, 7th

. ed.,

John Wiley and Sons, Inc., New York, U.S.A.


6

Consulta:

Beer, F.P.; Johnston, E.R. and Eisenberg R.E. 2010 “Vector Mechanics for Engineers”,

Vol. 1, Statics 9th

ed. SI, McGraw-Hill Book Co. Singapore.

Boresi, A.P. and Richard J. Schmidt. 2001.”Engineering Mechanics”, Vol. 1, Statics.

BROOKS/COLE, U.S.A.

Hibbeler, R.C. 2010. “Engineering Mechanics” Statics, 12th

ed. Prentice-Hall. U.S.A.

Soutas-Little, R.W.; Inman, D.J. and Balint, D. S. 2008. “Engineering Mechanics”, Vol.

1. Statics, THOMSON.


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UNIDAD 1. FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA Objetivo:

Desarrollar los métodos y procedimientos para la composición y descomposición de fuerzas, y

para la reducción de los sistemas de fuerzas aplicadas a un cuerpo a su expresión más simple, a

fin de facilitar la predicción de los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas.

Temas:

1.1 Caracterización de la Estática

1.2 El papel de la Estática en la ingeniería

1.3 Dimensiones y unidades de las magnitudes físicas

1.4 Algebra vectorial

1.5 Leyes de la Mecánica Clásica: Leyes de Newton

1.6 Conceptos fundamentales de la Estática

1.7 Axiomas de la Estática

1.8 Fuerzas y sistemas de fuerzas

1.9 Composición y descomposición de fuerzas

1.10 Momento de una fuerza

1.11 Teorema de Varignon o principio de los momentos

1.12 Par de fuerzas

1.13 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza: reducción fuerza - par

1.14 Fuerzas distribuidas

1.15 Reducción de los sistemas de fuerzas: resultantes

1.1 Caracterización de la Estática

¿Cuál es el objeto de la Mecánica?

La Estática es parte de la Mecánica, y ésta es una rama de la Física.

La Física es la ciencia que estudia los diferentes tipos de movimientos de la materia y sus

transformaciones mutuas, así como la estructura y propiedades de las formas concretas de la

materia (sólidos, líquidos, gases y campos). La palabra Física es de origen griego y significa

naturaleza; como ciencia se inicia con Galileo (1564-1642).

La Mecánica es la rama de la Física que estudia las leyes generales del movimiento mecánico (o

simplemente el movimiento) de los cuerpos, y establece los métodos generales para la solución

de los problemas relacionados con este tipo de movimiento. La palabra Mecánica es de origen

griego y significa construcción, máquina o invento; aparece por primera vez en las obras de

Aristóteles (384-322 a.C.).


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El movimiento mecánico se refiere a los cambios de posición (desplazamientos) de los cuerpos,

unos con respecto a otros, que suceden en el transcurso del tiempo, así como la variación de la

posición relativa de las partículas de un mismo cuerpo, es decir, la deformación de este último.

El estado de reposo de los cuerpos es un caso especial de movimiento, de cuyo estudio se encarga

la parte de la Mecánica denominada Estática.

Problemas fundamentales de la Mecánica como ciencia.

1. El estudio de diferentes movimientos y la generalización de los resultados obtenidos en

forma de leyes, con ayuda de las cuales pueda predecirse el carácter del movimiento en

cada caso concreto.

Así se han establecido, por ejemplo, las leyes y teoremas de la Dinámica y, en particular, de la

Estática.

2. La búsqueda de propiedades generales, propias de cualquier sistema,

independientemente de la especie concreta de interacción entre los cuerpos de éste.

Así se han descubierto las leyes de conservación: de la energía, de la cantidad de movimiento y

del momento de la cantidad de movimiento.

¿Cuáles son las divisiones o campos de la Mecánica?

Como ocurre en toda la Física, la clasificación más general de la Mecánica es como sigue:

Se llama Mecánica Clásica, la Mecánica basada en las tres leyes de Newton. Actualmente la

Mecánica Clásica es todo un conjunto de asignaturas técnicas, generales y especiales, dedicadas a

la investigación del movimiento de los cuerpos sueltos y de sus sistemas, al análisis y diseño de

distintas obras de ingeniería, especialmente estructuras, máquinas y procesos. Dependiendo de la

naturaleza de los problemas que se examinan, la Mecánica Clásica se divide en:

Velocidad

Mecánica Clásica Relativista

Mecánica Cuántica Relativista

Cosmología Relativista

Mecánica Cuántica

MECÁNICA

CLÁSICA Cosmología

10-15 10-10 1020

c

c

Dimensiones (m)

?

?


9

¿Qué estudia la Estática?

El objetivo de la Estática, como ciencia, es el estudio de las propiedades generales de las fuerzas

(como magnitudes físicas vectoriales) y las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos

a la acción de fuerzas.

Problemas generales de la Estática como ciencia.

1. Establecer los métodos para la composición y descomposición de fuerzas y la reducción

de los sistemas de fuerzas, aplicadas a un cuerpo, a su expresión más simple. Esto con el

propósito de predecir los efectos externos de las fuerzas sobre los cuerpos o sistemas.

2. Determinar las condiciones de equilibrio de los cuerpos, sometidos a la acción de

sistemas de fuerzas, y su aplicación al análisis y diseño de sistemas de ingeniería,

principalmente máquinas y estructuras en general.

Problema 1/1. La siguiente armadura asimétrica se utiliza en instalaciones para sistemas de

captación de energía solar. Las cinco fuerzas verticales se deben al peso de la cubierta y la fuerza

de 400 N, perpendicular a la línea ABC, representa el efecto de la presión del viento. Para este

sistema formule dos problemas típicos de Estática.

Prob. 1/1

ESTÁTICA

DINÁMICA

MECÁNICA

CLÁSICA

DE CUERPOS

RÍGIDOS

DE CUERPOS

DEFORMABLES

DE FLUIDOS

CINÉTICA

CINEMÁTICA

MECÁNICA DE MATERIALES

TEORÍA DE LA ELASTICIDAD

INCOMPRESIBLES (Hidráulica)

COMPRESIBLES (Neumática)


10

α A

B

OH

h

1.2 El papel de la Estática en la ingeniería

¿Qué actitud se debe asumir al emprender el estudio de la Estática en una carrera de

ingeniería?

El estudio de cualquier ciencia básica de ingeniería incluye dos aspectos fundamentales, a saber:

1º. El entendimiento de los conceptos y leyes de la asignatura o disciplina. Esto se logra mediante

el estudio y análisis de las deducciones teóricas correspondientes.

2º. La aplicación de estos conceptos y principios a situaciones físicas concretas. Esto se logra

mediante la solución de problemas.

¿Cuál es el papel de la asignatura de Estática en la carrera de Ingeniería en Irrigación?

Todos los conceptos, principios y leyes que se estudian en Estática tienen un significado físico

bien definido y ofrecen las siguientes posibilidades de aplicaciones:

1. Aplicaciones básicas o fundamentales: Útiles para comprender y predecir la respuesta

de los fenómenos físicos y el funcionamiento o comportamiento de sistemas de ingeniería

(máquinas, estructura y procesos).

2. Aplicaciones prácticas o de ingeniería: Importantes para el análisis y diseño de sistemas

de ingeniería.

3. Aplicaciones académicas: Necesarias para la asimilación y comprensión de otras

asignaturas y disciplinas de ingeniería.

Problema 1/2. La compuerta rectangular AB en un canal de riego puede girar alrededor del eje O.

Si el nivel de agua es bajo, la compuerta permanece cerrada; pero cuando el agua alcanza un

cierto nivel H, la compuerta gira alrededor del eje en O, y abre el canal. Formular un problema

correspondiente a cada una de las aplicaciones anteriores.

Prob. 1/2


11

Aquí es oportuno precisar la misión de la ingeniería. De acuerdo con la ABET (the Accreditation

Board for Engineering and Technology):

“La Ingeniería es la profesión en la cual el conocimiento de las ciencias matemáticas y

naturales – obteniendo a través del estudio, la experiencia y la práctica – se aplica con criterio

para desarrollar modos para la utilización económica de los materiales y fuerzas de la

naturaleza para el beneficio de la humanidad”. Esto incluye, en particular, el análisis y diseño de

estructuras, máquinas y procesos.

En otras palabras la ingeniería es la aplicación de la ciencia a los propósitos de la sociedad.

1.3 Dimensiones y unidades de las magnitudes físicas La densidad de un suelo; la viscosidad dinámica de un líquido; la velocidad angular de un

elemento de máquina; la conductividad térmica de un material de construcción; la presión de

un sistema hidráulico; la energía cinética de un cuerpo en rotación; la fuerza de tracción de un

vehículo; la potencia de un motor; la temperatura de un proceso termodinámico; la resistencia

eléctrica de un conductor; el momento de inercia de la sección transversal de una viga; el

módulo de elasticidad del acero; son algunos ejemplos de magnitudes o cantidades físicas.

¿Qué son o qué representan las magnitudes físicas?

Las magnitudes físicas son los conceptos que definen las propiedades de los cuerpos o las

características de un proceso, cuyas variaciones siempre han de determinarse cuantitativamente

por medio de mediciones, es decir, comparando la magnitud física en cuestión con otra

magnitud determinada de la misma especie que se toma como unidad.

A las magnitudes físicas también se les llama cantidades físicas o variables físicas.

¿A qué se llama unidad de una magnitud física?

Se llama unidad de medición, o simplemente unidad, de la magnitud física A, a una magnitud

física elegida convencionalmente que tiene el mismo sentido físico que dicha magnitud A.

¿Cómo se dividen, para facilitar su manejo, las unidades de las magnitudes físicas?

Convencionalmente se dividen en unidades básicas o fundamentales y en unidades derivadas o

secundarias.

a) Las unidades básicas se establecen de forma arbitraria e independientes unas de otras. Se

definen por medio de procesos físicos invariables o mediante prototipos normalizados.

Ejemplos de unidades básicas, según el Sistema Internacional de Unidades, son el metro,

el segundo y el kilogramo, para la longitud, el tiempo y la masa, respectivamente.


12

b) Las unidades derivadas se expresan a través de las fundamentales con ayuda de las leyes

físicas o definiciones correspondientes.

Ejemplos de unidades derivadas son el newton, el joule y el metro por segundo, para la

fuerza, la energía y la velocidad, respectivamente.

¿Qué representa la dimensión de una magnitud física?

Se denomina dimensión o fórmula dimensional, de una magnitud física B cualquiera, a la

expresión matemática que define la relación existente entre la unidad de medición de esta

magnitud, y las unidades fundamentales del sistema dado.

Ejemplo. De acuerdo con la segunda ley de Newton, F = ma , las dimensiones de la fuerza son:

[F] = [m] [a] = [M][LT -2

] = MLT -2

Esta es la fórmula dimensional de la fuerza.

Ejemplo. La dimensión de la energía cinética de una partícula, determinada a partir de la

ecuación

es igual a [T] = [m] [v

2] = [M] [L

2T

-2] = L

2 M T

-2

De esta última fórmula, en particular, se deduce que si al medir longitudes se pasa de metros a

centímetros y al medir la masa se pasa de kilogramos a gramos, mientras se conserva el segundo

como unidad de tiempo, resultará ser que la unidad de energía cinética aumenta en

(100)2(1000)=10

7 veces.

Por consiguiente, la dimensión se puede interpretar como una unidad generalizada de medida,

es decir, como un código que nos dice cómo cambia el valor numérico de una magnitud física

cuando se cambian las unidades fundamentales de medida.

Es importante observar que la fórmula dimensional o dimensión de una misma magnitud física

puede tener diferente aspecto, según sea la elección de las correlaciones determinantes. Por

consiguiente, la dimensión no es una propiedad invariable o intrínseca de la magnitud física

dada, sino que depende del procedimiento de construcción del sistema de unidades, como se

demuestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo. Dimensiones de la fuerza. Como se sabe, además de la segunda ley de Newton

existe la ley de gravitación universal de Newton,

.

De este modo, si se toma la segunda ley de Newton como correlación determinante para la

fuerza, resulta:

[F]= MLT-2


13

y, por ello, la constante gravitacional G en la ley de gravitación de Newton no puede ser

adimensional:

Por lo tanto:

[ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[G]= M-1

L3T

-2.

La existencia de dimensiones en la constante gravitacional significa que el valor numérico de ésta

depende de la elección de las unidades fundamentales. En efecto,

G = 6.67 x 10-11

N·m2

/ kg2 = 6.67 x 10

-11 m

3·kg

-l·s

-2

Por otro lado si, en lugar de la segunda ley de Newton, se tomara la ley de gravitación universal

de Newton como correlación determinante para la fuerza, resultaría:

[F] = L-2

M2

Con ello, la constante gravitacional G resultaría ser adimensional, es decir, independiente de las

unidades fundamentales e igual a cualquier número constante, por ejemplo, a la unidad. En estas

condiciones, la segunda ley de Newton adquiriría la forma:

donde la constante de inercia K tendría las dimensiones

[K] = ML-3

T2

y su valor numérico no necesariamente sería igual a la unidad.

Problema 1/3. Establecer, mediante ejemplos, la relación que existe entre magnitud física,

dimensión y unidad.

Solución

MAGNITUD FÍSICA DIMENSIÓN UNIDAD

Magnitud física Dimensiones Unidades

Longitud L m

Masa M kg

Tiempo T s

Densidad (volumétrica) ML -3

kg·m-3

Velocidad LT -1

m·s-1

Calor específico L2T

-2Θ

-1 J/kg·K


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¿Cómo se clasifican, desde el punto de vista de las dimensiones, las magnitudes físicas?

a) Homogéneas: Cuando tienen las mismas dimensiones y el mismo significado físico. Por

ejemplo, el trabajo y el calor.

b) Homónimas: Cuando tienen igual dimensión, pero diferente significado físico. Por

ejemplo, el momento de una fuerza y el trabajo.

c) Adimensionales: Cuando sus valores numéricos no dependen del sistema de unidades de

medición. Por ejemplo, el coeficiente de fricción.

Si una magnitud física A es adimensional, se escribe [A]= [1].

¿Qué es un sistema de unidades?

El conjunto de unidades fundamentales y derivadas, pertenecientes a algún sistema de

magnitudes, construido en concordancia con ciertos principios adoptados, forma un sistema de

unidades.

Históricamente, en la Mecánica, los sistemas de unidades se dividieron en sistemas absolutos

y sistemas gravitacionales.

a) Sistemas absolutos: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la masa

(M), la longitud (L) y el tiempo (T). La fuerza pasa a ser una magnitud física derivada,

[F]=MLT -2

.

b) Sistemas gravitacionales: Cuando se consideran como magnitudes fundamentales a la

fuerza (F), la longitud (L) y el tiempo (T). La masa pasa a ser una magnitud física

derivada, [M]=FL -1

T 2.

Sistema Internacional de Unidades (SI)

¿Cuál es la estructura y características del Sistema Internacional de Unidades?

a) Es un sistema absoluto ampliado.

b) Considera siete magnitudes físicas fundamentales.

c) Incluye dos magnitudes suplementarias.

d) Las dimensiones de las magnitudes derivadas se establecen de manera lógica y

coherente, a partir de las correlaciones determinantes.

e) Utiliza un conjunto de prefijos para abreviar la escritura de cantidades muy grandes o

muy pequeñas.

f) Establece un conjunto de reglas “ortográficas” para la escritura de los símbolos y

valores numéricos de las magnitudes físicas.


15

¿Por qué el SI es un sistema absoluto ampliado?

Porque no solamente considera las magnitudes mecánicas (longitud, masa y tiempo); sino

también incluye las magnitudes eléctricas, termodinámicas, ópticas y químicas.

¿Cuáles son las siete magnitudes fundamentales del SI?

El Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI por sus siglas en francés (Le Système

International d'Unités), fue adoptado en 1960 por los delegados de la 11a Conferencia General de

Pesas y Medidas.

Hoy día en el mundo predomina el uso del SI en los ámbitos científicos, ingenieriles, comerciales

y educativos.

A partir de 1971, durante la 14a Conferencia General de Pesas y Medidas, se establecieron siete

magnitudes físicas fundamentales, como base para la estructuración del SI y de aplicación en

toda la ciencia y la técnica.


16

Magnitudes básicas o fundamentales SI:

MAGNITUD

FÍSICA DIMENSIÓN

NOMBRE

DE LA

UNIDAD

SÍMBOLO

DE LA

UNIDAD

DEFINICIÓN DE LA UNIDAD

Longitud L Metro m

La longitud de la trayectoria recorrida

por la luz en el vacío durante un

intervalo de tiempo de 1/299 792 458

s. Adoptado en 1983.

Masa M kilogramo kg

Masa igual a la del prototipo

internacional guardado en Sévres

(Francia). Establecido en 1901.

Tiempo T Segundo s

Tiempo igual al de la duración de 9

192 631 770 periodos de radiación

correspondiente a la transición entre

dos niveles superfinos del estado

fundamental del átomo de cesio-133.

Adoptado en 1967.

Intensidad de la

corriente

eléctrica

I Ampere A

La corriente constante que, pasando

por dos conductores paralelos

rectilíneos, de longitud infinita y área

de sección circular despreciable,

situados a 1 m de distancia uno de

otro en el vacío, produce entre ambos

una fuerza igual a 2x10-7

N por cada

metro de longitud. Adoptado en 1946.

Temperatura

termodinámica Θ Kelvin K

La fracción 1/273.16 de la

temperatura termodinámica del punto

triple del agua. Adoptado en 1967.

Intensidad

luminosa J Candela cd

La intensidad luminosa en una

dirección dada de una fuente que

emite radiación monocromática de

frecuencia 540x1012

Hz y que tiene

una intensidad radiante en esa

dirección de 1/683 W por

estereorradián. Adoptado en 1979.

Cantidad de

sustancia N Mol mol

La cantidad de sustancia que contiene

tantas unidades elementales como

átomos hay en 0.012 kg de carbono

12. Adoptado en 1971.

¿Cuáles son las dos magnitudes suplementarias del SI?

Desde su origen, el SI consideró separar en un grupo especial de magnitudes suplementarias,

correspondientes a las magnitudes para el ángulo plano y el ángulo sólido. Esto debido, quizás, a

la característica adimensional del ángulo, lo cual significa, simplemente, que su unidad no

depende de las magnitudes fundamentales.


17

Magnitudes suplementarias SI:

MAGNITUD

FÍSICA DIMENSIÓN

NOMBRE DE LA

UNIDAD

SÍMBOLO

DE LA

UNIDAD

DEFINICIÓN DE LA

UNIDAD

Ángulo plano Adimensional radián rad

El ángulo plano entre dos

radios de la

circunferencia, la longitud

del arco entre los cuales es

igual al radio.

Ángulo sólido Adimensional estereorradián sr

El ángulo sólido con

vértice en el centro de una

esfera que intercepta,

sobre la superficie de la

esfera, un área equivalente

a la de un cuadrado de

lado igual al radio de esta

esfera.

Ejemplos de magnitudes derivadas del SI y procedimiento para obtener sus dimensiones y

unidades.

Las magnitudes derivadas son aquellas cuyas dimensiones se relacionan con las magnitudes

fundamentales, mediante correlaciones determinantes (ecuaciones) que expresan leyes físicas o

definiciones de las magnitudes correspondientes.

Ejemplos de magnitudes derivadas SI:

MAGNITUD FÍSICA UNIDAD

Nombre Dimensiones Nombre de la unidad Símbolo Observaciones

Superficie L2 metro cuadrado m

2

Volumen L3 metro cúbico m

3

Velocidad LT -1

metro por segundo m/s

Aceleración LT -2

metro por segundo al

cuadrado m/s

2

Frecuencia T -1

hertz Hz

Velocidad

angular T

-1 radián por segundo rad/s

rad/s = s-1

Aceleración

angular T

-2

radián por segundo al

cuadrado rad/s

2 rad/s

2 = s

-2

Densidad L -3

M kilogramo por metro

cúbico kg/m

3

Cantidad de

movimiento LMT

-1

kilogramo metro por

segundo kg·m/s

Momento de

la cantidad de

movimiento

L2MT

-1

kilogramo metro

cuadrado por segundo kg·m

2/s

Fuerza LMT -2

newton N 1N = 1 kg·m/s2

Momento de

una fuerza L

2MT

-2 newton metro N·m

Impulso de

una fuerza LMT

-1 newton segundo N·s


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Ejemplos de magnitudes derivadas SI (continuación):

MAGNITUD FÍSICA UNIDAD

Nombre Dimensiones Nombre de la unidad Símbolo Observaciones

Presión,

Esfuerzo,

Módulo de

elasticidad

L-1

MT -2

pascal

Pa

1 Pa = 1 N/m2

Tensión

superficial MT

-2 newton por metro N/m

Trabajo,

Energía L

2MT

-2 joule J 1 J = 1 N·m

Potencia L2MT

-3 watt W 1 W = 1 J/s

Viscosidad

dinámica L

-1MT

-1 pascal segundo sPa

Viscosidad

cinemática L

2T

-1

metro cuadrado por

segundo m

2/s

Calor

específico L

2T

-2Θ

-1

joule por kilogramo

kelvin Kkg

J

Cantidad de

calor, Energía

interna

L2MT

-2 joule J 1J=1N∙m

Capacidad

calorífica,

Entropía

L2MT

-2Θ

-1 joule por kelvin J/K

Flujo luminoso J lumen lm

Iluminación L-2

J lux lx 1 lx = 1 lm/m2

Carga eléctrica T I coulomb C

Potencial

eléctrico L

2MT

-3I

-1 volt V

Capacitancia M-1

L-2

T4I

2 faraday F

Resistencia ML2T

-3I

-2 ohm Ω

El análisis de las dimensiones, las unidades correspondientes y, en su caso, la definición de la

unidad de las magnitudes físicas derivadas se realiza como en los siguientes problemas.

Problema 1/4. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la fuerza.

Problema 1/5. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la presión.

Problema 1/6. Obtener de las dimensiones y unidades SI del trabajo, calor y energía.

Problema 1/7. Obtener de las dimensiones y unidades SI de la potencia.


19

¿Cuáles son los prefijos adoptados en el SI?

Los múltiplos y submúltiplos de las unidades SI son creados añadiendo prefijos a las unidades. El

uso de estos prefijos evita el empleo de números muy grandes o muy pequeños.

Prefijos SI:

Factor Prefijo Símbolo Ejemplo

1024

yotta Y

1021

zetta Z

1018

exa E

1015

peta P

1012

tera T

109 giga G 120 GPa

106 mega M 85 MN

103 kilo k 10 kW

102

hecto h

101

deca da

10-1

deci d

10-2

centi c

10-3

mili m 100 mA

10-6

micro μ 25 μmol

10-9

nano n 12 ns

10-12

pico p

10-15

femto f

10-18

atto a

10-21

zepto z

10-24

yocto y

Problema 1/8. Demostrar que

Problema 1/9. Demostrar que


20

Algunas reglas “ortográficas” para la escritura de las unidades SI:

REGLA EJEMPLO

No Descripción Correcto Incorrecto

1

Los símbolos de las unidades deben escribirse en caracteres

romanos rectos, no en caracteres oblicuos ni con letras cursivas. En

los textos, las unidades se escribirán con palabras a menos que se

estén reportando valores numéricos, en cuyo caso pueden usarse

palabras o símbolos.

Pa

J

kilogramos

12 m

12 metros

Pa

J

2

El signo de multiplicación para indicar el producto de dos o más

unidades debe ser un punto elevado. Cuando la unidad se escribe

en palabras, no se requiere del punto.

N·m

kg·m

newton metro

mN

Pas

3

La división se muestra en una unidad compuesta por una diagonal

o por multiplicación usando un exponente negativo. Cuando la

unidad se escribe en palabras, la diagonal se reemplaza siempre por

“por”.

m/s

m·s-1

metro por

segundo

metro entre

segundo

4

Siempre debe usarse un espacio entre un número y sus unidades,

con la excepción del símbolo de grado (ya sea angular o de

temperatura), en donde no se usa un espacio entre el número y el

símbolo.

130 Pa

130 pascales

45°

20°C

130Pa

45 °

20 °C

5

Los símbolos de las unidades nunca tendrán puntos finales como

parte del símbolo, y no deben pluralizarse para no utilizar la letra s

que por otra parte representa al segundo. Por supuesto, un punto

puede seguir a una unidad al final de una oración.

km

kg

km.

kgs

6

Cuando se escriben como palabras, las unidades se usarán en

singular o plural según el contexto. Cuando se escriben como

símbolos, las unidades se usan siempre en singular. Los plurales de

otras unidades se forman de la manera acostumbrada.

1 kilómetro,

20 kilómetros,

7 segundos

5 km, 25 km,

15 s,

newtons,

watts

56 kms

7

Cuando se escriben como símbolo, las unidades se anotarán con

mayúsculas cuando se derivan del nombre de una persona. Una

excepción es el símbolo para litro, que es L, para evitar confusión

con el número 1. Cuando se escriben como palabras, las unidades

no llevan mayúsculas (excepto al principio de una oración o en un

título con sólo mayúsculas).

W

N

MPa

megapascal

newton

8

Deben usarse espacios, y no comas para separar los números largos

en grupos de tres dígitos, contando desde el punto decimal tanto

hacia la derecha como hacia la izquierda. La dificultad en el uso de

los espacios puede minimizarse usando prefijos y potencias de 10.

23 345 765.906 23,345,765.906

9

Cuando se trata del símbolo de una magnitud que sea el cociente

de dos unidades, solamente se debe utilizar un prefijo y éste debe

ser colocado en el numerador. Es preferible no usar múltiplos o

submúltiplos en el denominador. Una excepción es el kilogramo

que es una unidad básica (la letra “k” no se considera como

prefijo).

kN/m

J/kg

N/mm

mJ/g

10 En la escritura de los múltiplos y submúltiplos de las unidades, el

nombre del prefijo no debe estar separado del nombre de la unidad. microsegundo micro segundo

11 Los símbolos para la hora, la hectárea, la tonelada y el gramo son:

h, ha, t y g, respectivamente.


21

Aplicaciones de la teoría de las dimensiones de las magnitudes físicas

¿Cuáles son las principales aplicaciones de la teoría de las dimensiones y unidades de

las magnitudes físicas?

La teoría de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas tiene, entre otras, las siguientes

aplicaciones:

1. Obtención de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas.

2. Análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones.

3. Conversión de unidades y ecuaciones.

4. Análisis dimensional. En general, si se conocen de antemano las magnitudes físicas que

participan en un proceso bajo estudio, se puede establecer el carácter de la dependencia

funcional que relaciona las magnitudes dadas, con base a la comparación de las

dimensiones que participan. Para llevar a cabo este análisis se recurre al llamado

teorema Π o de Buckingham.

5. Diseño de experimentos que involucran el estudio del comportamiento de un prototipo a

través de un modelo y la interpretación de los resultados obtenidos durante dichos

experimentos. Aquí son de gran ayuda los números o parámetros adimensionales, a

saber: los números de Reynolds, Froude, Strouhal, Mach, Nusselt, Prandtl, Grashof,

entre otros.

Obtención de las dimensiones y unidades de las magnitudes físicas.

¿Cuál es el procedimiento para obtener las dimensiones y unidades de una magnitud física?

Se presentan dos casos:

a) Cuando se trata de magnitudes físicas fundamentales

Como se ha establecido, éstas se definen por sí mismas. En el caso del SI se tienen siete

magnitudes físicas fundamentales.

b) Cuando se trata de magnitudes físicas derivadas

En este caso se recurre a correlaciones determinantes, es decir, a fórmulas que expresan

definiciones o leyes físicas.

Problema 1/10. Obtener las dimensiones y unidades SI del calor específico.

Problema 1/11. Obtener las dimensiones y unidades SI de la viscosidad dinámica o simplemente

viscocidad.


22

Análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones.

¿En qué principio se basa el análisis de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones?

Aquí desempeña un papel fundamental el principio de homogeneidad dimensional:

Todas las ecuaciones, ya sea que se expresen en forma numérica o simbólica, deben* ser

dimensionalmente homogéneas, esto es, las dimensiones de todos los términos en la ecuación

deben ser iguales.

El principio de homogeneidad dimensional garantiza que la definición matemática de un

fenómeno físico cualquiera, que indique la dependencia funcional entre los valores numéricos de

unas magnitudes físicas, sea independiente de las unidades que se elijan para medir dichas

magnitudes.

* El cumplimiento del principio de homogeneidad dimensional no siempre es evidente, ya que en

muchos casos (sobre todo cuando se trata de ecuaciones empíricas) los coeficientes de los

términos de las ecuaciones tienen dimensiones (y por lo tanto unidades) implícitas. De este modo,

se tienen dos tipos de ecuaciones:

a) Ecuaciones dimensionalmente homogéneas: Todos sus términos tienen las mismas

dimensiones de manera directa y sus coeficientes no tienen dimensiones.

b) Ecuaciones "no dimensionalmente homogéneas”: Todos sus términos no tienen las

mismas dimensiones de manera directa y sus coeficientes tienen dimensiones.

La homogeneidad dimensional es una condición necesaria, pero no suficiente, para que una

ecuación describa correctamente un fenómeno físico. Una ecuación puede tener las mismas

dimensiones en cada uno de sus términos y no tener significado físico alguno, o bien ser

incorrecta.

Al analizar la homogeneidad dimensional de las ecuaciones, debe observarse que la estructura

matemática de una ecuación puede ser algebraica, trascendente, en derivadas (ecuaciones

diferenciales) y con integrales. En todos los casos debe cumplirse el principio de homogeneidad

dimensional.

a) Ecuaciones algebraicas.

En este caso, el análisis de la homogeneidad dimensional se lleva a cabo con base en las reglas

del álgebra de los números reales.


23

Problema 1/12. Analizar la homogeneidad dimensional de la ecuación de Bernoulli para una

vena de líquido ideal incompresible:

donde z representa la altura geométrica, p la presión, γ el peso específico, V la velocidad del

líquido y g la aceleración de la gravedad.

Problema 1/13. Determinar si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea o no.

donde F es la fuerza, es la viscosidad dinámica, es la velocidad, d es el diámetro, es la

densidad, y es la descarga o gasto volumétrico.

Problema 1/14. Una ecuación comúnmente utilizada para el cálculo de la velocidad de un flujo

uniforme en canales abiertos es la ecuación de Manning:

donde v representa la velocidad del agua (m/s), n es el coeficiente de rugosidad de la superficie

del canal (adimensional), R el radio hidráulico de la sección transversal del canal (m) y S la

pendiente topográfica del canal (adimensional). Analizar la homogeneidad dimensional de la

ecuación de Manning.

Problema 1/15. En la ecuación dimensionalmente homogénea √ ( )

, Q es un

volumen por unidad de tiempo (gasto), W y h son longitudes. Hallar las dimensiones de a y B.

b) Ecuaciones trascendentes.

Una ecuación es de tipo trascendente cuando incluye funciones exponenciales, logarítmicas,

trigonométricas, trigonométricas inversas o sus combinaciones. Desde el punto de vista del

análisis de las dimensiones, es necesario considerar que los argumentos de las funciones

trascendentes deben ser adimensionales.

Problema 1/16. Hallar las dimensiones fundamentales de y, a, b, y c en la siguiente ecuación

dimensionalmente homogénea, (√ ) , en la que A es una longitud y t

es el tiempo.


24

Problema 1/17. En Reología, la ecuación ( (

) ) (

) describe la deformación de un

material viscoelástico, de acuerdo con el modelo de Voigt-Kelvin. En este modelo, ε es la

deformación lineal (adimensional), E es el módulo de elasticidad del material (fuerza por unidad

de área), t es el tiempo y σ0 es un esfuerzo. ¿Cuáles son las dimensiones y unidades

fundamentales de η? E y σ0 tienen las mismas dimensiones.

c) Ecuaciones diferenciales.

Estas son las ecuaciones donde participan derivadas ordinarias o parciales. Al momento de llevar

a cabo el análisis de las dimensiones en este tipo de ecuaciones, es importante recordar el

significado físico de la derivada como una razón de cambio. Por ejemplo, si

, entonces

[ ] [ ]

[ ]; si

, entonces [ ]

[ ]

[ ] . En general, si

, entonces [ ]

[ ]

[ ]

Problema 1/18. En la ecuación diferencial

[( ) ] (

)

q es una masa por unidad de longitud, a es una masa y t es el tiempo. Hallar las dimensiones

fundamentales de x, g y v.

Problema 1/19. Determinar las dimensiones de los coeficientes A y B en la siguiente ecuación

diferencial:

donde x es la longitud y t es el tiempo.

Problema 1/20. Un circuito eléctrico simple con inductancia, capacitancia y resistencia está

descrito por la ecuación diferencial

, donde t denota el tiempo (s), v

denota el potencial eléctrico (N·m·s-1

·A-1

). Para que esta ecuación sea dimensionalmente

homogénea, ¿cuáles deben ser las unidades de los coeficientes a y b?

Problema 1/21. En la transferencia de calor se establece la siguiente ecuación diferencial de

conducción del calor:

(

) donde T es la temperatura, t el tiempo, k la

conductividad térmica, c el calor específico, ρ la densidad, y x–y–z son coordenadas. Determine

las dimensiones y unidades fundamentales de la conductividad térmica k.


25

d) Ecuaciones con integrales.

Cuando se analizan las dimensiones de las ecuaciones que contienen integrales, es importante

considerar que la integración es un proceso de suma.

Problema 1/22. El momento de inercia de una sección de área A, con respecto a un eje x, se

define de la siguiente manera:

∫

donde y es una distancia. ¿Cuáles son las dimensiones del momento de inercia, Ix, de un área?

y

O

x

y

A

dA

x

Problema 1/23. Durante el análisis del principio de conservación de la masa, aparece la siguiente

igualdad: ∫

∫( ) En esta expresión ρ es la densidad (volumétrica), t es el

tiempo, V es el volumen, es el vector velocidad, es el vector unitario normal (adimensional)

y S es el área. Comprobar la homogeneidad dimensional de esta ecuación.

Conversión de unidades y ecuaciones

La conversión de unidades y ecuaciones es una necesidad práctica que se puede presentar dentro

de un mismo sistema de unidades o al pasar de un sistema de unidades a otro. En ambos casos,

el procedimiento se fundamenta en lo siguiente:


26

a) El empleo de los factores de conversión, como los siguientes:

Longitud

1 pulgada = 2.54 cm

1 pie = 0.304 8 m

1 yarda = 0.9144 m

1 milla = 1.609 km = 1 760 yd

1 angströn = 1 Ǻ = 10-10

m

Presión

1 bar = 105 Pa

1 atm = 760 mm de Hg = 1.013 bar = 1.033 kgf/cm2

= 14.7 lbf/pulg2 = 101 325 Pa = 10.332 m de

H2O

Fuerza

1 kgf = 9.81N

1 lbf = 0.4536 kgf

Aceleración

g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s

2

Energía

1 cal = 3.969 x 10-3

Btu = 4.1860 J

1 Btu = 252 cal = 1.054 x 103 J

1 kilowatt-hora = 1 kW·h = (103 W )(3600 s) = 3.60 x

106 J = 3.60 MJ

Volumen

1 L = 1 000 cm3

1 galón = 3.786 L

Ángulo plano

1 rad =

180= 57.296°

Potencia

1 hp = 550 ft·lb/s = 746 W

1 cv = 736 W

1 W = 1 J/s = 0.738 ft·lb/s = 3.413 Btu/h

1 Btu/h = 0.293 W

Tiempo

1 h = 3600 s

Masa

1 000 kg = 1 t (tonelada métrica)

1 slug =14.59 kg

1 lbm = 0.453 6 kg

Área

1 ha = 104 m

2

1 acre = 404 6.9 m2

Temperatura

T(ºF) = 1.8(ºC)+32

T(ºC) = [T(ºF)-32]/1.8

T(K) = T(ºC)+273.15

T(R) = T(ºF)+459.67

T(R) = 1.8T(K)

ΔT(K) = ΔT(ºC)

ΔT(R) = ΔT(ºF)

Cantidad de sustancia

1 mol = 6.02 x 1023

unidades elementales


27

La propiedad de los números reales de que a x 1 = a = 1 x a, donde el 1 debe interpretarse

de la siguiente manera:

Como se sabe, por ejemplo, 1 pie = 0.3048 m. De aquí resulta:

o bien

Generalizando:

Problema 1/24. Expresar una rapidez de 80 millas por hora (mph) en metros por segundo (m/s).

Problema 1/25. Convertir una presión de 14.7 lb/in2 a pascales.

Problema 1/26. Durante el diseño de un invernadero, se tiene el valor numérico de la

conductividad térmica de un material de construcción, k = 0.72

. Convertir este valor a

unidades correspondientes al sistema inglés, es decir, a

Problema 1/27. La siguiente ecuación permite estimar la presión que ejerce el viento sobre una

estructura: p = 0.00256v2, donde v es la velocidad del viento en millas/h y p es la presión

correspondiente en lbf/pie2. Convertir esta ecuación de tal modo que p resulte en kPa cuando v se

exprese en km/h.

Problema 1/28. En ingeniería de conservación de suelos se utiliza la siguiente ecuación para

estimar la energía cinética de una lluvia: E = 210 + 89 log I, donde E es la energía cinética de la

lluvia en toneladas-metro/hectárea-centímetro, I es la intensidad de la lluvia en cm/h. Convertir

esta ecuación de tal modo que E resulte en J/m2·mm cuando I se exprese en mm/h.

1.4 Álgebra vectorial

Vectores y escalares.

¿Cuál es la diferencia entre escalares y vectores?

La investigación de los fenómenos en las ciencias naturales e ingeniería implica el tratamiento de

cantidades de diversa naturaleza matemática: escalares, vectores y tensores. La diferencia entre

estas cantidades radica en sus expresiones analíticas y en las leyes de transformación de tales

expresiones cuando se pasa de un sistema de coordenadas a otro.

Una magnitud escalar (por ejemplo, la masa, el tiempo, la temperatura y la energía) queda

definida solamente por su valor numérico (módulo), el cual expresa la relación entre esta

magnitud respecto a la unidad de medida elegida. Los escalares son magnitudes físicas que se

caracterizan de manera plena mediante un sólo número, acompañado de las unidades

correspondientes.


28

Una magnitud vectorial (por ejemplo, la fuerza, la velocidad, la aceleración, el momento de una

fuerza, la cantidad de movimiento y el impulso de una fuerza), además de su valor numérico está

definida también por su dirección y sentido en el espacio. Las magnitudes vectoriales se

caracterizan mediante el uso de un conjunto de ordenado de números.

Los vectores se representan con símbolos como:

La magnitud o módulo de un vector, por ejemplo el vector , se representa por | | o bien,

simplemente, F.

Tratamiento geométrico de vectores.

La base del tratamiento geométrico de las magnitudes vectoriales es la posibilidad de representar

un vector mediante un segmento dirigido, así como en la ley del paralelogramo.

1) Representación de un vector mediante un segmento dirigido.

P

A

F

F→

Q

Punto de aplicación

Línea de acción (dirección)

Sentido

Magnitud

o

módulo

2) Ley del paralelogramo.

Dos vectores aplicados en un mismo punto tienen un vector resultante aplicado y en ese mismo

punto, y representado por la diagonal del paralelogramo construido sobre estos vectores como

lados.


29

El vector , equivalente a la diagonal del paralelogramo formado por los vectores y , se

llama suma vectorial de los vectores y :

Es muy importante observar que la ecuación anterior se refiere a una suma vectorial. Por ejemplo,

si el vector tiene una magnitud de 100 y el vector de 200, el módulo del vector no

necesariamente es igual a 300.

En los problemas aplicados, para relacionar los módulos o magnitudes, la ley del paralelogramo

se complementa con relaciones trigonométricas basadas en la ley de los cosenos y en la ley de

los senos, principalmente.

a) Ley de los cosenos:

b) Ley de los senos:

B

S

AM

N

γ

θφ

¿Qué tipo de problemas se pueden resolver con ayuda de la ley del paralelogramo?

Problema 1/29. Sean y dos fuerzas aplicadas a un punto P de un cuerpo y la resultante

de éstas, es decir,

a) Por trigonometría, deduzca fórmulas para la magnitud R de y para el ángulo φ, en

términos de F1 , F2 y θ.

b) Verifique el resultado de R, para los casos particulares θ = 0°, 90° y 180°.

F1

RF2

θ

φ

P

Prob. 1/28


30

Problema 1/30. Determine las componentes escalares Fa y Fb de la fuerza de 4 kN a lo largo de

los ejes oblicuos a y b. Determine también las proyecciones Pa y Pb de sobre los ejes a y b.

Prob. 1/30

Problema 1/31. La fuerza horizontal actúa sobre la estructura triarticulada.

Determinar las magnitudes de las dos componentes escalares, o simplemente componentes, de

dirigidas a lo largo de las barras AB y AC.

30°

45°

F A

BC

Prob. 1/31


31

Problema 1/32. Determine las componentes n y t de la fuerza ejercida por la barra AB sobre la

manivela OA, en términos de la magnitud F y de los ángulos . Evalúe su expresión

general para y (a) (b) .

Prob. 1/32

Problema 1/33. Determine las componentes escalares Ra y Rb de la fuerza a lo largo de los ejes

no rectangulares a y b. También determine la proyección Pa de sobre el eje a.

Prob.1/33


32

Problema 1/34. Están dados los vectores de tal modo que | | | | | |

Hallar | |

Problema 1/35. Las fuerzas y actúan a lo largo de las líneas OA y OB, respectivamente, y su

resultante es una fuerza de magnitud P; si la fuerza , a lo largo de OA, es remplazada por una

fuerza 2 a lo largo de OA, la resultante de 2 y es otra vez una fuerza de magnitud P.

Encontrar:

a) La magnitud de en términos de la magnitud de .

b) El ángulo entre OA y OB.

c) Los ángulos entre cada una de las resultantes y la línea OA.

Tratamiento analítico de vectores.

El tratamiento analítico de vectores se basa en: a) la descomposición de un vector en las

direcciones de los ejes x, y, z de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares; b) la propia

ley de paralelogramo.

El antecedente del tratamiento analítico es la proyección de un vector sobre un eje.

Se llama eje a una línea recta, sobre la cual se ha elegido un sentido de referencia positivo. La

proyección Ax del vector sobre el eje x es una magnitud escalar igual al producto del módulo

del vector por el coseno del ángulo θ formado por el sentido del vector y el sentido del eje, es

decir:

0

BD

E

A

θ

A B

ba A

x'

x

1

Ax

D1 x'

θ

d e

A

φ

x

Es claro que Ax es una proyección ortogonal de sobre el eje x.

Problema 1/36. Desarrollar el procedimiento para la descripción analítica de vectores. En

particular, establecer lo siguiente: 1) los ángulos directores de un vector; 2) los cosenos

directores; 3) las componentes y las proyecciones de un vector según los ejes de coordenadas; 4)

la magnitud de un vector en función de sus proyecciones cartesianas; 5) la definición de vector

unitario y la forma de obtenerlo; 6) el papel y la estructura del vector unitario; 7) los vectores

unitarios de la base, es decir, los vectores que indican la dirección y el sentido de los ejes de

coordenadas; y 8) la relación entre vector físico y vector geométrico.


33

Procedimiento para la descripción analítica de un vector:

1. Un vector, por ejemplo , puede ser construido a partir del módulo de éste, A, y los ángulos

directores , y formados por la línea de acción del vector y los ejes de coordenadas.

Estos ángulos definen la dirección de .

Az

Ay

Ax

x

y

z

O

α

β

γ A→

x

z

O y

i

j

k

Axy

2. Con base a la ley del paralelogramo y en la trigonometría, las proyecciones Ax , Ay y Az ,

sobre los ejes de coordenadas, de resultan ser:

………………………...………………(1)

3. Conociendo las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas, y aplicando el

teorema de Pitágoras, se obtiene el módulo del vector :

√

y como

resulta √

……..….(2)

4. A partir de las ecuaciones (1) se determinan los llamados cosenos directores de .

……………………………………....(3)


34

5. Elevando las igualdades (3) al cuadrado por miembros y sumándolas, se obtiene el teorema:

……………………………….(4)

6. El empleo de vectores unitarios facilita la representación analítica de un vector. El vector,

cuya dirección y sentido coincide con los del vector , y cuyo módulo es igual a 1, se llama

vector unitario del vector . Este vector se designa, por ejemplo, por el símbolo .

Teorema: El vector

es un vector unitario en la misma dirección y sentido de .

Resulta claro que el vector unitario es adimensional.

Corolario: Todo vector puede representarse como el producto de su módulo por su vector

unitario, es decir, en la forma:

…………………………………………(5)

7. En particular, los vectores unitarios de la base indican la dirección y sentido de los

ejes de coordenadas x, y, z, respectivamente:

i = (1, 0, 0),

j = (0, 1, 0),

k = (0, 0, 1).

Los vectores se llaman componentes ortogonales del

vector en las direcciones de los ejes x, y, z; mientras que los valores numéricos , se

llaman proyecciones cartesianas de .

Con base en todas estas consideraciones, la expresión (definición) analítica de un vector , es:

( ) …………………..(6)

8. Vector físico y vector

geométrico. Considérese el caso

de una fuerza (vector físico) no

aplicada en el origen de

coordenadas. Sean, además, y

dos vectores geométricos que

se extienden desde el origen de

coordenadas a los puntos

A = (xA , yA, zA) y B = (xB , yB , zB)

que pertenecen a la línea de acción

de . Sea, también, el vector

definido por los puntos A y B,

desde A hacia B.

F

x

y

z

B(x , y , z )

A(x , y , z )

rA

rB

O

n

r

A A A

B B B


35

De acuerdo con la ley del triángulo:

Como los vectores , vector físico, y , vector geométrico, tienen la misma dirección y sentido,

comparten el mismo vector unitario :

| |…………………………….(7)

donde:

( ) y

| | √( ) ( ) ( )

En estas condiciones:

| |…………………………………..(8)

Problema 1/37. Las fuerzas actúan en el punto A del soporte, dichas fuerzas están

especificadas de tres diferentes formas. Determine las componentes escalares en x e y de cada

una de las tres fuerzas.

Prob. 1/37

Problema 1/38. La magnitud de la fuerza de tensión en el cable AB es T = 2 kN. Determinar,

para los ejes xyz:

a) El vector unitario en la misma dirección y sentido de T;

b) La expresión vectorial de T;

c) Los cosenos directos de T;

d) Los ángulos directores de T.


36

e) Las proyecciones de T;

f) Las componentes de T.

Prob.1/38

Problema 1/39. Vector de posición y vector fuerza. El collarín C se desliza sobre una barra recta

AB y está unido a un cable atado en el punto D.

a) Determinar las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto C.

b) Si la fuerza de tensión en el cable es de 150 N, escribir las expresiones vectoriales

cartesianas para la fuerza que el cable ejerce sobre el punto C y para la fuerza que el cable

ejerce sobre el punto D.

Prob. 1/39


37

Problema 1/40. En la figura se muestran cuatro fuerzas , aplicadas al nudo de

una armadura utilizada en una estructura y contenidas en el mismo plano. Se sabe que F1=40 kN,

F2=60 kN, F3= 50 kN y F4= 30 kN.

a) Hallar la magnitud de la resultante de las cuatro fuerzas coplanares .

También exprese esta fuerza resultante como un vector y determine sus ángulos

directores.

b) En el caso de que F3 y F4 no se conocieran, determinar el módulo de estas fuerzas que han

de aplicarse para que el nudo esté en equilibrio, es decir, para que se cumpla la condición

.

40°

20°20°

F2

F3F4

F1

x

y

Prob. 1/40

Problema 1/41. El componente de una grúa industrial que se mueve a lo largo de una viga

horizontal, se encuentra bajo la acción de dos fuerzas como se muestra en la figura. Determine la

magnitud y dirección de la fuerza , de tal manera que la resultante sea una fuerza vertical de

2500 N. Resuelva por ambos métodos: geométrico y usando los vectores unitarios y .

Prob. 1/41


38

Operaciones con vectores.

1) Multiplicación de un vector por un escalar.

Definición. Al multiplicar el vector por una magnitud escalar r se obtiene un nuevo vector

, cuyo módulo es | | y cuyo sentido coincide con el sentido del vector cuando

r > 0, y es de sentido contrario al vector si r < 0. En particular, al multiplicar el vector por

-1, se obtiene el vector .

Problema 1/42. Establecer la expresión analítica de la operación de multiplicación de un vector

por un escalar. Dar un ejemplo físico donde se aplique la operación de multiplicación de un

vector por un escalar.

Problema 1/43. Establezca, de forma analítica, las siguientes definiciones: a) igualdad de

vectores y b) vector nulo o cero.

2) Adición de vectores

Problema 1/44. ¿Cómo se realiza la adición de vectores por el método analítico, y en qué

principio se basa la definición de esta operación?

Definición. Si ( ) y ( ) son vectores, entonces

( )

Si se conocen las proyecciones de los vectores estos vectores pueden expresarse

en la forma:

Entonces, sumando miembro a miembro estas igualdades, se encuentra:

∑

(∑

) (∑

) (∑

)

Esto es:


39

y

x

z

O

D

B

AC

84 m

48 m

84 m48 m

42 m

28 m

21 m

donde

∑

∑ ∑

y, finalmente,

√

Problema 1/45. En el punto A del siguiente sistema concurren tres fuerzas: el peso P del cilindro

de masa m, la tensión TAB en el cable AB y la tensión TAC en el cable AC. Dado que este sistema

se encuentra en equilibrio, se cumple que . A partir de esta condición

determine las magnitudes de las fuerzas de tensión en ambos cables.

Prob. 1/45

Problema 1/46. Una torre de transmisión OD se mantiene en equilibrio con la ayuda de tres

cables. Si la fuerza resultante ejercida por estos cables sobre la torre en D es = -30ĵ kN,

determine la magnitud de la fuerza de tensión en cada cable.

Prob. 1/46


40

3) Producto escalar.

Problema 1/47. Definir el producto escalar o producto punto de dos vectores, y establecer sus

propiedades básicas. ¿Qué problema fundamental se resuelve con ayuda de esta operación?

Definición. Se llama producto escalar de dos vectores y , denotado por , a una

magnitud escalar igual al producto de los módulos de estos vectores por el coseno del ángulo θ

formado por ellos:

θ θθ

A

B

A A

BB

O O O

(a) (b) (c)

A ∙ B = A(B cos θ) B ∙ A = B(A cos θ)

B cos θ

A cos θ

A ∙ B = AB cos θ

Problema 1/48. Demostrar el siguiente teorema: Si los vectores y están dados mediante sus

proyecciones según los ejes de coordenadas, es decir, si = (Ax, Ay, Az) y =( Bx , By , Bz ), su

producto escalar se determina por la ecuación = AxBx + AyBy + AzBz .

θ

B

A

C

Oy

x

z

(A , A , A )yx z

(B , B , B )yx z

Prob. 1/36

Problema 1/49. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del

producto escalar: a) ; b) ( ) ( ) ; c) ( ) ;

d)


41

Problema 1/50. La principal aplicación del producto escalar es el cálculo de la proyección

ortogonal de un vector sobre la dirección y sentido de otro vector , la cual es un escalar

definido por la ecuación

| | . Deducir esta fórmula y dar su

interpretación geométrica y física. ¿Cómo se expresa la proyección como una cantidad vectorial?

Problema 1/51. Para a = 3 m, b = 6 m, c = 2 m, F = 10 kN, determine la proyección y la

componente de a lo largo de DC. También determine el ángulo entre las direcciones AB y CD.

z

y

x

F

D

A

C

B

ba

c

Prob. 1/51

Problema 1/52. Determinar la proyección sobre la línea BC de la fuerza ejercida sobre la placa

rectangular ABCD por el cable AE. El punto E es un punto medio.

C

ED

B

A

25°

1200

mm

400 mm

T=300 N

Esquema auxiliar

Prob. 1/52


42

Problema 1/53. Componente de una fuerza en una dirección particular. La barra es recta y

tiene un collarín en C. Un cable elástico que tiene una fuerza de tensión de 3 lb se fija entre el

collarín y el apoyo D.

a) Determinar las componentes de la fuerza del cable en las direcciones paralela y

perpendicular a la barra AB.

b) Determinar las componentes vectoriales de la fuerza del cable en las direcciones paralela

y perpendicular a la barra AB.

c) Si el collarín en C es libre de deslizarse sobre la barra AB y se libera del reposo, ¿La

fuerza del cable tiende a hacer que el collarín se mueva hacia A o B?

(a)

(b)

Prob. 1/53

Nota: En la figura Prob. 1/53 (b) se observa que la fuerza soportada por el cable tiene una

componente en la dirección mostrada. La componente de la fuerza del cable en la dirección

de se denota y la componente de la fuerza del cable perpendicular a la dirección de

se denota por

Problema 1/54. Mediante el producto escalar, derivar una fórmula para el ángulo entre dos líneas

con cosenos directores dados.

Problema 1/55. Describir el procedimiento para determinar, mediante el producto escalar, la

proyección de un vector sobre una línea u otro vector con cosenos directores dados.

Problema 1/56. Tres puntos tienen coordenadas x-y-z, expresadas en metros, como sigue: A (4, 4,

5), B (-2,-4,3) y C (3,-6,-2). Una fuerza F = 100 kN está aplicada en A y dirigida hacia B.

Determinar la expresión vectorial de la componente normal a la dirección AC, , de la fuerza F.


43

Problema 1/57. Demostrar el siguiente teorema: Dos vectores y son ortogonales

(perpendiculares) si y sólo si

4) Producto vectorial

Problema 1/58. Definir el producto vectorial o producto cruz de dos vectores. ¿Cuál es la

magnitud, dirección y sentido del resultado de esta operación? Señale las propiedades básicas de

esta operación. ¿Qué problema fundamental se resuelve con la ayuda de esta operación?

La operación producto vectorial de dos vectores y , denotada , tuvo su origen en el

siguiente problema fundamental: Dados dos vectores y , determinar un tercer vector que

éste dirigido perpendicularmente al plano determinado por dichos vectores, es decir, que sea

perpendicular al vector y al vector , simultáneamente.

A x B

B x A

B

A

Definición. El producto vectorial de dos vectores =(Ax , Ay , Az) y =(Bx , By , Bz), es el vector

definido por:

( ) |

|

Problema 1/59. Si [ ] y [ ] calcular y .

Problema 1/60. Demostrar el siguiente teorema acerca de las propiedades fundamentales del

producto vectorial: a) ; b) ( ) ( ) ; c) ( )

; d)

Problema 1/61. Demostrar el siguiente teorema: | | , donde θ es el ángulo entre

y . Dar una interpretación geométrica a este resultado.

Problema 1/62. Demuestre el siguiente teorema: dos vectores y , tridimensionales, son

paralelos si y sólo si


44

Problema 1/63. Componentes de fuerza en las direcciones normal y tangencial a un plano. Una

casa de 95 Mg de masa está construida sobre una ladera definida por los puntos A, B y C. Para

evaluar la posibilidad de falla de la pendiente (deslizamiento), es necesario:

a) Determinar las componentes del peso en las direcciones normal y paralela

(tangente) a la ladera.

b) Determinar las componentes vectoriales del peso en las direcciones normal y

paralela (tangente) a la ladera.

c) Determinar la distancia mínima del punto a la ladera.

El peso de la casa es una fuerza vertical que se

aplica a la pendiente.

El peso de la casa se descompone en sus

componentes que son normal y

tangencial a la pendiente , respectivamente.

Prob. 1/63

Problema 1/64. La operación ( ) se llama triple producto escalar de

Demostrar que:

( ) |

|


45

1.5 Leyes de la Mecánica Clásica: Leyes de Newton

El estudio de las leyes de Newton, que son las leyes fundamentales de la Mecánica Clásica,

implica analizar y comprender lo siguiente:

El problema que abordan o el problema a que se refieren.

Su enunciado formal, y expresión matemática, si la hay.

Sus consecuencias.

Sus limitaciones.

Sus aplicaciones.

Primera ley de Newton (ley de la inercia): “un punto material libre de toda influencia exterior

conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme hasta que las fuerzas

aplicadas a él lo obliguen a cambiar de estado”.

Observaciones:

a) En la primera ley de Newton, inicialmente, se afirma que el reposo y el movimiento

uniforme y rectilíneo de un cuerpo son un mismo estado mecánico del cuerpo.

b) La primera ley de Newton establece la condición necesaria y suficiente para el equilibrio

de una partícula: “un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en

equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en

movimiento rectilíneo uniforme”

c) El movimiento que realiza un cuerpo en ausencia de fuerzas se llama movimiento por

inercia.

d) La primera ley de Newton refleja una de las propiedades esenciales de la materia, su

inercia: la de encontrarse siempre en movimiento.

e) A veces se dice que un cuerpo dotado de movimiento uniforme y rectilíneo se mueve por

inercia. Esto no debe entenderse como que el cuerpo se mueve a causa de la inercia; pues

para que el cuerpo conserve su estado de movimiento rectilíneo y uniforme no se requiere

causa alguna. El movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo (movimiento por inercia) y

el reposo, son los estados de todo cuerpo que esté libre de influencias externas o se

encuentre sometido a la acción de fuerzas externas tales que la suma de las mismas sea

igual a cero.

f) La primera ley de Newton se puede enunciar también así: el movimiento por inercia es

una propiedad de todos los cuerpos materiales. La inercia de un cuerpo no es la causa

de su movimiento, sino una de sus propiedades.

La inercia caracteriza la propiedad de los cuerpos materiales de cambiar más rápido o más

lentamente la velocidad de su movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas.


46

La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado es una magnitud física que se llama masa

del cuerpo.

En el caso general, el movimiento de un cuerpo no solamente depende de su masa total y de las

fuerzas que actúan sobre él; el carácter del movimiento puede depender, además, de las

dimensiones geométricas del cuerpo y de la disposición mutua de las partículas que lo forman, es

decir, de la distribución de su masa.

g) El sistema de referencia respecto del cual la primera ley de Newton es válida se llama

sistema inercial o newtoniano. Con mayor precisión la primera ley de Newton se formula

así:

Existen tales sistemas de referencia, con relación a los cuales todos los cuerpos que no estén en

interacción con otros cuerpos se encuentran en movimiento rectilíneo y uniforme.

Problema 1/65. Caída de una esfera en un medio viscoso: ley de Stokes. Examinemos la caída

de un cuerpo en un medio que opone resistencia, es decir, un líquido o un gas. Sobre tal cuerpo

que cae en un líquido o en un gas están aplicadas tres fuerzas: la fuerza de gravedad , la fuerza

de empuje de Arquímedes, , y la fuerza de resistencia, . Es natural que, con el tiempo, a

medida que crece la velocidad, la aceleración disminuye y llega un momento en que ésta se hace

igual a cero. A partir de este momento, el cuerpo se moverá uniformemente. Así, pues, la caída

de un cuerpo por un líquido o gas, sólo en la etapa inicial es acelerada; desde cierto momento el

cuerpo cae a una velocidad constante, que se denomina estacionaria. Con base en la primera ley

de Newton, determinar tal velocidad estacionaria, . Suponer que el cuerpo tiene forma

esférica.

Problema 1/66. Un cuerpo, en forma de bloque, de masa m se encuentra sobre un plano inclinado

liso que forma con el horizonte un ángulo . Determinar:

a) La magnitud de la fuerza paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para mantenerlo

en reposo.

b) La magnitud de la fuerza paralela al plano, que debe ser aplicada al cuerpo para que éste se

mueva uniformemente hacia arriba con una rapidez de 2 m/s.

c) ¿Por qué el plano inclinado representa en sí una máquina simple?

Segunda ley de Newton (ley fundamental de la Dinámica): “la aceleración de un punto material

es directamente proporcional a la resultante de todas las fuerzas aplicadas a dicho punto e

inversamente proporcional a la masa del punto y dirigida a lo largo de la resultante de las

fuerzas”.

Analíticamente este enunciado se puede expresar con la siguiente fórmula:


47

…………………………………………………(1)

Observaciones:

a) En realidad, la fuerza no es consecuencia de la aceleración, sino, al contrario, la

aceleración es un resultado de la fuerza:

( )

b) El factor de proporcionalidad, k, depende de las unidades en que se miden las magnitudes

, y m. Por ejemplo, si [ ] [ ] [ ] , entonces y

[ ] [ ] adimensional.

En estas condiciones, la ecuación (1) se puede escribir:

………………………………………………………(2)

c) Por comodidad, al resolver los problemas, la segunda ley de Newton (2) se escribe:

……….…………………………………………… (3)

“La fuerza es igual al producto de la masa del punto por su aceleración”

d) Como se indica en el enunciado general de la segunda ley de Newton, el punto puede

estar sometido a la acción de varias fuerzas, es decir:

∑

Por lo que la ecuación (3) tendrá la forma siguiente:

ó ∑ …………………………………(4)

e) La segunda ley de Newton establece la relación entre la fuerza y la aceleración; pero la

fuerza y la aceleración son magnitudes físicas vectoriales que se caracterizan no

solamente por su valor numérico, sino también por su dirección y sentido.

Por ello matemáticamente la segunda ley de Newton expresa una igualdad vectorial. Esto

conlleva dos detalles:

i. Los vectores y están dirigidos por una misma recta y con el mismo sentido.

Esto es una consecuencia de la definición de igualdad entre vectores.


48

→

R

→a

v→

M

Trayectoria

ii. Dependiendo del problema a resolver, la ecuación vectorial (4) se puede proyectar

sobre algún sistema de ejes de coordenadas, para dar un sistema de ecuaciones

escalares. Por ejemplo, en el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas:

⇒ {

ó ∑ ⇒ {

∑ ∑ ∑

f) La segunda ley de Newton establece cómo varía la velocidad del punto bajo la acción de

una fuerza cualquiera. En efecto, se llama aceleración del punto a la magnitud física

vectorial que caracteriza el cambio con el tiempo del módulo y la dirección de la

velocidad del punto. Esto es:

A su vez, el vector velocidad del punto en un instante de tiempo dado es igual a la primera

derivada del radio-vector o vector de posición del punto con relación al tiempo:

,

de donde

Con estas consideraciones, la expresión matemática de la segunda ley de Newton representa una

ecuación diferencial vectorial:

∑ ó

∑ ,


49

la cual, en dependencia de los problemas a resolver, puede dar origen a un sistema de ecuaciones

diferenciales escalares.

Por ejemplo, en coordenadas cartesianas:

∑ ⇒

{

∑

∑

∑

g) Se debe subrayar que la dirección y sentido de la aceleración siempre coincide con la

dirección y sentido de la fuerza, la cual no necesariamente es la dirección y sentido del

movimiento mismo del punto (la dirección y sentido de la velocidad).

h) En el enunciado de la segunda ley de Newton se refiere a un cuerpo considerado una

partícula o un punto material. Para sistema de partículas y cuerpos rígidos la formulación

de la segunda ley de newton requiere ciertas consideraciones.

i) Forma general de la segunda ley de Newton: “la derivada de la cantidad de movimiento

del punto con relación al tiempo es igual a la suma vectorial de las fuerzas que actúan

sobre éste”.

( )

∑ ó

∑ ,

donde se llama cantidad de movimiento del punto.

Así, en forma general, la segunda ley de Newton se formula así:

∑

( )

Cuando varía la masa del cuerpo durante el movimiento es necesario emplear la segunda ley en

su forma general (con la cantidad de movimiento) que refleja correctamente los preceptos de la

Dinámica para todos los casos de movimiento de un punto material.

j) La segunda ley de Newton, como la primera, se refiere solamente a un sistema inercial de

referencia ¿Cómo se formula la segunda ley de Newton para sistemas no inerciales de

referencia?

k) De la segunda ley de Newton se ve que la medida de la inercia de un punto material es su

masa, porque bajo la acción de una misma fuerza dos puntos materiales diferentes reciben

una misma aceleración solamente cuando sus masas son iguales; si las masas son


50

diferentes, el punto de mayor masa (es decir, de mayor inercia) recibe menor aceleración

y viceversa.

l) Problemas de la Dinámica para el punto material. Con ayuda de la ecuación de la

segunda ley de Newton se pueden resolver los dos problemas siguientes:

i. Conociendo la ley de movimiento del punto, determinar la fuerza que actúa sobre

éste (primer problema de la Dinámica).

ii. Conociendo las fuerzas que actúan sobre el punto, determinar la ley del

movimiento del punto (segundo problema de la Dinámica o problema

fundamental).

m) Finalmente, de la segunda ley de Newton se deducen unos corolarios llamados teoremas

generales de la Dinámica del punto. Éstos son:

i. El teorema de la variación de la cantidad de movimiento del punto.

ii. El teorema de la variación de la energía cinética del punto.

iii. El teorema de la variación del momento de la cantidad de movimiento del punto.

Problema 1/67. Movimiento de un punto lanzado bajo un ángulo con el horizonte. Estudiar el

movimiento de un cuerpo lanzado con una velocidad inicial 0

v bajo un ángulo θ con el

horizonte.

Tercera ley de Newton (ley de la igualdad de la acción y de la reacción): “dos puntos

materiales actúan uno sobre el otro con fuerzas iguales en módulo y dirigidas a lo largo de la

recta que une estos puntos, en sentidos opuestos”.

Observaciones:

a) La tercera ley de Newton establece el carácter de la interacción mecánica entre los

cuerpos materiales.

b) Si la fuerza que actúa sobre cierto cuerpo A es aplicada por parte de un segundo

cuerpo B, designaremos esta fuerza por . La tercera ley de Newton afirma: si un

cuerpo B actúa sobre un cuerpo A con una fuerza , entonces el cuerpo A actúa a

su vez sobre el cuerpo B con una fuerza , de valor igual y signo contrario a la

fuerza ; ambas fuerzas están dirigidas a lo largo de una misma recta. La tercera

ley de Newton refleja el hecho de que una fuerza es el resultado de la interacción de

dos cuerpos diferentes.

c) En las dos primeras leyes de Newton para el análisis de un fenómeno y al determinar

el movimiento de un cuerpo se examina únicamente un aspecto de esta interacción. En


51

realidad siempre existe interacción y no existe ninguna fuerza sin fuerza de reacción.

Por supuesto, los términos acción y reacción son puramente convencionales, cada

uno de ellos puede considerarse indistintamente, lo uno o lo otro.

d) Formalmente siempre se cumple la siguiente igualdad, independientemente de que los

cuerpos A y B estén en reposo o en movimiento:

e) La tercera ley de Newton no dice nada acerca del valor de las fuerzas, y sólo afirma

que son iguales en módulo. Es muy importante subrayar que en la tercera ley de

Newton se habla de fuerzas aplicadas a diferentes cuerpos. Por ello, físicamente,

y no se anulan.

Problema 1/68. Dos bloques están en contacto sobre una superficie horizontal sin fricción. Una

fuerza horizontal se aplica al bloque mayor como se muestra. (a) Si m1= 2.3 kg, m2=1.2 kg, y

F= 3.2 N, encuentre la magnitud de la fuerza entre los dos bloques. (b) Mostrar que si una fuerza

de la misma magnitud F se aplica al bloque más pequeño, pero en sentido opuesto, la magnitud

de la fuerza entre los bloques, es 2.1 N, la cual no es el mismo valor calculado en (a).

1.6 Conceptos fundamentales de la Estática

La estructura de cualquier disciplina científica incluye conceptos y leyes. Los conceptos son una

parte esencial para el desarrollo y la exposición de cualquier ciencia. Representan las ideas y el

leguaje comúnmente utilizado para expresarla.

1. El espacio y el tiempo son conceptos primitivos de la Mecánica, en el sentido de que no

se les puede dar una definición rigurosa que indique de qué modo dichos conceptos están

ligados con las nociones más generales.

En los fenómenos físicos se encuentran diferentes magnitudes físicas. Pero en casi todos

los fenómenos participan, además de otras, dos magnitudes: longitud y tiempo.

La longitud es la medida de la extensión de los cuerpos y el tiempo, la medida de la

duración de los procesos y fenómenos. La definición de estas magnitudes está vinculada

estrechamente en sentido filosófico con los conceptos del espacio y el tiempo. El espacio

y el tiempo son las formas de existencia de la materia. Fuera del tiempo y del espacio no

hay materia, no hay fenómenos.

2. Masa y peso. La masa de un cuerpo es una medida cuantitativa de la inercia de éste;

mientras que el peso de un cuerpo es la fuerza de atracción gravitacional ejercida por la

Tierra sobre el mismo.


52

De acuerdo con la segunda ley de Newton la relación que existe entre el peso, P, y la

masa, m, es:

Donde P se mide en newtons (N), m se mide en kilogramos (kg) y g es la aceleración

debida a la gravedad (m/s2)

3. El cuerpo de cuyas dimensiones se puede prescindir en las condiciones de un problema

dado se llama partícula o punto material.

4. Se llama cuerpo rígido a aquel cuerpo en el cual la distancia entre dos de sus puntos

cualesquiera permanece invariable, es decir, se supone que no se deforma.

Ahora bien, el estado de equilibrio o de movimiento de un cuerpo depende del carácter de

sus interacciones mecánicas con otros cuerpos, es decir, de aquellas presiones, atracciones

o repulsiones que experimenta dicho cuerpo como resultado de estas interacciones.

5. La magnitud física que es la medida cuantitativa de la interacción mecánica entre los

cuerpos materiales se llama, en Mecánica, fuerza.

6. A un conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo cualquiera se denomina sistema de

fuerzas.

7. A todo cuerpo, no enlazado con otros cuerpos, y que a partir de la posición dada se le

puede imprimir o comunicar cualquier desplazamiento en el espacio, se llama cuerpo

libre.

8. Si un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre puede ser sustituido por otro,

sin que por esto cambie el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, entonces estos

dos sistemas son equivalentes.


53

9. Todo sistema de fuerzas, bajo cuya acción un cuerpo libre puede encontrarse en reposo o

en movimiento rectilíneo uniforme, se llama sistema equilibrado o equivalente a cero.

10. Si un sistema de fuerzas es equivalente a una sola fuerza, ésta se llama fuerza resultante

del sistema de fuerzas en cuestión.

De este modo, la resultante es una fuerza que por sí sola reemplaza la acción que el

sistema de fuerzas ejerce sobre el cuerpo rígido.

11. Toda fuerza igual a la resultante en módulo, de sentido opuesto a la de la resultante y que

actúa a lo largo de la misma línea de acción se llama fuerza equilibrante.

12. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden dividirse en dos categorías:

externas e internas. Las fuerzas que actúan sobre las partículas de un cuerpo por parte de

otros cuerpos se llaman externas. Las fuerzas con las cuales las partículas de un mismo

cuerpo actúan entre sí se llaman internas.

13. La fuerza aplicada a un cuerpo en un punto se llama fuerza concentrada. Las fuerzas que

actúan sobre todos los puntos del volumen o en cierta parte de la superficie del cuerpo se

llaman fuerzas distribuidas.

14. Un cuerpo cuyos desplazamientos en el espacio se ven restringidos, sea por encontrarse

enlazado con otros cuerpos, sea por encontrarse en contacto con ellos, se llama no libre.

15. Todo lo que restringe los desplazamientos de un cuerpo dado en el espacio se llama

apoyo o ligadura.

16. La fuerza con la cual el apoyo dado actúa sobre un cuerpo, restringiendo uno u otro de

sus desplazamientos, se llama fuerza de reacción de apoyo o, simplemente, reacción.

17. A las fuerzas que no sean reacciones de ligadura (tales como la fuerza de gravedad) se

llaman fuerzas activas.

18. La reacción está dirigida en sentido opuesto a la dirección en que la conexión o apoyo

impide el desplazamiento del cuerpo.

19. Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un croquis o esquema de un cuerpo, de una

porción de un cuerpo o de dos o más cuerpos interconectados y completamente aislados o

libres de otros cuerpos, en donde se representan todas las fuerzas (conocidas y

desconocidas) que actúan sobre el cuerpo considerado, a causa de su interacción con los

cuerpos que lo circundan.


54

1.7 Axiomas de la Estática

Todos los teoremas y las ecuaciones de la Estática se deducen de algunas afirmaciones iniciales,

que se aceptan sin demostraciones matemáticas, llamadas axiomas o principios de la Estática.

El primer axioma define el sistema de fuerzas en equilibrio.

Axioma 1. Un sistema de fuerzas aplicado a un punto material (partícula) está en equilibrio si

bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo o en movimiento rectilíneo

uniforme.

Este axioma es parte del contenido de la primera ley de Newton.

El segundo axioma define el sistema de fuerzas en equilibrio más simple, ya que la experiencia

muestra que un cuerpo libre sobre el cual actúa una sola fuerza no puede estar en equilibrio.

Axioma 2. Si dos fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido libre, éste puede permanecer en

equilibrio solamente cuando los módulos de estas fuerzas son iguales (F1=F2) y ellas están

dirigidas en sentidos opuestos (

21 FF ) a lo largo de una misma recta.

El tercer axioma sirve de base para transformar las fuerzas.

Axioma 3. La acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido no se modificará si se le

agrega o se le quita un sistema de fuerzas en equilibrio.

Corolario de los axiomas 2 y 3 (Principio de transmisibilidad). La acción de una fuerza sobre

un cuerpo rígido, en lo que a efectos externos se refiere, no se modificará si el punto de

aplicación de la fuerza se traslada a lo largo de su línea de acción a cualquier otro punto del

cuerpo.

El cuarto axioma define la regla de composición (suma) de dos fuerzas.


55

Axioma 4 (Principio o ley del paralelogramo). Dos fuerzas aplicadas a un cuerpo en un punto

tienen una resultante aplicada en el mismo punto y representada por la diagonal del

paralelogramo construido sobre estas fuerzas como lados.

R

F1

→

F2

A

El quinto axioma establece que en la naturaleza no puede existir la acción unilateral de una

fuerza.

Axioma 5 (Tercera ley de Newton). Toda acción de un cuerpo sobre otro trae consigo, por parte

de este último, una reacción de la misma magnitud, pero en sentido opuesto.


56

Axioma 6 (Principio de rigidez). El equilibrio de un cuerpo deformable que se encuentra bajo la

acción de un sistema de fuerzas, se conserva si este cuerpo se considera solidificado (rígido).

El axioma seis puede ser expresado de otra forma: en condiciones de equilibrio, las fuerzas que

actúan sobre todo cuerpo deformable satisfacen las mismas condiciones que en el caso de un

cuerpo rígido

El axioma siete conduce al concepto de diagrama de cuerpo libre (DCL).

Axioma 7. (Axioma de las ligaduras o apoyos). El equilibrio de los cuerpos ligados (no libres),

se estudia en la Estática con fundamento en el axioma siguiente: todo cuerpo ligado puede

considerarse como libre si se suprimen las ligaduras o apoyos, y se sustituyen sus acciones por

las reacciones correspondientes a estos apoyos.

1.8 Fuerzas y sistemas de fuerzas

Las magnitudes físicas que se estudian en Mecánica pueden ser divididas en tres categorías:

escalares, vectores y tensores.

La fuerza es una magnitud vectorial. Su acción sobre un cuerpo se determina por: 1) el valor

numérico o módulo de la fuerza, 2) la dirección de la fuerza, 3) el sentido de la fuerza, y 4) el

punto de aplicación de la fuerza.

Clasificación de las fuerzas:

Existen diferentes criterios de clasificación de las fuerzas o de los sistemas de fuerza, a saber:

SISTEMAS DE

FUERZAS

COLINEALES

COPLANARES

TRIDIMENSIONALES O

ESPACIALES

Concurrentes

Paralelas

Generales

Concurrentes

Paralelas

Generales


57

Problema 1/69. Dar un ejemplo de sistemas de fuerzas: a) coplanar concurrente; b) coplanar

paralelas; c) coplanar general; d) tridimensional paralelas.

1.9 Composición y descomposición de fuerzas

La solución de problemas de Mecánica, y en particular de Estática, está relacionada con las

operaciones vectoriales de composición (adición) y descomposición de fuerzas.

El proceso de combinar (sumar) dos o más fuerzas para obtener una sola fuerza se llama

composición de fuerzas.

La descomposición de una fuerza en dos o más componentes significa hallar un sistema de

fuerzas, cuya resultante sea igual a la fuerza dada.

Ambas operaciones pueden realizarse, bien por medio de construcciones geométricas (método

geométrico), bien con ayuda de cálculos numéricos (método analítico).

La base de ambos métodos es la ley del paralelogramo.

CLASIFICACIÓN DE LAS

FUERZAS

CONCENTRADAS

DISTRIBUIDAS

Sobre una línea [𝐍 𝐦]

Sobre una superficie [𝐍 𝐦𝟐]

Sobre un volumen [𝐍 𝐦𝟑]


FUERZAS

ACTIVAS

REACTIVAS O

DE REACCIÓN


FUERZAS

EXTERNAS

INTERNAS


58

Método geométrico de composición y descomposición de fuerzas.

La suma geométrica de dos fuerzas , se determina según la ley del paralelogramo o

construyendo el triángulo de fuerzas (ley del triángulo). La operación inversa, la descomposición

de una fuerza, se basa en los mismos principios.

Problema 1/70. Los cables AB y AC son atados a la parte superior de una torre de transmisión.

La tensión en el cable AB es de 8 kN. Determine la tensión T en el cable AC tal que el efecto neto

de las tensiones en los dos cables sea una fuerza aplicada en el punto A con sentido vertical hacia

abajo. Determine, además, la magnitud R de esta fuerza vertical.

Prob. 1/70

Problema 1/71. El cable que va de A a B está sometido a una tensión de 30 kN. Descomponer

esta tensión que se ejerce en el enganche A en componentes Tn y Tt , respectivamente normal al

puntal y dirigida según él.

CD

A

B30° 10 m

10 m

10 m


59

Prob. 1/71

Problema 1/72. Una placa de acero está sujeta a las dos fuerzas mostradas. Reemplace estas

fuerzas por dos fuerzas equivalentes, Fx en la dirección x y Fa en la dirección a. Determinar las

magnitudes de Fx y Fa. Resolver por dos métodos: a) Método geométrico, y b) Método analítico.

Prob. 1/72

Generalizando, la suma vectorial de todo sistema de fuerzas se determina, ya sea mediante la

composición sucesiva de las fuerzas del sistema, según la ley del paralelogramo, o formando el

polígono de fuerzas (polígono vectorial).

Una magnitud, , igual a la suma vectorial de las fuerzas de un sistema, se llama vector

principal de este sistema de fuerzas.

∑

Problema 1/73. Determinar la magnitud R de la resultante de las cuatro fuerzas aplicada al punto

O. Calcular, también, el ángulo que define la dirección de R a partir del eje x. Resolver este

problema por el método geométrico de tres maneras diferentes:

a)

b)

c)


60

Q:(x,y) 300 N

R

400 N

800 Nx

y

O

400 N

O

45°

90°

90°

F3=400 N F2=400 N

F1=800 N

F4=300 N

θ

Q:(x,y)

300 N

R

400 N

800 N

x

y

O

400 Nθ

Q:(x,y)300 N

R400 N

800 N

x

y

O

400 Nθ

Prob. 1/73

Método analítico de composición y descomposición de fuerzas.

La definición (representación o expresión) analítica de una fuerza se basa en: a) la elección de un

sistema de coordenadas; b) la ley del paralelogramo; y c) la proyección de una fuerza sobre un

eje.

En algunos casos, para determinar la proyección de una fuerza sobre un eje, primero se

determina la proyección sobre el plano en que se encuentra este eje y, luego, proyectar sobre el

eje dado la proyección hallada sobre el plano.


61

z

x

yO

θ

φ

Ax

Ay

Az

Axy

A→

1.10 Momento de una fuerza

La experiencia indica que un cuerpo sometido a la acción de una fuerza, además de la tendencia a

trasladarse, puede girar alrededor de un centro o punto. El efecto de rotación de una fuerza se

caracteriza por su momento.

El momento de una fuerza puede referirse con respecto a un punto o centro y con respecto a un

eje.

Momento de una fuerza con respecto a un punto o centro.

Sea una fuerza aplicada a un punto A de un cuerpo rígido. Supongamos que esta fuerza trata de

hacer girar al cuerpo alrededor del centro O. La perpendicular d, trazada del centro O a la línea de

acción de la fuerza , se llama brazo de la fuerza respecto del centro O.

Entonces, como una medida cuantitativa del efecto de rotación, el momento de la fuerza se define

del modo siguiente: se llama momento de la fuerza respecto del centro O, a la magnitud que

es igual al producto, tomado con el signo correspondiente, del módulo de la fuerza por la

longitud del brazo. El momento de la fuerza respecto del centro O será designado por el

símbolo ( ). Por consiguiente:

( )


62

A

d

O

F

90°

d

O A

F

90°

M0 (F)=+Fd M 0 (F)=-Fd

Momento de una fuerza respecto de un punto como vector

El momento de la fuerza respecto del centro O, como característica del efecto de rotación de

esta fuerza, se define por tres elementos: 1) el módulo del momento, que es igual al módulo de la

fuerza por su brazo, Fd ; 2) el plano de rotación OAB, que pasa por la línea de acción de la

fuerza y por el centro O ; 3) el sentido de rotación en este plano.

B

x

y

z

O d

Ar→

Mo→

F→

Teorema. El momento de la fuerza respecto del centro O equivale al producto vectorial del

radio-vector , que une el centro O con cualquier punto A perteneciente a la línea de

acción de la fuerza, por la propia fuerza.

( ) |

|

Momento de una fuerza con respecto a un eje

El momento de una fuerza respecto de un eje caracteriza el efecto de rotación, producido por esta

fuerza, que trata de hacer girar el cuerpo alrededor del eje dado.


63

Consideremos un eje λ , cuya dirección y sentido están definidos por el vector unitario , el

momento de la fuerza aplicada en el punto A, con respecto al eje λ es el siguiente vector:

[( ) ] |

| ( )

Problema 1/74. Demostrar el siguiente teorema: 1) si la fuerza es paralela al eje, su momento

respecto a éste equivale a cero; 2) si la línea de acción de la fuerza corta el eje, su momento

respecto de éste equivale también a cero. Uniendo ambos casos se concluye que el momento de

una fuerza respecto de un eje equivale a cero si la fuerza y el eje se encuentran en un mismo

plano. 3) Si la fuerza es perpendicular al eje, su momento respecto de este eje equivale al

producto módulo de la fuerza por la distancia entre la fuerza y el eje.

¿Qué relación existe entre el momento de una fuerza respecto de un punto y de un eje?

Problema 1/75. Demostrar el siguiente teorema: el momento de la fuerza respecto de un eje es

igual a la proyección sobre este eje, del vector que representa el momento de la fuerza respecto

de un punto cualquiera dispuesto sobre dicho eje.

1.11 Teorema de Varignon o principio de los momentos Si un sistema de fuerzas posee una resultante, el momento de esta resultante respecto a cualquier

punto o eje es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas componentes respecto

del mismo punto o eje.

F1

F2

F3

r

O

A

Así, para un punto O:

( ) ∑ ( )


64

Problema 1/76. Calcular el momento de la fuerza de 90 N con respecto al punto O para la

condición . Determinar, también, el valor de para el cual el momento con respecto al

punto O es: a) cero; b) máximo.

Prob. 1/76

Problema 1/77. La tensión T en el cable AB tiene una magnitud de 24 kN. Calcular el momento

de esta fuerza con respecto a cada uno de los ejes de coordenadas que pasan por la base O de la

estructura de la grúa.

Prob. 1/77


65

Problema 1/78. La tensión en el cable AB es de 100 N. Determine el momento alrededor del

punto O de dicha tensión aplicada en el punto A de la barra en forma de T. La dimensión b es de

600 mm.

Prob. 1/78

Problema 1/79. La porción del clasificador mecánico de pequeños discos metálicos de acero y de

cobre funciona como se menciona a continuación: Los discos descienden a través de la rampa

inclinada 20°, la última parte en forma triangular pivotea libremente alrededor del eje horizontal

a través del punto O. Los discos de acero son lo suficientemente ligeros (2.28 gramos cada uno)

para mantener en reposo la porción triangular y de esta forma los discos de acero puedan rodar y

llegar hasta la columna de colección de la derecha. Los discos de cobre, por otro lado, son lo

suficientemente pesados (3.06 gramos cada uno) para hacer que la porción triangular gire en

torno a O en sentido horario, y así los discos de cobre rueden y se depositen en la columna de

colección de la izquierda. Determine el momento alrededor del punto O del peso de los discos de

cobre en términos de la distancia inclinada s en milímetros.

Discos de bronce Discos de acero

Prob.1/79


66

Problema 1/80. Una cuerda pasa sobre una polea ideal como se muestra en la figura, carga un

cajón de peso G y es sostenida en el punto C. El radio de la polea debe despreciarse. Determinar

el momento resultante de las fuerzas en la cuerda alrededor del punto A

Esquema auxiliar

Prob. 1/80

Problema 1/81. Un bloque rectangular con medidas y en sus aristas, está sometido a seis

fuerzas, desde a , como se muestra en la figura.

Calcular la resultante , los momentos resultantes ( )

y ( )

y sus magnitudes con respecto a

los puntos y .

Asumir que

Prob. 1/81


67

Problema 1/82. Hallar los momentos de las fuerzas P y Q, aplicadas a la placa horizontal

representada, respecto de los ejes de coordenadas.

x

z

yb

a

O

Q

P

A

B

C α

Prob. 1/82

Problema 1/83. La fuerza de 120 N es aplicada como se muestra en la figura a uno de los

extremos de la llave curveada, calcular:

a) El momento de F respecto del centro O del tornillo, si α = 30°.

b) El valor de α que maximiza el momento de F respecto de O.

70

25O

A

150

25

70

120 N

α

(Dim. en mm)

Esquema auxiliar

Prob. 1/83


68

Problema 1/84. En el mecanismo de biela y manivela representado, la biela AB de longitud l

soporta una fuerza de compresión variable C. Deducir una expresión del momento de C respecto

al eje de la manivela O en función de C, r, l y el ángulo variable θ.

r

C

l

O

B

A

θ

Prob. 1/84

Problema 1/85. Para la posición angular de la manivela OA, del mecanismo de biela y

manivela mostrado, la presión de los gases sobre el pistón induce una fuerza de compresión P a

lo largo de la biela AB. Si esta fuerza produce un momento de 720 N∙m con respecto al punto O,

calcular la magnitud de P.

P

B

O

α

60° 0.125 m

0.3

m

A C

Esquema auxiliar

Prob. 1/85


69

Problema 1/86. Al introducir una pieza cilíndrica en el orificio cilíndrico, el robot ejerce sobre la

pieza D la fuerza de 90 N que se indica. Determinar los momentos respecto a los puntos A, B y C

de la fuerza ejercida sobre el robot.

45°

60°

0.45 m

0.55

m

15°

A

B

C

A´

C´ E´

E

Esquema auxiliar

Prob. 1/86

Problema 1/87. Si la magnitud de la tensión T1 es igual a 1200 N, y está aplicada en el punto C,

es decir, con sentido de C hacia E, determinar el momento de esta fuerza respecto al eje AD.

Indicar este momento en forma escalar, y luego expresarlo como un vector.

Prob. 1/87


70

1.12 Par de fuerzas

Se llama par de fuerzas, o simplemente par, a un sistema de dos fuerzas paralelas, no colineales,

de módulos iguales y de sentidos opuestos, aplicadas a un cuerpo rígido.

B

A

d

F→

-F→

El plano que pasa a través de las líneas de acción de las fuerzas de un par, se llama plano de

acción del par. La distancia d entre las líneas de acción de las fuerzas del par, se denomina brazo

del par.

La acción de un par de fuerzas sobre un cuerpo rígido se reduce a un efecto de rotación, que

depende de los factores siguientes:

1) El módulo F de las fuerzas del par.

2) La magnitud del brazo del par.

3) La orientación del plano de acción del par.

4) El sentido de giro en este plano.

Definición. Se llama momento de un par a la magnitud igual al producto, tomado con el signo

correspondiente, del módulo de una de las fuerzas del par por su brazo.

Teorema. La suma vectorial de los momentos de las fuerzas que constituyen un par, respecto de

cualquier centro o punto, no depende de la posición del centro y es igual al momento del par.


71

Problema 1/88. Las dos fuerzas que actúan sobre los mangos de las llaves Stillson constituyen

un par. Calcular el momento de este par. Expresar el resultado en forma escalar y como un

vector.

Prob. 1/88


72

Problema 1/89. Durante la rotación uniforme de un volante, una persona ejerce las fuerzas

mostradas sobre él. Note que cada fuerza consiste de una componente tangencial y una

componente radial hacia adentro. Determine el momento ejercido alrededor del eje del volante

en O.

Prob. 1/89

Problema 1/90. Un marco está sujeto a la acción de dos fuerzas de 250 N como se muestra en la

figura. Si se desea reemplazar esas fuerzas por un sistema que contiene la fuerza de 200 N

aplicada en A y una segunda fuerza aplicada en B. Determinar la coordenada y de B.

Prob. 1/90


73

1.13 Teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza: reducción fuerza-par.

La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes se halla directamente con ayuda del axioma

del paralelogramo de fuerzas. Para un sistema de fuerzas arbitrario, se aplica el método basado en

el siguiente teorema: una fuerza aplicada a un cuerpo rígido puede ser reemplazada

paralelamente a sí misma, sin que cambie su acción sobre éste, a cualquier punto del cuerpo,

añadiendo al mismo tiempo un par de momento igual al momento de la fuerza que se reemplaza

respecto a su nuevo punto de aplicación.

Problema 1/91. Reemplazar las dos fuerzas y el par que actúan sobre el elemento estructural de

acero por un sistema equivalente fuerza-par en A.

Prob. 1/91


74

Problema 1/92. Reemplazar las dos fuerzas y el par mostrados, por un sistema equivalente

fuerza–par aplicado en el punto A.

Prob. 1/92

Problema 1/93 La fuerza horizontal de 50 N es aplicada sobre el mecanismo que acciona una

válvula industrial como se muestra. La fuerza es perpendicular al plano vertical que contiene la

línea OA sobre el mecanismo. Determine el sistema fuerza – par equivalente en el punto O.

Prob. 1/93


75

Problema 1/94. El soporte de la polea resiste, tal como se muestra, las dos tensiones de 800 N

del cable y se sujeta a la columna de acero mediante la placa y los pernos en A y B. Reemplazar

las dos fuerzas por una fuerza y un par equivalentes, con la fuerza equidistante de ambos pernos.

A continuación redistribuir esa fuerza y ese par sustituyendo cada uno por una fuerza en A y una

fuerza en B. Combinar los efectos y hallar la fuerza de tracción o compresión que soporta cada

perno.

32

0 m

m1

50

mm

160 mm

380 mm800 N

800 N

A

B

Prob. 1/94

1.14 Fuerzas distribuidas

Consideremos las fuerzas distribuidas coplanares, en particular aquellas fuerzas distribuidas sobre

un segmento de línea recta, tal como una viga.

Un sistema plano de fuerzas distribuidas se caracteriza por su intensidad w, es decir, la magnitud

de la fuerza en la unidad de longitud del segmento cargado: N/ m.

FUERZAS

DISTRIBUIDAS

- Sobre una línea [N/m]

- Sobre una superficie [N/m2]

- Sobre un volumen [N/m3]


76

El problema de la estática de las fuerzas distribuidas consiste en:

1) Determinar la magnitud de la resultante de la fuerza distribuida, que es una fuerza

concentrada.

2) Determinar la localización de esta fuerza resultante.

Problema 1/95. Determinar la resultante de la siguiente carga distribuida, y localizarla a partir

del punto A.

Prob. 1/95

Problema 1/96. Determinar la resultante de la siguiente carga distribuida, y localizarla a partir

del punto A.

1/96


77

Problema 1/97. Determinar la resultante del siguiente sistema de cargas distribuidas, y

localizarla a partir del punto A.

4 m 3 m 3 m

w

x

0.8 kN/m

1.6 kN/m

0.8 kN/m0.6 kN/m

w =w0+kx2

A B

Prob. 1/97

1.15 Reducción de los sistemas de fuerzas: resultantes

El problema de la teoría de la resultante de un sistema de fuerzas consiste en lo siguiente:

a) Determinar el tipo de resultante y su valor. Es decir, si se trata sólo de una fuerza, sólo de

un momento o bien de una fuerza y un momento.

b) Determinar la localización de la resultante. Es decir, indicar un punto por donde pasa la

línea de acción de la resultante.

La solución de este problema se fundamenta en el siguiente teorema, que es una generalización

del teorema sobre el traslado paralelo de una fuerza (reducción fuerza-par).

Consideremos un sistema de fuerzas arbitrario, aplicado sobre un cuerpo rígido. La magnitud ,

que equivale a la suma vectorial de todas las fuerzas del sistema, se llama vector principal del

sistema; la magnitud , que equivale a la suma de los momentos de todas las fuerzas del

sistema respecto del centro O, se llama momento principal del sistema respecto del centro O:

iFR )(

iOO FMM

Teorema Cualquier sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido al ser reducido a un

centro arbitrario O, se sustituye por una sola fuerza equivalente al vector principal del


78

sistema, aplicada en el centro de reducción O y a un par de momento equivalente al

momento principal del sistema respecto del centro O.

Cabe señalar que, en general, la fuerza no es la resultante del sistema, pues ella sola no

sustituye al sistema, sino que lo hace junto con el par.

Casos de resultantes:

Caso 1. y . El sistema se encuentra en equilibrio.

Caso 2. , pero . El sistema se reduce a un par de fuerzas, cuyo momento es,

precisamente, .

En este caso, el momento no depende de la elección del centro O. Un cuerpo libre, bajo la

acción de tal sistema de fuerzas, puede (pero no siempre) efectuar un movimiento de rotación

pura.

Caso 3. , pero . El sistema se reduce a la resultante que pasa por el centro O.

Un cuerpo libre, sometido a la acción de tal sistema de fuerzas puede efectuar un movimiento de

traslación pura (si la resultante pasa por el centro de masa del cuerpo).

Caso 4. y ; pero . El sistema se reduce también a una sola resultante igual

a →

R , pero que no pasa por el centro O.

Caso 5. y ; pero el vector es paralelo a . El sistema se reduce al conjunto de

la fuerza aplicada en O, y del par de momento , que se encuentra en un plano perpendicular


79

a . Tal resultante, de una fuerza y de un par, se llama tornillo dinámico, torsor o reducción

canónica, y la recta, a lo largo de la cual están dirigidos los vectores y , se llama eje central.

Caso 6. y ; pero los vectores y no son paralelos ni perpendiculares. El

sistema de fuerzas se reduce también a un torsor, pero el eje de este torsor no pasará por el centro

O.

Problema 1/98. Determine la resultante de las cuatro fuerzas y el par que actúan sobre la placa

de acero mostrada. Determinar el punto sobre el eje x por donde pasa la línea de acción de dicha

resultante.

Prob. 1/98

Problema 1/99. Las resultantes P = 8 000 tf y F = 5 200 tf de las fuerzas de presión del agua

sobre la presa están aplicadas en el plano vertical perpendicularmente a las caras

correspondientes, a las distancias H = 4 m y h = 2.4 m de la base, respectivamente. El peso G1 =

12 000 tf de la parte rectangular de la presa está aplicado en su centro de gravedad, el peso G2 =

6 000 tf de la parte triangular está aplicado a la distancia de una tercera parte de la longitud de la

base inferior de la sección triangular a partir de la cara vertical de esta sección. El ancho de la

presa en su base es b =10 m, en su parte superior es a = 5 m;


80

Determinar la resultante de las fuerzas de reacción distribuidas del terreno, sobre el cual está

construida la presa. Encuentre el valor de x del punto de intersección de la resultante con la base

b de la presa.

F

hx

P

H

b

ay

G

α

1

G2

Prob. 1/99

Problema 1/100. Una losa de cimentación de concreto soporta seis fuerzas verticales paralelas.

Hallar el módulo y punto de aplicación de la resultante de estas seis fuerzas.

48 kN

64 kN

40 kN

56 kN

32 kN72 kN

2.4

3.6

2.8

2

3.2

2.8

x

y

Acotaciones en metros

Prob. 1/100


81

Problema 1/101. Determinar la fuerza resultante de las dos cargas distribuidas, y especificar la

distancia al punto donde la línea de acción de dicha resultante interseca la barra BC, medida

desde C.

200 N/m

200 N/m

100 N/m

6 m

5 m

A

BC

Prob. 1/101

Problema 1/102. Determinar el momento M si la resultante de éste y las dos fuerzas pasa por el

punto O.

Prob. 1/102


82

UNIDAD 2. EQUILIBRIO

Objetivo

Derivar las condiciones de equilibrio de los cuerpos, sometidos a la acción de sistemas de

fuerzas, y su aplicación al análisis y diseño de sistemas en equilibrio.

Temas:

2.1 Definición de equilibrio.

2.2 Condiciones de equilibrio.

2.3 Apoyos y sus reacciones.

2.4 Diagrama de cuerpo libre.

2.5 Formas independientes de las condiciones de equilibrio.

2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos.

2.7 Solución de problemas de equilibrio.

2.8 Equilibrio de partículas.

2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos.

2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas.

2.1 Definición de equilibrio De acuerdo con la primera ley de Newton, un sistema de fuerzas aplicado a un punto material

(partícula) está en equilibrio si bajo su acción el punto se encuentra en estado de reposo relativo

o en movimiento rectilíneo uniforme.

2.2 Condiciones de equilibrio

Las condiciones de equilibrio son las ecuaciones necesarias y suficientes para que un cuerpo o

sistema mecánico se encuentre en estado de equilibrio. Estas ecuaciones se deducen de la

segunda ley de Newton:

∑ y ∑ .

La primera ecuación garantiza que el cuerpo o sistema esté en equilibrio traslacional, la segunda

en equilibrio rotacional.


83

Problema 2/1. Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido

son:

1) La suma de todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo debe ser nula:

∑ (1)

2) El momento resultante de las fuerzas externas con relación a cualquier punto debe ser nulo:

∑ (2)

Demostrar el siguiente teorema: cuando la condición (1) se cumple, de la igualdad a cero de la

suma de los momentos para un punto cualesquiera O se sigue la igualdad a cero de la suma de los

momentos respecto de cualquier otro punto Q. ¿Cómo se interpreta este resultado?

2.3 Apoyos y sus reacciones

Todo lo que restringe los desplazamientos de un cuerpo dado en el espacio se llama apoyo o

ligadura. La fuerza con la cual el apoyo dado actúa sobre un cuerpo, restringiendo uno u otro de

sus desplazamientos, se llama fuerza de reacción de apoyo o, simplemente, reacción.

Principales apoyos:

1) Superficie lisa

2) Superficie rugosa


84

3) Cable flexible, cadena, cuerda o hilo

4) Resorte elástico lineal

5) Rodillo

6) Articulación o pasador


85

7) Empotramiento o apoyo fijo

8) Rótula o articulación en tres dimensiones

9) Empotramiento en tres dimensiones


86

2.4 Diagrama de cuerpo libre

Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un croquis o esquema de un cuerpo, de una porción de

un cuerpo o de dos o más cuerpos interconectados y completamente aislados o libres de otros

cuerpos, en donde se representan todas las fuerzas (conocidas y desconocidas) que actúan sobre

el cuerpo considerado, a causa de su interacción con los cuerpos que lo circundan.

Un diagrama de cuerpo libre posee tres características esenciales: (1) es un diagrama o croquis

del cuerpo; (2) el cuerpo se representa separado completamente de otros cuerpos incluyendo los

apoyos; (3) la acción que le ejerce un cuerpo que se retiró durante el proceso de aislamiento se

representa en el diagrama como una o varias fuerzas de reacción.

En el diagrama de cuerpo libre debe indicarse completamente cada fuerza, con su magnitud,

dirección y sentido si ésta es conocida o con una letra en caso contrario. Cuando el sentido de

una fuerza desconocida no sea evidente, puede suponerse y corregirse posteriormente si el

supuesto inicial resulta incorrecto.

Problema 2/2. Trazar los diagramas de cuerpo libre, asociados a los siguientes sistemas:

a) Armadura plana

P2=5 kN

CB

A E F D

P1=15 kN

4 m

3 m 3 m 3 m

Prob. 2/2 (a)


87

b) Estructura plana

0.2 m

0.2 m

0.2 m

0.2 m 0.2 m

600 N

A

B

C

D

E

Prob. 2/2 (b)

c) Viga empotrada de masa m

Prob. 2/2 (c)


88

2.5 Formas independientes de las condiciones de equilibrio

Las condiciones generales de equilibrio ∑ y ∑ , son ecuaciones

vectoriales, que, dependiendo del sistema de fuerzas que resulte en el diagrama de cuerpo libre,

dan origen a un número de ecuaciones escalares independientes de equilibrio.

Ejemplos de ecuaciones independientes de equilibrio.

Sistema de

fuerzas

Número de

ecuaciones de

equilibrio

independientes

Notación de las ecuaciones de equilibrio

Sistema tridimensional

general 6

∑ ∑ ∑

∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( )

Sistema coplanar general

3

1. ∑ ∑ ∑ ( ) , o bien

2. ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ,

si los puntos A, B y C no se hallan en una misma recta, o bien

3. ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ , si el

eje x no es perpendicular a la recta AB.

Sistema tridimensional

paralelo 3

∑ ∑ ( ) ∑ ( ) , si los

ejes x e y se sitúan en el plano perpendicular a las fuerzas.

Sistema coplanar paralelo

2

1. ∑ ∑ ( ) , o bien

2. ∑ ( ) ∑ ( ) , si los puntos A

y B no están sobre la recta paralela a las fuerzas dadas.

Sistema

tridimensional concurrente

3 ∑ ∑ ∑

Sistema coplanar

concurrente

2 ∑ ∑


89

En particular, es importante identificar las condiciones de equilibrio de un cuerpo o miembro de

dos y tres fuerzas.

a) Miembro de dos fuerzas: de acuerdo con el segundo axioma de la Estática, si dos fuerzas

actúan sobre un cuerpo rígido libre, éste puede permanecer en equilibrio solamente

cuando los módulos de estas fuerzas son iguales ( ) y ellas están dirigidas en

sentidos opuestos ( ) a lo largo de una misma recta.

b) Miembro de tres fuerzas (teorema de las tres fuerzas). Si un cuerpo rígido libre se

encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares no paralelas, la línea de

acción de éstas se interceptan en un punto.

2.6 Sistemas isostáticos e hiperestáticos

Durante la resolución de problemas de equilibrio de un cuerpo rígido no libre (apoyado), las

reacciones de los apoyos aplicadas a él son magnitudes previamente desconocidas. El número de

estas incógnitas depende de la cantidad y del carácter de los apoyos introducidos. El problema

correspondiente de la Estática se puede resolver solamente cuando el número de reacciones

desconocidas no sea mayor que la cantidad de ecuaciones independientes de equilibrio

disponibles. Tales problemas se llaman estáticamente determinados o isostáticos, y los sistemas

de cuerpos, para los cuales esto tiene lugar, se llaman sistemas estáticamente determinados.

Los problemas en los cuales el número de reacciones de apoyos desconocidas es mayor que la

cantidad de ecuaciones independientes de equilibrio disponibles, se llaman problemas

estáticamente indeterminados o hiperestáticos, y los sistemas de cuerpos para los cuales esto

tiene lugar, se llaman sistemas estáticamente indeterminados.

2.7 Solución de problemas de equilibrio

El equilibrio de los cuerpos ligados (no libres), se estudia en la Estática con fundamento en el

axioma siguiente: todo cuerpo ligado puede considerarse como libre si se suprimen las

ligaduras o apoyos, y se sustituyen sus acciones por las reacciones correspondientes a estos

apoyos.

Las magnitudes de las reacciones, previamente desconocidas, pueden ser determinadas a partir de

las condiciones del equilibrio de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, al que ahora podemos

considerar como libre. En esto consiste el método principal para resolver problemas de Estática.

La determinación de las reacciones de los apoyos tiene la importancia práctica siguiente: al

conocer estas reacciones, conoceremos las fuerzas que actúan sobre los apoyos, es decir, los datos

iniciales necesarios para calcular la resistencia de los elementos correspondientes de una

construcción o máquina.


90

La metodología general para resolver problemas de equilibrio se compone de los siguientes

pasos:

1º. Comprensión del problema.

2º. Identificación o elección del cuerpo, cuyo equilibrio debe ser examinado.

3º. Liberación del cuerpo de los apoyos y construcción del diagrama de cuerpo libre

correspondiente. Aquí se incluye la elección del sistema de ejes de coordenadas

4º. Composición de las condiciones equilibrio.

5º. Determinación de las magnitudes incógnitas, análisis de los resultados obtenidos y revisión

de la exactitud y unidades de la solución.

2.8 Equilibrio de partículas

Problema 2/3. Dos cuerdas se atan juntas en C y se cargan con el bloque de 200 kg como se

muestra en la figura. Sabiendo que α = 20°. Determine las fuerzas de tensión en los cables AC y

BC.

Prob. 2/3


91

Problema 2/4. Dos cables se amarran juntos en C y son cargados como indica la figura. (a) Si

W = 840 N, determine la tensión en el cable AC y en el cable BC. (b) Determine el rango de

valores de W para los que la tensión no será mayor de 1050 N en cualesquiera de los cables.

W

8

15

680 N

A B

C

300 mm 750 mm

400 mm

Prob. 2/4

Problema 2/5. Un contenedor de peso W está suspendido de una argolla A, a la cual se atan los

cables AC y AE. Una fuerza P está aplicada en el extremo F de un tercer cable el cual pasa sobre

una polea en B y a través de la argolla A y termina fijo en el soporte D. Si W = 1000 N,

determinar la magnitud de P y las tensiones en los cables AC y AE.

Prob. 2/5


92

Problema 2/6. Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 500 mm de longitud y de

dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 450 mm cada una. Si las constantes de los resorte

son kAB = 1500 N/m y kAD = 500 N/m, determinar (a) la tensión en la cuerda AC, (b) el peso del

bloque.

330 mm

160 mm

320 mm

140 mm

W

A

B

C

D

580 mm 460 mm

Prob. 2/6

Problema 2/7. Los collarines A y B unidos por medio de un alambre de 1 m de largo pueden

deslizarse libremente sin fricción sobre las barras. Si una fuerza P = (680 N) se aplica en A,

determinar: a) la tensión en el alambre cuando y = 300 mm, b) la magnitud de la fuerza Q

requerida para mantener el equilibrio del sistema.

400 mm

Prob. 2/7


93

Problema 2/8. La placa de acero de 1800 kg tiene su centro de masa en el punto G . Calcular la

tensión en cada uno de los cables que sirven para levantar la placa y mantenerla horizontal.

A

B

C

y

x

z

D

2.4 m

1.2 √2 m

2.4 m

1.2 mTA

TB

TC

G

1.2 m

W= 1.8 (9.81) = 17.66 kN

Prob. 2/8

Problema 2/9. Una rueda con peso G se mantiene sobre un plano inclinado liso con la ayuda de

un cable. Determinar la fuerza en el cable y la fuerza de contacto entre el plano y la rueda.

Prob. 2/9


94

Problema 2/10 Tres cajas con pesos y están atadas a dos cables como se muestra en la

figura. Las poleas son lisas. Calcular los ángulos y en el estado de equilibrio.

P

Prob. 2/10

Problema 2/11 Dos barras 1 y 2 están fijadas en y a una pared por pernos lisos. Ambas están

articuladas en y sometias a un peso (Figura 2.16a).

Calcular las fuerzas en las barras.

Prob. 2/11


95

Problema 2/12. Una estructura consiste de dos barras 1 y 2 y una cuerda 3. Está cargada en A

por una caja de peso G como se muestra en la figura. Determinar las fuerzas en las barras y en la

cuerda. Desprecie el peso tanto de las barras como de la cuerda.

Prob. 2/12

Problema 2/13. Un mástil vertical está soportado por dos cuerdas, 1 y 2. La fuerza en la

cuerda 3 es conocida. Determine las fuerzas en las cuerdas 1 y 2, y en el mástil.

Prob. 2/13


96

2.9 Equilibrio de cuerpos rígidos

Problema 2/14. La viga simplemente apoyada (longitud ) mostrada en la Figura 5.28

está sometida a tres fuerzas concentradas la carga lineal

y el momento Calcular las reacciones en los apoyos.

Prob. 2/14

Problema 2/15. La viga mostrada en la figura puede rotar alrededor de su apoyo, está cargada

por dos fuerzas y . Despreciar su peso propio de la viga. Determinar la ubicación del apoyo

para que la viga se encuentre en equilibrio. Además, encontrar la fuerza A ejercida sobre la viga

por el apoyo.

Prob. 2/15

Problema 2/16. La viga mostrada en la figura está sometida a una fuerza F que actúa bajo el

ángulo . Determine las fuerzas de reacción en los apoyos A y B.

Problema 2/16


97

Problema 2/17. La viga empotrada mostrada en la figura está cargada por dos fuerzas .

Determinar las reacciones en el apoyo.

Prob. 2/17

Problema 2/18. Un cable es guiado sobre una polea ideal y sometido a las fuerzas y , que

actúan bajo los ángulos dados y β. Las dos fuerzas están en equilibrio. Si se da la fuerza , determinar la fuerza requerida y la fuerza de reacción en la articulación O que sujeta la polea.

Prob. 2/18

Problema 2/19. Una viga homogénea de longitud 4a y peso G, está suspendida en C por una

cuerda. La viga toca la pared lisa vertical en A y B como se muestra en la figura. Encontrar la

fuerza en la cuerda y las fuerzas de contacto en A y B.

Prob. 2/19


98

Problema 2/20 Una viga de longitud √ está situada dentro de una carcasa esférica lisa de

radio , como se muestra en la figura. Si se considera el peso G de la esfera colocada en la viga,

determinar la distancia del extremo izquierdo de la viga requerida para mantenerla en equilibrio

con el ángulo Calcular las fuerzas de contacto en A y B. Desprecie el peso de la viga.

Prob. 2/20

Problema 2/21. Una palanca de longitud l que está sometida a una fuerza vertical ejerce una

fuerza de contacto sobre un cilindro circular de radio r y peso G. El peso de la palanca debe

despreciarse y además, todas las superficies son lisas.

Determinar la fuerza de contacto entre el cilindro y el piso si la altura h del escalón es igual al

radio r del cilindro.

Prob. 2/21


99

Problema 2/22. Determine las reacciones en los apoyos A y B de la viga sujeta a las fuerzas y

par indicados.

1.25 kN·m

3

4 10 kN

5 kN

A B

1 m 2 m 2 m 1 m

Prob. 2/22

Problema 2/23. Determine las reacciones de los apoyos de la viga sujeta a las condiciones de

carga indicadas.

5000 N

0.6 m0.6 m1.2 m

900 N/m

Prob. 2/23

Problema 2/24. Determinar las reacciones en el empotramiento de una viga en voladizo,

sometida a la acción de una fuerza concentrada, de un par de fuerzas y de una carga distribuida

que varía de acuerdo con la ley del triángulo y del trapecio. Indicar las cantidades calculadas en

un DCL correcto.

y

5 tf

4 tf·m

30°

4.5 m 3 m

x

q

q= 2 tf/m

Prob. 2/24


100

Problema 2/25. La barra uniforme AB con una masa de 200 kg soporta en A la carga de 600 kg.

Calcular la tensión T en el cable portante y la magnitud FB de la fuerza que soporta el pasador B.

2.5 m

2.5 m

2.5 m

600 kg

60°

A

BT

Prob. 2/25

Problema 2/26. El cable de la figura tiene una masa de 1.5 por metro de longitud y soporta la

polea y el gancho de elevación que juntos, tienen una masa de 5.4 kg. Hallar la fuerza P

necesaria para mantener el equilibrio.

2.5 m

1.2 m

P

150 mm

Prob. 2/26


101

Problema 2/27. Calcular las reacciones en los apoyos A y B de la viga sujeta a las fuerzas

distribuidas indicadas.

Prob. 2/27

Problema 2/28. El marco simétrico tiene una masa de 1200 kg y está apoyado y cargado como se

muestra. Si la carga que puede soportar el pasador A está limitada a 20 kN, hallar la carga lateral

P máxima permitida.

4 m

6 m

P

AB

Prob. 2/28


102

Problema 2/29. La siguiente figura representa un poste de una cerca utilizada en un terreno

agrícola. El poste se considera articulado en A, y se fija al suelo mediante el alambre BC. Tres

alambres horizontales se atan al poste y la tensión en cada uno de ellos es de 300 N. Encontrar la

tensión en el cable BC y las reacciones en la articulación en A.

550 mm

550 mm

250 mm

100 mm

60°

300 N

300 N

300 N

1000 mm

C

B

A

Prob. 2/29

Problema 2/30. Una rueda dentada C de 1 m de radio y un piñón D de 10 cm de radio están

montados sobre un árbol horizontal AB. Otras dimensiones están indicadas en el dibujo. Una

Fuerza horizontal P = 10 kgf está aplicada, en dirección de la tangente, a la rueda C y una fuerza

vertical Q está aplicada, también en dirección de la tangente, al piñón D.

Determinar la fuerza Q y las reacciones de los cojinetes A y B en el estado de equilibrio. Dar las

respuestas en kgf.

|

A

y

x

10cm

80 cm

10cmD

Q

C B

z

P

Prob. 2/30


103

Problema 2/31. Para la posición representada, el cigüeñal de un motor bicilíndrico está sometido

a las fuerzas de 400 y 800 N, ejercidas por las bielas. Si el cigüeñal está en equilibrio, hallar las

fuerzas de reacción de los cojinetes A y B y el par M que actúan sobre dicho cigüeñal.

M

Prob. 2/31

Problema 2/32. Un árbol de transmisión horizontal, que lleva dos poleas C y D de transmisión

por banda, puede girar en los cojinetes A y B. Los radios de las poleas son rC = 20 cm, rD = 25

cm; las distancias entre las poleas y los cojinetes son ; la distancia entre las poleas

c = 100 cm. Las tensiones y de las ramas de la banda montada sobre la polea C son

horizontales; . Las tensiones y de las ramas de la banda montada sobre

la polea D forman con la vertical un ángulo ; . Determinar las tensiones

en el estado de equilibrio y las reacciones de los cojinetes provocadas por las tensiones de las

bandas.

αα

a c b

A B

DC

x

z

y

T1

t1

t2

T2

Prob. 2/32


104

Problema 2/33. Determinar la fuerza F necesaria para iniciar la rodadura del cilindro uniforme

de peso G y radio r sobre el escalón.

α

h

rF

Prob. 2/33

Problema 2/34. La pluma ligera en ángulo recto que soporta al cilindro de 400 kg, está

soportada por tres cables y una rótula en O fija al plano xy . Hallar las reacciones en O y las

tensiones en los cables.

y

x

z

EO

A

B

C

D

1 m

1 m

1 m

1.5 m

1 m

2 m

0.75 m 0.75 m

TAC

TBD

TBE

Ox

OyOz

400 (9.81) = 3924 N

Prob. 2/34


105

Problema 2/35. Determinar las magnitudes de la fuerza y el par ejercidas por la tuerca y

perno en O sobre la ménsula cargada para mantenerla en equilibrio.

1.6 kN

50°

0.2 m

0.2

m0

.15

m

Ry

My

zMz

MxRx

Rz

2.4 kN

30°

x y

Prob. 2/35

Problema 2/36. Una placa homogénea de peso es soportada por seis barras y sometida a la

fuerzas como se muestra en la figura. Calcular las fuerzas en las barras.

Prob. 2/36


106

Problema 2/37. Un miembro angular está en equilibrio bajo la acción de cuatro fuerzas; las

cuales son perpendiculares al plano determinado por el miembro. La fuerza F es conocida,

calcular las fuerzas y Despreciar el peso del miembro.

Prob. 2/37

Problema 2/38. La palanca rectangular que está empotrada en está cargada por una fuerzas

distribuida , dos fuerzas y el momento Determinar las reacciones en los apoyos.

Prob. 2/38


107

Problema 2/39. La válvula de seguridad A de una caldera de vapor está unida por medio de la

barra AB con la palanca homogénea CD de 50 cm de longitud y de 1 kgf de peso, que puede girar

alrededor del eje fijo C; el diámetro de la válvula es d = 6 cm, el brazo BC = 7 cm.

¿Qué carga Q debe ser suspendida del extremo D de la palanca para que la válvula se abra por sí

sola cuando la presión en la caldera sea de 11 atm (1 atm = 1 kgf/cm2)?

d

A

C B

D

Q

Prob. 2/39

Problema 2/40. Un trípode ABDE con forma de una pirámide regular, está articulado en dos

vigas en voladizo. Un cable que pasa sobre una polea fijada en el vértice E del trípode, levanta

uniformemente con ayuda de un cabrestante una carga de peso P. Entre la polea y el cabrestante

el cable es paralelo a las vigas. Determinar las reacciones del empotramiento de la primera viga

despreciando su peso y el peso del trípode. La altura del trípode es igual a 2

l.

Prob. 2/40


108

Problema 2/41.. Una barra uniforme AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una

carga de Q [N] a la distancia de a [cm] del punto A y se mantiene en equilibrio por medio de una

fuerza vertical P, aplicada en su extremo libre B. Cada centímetro de longitud de la barra pesa q

[N]. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que la fuerza P sea la mínima posible y

hallar Pmín .

a

x

Q

P

A

B

Prob. 2/41

Problema 2/42. Una placa homogénea rectangular ABCD de peso P está sujeta por unas barras,

articuladas en sus extremos con la placa, y por apoyos articulados en el piso, como se muestra en

la figura. En la esquina A sobre la placa actúa la fuerza Q que forma en el plano AEHD un ángulo

β con la arista AD. Determinar las fuerzas en las seis barras de apoyo considerando nulo el peso

de las barras. Las dimensiones y los ángulos están indicados en la figura, AM = MB.

A

M

B

D

CP

Q

R1

R4

R3

R2 R6

R5

H

G

E

F

β

ψ

ψ

φ

φ

90°

h

a

b

x

z

y

Prob. 2/42


109

Problema 2/43. Un tanque elevado cilíndrico, para distribución de agua, de 6 m de altura y de 4

m de diámetro, está montado en cuatro columnas colocadas simétricamente e inclinadas respecto

al horizonte; el fondo del tanque se halla a la altura de 17 m sobre el nivel de los apoyos; la torre

pesa 8 tf ; la presión del viento se calcula para el área de la proyección de la superficie del

recipiente sobre el plano perpendicular a la dirección del viento, considerando la presión

específica del viento igual a 125 kgf/m2. Determinar la distancia necesaria AB entre los apoyos de

las columnas.

6 m

17 m

A B

4 m

Prob. 2/43

Problema 2/44. La presión del agua sobre un área pequeña de una presa crece proporcionalmente

a la distancia entre éste y la superficie libre del agua y es igual al peso de la columna de agua,

cuya altura equivale a esta distancia y el área de su base es igual al área considerada. Determinar

el espesor de la base de la presa en los dos casos siguientes:

1) la sección transversal de la presa es rectangular;

2) esta sección es triangular.

La presa debe ser calculada al vuelco alrededor de la arista B por la presión del agua, el

coeficiente de estabilidad debe ser igual a 2. La altura h de la presa es igual a la profundidad del

agua y es de 5 m. El peso específico del agua , el peso específico del material de la

presa .


110

Se llama coeficiente de estabilidad la relación del momento del peso del macizo al momento de la

fuerza de vuelco. La presión del agua sobre el área de la presa de 1 m de longitud y de dy de

altura, donde y es la distancia desde esta área hasta el fondo en metros, es igual a ( ) ,

en toneladas. El momento de esta presión respecto al punto B es igual a ∫ ( )

.

y

h

B B

A A

a b

y y

Prob. 2/44

Problema 2/45. Un terraplén se apoya en una pared de piedra vertical AB. Hallar el espesor

necesario a de la pared considerando que la presión del terreno sobre la pared va dirigida

horizontalmente, está aplicada a 1/3 de su altura y es de 6 tf/m (por un metro de largo de la

pared); el peso específico de la mampostería es de 2 gf/cm3. La pared debe ser calculada contra el

vuelco alrededor del borde A.

B

A

a

Prob. 2/45


111

Problema 2/46. ¿Qué relación deben satisfacer las dimensiones H y B de la presa representada,

para que el momento de vuelco respecto al punto K constituya el 50% del momento de

estabilidad? El peso específico del material de la presa es γm = 2250 kgf/m3

B

γm

H

K

Prob. 2/46

Problema 2/47. Una grúa está instalada sobre un camión. El peso del contrapeso B es igual a P2

= 20 kN. El peso del camión junto con la grúa sin contrapeso, igual a P1 = 50 kN, está aplicado

en el centro de gravedad C.

Determinar la distancia mínima DE entre los ejes de las ruedas del camión y el peso máximo P3

de la carga A que puede levantarse para que el camión no sufra volcadura tanto con la carga A

como sin ésta. Las dimensiones se indican en la figura.

BA

C

P1

P2

P3

4 m 1.5 m 2 mED

Prob. 2/47


112

Problema 2/48. Una mujer está sosteniendo en su mano con el brazo completamente extendido y

horizontalmente una esfera de 3.6 kg, como se muestra en la figura. Una fuerza de tensión en el

músculo deltoide evita que el brazo gire entorno a la articulación en el hombro O; está fuerza

actúa a un ángulo de 21° como se muestra. Determine la fuerza ejercida por el músculo deltoide

localizado en la parte superior del brazo en A y determine también las componentes en x e y de la

fuerza de reacción en la articulación del hombro en O. La masa en la parte superior del brazo es

mU = 1.9 kg, la masa de la parte inferior del brazo es mL = 1.1 kg, y la masa de la mano es mH =

0.4 kg; todos los pesos correspondientes actúan en los puntos mostrados en la figura.

Prob. 2/48

Problema 2/49. Una persona está realizando

levantamientos lentos con el brazo con un

peso de 10 kg como indica la figura. El grupo

de músculos braquiales (consta de los biceps y

músculos braquilaes) es el factor más

importante en este ejercicio. Determine la

magnitud F de la fuerza del grupo de

músculos braquiales y la magnitud E de la

reacción en la articulación del codo en el

punto E para la posición del antebrazo que se

muestra en la figura. Tome las dimensiones

mostradas para localizar los puntos efectivos

de aplicación de los dos grupos de músculos;

estos puntos están 200 mm directamente sobre

E y 50 mm directamente a la derecha de E.

Incluya el efecto de la masa del antebrazo de

1.5 kg con centro de masa en el punto G.

Prob. 2/49


113

Problema 2/50. La grúa móvil portátil de un taller mecánico sostiene un motor de 420 lb. Para la

posición mostrada calcule la fuerza soportada por el pasador en C y la presión p del aceite sobre

el pistón del cilindro hidráulico de 3.20 in de diámetro en el elemento AB.

Prob. 2/50


114

2.10 Aplicaciones a estructuras y máquinas

Problema 2/51. Determinar las reacciones en A, F y E.

0.5 m 0.3 m

A

BD

60°

F

B C

x

Ay 250 N

0.2 m0.2 m

Ex

Ey

E

F

D

462 N30°

Prob. 2/51


115

Problema 2/52. Determinar la magnitud de la fuerza soportada por el pasador C. También

encontrar las reacciones en la articulación A.

0.2 m

0.2 m

0.2 m

0.2 m 0.2 m

600 N

A

B

C

D

E

Prob. 2/52

Problema 2/53. Las uniones A, B, C y D son de pasador o articulación. Despreciando el peso de

las barras, determinar la fuerza total (fuerza cortante) soportada por el pasador B. También

determinar las reacciones en A y C.

A

B

C D

45°

45°

x

y

0.5

m

0.5

m

0.35 m

0.15 m

50 kg

Prob. 2/53


116

Problema 2/54. El siguiente marco es típico de instalaciones para maquinaria o naves

industriales. Los apoyos A y E son articulaciones, y la unión C también es una articulación.

Determine las reacciones en los apoyos A y E.

5 kN/m

C

DB

10 kN

10 m

A E

4 m

2 m

Prob. 2/54

Problema 2/55. Para la siguiente estructura plana, determinar las reacciones en los apoyos A y B,

indicando en un DCL los valores y sentidos correctos de dichas reacciones. También, en un DCL,

indicar todas las fuerzas externas que actúan sobre el elemento ACD.

Prob. 2/55


117

Problema 2/56. Para la estructura plana siguiente, encontrar las reacciones en los apoyos A, F y

G.

Prob. 2/56

Problema 2/57. La longitud no deformada del resorte EF es de 300 mm, para la siguiente

configuración determinar la magnitud de la reacción en la articulación O.

D

C

B

OOx

Oy

600 mm

200 mm

200 mm

E

T

T

Prob. 2/57


118

Problema 2/58. Para los siguientes datos del cargador frontal, y para la posición mostrada,

determinar las fuerzas ejercidas por el cilindro hidráulico CF y los eslabones AE y BG sobre el

brazo ABCHD. Datos: P=10 kN, a = 2.5 m, b = 0.15 m, c = 0.9 m y L = 2.4 m.

ab

L

P

c

60°

70°

80°

40°

A

B C H D

E

F

G

a= 2.5 m

b= 0.15 m

L= 2.4 m

P=10 kN

c = 0.9 m

60°

80°

40°

A

B C H D

50°

FBG

FCF

FAE

Prob. 2/58


119

Problema 2/59. En la posición mostrada, la excavadora aplica una fuerza de 20 kN paralela al

suelo. Hay dos cilindros hidráulicos: en AC para controlar el brazo OAB , uno en DE para

controlar el eslabón EBI y otro en GH para accionar el cucharón. Determine la fuerza en cada

uno de los cilindros hidráulicos y la presión que actúa sobre el émbolo de cada cilindro si los

diámetros son 95 mmACd , 105 mmDEd y 95 mmGHd , respectivamente. El peso de los

miembros es despreciable en comparación con la fuerza de 20 kN .

Prob. 2/59


120

Problema 2/60. Una armadura espacial está apoyada en . Está sometida a una carga

distribuida las fuerzas Determinar las reacciones en los apoyos.

Prob. 2/60

Problema 2/61. La estructura mostrada en la figura consiste de una viga etiquetada con el

número 1 y la parte angular con el número 2, que están conectadas por la articulación G. La parte

angular está empotrada en y la viga esta apoyada en . El sistema está sometido a la fuerza .

Determinar las reacciones en los apoyos y las uniones.

Prob. 2/61


121

Problema 2/62. La estructura simétrica mostrada en la figura consiste de dos vigas conectadas en

una articulación y fijada mediante la cuerda . Está cargada con un cilindro libre de fricción de

peso . Determinar las reacciones en los apoyos en , la fuerza de tensión en la cuerda y la

reacción en la unión . El peso de las dos vigas puede despreciarse.

Prob. 2/62


122

Problema 2/63. La estructura mostrada en la figura consta de dos vigas, unidas por una

articulación y apoyada en y mediante articulaciones. El sistema está sometido a las fuerzas

y Determinar las fuerzas en los apoyos y en la articulación G.

Prob. 2/63

Problema 2/64. La viga articulada mostrada en la figura está sometida a una fuerza simple y

una carga distribuida . Determinar las fuerzas en los apoyos y articulaciones.

Prob. 2/64


123

Problema 2/65. Determine la fuerza de corte F aplicada por la hoja DE a la barra en G en

términos de la fuerza P aplicada al mango de la cortadora. Asuma que la fuerza de corte F es

perpendicular a la cara inferior de la hoja DE.

Dimensiones en mm

Prob. 2/65

Problema 2/66. La figura muestra una bomba de mano de alta presión utilizada para impulsar

presión de aceite en una línea hidráulica. El maneral se encuentra en equilibrio en y

bajo la acción de la fuerza P = 120 N, determine la presión de aceite p la cual actúa sobre el

pistón de 46 mm de diámetro. (La presión en la cara superior del pistón es la atmosférica.)

Prob. 2/66


124

Problema 2/67. La viga en la figura está soportada por tres puntales y sometida a una fuerza

distribuida triangular. Determinar las fuerzas en los puntales.

Prob. 2/67

Problema 2/68. La estructura mostrada en la figura consta de una viga y tres barras. Ésta soporta

una carga concentrada . Determinar la reacción en el apoyo y las fuerzas en las barras.

Prob. 2/68

Problema 2/69. Encontrar las reacciones en los apoyos para la viga articulada mostrada en la

figura.

Prob. 2/69


125

Problema 2/70. La viga articulada mostrada en la figura soporta una fuerza concentrada y una

carga distribuida triangular. Determinar las reacciones en los apoyos y la fuerza en la

articulación.

Prob. 2/70

Problema 2/71. Determinar las reacciones en los apoyos para la estructura mostrada en la figura.

Considerar la polea sin fricción.

Prob. 2/71

Problema 2/72. Una viga homogénea de peso cuelga de unos ganchos como se muestra en la

figura. Determinar las reacciones en los apoyos en y la fuerza en la articulación en

Prob. 2/72


126

Problema 2/73. Un mástil de peso está apoyado mediante una rótula (articulación en tres

dimensiones) en . Además está soportada por dos puntales. Su extremo superior carga un peso

. Determinar las fuerzas de reacción en y las fuerzas en los puntales.

Prob. 2/73

Problemas 2/74.La compuerta rectangular AB de un canal de riego puede girar alrededor del eje

O. Si el nivel de agua es bajo la compuerta está cerrada, pero cuando el agua alcanza un cierto

nivel H la compuerta gira alrededor del eje y abre el canal. Despreciando la fricción en la

articulación O y el peso la compuerta, determinar la altura H a la cual la compuerta se abre.

α A

B

OH

h

Prob. 2/74


127

Problema 2/75. Carga por presión de fluidos. Se retiene agua dulce en un canal por una

compuerta plana con 0.6 m de espesor (dentro del plano de la figura) que está soportada por una

articulación en B. La pared vertical BD está fija en su posición. Si el peso de la compuerta es

despreciable, determinar la fuerza requerida F para comenzar la apertura de la compuerta.

Prob. 2/75


128

Problema 2/76. Se retiene agua dulce en un canal por una compuerta cilindrica con 0.6m de

espesor (dentro del plano de la figura) que está soportada por la articulación en B. La pared

vertical BD está fija en su posición. Si el peso de la compuerta es despreciable, determinar la

fuerza requerida F para comenzar la apertura de la compuerta.

Prob. 2/76


129

UNIDAD 3. FRICCIÓN SECA

Objetivo

Aplicar la teoría del equilibrio al análisis de problemas donde participa el fenómeno de la

fricción.

Temas:

3.1 Principios básicos

3.2 Leyes de la fricción seca.

3.3 Problemas generales.

3.4 Problemas especiales: cuñas y bandas.

3.1 Principios básicos La experiencia demuestra que al tratar de desplazar un cuerpo sobre la superficie de otro, en el

plano de contacto entre ambos surge una fuerza de resistencia a su desplazamiento relativo, la

fuerza de fricción de deslizamiento.

La aparición de la fricción está condicionada, ante todo, por la rugosidad de las superficies, la

cual engendra una resistencia al desplazamiento y por la presencia de adhesión entre los cuerpos

comprimidos unos contra otros. El estudio de todas las particularidades del fenómeno de la

fricción es una cuestión físico-mecánica compleja.

Se distinguen tres tipos de fricción, a saber:

1) Fricción seca

2) Fricción fluida o viscosa

3) Fricción interna


130

3.2 Leyes de la fricción seca

Los cálculos de ingeniería se basan habitualmente en las leyes generales de la fricción seca,

establecidas experimentalmente, que reflejan con una precisión suficiente para la práctica, las

particularidades fundamentales del fenómeno de la fricción. Estas particularidades, llamadas

leyes de la fricción de deslizamiento, se pueden enunciar de la forma siguiente:

1. La fuerza de fricción que aparece en reposo relativo de un cuerpo se llama fricción

estática; la fuerza de fricción que obra durante el deslizamiento de un cuerpo se llama

fricción cinética.

2. La fuerza de fricción no depende de las dimensiones de las superficies en fricción, siendo

iguales las demás condiciones.

3. Al igual que el valor de cualquier reacción la magnitud de la fuerza de fricción depende

de las fuerzas aplicadas y hasta un cierto límite siempre es tal que impide el deslizamiento

de los cuerpos uno sobre el otro. Sin embargo, ella no puede superar un cierto valor

máximo, el cual es fijo para cada caso dado.

4. El valor máximo de la fuerza de fricción es directamente proporcional a la fuerza de la

presión normal que ejerce un cuerpo sobre el otro.


131

Por la fuerza de la presión normal se entiende la fuerza de presión dirigida a lo largo de la

normal a la superficie de deslizamiento.

5. La magnitud máxima de la fuerza de fricción depende tanto del material y estado de las

superficies en fricción como de la existencia y clase de lubricante entre ellas.

6. La fuerza de fricción en movimiento es menor que la fuerza de fricción en reposo.

3.3 Problemas generales

Problema 3/1. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el bloque de 100 kg y el

plano inclinado son 0.30 y 0.20, respectivamente. Determine: a) la fuerza de fricción F que actúa

sobre el bloque cuando P se aplica con una magnitud de 200 N al bloque en reposo; b) la fuerza

P requerida para iniciar el movimiento hacia arriba del plano inclinado a partir del reposo; y c) la

fuerza de fricción F que actúa sobre el bloque si P = 600 N.

15°

20°

P

F

FN

100(9.81)

Prob. 3/1

Problema 3/2. Un bloque de peso colocado sobre un plano inclinado rugoso con un ángulo de

pendiente y coeficiente de fricción estática . El bloque está sometido a una fuerza externa

como se muestra en la figura. Especificar el intervalo de valores de tales que el bloque

permanezca en reposo.

Prob. 3/2


132

Problema 3/3. La barra uniforme AB de 60 kg está sujeta a la fuerza P. Las guías en B son lisas.

En A, μs = 0.8. a) Si P = 400 N, encontrar la fuerza de fricción en A sobre la barra. B) Encuentre

la fuerza P requerida para causar un deslizamiento sobre A.

B

l/2

l/2

A

P

y

x60°

Prob. 3/3

Problema 3/4. Una barra recta homogénea AB de peso Q se apoya en el punto B sobre una pared

vertical rugosa. El coeficiente de fricción estático entre la barra y la pared es igual a . En el

punto A la barra se apoya sobre un piso liso horizontal. La barra se mantiene en equilibrio

mediante el hilo AD que pasa por la polea D.

Determinar el rango dentro del cual se puede variar la magnitud del peso P sin alterar el

equilibrio de la barra.

αA D

B

α

B

A

y

x

C

Q

NB

NA

FB

Pmín

α

B

A

y

x

C

Q

NB

NA

FB

Pmáx

a) b) c)P

Prob. 3/4


133

Problema 3/5. Un hombre de peso se apoya sobre una escalera como se muestra en la figura.

Determinar la máxima posición que puede alcanzar sobre la escalera sí:

a) Sólo el piso tiene superficie rugosa y

b) El piso y la pared tienen superficies rugosas.

El coeficiente de fricción estática en ambos casos es

(a)

(b)

(c)

(d)

Prob. 3/5


134

Problema 3/6. En la figura se muestra una propuesta de diseño para un freno articulado. Las dos

superficies de frenado tienen el mismo coeficiente de fricción. Obtener una expresión que

relacione la magnitud del par o momento T con la magnitud de la fuerza de frenado P cuando la

rotación del tambor es inminente en el sentido horario.

Prob. 3/6

Problema 3/7. Un par de fuerzas de momento M = 100 kgf·m está aplicado a un árbol, sobre el

cual está fijada por chaveta una rueda de freno de radio r = 25 cm. Hallar la fuerza Q con la cual

hace falta apretar las zapatas de freno contra la rueda para que ésta permanezca en reposo, si el

coeficiente de fricción estático entre la rueda y las zapatas es igual a 0.25.

QQ

2r

Prob. 3/7


135

Problema 3/8. El montacargas es utilizado para mover un rollo de papel sólido de 1200 kg hacia

arriba en la rampa inclinada 30°. Si el coeficiente de fricción estático y cinético entre el rollo y la

barrera vertical del montacargas y entre el rollo y la rampa inclinada son ambos 0.40, calcule la

fuerza de tracción P requerida entre las llantas del montacargas y la superficie horizontal.

Prob. 3/8

3.4 Aplicaciones especiales: cuñas, bandas, tornillos y embragues

Fricción en cuñas

Problema 3/9. Dos cuñas de 5° se utilizan para ajustar la posición de una columna que está bajo

la acción de una carga vertical de 5 kN. Determinar la magnitud de las fuerzas P requeridas para

levantar la columna si el coeficiente de fricción para todas las superficies es 0.40.

Prob. 3/9


136

Problema 3/10. Fricción de un hilo flexible (tal como una banda plana) sobre una superficie

cilíndrica. Una fuerza P se aplica a un hilo arroyado sobre un árbol cilíndrico. Hallar la fuerza

mínima Q que debe ser aplicada al otro extremo del hilo para mantener el equilibrio, teniendo el

ángulo dado .

α θ

dθ

O

P

Q

T

D

RE

y

x

dN

dF(T+dT)

dθ2

dθ2

Prob. 3/10

Problema 3/11. El rodillo cilíndrico mostrado en la figura está sometido a un momento . Una

correa lisa (coeficiente de fricción estática ) está envuelta alrededor del rodillo y conectada a

una palanca. Determinar el valor mínimo de tal que el rodillo permanezca en reposo (freno de

cinta).

Prob. 3/11


137

Problema 3/12. Un bloque de peso descansa sobre un tambor. Ésta agarrado por una cuerda

que se encuentra fijada en el punto (Figura 9.10a).

Determinar la tensión en si la fricción actúa entre el tambor y ambos, el bloque y la cuerda

(cada uno con coeficiente de fricción cinética ).

Prob. 3/12

Problema 3/13. Calcular la fuerza P sobre la palanca del freno diferencial de banda que evitará

que el volante gire sobre su eje cuando se aplica el par M = 150 N∙m. El coeficiente de fricción

entre la banda y el volante es μ=0.40.

450 mm

75 mm

30°

C

M

150 mm

O

P

Prob. 3/13


138

Problema 3/14. En diversas aplicaciones se usan “bandas V” para transmitir potencia desde un

motor a una máquina. Una banda en V se utiliza para transmitir un par de 100 N m a una polea

A de una bomba, desde la polea B de un motor, cuyo eje gira en sentido antihorario a una

rapidez constante. Si 400 mmR , 40 mmr y el coeficiente de fricción entre la banda y

las poleas es 0.3s . Determinar: (a) la tensión mínima requerida en la banda, (b) el

momento que transmite el motor.

Prob. 3/14

Problema 3/15. Determinar el rango de valores de la masa m del cilindro, para el cual el sistema

estará en equilibrio. El coeficiente de fricción entre el bloque de 50 kg y el plano inclinado es

0.15, y entre la cuerda y el soporte cilíndrico es 0.25.

y

x

20°

T2

N0.15 N

W = 491 N

x

20°

T2

N0.15 N

W = 491 N

Prob. 3/15


139

Problema 3/16. Una banda que sirve de accesorio para un motor de combustióm interna se

muestra en la figura. La polea A está unida al cigüeñal de un motor y gira en sentido horario. El

tensor de la banda costa de una polea loca sin fricción en B que está montada a una barra

horizontal D que se desliza en una guía sin fricción con una fuerza horizontal P. La polea C opera

una bomba hidraulica que requiere . Los coeficientes de fricción estática para las

poleas A y C son 0.4 y 0.6 respectivamente, y los radios de las poleas A y C son 110 y 80 mm,

respectivamente. Determinar el valor mínimo de P para que la banda no se patine.

Prob. 3/16


140

UNIDAD 4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE LAS

SECCIONES PLANAS

Objetivo

Desarrollar la teoría para el cálculo de centroides, momentos y productos de inercia de cualquier

área o sección plana.

Temas:

4.1 Centro de gravedad, centro de masas y centroides.

4.2 Momento estático.

4.3 Momento de inercia.

4.4 Producto de inercia.

4.5 Momento polar de inercia.

4.6 Ejes principales y momentos principales de inercia.

4.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero

La resistencia y la rigidez que presenta una barra a los diferentes tipos de fuerzas externas

aplicadas, depende no sólo del material, sino también de la forma y dimensiones de las secciones

transversales correspondientes. En esta unidad se analizan las principales características

geométricas de las secciones transversales que pueden presentarse en los elementos estructurales

y de máquinas. Estas características son áreas de las secciones planas, centroides, momentos

estáticos, momentos de inercia, producto de inercia y momentos polares de inercia.

4.1 Centro de gravedad, centro de masas y centroides Centro de gravedad:

La resultante de las fuerzas de gravedad de las partículas de un cuerpo se llama fuerza de

gravedad del cuerpo; el módulo de esta fuerza se llama peso del cuerpo.

El centro de gravedad de un cuerpo es un punto invariablemente relacionado con este cuerpo, a

través del cual pasa la línea de acción del peso de éste.

Las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo respecto a todo sistema de coordenadas fijo

se pueden hallar, si se conocen las coordenadas de todas las partículas del cuerpo respecto a este

sistema. Para ello es preciso aplicar la condición siguiente: el momento de la fuerza de gravedad


141

de todo el cuerpo respecto a un eje cualquiera debe ser igual a la suma de los momentos de la

fuerza de gravedad de todas las partículas del cuerpo respecto a ese mismo eje.

P1

P2

Pn

G

O

x

y

z

P

∑

∑

∑

Para un cuerpo con una distribución continua de la masa, su peso total es ∫

y las

ecuaciones anteriores adquieren el siguiente aspecto:

∫

∫

∫

Centro de masas:

Transformemos las ecuaciones que determinan las coordenadas del centro de gravedad en una

forma que contenga la masa del cuerpo o sistema. La masa de un sistema es igual a la suma

aritmética de las masas de todos los puntos o de todos los cuerpos que lo componen:

∑

En un campo de gravedad homogéneo, para el cual g = const., el peso de cualquier partícula del

cuerpo es proporcional a su masa, y para todo el cuerpo de lo cual resulta:

∑

∑

∑

El punto geométrico G, cuyas coordenadas se determinan por estas ecuaciones, se llama centro

de masas o centro de inercia del cuerpo o sistema.


142

Si se considera una distribución continua de la masa en todo el volumen del cuerpo o sistema,

∫

y:

∫

∫

∫

Problema 4/1. Se tiene un cilindro homogéneo de 30 kg conectado con tres barras A, B y C,

cuyas masas son 10, 5 y 8 kg, respectivamente. Localice el centro de masa de dicho sistema.

B

D

CA

x

y

z

200 mm

120 mm

100 mm

160 mm

Prob. 4/1

Centroide:

Para un cuerpo homogéneo el peso pi de cualquier parte de éste es proporcional al

volumen Vi de esta parte: El peso P de todo el cuerpo es proporcional al

volumen V de éste: donde es el peso específico del cuerpo.

Sustituyendo estas relaciones en las ecuaciones del centro de gravedad, se obtiene:

∑

∑

∑

∫

∫

∫

Como se observa, el centro de gravedad de un cuerpo homogéneo depende solamente de su forma

geométrica, y es independiente de la magnitud Por esta razón, el punto C, cuyas coordenadas

se determinan por las ecuaciones anteriores, se llama centroide o centro geométrico del volumen

V.


143

En la práctica a menudo se requiere determinar la localización del centroide de figuras planas, en

cuyo caso las ecuaciones correspondientes adquieren la siguiente forma:

∫

∫

para un área o región continua.

O bien, cuando se trata de un área compuesta:

∑

∑

Problema 4/2. Determinar la distancia desde la base hasta el centroide del siguiente triángulo.

h

b

Prob. 4/2

Problema 4/3. Determinar las coordenadas del centroide del siguiente cuadrante de círculo.

r

Prob. 4/3


144

Problema 4/4. Localizar el centroide del sector circular mostrado en la figura.

Prob. 4/4

Problema 4/5. Encontrar el centroide del área en forma de L mostrado en la figura.

Prob. 4/5

Problema 4/6. Un círculo es removido de un triángulo, como se muestra en la figura. Localizar el

centroide del área.

Prob. 4/6


145

Problema 4/7. Hallar el centro de gravedad de la sección transversal de la presa representada en

el dibujo, teniendo en cuenta que el peso específico de concreto es igual a 2 400 kgf/m3 y el de la

tierra equivale a 1 600 kgf/m3. También localice el centroide de dicha sección transversal.

5 m

2 m

4 m

8 m

y

x

Concreto

2 m

3 m1 m 1 m

Tierra

4/7

4.2 Momento estático

¿Cómo se define el momento estático de un área o sección plana, y cuál es su significado y

características?

El momento estático con respecto al eje x del área A es:

∫

El momento estático con respecto al eje y del área A es:

∫

El subíndice A de las integrales indica que la integración se realizará sobre toda el área de la

sección.


146

Recordando las expresiones que determinan las coordenadas del centroide C de un área:

∫

∫

∫

∫

resulta que:

∫

∫

Esto es, el momento estático de un área A con respecto a cualquier eje es igual al producto del

área total de la figura (sección) y la distancia de su centroide a este eje.

Problema 4/8. Demostrar el siguiente teorema. Si el eje con respecto al cual se determina el

momento estático pasa a través del centroide del área, el momento estático con respecto a este

eje es igual a cero.

Problema 4/9. Determinar el momento estático con respecto al eje centroidal z de la mitad

superior (semicírculo) de la sección circular de radio r.

4r3π

πr2

A* = 2

r C

z

y

Prob. 4/9


147

4.3 Momento de inercia ¿Cómo se define el momento de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y

características?

El momento de inercia de un área con respecto a cualquier eje contenido en su plano, se define

como la suma de los productos de las áreas elementales y los cuadrados de sus distancias a este

eje.

∫

∫

Teorema de los ejes paralelos: el momento de inercia de un área con respecto a un eje

cualquiera es igual al momento de inercia de la misma con respecto a un eje paralelo al primero

y que pasa por su centroide, más el producto del área y el cuadrado de la distancia entre los dos

ejes.

∫

∫ ( )

∫

∫

∫


148

Problema 4/10. Hallar el momento de inercia de la sección rectangular respecto al eje x0, que

pasa por el centroide y es paralelo a la base. También encontrar el momento de inercia con

respecto al eje x que coincide con la base.

h

b

Prob. 4/10

Problema 4/11. Calcular el momento de inercia de la sección circular con respecto al eje

centroidal .

r

Prob. 4/11

4.4 Producto de inercia ¿Cómo se define el producto de inercia de un área o sección plana, y cuál es su significado y

características?

El producto de inercia de un área se define como la suma de los productos de las áreas

elementales y sus coordenadas (es decir, sus distancias a los dos ejes de coordenadas) realizada

sobre toda el área de la sección o figura.

∫


149

El producto de inercia puede ser positivo, negativo o, como caso particular, igual a cero. Si los

ejes ortogonales x e y, o uno de ellos, son ejes de simetría de la figura, entonces el producto de

inercia, respecto a estos ejes, es igual a cero.

Teorema de los eje paralelos para el producto de inercia: el producto de inercia, respecto a

un sistema de ejes ortogonales paralelos a los ejes centroidales, es igual al producto de inercia

respecto a los ejes centroidales más el producto del área de la figura por las coordenadas de su

centroide, respecto a los nuevos ejes.

∫

∫ ( )( )

∫

∫

∫

∫


150

Problema 4/12. Calcular el producto de inercia del triángulo rectángulo respecto a los ejes x e y,

e y x e y1.

C

b

h

y

x

y1

x

y

Prob. 4/12

4.5 Momento polar de inercia

¿Cómo se define el momento polar de inercia de un área o sección plana, y cuál es su

significado y características?

Se denomina momento polar de inercia de la sección la característica geométrica, determinada

por la integral,

∫

siendo r la distancia del área dA al punto (polo), respecto al cual se calcula el momento polar de

inercia.


151

Teorema: el momento polar de inercia, respecto a un punto arbitrario, es igual a la suma de los

momentos de inercia respecto a dos ejes ortogonales que pasan por dicho punto.

En efecto, del teorema de Pitágoras: .

∫

∫ ( )

∫

∫

Problema 4/13. Calcular el momento polar de inercia de la siguiente sección circular con

respecto a su centro O.

rO

Prob. 4/13

4.6 Ejes principales y momentos principales de inercia

θ

θ

θ

yv

O B

D

Cu

x

AdA

Eu

vy


152

Primero resolvamos el problema de la transformación de momentos y productos de inercia, que

consiste en lo siguiente:

Sean conocidos los momentos de inercia Ix e Iy y el producto de inercia Ixy para alguna figura, con

respectos a los ejes x-y. Se trata de determinar estas mismas magnitudes, pero con respecto a los

ejes u-v con el mismo origen O que x-y, pero girados con respecto a éstos un ángulo θ.

Con este propósito se recurre a las siguientes ecuaciones de transformación de coordenadas en el

plano:

Por definición, los momentos y el producto de inercia buscados son:

∫

∫

∫

Sustituyendo las expresiones de u y v, desarrollando y haciendo uso de las identidades

( )

( )

se obtiene:

(a)

(b)

(c)

Al sumar (a) y (b) se descubre la siguiente propiedad invariante para los momentos de inercia:

Al variar el ángulo θ de giro de los ejes, cada una de las magnitudes varía mientras que su

suma permanece constante. Por tanto, existe un ángulo θ tal que uno de los momentos de inercia

alcanza su valor máximo, mientras que el otro alcanza su valor mínimo.

Derivando la expresión (a) respecto a θ e igualando la derivada a cero, se obtiene:


153

Cuando θ adquiere este valor, uno de los momentos de inercia será máximo y el otro mínimo. Al

mismo tiempo, el producto de inercia Iuv correspondiente a este ángulo θ será igual a cero.

Los ejes, respecto a los cuales el producto de inercia es igual a cero, mientras que los momentos

de inercia adquieren valores extremos, se denominan ejes principales. Si al mismo tiempo estos

ejes son también centroidales, se denominarán entonces ejes principales centroidales. Los

momentos de inercia respecto a los ejes principales se denominan momentos de inercia

principales.

Los valores de los momentos de inercia principales se determinan mediante la siguiente ecuación:

√(

)

Problema 4/14. Determinar los momentos de inercia del siguiente rectángulo de lados b= 9 cm y

h= 4 cm, con respecto a los ejes x1 y y1 si , a =10 cm y c = 8 cm.

O x1

y1

y

y´

x´

x

θ=30°C

bh

a

c

Prob. 4/14


154

Problema 4/15. Para la siguiente sección transversal, determine: a) las coordenadas del

centroide; b) la orientación de los ejes principales centroidales; c) los valores de los momentos

principales de inercia correspondientes a los ejes principales del inciso b; d) indique a qué eje

principal le corresponde Imáx y a cuál Imín .

x

y

Prob. 4/15

Problema 4/16. Para la siguiente sección transversal compuesta, formada por un triángulo, un

rectángulo y un semicírculo, determine:

a) La posición del centroide C.

b) La orientación de los ejes principales centroidales del área de toda la sección

compuesta.

c) Los valores de los momentos principales de inercia para la sección compuesta,

correspondientes a los ejes principales del inciso b.

d) Indicar a qué eje principal le corresponde el momento de inercia máximo.

x

y

O

60

60 30

4030

20

Acotación en cm

C1

C2

C3

Prob. 4/16


155

4.7 Características geométricas de los perfiles comerciales de acero

Nombres y símbolos de perfiles

xx

y

y

tamaño

Espesor

ÁNGULO DE LADOS

IGUALES (LI)

xx

y

y

tamaño

Espesor

tamaño

ÁNGULO DE LADOS

DESIGUALES (LD)

y

y

xx

PERFIL C

ESTÁNDAR (CE)

d

y

y

xx d

PERFIL I

ESTÁNDAR (IE)

d

PERFIL I

RECTANGULAR (IR)

y

y

xx d

PERFIL T

RECTANGULAR (TR)

y

y

xx

y

y

xx

bf

tf

tf

tw

dw

PERFIL I

SOLDADO (IS)

y

y

xx

D

REDONDO SÓLIDO

LISO (OS)

y

y

xx

D

TUBO CIRCULAR (OC)

y

y

xx

y

y

xx

tamaño

espesor

espesor

tamaño

tamaño

y

y

xx

TUBO CUADRADO O RECTANGULAR (OR) PERFIL C FORMADO

EN FRÍO (CF)

y

y

xxd d

PERFIL Z FORMADO

EN FRÍO (ZF)


156

DESIGNACIÓN DE PERFILES

NOMBRE DESIGNACIÓN UNIDADES

1. ÁNGULO DE LADOS IGUALES LI tamaño y espesor mm x mm

2. ÁNGULO DE LADOS DESIGUALES LD tamaño y espesor mm x mm x mm

3. PERFIL C ESTÁNDAR CE d x Peso mm x kg/m

4. PERFIL I ESTÁNDAR IE d x Peso mm x kg/m

5. PERFIL I RECTANGULAR IR d x Peso mm x kg/m

6. PERFIL T RECTANGULAR TR d x Peso mm x kg/m

7. PERFIL I SOLDADTO

8. REDONDO SÓLIDO LISO OS D mm

9. TUBO CIRCULAR OC D x t mm x mm

10. TUBO CUADRADO O RECTANGULAR OR tamaños y espesor mm x mm x mm

11. PERFIL C FORMADO EN FRÍO CF d x cal mm x cal

12. PERFIL Z FORMADO EN FRÍO ZF d x cal mm x cal

El Instituto Mexicano de la Construcción en Acero, A. C. (IMCA) consideró conveniente

designar los perfiles de acero con sólo dos letras, una ideográfica y la otra abreviatura de su

descripción, en vez de las tres o más siglas tradicionales. A continuación se indican las

equivalencias:

LI es APS de lados iguales TR es TPR

LD es APS de lados desiguales IS es IPC

CE es CPS OR es PTR o PER

IE es IPS CF es CPL2

IR es IPR ZF es ZPL2

EJEMPLO DE TABLA DE PROPIEDADES DE PERFILES

LI

ÁNGULO DE LADOS IGUALES

PROPIEDADES XX

Y

Y

x

y

Z

ZW

W

ez

ew

Designación tamaño y

espesor t

Área Ejes X- X y Y-Y Ejes W-W Ejes Z-Z

I S r x=y I S r I S r mm x mm* in. x in. cm

2 cm

4 cm

3 cm cm cm

4 cm

3 cm cm cm

4 cm

3 cm cm

19 x 3 ¾ x 1/8 1.11 0.37 0.28 0.58 0.58 0.58 0.43 0.73 1.34 0.16 0.19 0.38 0.82

19 x 5 ¾ x 3/16 1.59 0.50 0.39 0.56 0.66 0.83 0.62 0.72 1.34 0.17 0.18 0.38 0.93

22 x 3 7/8 x 1/8 1.32 0.58 0.38 0.66 0.66 0.90 0.58 0.82 1.56 0.26 0.28 0.48 0.93


157

Problema 4/17 Para la siguiente sección armada a partir de perfiles comerciales de acero

estructural, calcular: los momentos principales centroidales de inercia de dicha sección.

LI 38 x 6 mm x mm CE 76 x 6.10 mm x kg/m

35.81 mm

76

mm

38 mm

6 m

m

11.9 mm

11.07 mm

Prob. 4/17


158

UNIDAD 5. FUERZAS INTERNAS EN ESTRUCTURAS

ISOSTÁTICAS

Objetivo

Establecer los procedimientos para la determinación de las fuerzas internas que actúan en las

secciones transversales de los elementos estructurales, y la construcción de los diagramas

correspondientes.

Temas:

5.1 Método de secciones.

5.2 Componentes de fuerzas internas.

5.3 Cálculo de fuerzas internas.

5.4 Armaduras.

5.5 Vigas: diagramas de fuerzas internas.

5.6 Marcos.

5.1 Método de secciones

Con el propósito de revelar las fuerzas internas que surgen en un cuerpo cualquiera, en particular

en las secciones transversales de una barra, se hace uso del método de secciones. Expliquemos,

mediante ejemplos, la esencia de este método.

Problema 5/1. a) Determinar las reacciones del empotramiento de la siguiente viga. b) Hallar las

fuerzas internas en la sección transversal que se encuentra a una distancia de 2 m del

empotramiento.

x

45

4 kN1 m1 m

2 kN·m

y q=1.5 kN/m

3 m

O

Prob. 5/1


159

Solución. a) Las reacciones en el empotramiento se obtienen al analizar el equilibrio del DCL de la viga

completa.

Mo

Oy

4 kN

45

x

y

q=1.5 kN/m

3 m

2 kN·m

1 m 1 m

Ox

Sustituyendo la fuerza distribuida por su resultante,

1.5 m

4.5 kN

Mo

4 kN

45

x

y

Oy

Ox

5 m

2 kN·m

Aplicando las ecuaciones de equilibrio,

0 4cos 45 0 2.83 kN

0 4sen 45 4.5 0 1.67 kN

5.39 kN m0 4.5 1.5 2 4sen 45 5 0

x x x

y y y

OO O

F O O

F O O

MM M


160

c) Ahora, conocidas todas las fuerzas externas, se divide la viga y se analiza el equilibrio del

DCL de cualquiera de las dos partes resultantes,

N

M

V

y

x

4 kN

45

x

y

2 kN·m

q=1.5 kN/mq=1.5 kN/m

Oy

Ox

Mo

2 m

MV

N

1 m

Nótese que la parte izquierda de la viga, respecto a la parte derecha, se encuentra empotrada, y

viceversa, por lo cual fue necesario incluir las fuerzas tangencial V y normal N a la sección de

corte, así como también el momento M. Obsérvense los sentidos contrarios para N,V y M al

considerar las dos partes de la viga.

Reemplazando la fuerza distribuida, en cada parte de la viga, por una fuerza concentrada,

3 kN

N

M

VMo

Ox

y

x

0.5 m

1.5 kN

4 kN

45°

x

y

N

V

1 m

Oy

2 m

M

2 kN·m

Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la parte izquierda de la viga,

0 0 2.83 kN

0 3 0 3 1.33 kN

5.73 kN m0 2 3 1 0

x x x

y y y

corte O y

F O N N O

F O V V O

MM M M O

El signo negativo para V indica que el sentido correcto es contrario al propuesto en el DCL.

¿Cuál es la idea y el propósito del método de secciones?


161

Problema 5/2. Hallar las fuerzas internas en la sección AA ubicada en el centro de una barra

cargada como se muestra en la figura. La fuerza Q pasa por el centro de la parte derecha de la

barra; la fuerza F se encuentra en el plano xy ; la fuerza P es paralela al eje z . La longitud de

la mitad derecha de la barra es equivale a b , y su peralte es igual a h .

bh

Q

F

P

x

y

A

Az

O

Prob. 5/2

Solución. Primero se calculan todas las fuerzas externas que actúan sobre la barra completa lo

cual resulta de analizar el equilibrio del DCL de la barra; nótese el empotramiento de la barra en

O .


1 12 2

33 22

0 cos 0cos

0 sen 0sen

0 0

0 0

20 2 0

2 sen0 sen 2 0

x OxOx

y OyOy

z OzOz

x Ox Ox

Oyy Oy

Ozz Oz

F R FR F

F R Q FR Q F

F R P R P

M M P h M hP

M bPM M P b

M bQ bFM M Q b F b


162

Ahora se secciona la barra y se analiza el equilibrio del DCL de la parte izquierda. Nuevamente

obsérvese que la parte izquierda, respecto a la parte derecha, se encuentra empotrada, y

viceversa, por lo cual es necesario incluir las fuerzas tangenciales yV y zV , la fuerza N normal a

la sección de corte, así como también los momentos xM , yM y zM .


12

12

0 0cos

0 0 sen

0 0

0 0

0 0

0 0

x OxOx

y y Oyy Oy

z z Oz z Oz

x Oxx x Ox

y Oy Ozy y Oy Oz

z Oz Oyz z Oz Oy

F N RN R F

F V R V R Q F

F V R V R P

M M hPM M M

M M R b bPM M M R b

M M R b bQ bFM M M R b

sen

Por lo tanto, en la sección AA actuarán: dos fuerzas tangenciales, yV y zV , una fuerza normal a

la sección, N , y tres momentos, xM , yM y zM ; el primero de dichos momentos crea una torsión

alrededor del eje longitudinal de la barra (eje x ), mientras que los otros tienden a flexionar la

barra.

Resumen del método de secciones:

1. Dibujar el DCL del cuerpo de interés. Dado que las deformaciones permisibles son pequeñas

en comparación con las dimensiones del cuerpo, el DCL contiene las dimensiones iniciales y

se ignoran las deformaciones (principio de la rigidez relativa).

2. Aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas externas desconocidas.

3. Cortar el cuerpo en la sección de interés mediante un plano imaginario; dibujar el DCL de

una de las partes resultantes, y aplicar el paso 2.

COMENTARIO. Para calcular las fuerzas internas en una sección cualquiera se recomienda

trabajar con aquella parte, de las dos en que se dividió el sólido, que exhiba la mayor simplicidad

en cuanto al número de fuerzas y momentos aplicados, siempre que sea posible. A manera de

comprobación se puede trabajar con la parte menos simple para verificar los resultados obtenidos.


163

5.2 Componentes de fuerzas internas. De acuerdo con el teorema sobre la reducción fuerza-par, es posible trasladar el sistema de

fuerzas internas, que se encuentran distribuidas por la sección de corte, a un punto (por ejemplo,

al centroide de la sección de corte) y como resultado se obtendrá en cada lado de la sección un

vector principal R y un momento principal M .

Supóngase que se coloca un sistema de coordenadas con origen en el centroide C de la sección

de corte y los vectores R y M se descomponen según sus componentes en las direcciones de los

ejes coordenados como se muestra a continuación.

Las componentes del vector principal R y del momento principal M se asocian con efectos

físicos importantes, sobre la deformación del cuerpo, lo cual se manifiesta en el nombre que se le

asigna a cada componente:

La fuerza normal (o axial) N es la suma de las proyecciones de todas las fuerzas

internas que actúan en la sección sobre la normal a la sección. La fuerza normal se

desarrolla siempre que las fuerzas externas tiendan a alargar (o comprimir) el cuerpo

según su eje longitudinal (eje x ).

Las fuerzas cortantes yV y zV son las sumas de las proyecciones de todas las fuerzas

internas en la sección sobre los ejes centroidales y y z de la sección, respectivamente.

Las fuerzas cortantes aparecen cuando las fuerzas externas tienden a provocar un

desplazamiento relativo (corte) entre las partes del cuerpo a ambos lados de la sección.

El momento torsionante xM T es la suma de los momentos de todas las fuerzas

internas en la sección respecto al eje longitudinal del cuerpo. El momento torsionante se

desarrolla cuando las fuerzas externas tienden a torcer el cuerpo a lo largo de su eje

longitudinal.


164

Los momentos flexionantes, yM y zM son las sumas de los momentos de todas las

fuerzas internas en la sección respecto a los ejes centroidales y y z de la sección,

respectivamente. Los momentos flexionantes aparecen cuando las fuerzas externas

tienden a flexionar el cuerpo respecto a los ejes x e y.

Si el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas externas que actúan en un sólo plano, por

ejemplo en el plano xy , entonces unicamente tiene sentido hablar de la fuerza normal, N , la

fuerza cortante, V , y el momento flexionante M , como se muestra en la siguiente figura:

x

y

zN

V

V

M

M

p lano

positivo p lano

negativo

La siguiente es una vista de la figura anterior.

5.3 Cálculo de fuerzas internas.

El cálculo de las fuerzas internas puede llevarse a cabo en secciones transversales

específicas de interés, o bien en todas las secciones de una barra o cuerpo cualquiera.


165

Ejemplos de cálculo de fuerzas internas en secciones específicas:

Problema 5/3. Determinar las fuerzas internas que actúan en la sección a a , que se encuentra a

la mitad de la línea AB , de la barra ABC del marco de tres barras que se muestra en la figura.

Prob. 5/3

Solución. Primero es necesario calcular todas las fuerzas externas que actúan sobre la barra

completa, lo cual se obtiene del equilibrio de DCL de la barra.

0 0

0 3 0 6 kN, 0, 3 kN.

0 200 3 400 0

x x

y y BD BD x y

A BD

F A

F A F F A A

M F

Ahora, conocidas todas las fuerzas externas, se divide la barra y se analiza el equilibrio del DCL

de cualquiera de las dos partes resultantes,


166

Obsérvese que la parte izquierda, respecto a la parte derecha, se encuentra empotrada, y

viceversa, por lo cual es necesario incluir las fuerzas tangencial V y normal N a la sección de

corte, así como también el momento M . Nótese los sentidos contrarios para N , V y M en las

partes de la barra.

La parte izquierda es la más simple porque sólo incluye la acción de una fuerza externa (la parte

derecha involucra dos fuerzas externas). Analizando el equilibrio de la parte izquierda,

0 3sen 0 1.54kN

0 3cos 0 2.57 kN

0.3 kN m0 3 0.1 0

x

y

a a

F N N

F V V

MM M

El signo negativo obtenido para el momento M indica que su sentido correcto es contrario al

asumido en el DCL.

Problema 5/4. Para la siguiente estructura plana, calcular las reacciones y determinar la fuerza

normal N, la fuerza cortante V y el momento flexionante M en la sección transversal a-a. Mostrar

en un diagrama de cuerpo libre la magnitud y el sentido correcto de estas fuerzas internas

calculadas.

100 kN

50 kN

a

a

1200 mm

900 mm

1500 mm

600

mm

1800 mm

AB

Prob. 5/4


167

Problema 5/5. Determine las fuerzas axial y cortante y el momento flexionante en la sección a-a

de la siguiente estructura coplanar.

12

11

3 m1.5 m3 m

1.2 m

0.9 m

0.3 m0.6 m

10

Ton

a

a

Cable

Pluma

Prob. 5/5

Problema 5/6. Una estructura está construida a partir de tres barras unidas rígidamente entre sí:

AD, BC y DE. Determine: a) las reacciones en los apoyos C y E; b) las fuerzas internas sobre la

sección correspondiente al punto O.

3 m

1.8 m 1.4 m

3.6 mw0 = 2 kN/m

w = 1.6 kN/m

P= 5 kN

A B

C

O D

E

2 m

Prob. 5/6


168

5.4 Armaduras. Se llama armadura a una estructura rígida construida a partir de barras rectas unidas en sus

extremos en arreglos triangulares estables. Las siguientes son ejemplos de armaduras para

diferentes aplicaciones.

Partes de una armadura

1) Nudos; 2) Diagonales; 3) Montantes; 4) Cuerda superior; 5) Cuerda inferior.

El análisis estructural de una armadura se refiere al cálculo de las fuerzas internas (de tensión o

de compresión) que actúan en cada una de las barras de la armadura. Para armaduras isostáticas el

análisis puede llevarse a cabo por el método de los nudos o por el método de las secciones.


169

Ejemplo. Análisis de una armadura por el método de los nudos.

Problema 5/7. Determine las fuerza que soporta cada uno de los miembros de la siguiente

armadura.

Prob. 5/7

Problema 5/8. Mediante el método de los nudos, determinar las fuerzas en cada una de la barras

de la siguiente armadura. Compruebe los resultados mediante el método de las secciones, para las

barras BC, HC y HG.

Prob. 5/8


170

Problema 5/9. Mediante el método de los nudos, determinar las fuerzas en cada una de la barras

de la siguiente armadura. Compruebe los resultados mediante el método de las secciones, para las

barras BC, BG y HG.

Prob. 5/9

Problema 5/10. Para la siguiente armadura:

a) Determinar el sistema fuerza – par en el punto A, equivalente a las seis fuerzas

externas aplicadas. La fuerza inclinada de 400 N es perpendicular a la barra AC.

b) Encontrar la resultante de las seis fuerzas anteriores, y localícela a partir del apoyo A.

c) Calcular las reacciones en A y F, primero a partir del valor y localización de la

resultante hallada en el inciso b, y, después, directamente a partir de las seis fuerzas

que actúan sobre la armadura.

d) Mediante el método de los nudos, determine las fuerzas en cada una de la barras de la

armadura.

Prob. 5/10


171

Problema 5/11. Determine las fuerzas axiales en los miembros BC, EF y EC de la siguiente

armadura. Aplicar el método de secciones.

P2=5 kN

CB

A E F D

P1=15 kN

4 m

3 m 3 m 3 m

Prob. 5/11

Problema 5/12. La armadura mostrada en la figura está sometida a una fuerza externa .

Determinar las fuerzas en los apoyos y en las barras de la armadura.

Prob. 5/12


172

Problema 5/13 Una armadura está sometida a dos fuerzas, , como se muestra

en la figura. Determinar las fuerzas en las barras. 4, 5 y 6 por el método de las secciones.

Prob. 5/13

5.5 Vigas: diagramas de fuerzas internas. Convenio general de signos.

Fuerza normal. Si la fuerza normal, N , produce tensión se considera como positiva; de

otra manera, cuando produce compresión, se toma como negativa.


173

Momento torsionante. Si el momento torsionante, tiene la misma dirección que

la normal exterior de la sección de corte se toma como positivo; si las direcciones son

contrarias el momento se considera negativo:

Fuerza cortante. Una fuerza cortante, V , que actúa en la parte izquierda de la sección de

corte y está dirigida hacia abajo, o una fuerza cortante que actúa en la parte derecha de la

misma sección y está dirigida hacia arriba, se toman como positivas.

Momento flexionante.


174

Relación entre la carga distribuida q , la fuerza cortante V, y el momento flexionante M en

una viga.

Problema 5/14. Demostrar los siguientes teoremas:

a) La derivada de la fuerza cortante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la

intensidad de la carga distribuida:

dVq

dx .

b) La derivada del momento flexionante respecto a la abscisa de la sección de la viga es igual a la

fuerza cortante:

dMV

dx .

c) La segunda derivada del momento flexionante respecto a la abscisa de la sección de la viga es

igual a la intensidad de la carga distribuida:

2

2

d Mq

dx .

Para las demostraciones analice el equilibrio del elemento de viga de longitud dx que se muestra

en la siguiente figura:

Prob. 5/14


175

Problema 5/15. Trazar el diagrama de fuerza normal, para la siguiente barra sometida a cargas

axiales.

0.5 l

l=1 m

-

++

F1=80 kNF2=120 kNF3=100 kN

60 kN

40 kN40 kN

80 kN

80 kN

x

y

6.5 l

2.5 l 3.5 l

Prob. 5/15


176

Problema 5/16. Trazar el diagrama de momento torsionante para el eje BE.

Prob. 5/16


177

Problema 5/17. Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la

siguiente viga.

P

x

y

2L

2L

Py

2

L

2

L2

P2

P

x

V

M

2

P

2

P

x

4

PL

x

Prob. 5/17


178


siguiente viga.

y

x

AB C

0M

2L

2L

0M

L

y

x

x

x

M0

2

M

0

2

M

V

0M

L0

M

L2

L

2

L

0M

Prob. 5/18


179


siguiente viga.

x

y

AB

w

x

x

x

y

2

w L

2

w L

L

w

2

w L

V

M

2

L 2

w L

2

8

w L

Prob. 5/19


180


siguiente viga.

y 19 kN

3 kN/m

x

2 m 2 m 2 m

A B C D

2 m2 m2 m

x

x

x

19 kN 3 kN /m

y

8 kN m

13 kN

V

13 kN

8 kN m

6 kN

18 kN m

6 kN m

M

Prob. 5/20


181

Construcción de los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes mediante

los puntos característicos.

Con base en los ejemplos anteriores se pueden obtener conclusiones acerca de la interrelación

entre la carga y la configuración de los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos

flexionantes:

1) En los tramos en que el momento flexionante es constante (flexión pura), la fuerza

cortante es nula.

2) En los tramos libres de cargas uniformemente distribuidas, la fuerza cortante es constante

y el momento flexionante varía según una ley lineal, es decir, siguiendo una recta.

3) En los tramos con carga uniformemente distribuida, la fuerza cortante varía según una ley

lineal y el momento flexionante siguiendo una parábola.

4) En los ´puntos de aplicación de fuerzas concentradas, en el diagrama de fuerza cortante se

producen saltos cuya magnitud es igual a la de las fuerzas.

5) En los puntos de aplicación de pares concentrados, en el diagrama de momentos

flexionantes se producen saltos iguales a las magnitudes de estos pares.

6) En los puntos en que la fuerza cortante es nula, el momento flexionante toma un valor

extremo, máximo o mínimo.


182

Problema 5/21. Construir los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para la

viga.

Prob. 5/21


183

Problema 5/22. Una viga simplemente apoyada se somete a una fuerza concentrada y una carga

distribuida triangular como se muestra en la figura. Trazar los diagramas de fuerza cortante V y

momento flexionante M.

Prob. 5/22

Problema 5/23. Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente

viga.

Prob. 5/23

Problema 5/24 Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la siguiente

viga, ( )

Prob. 5/24


184

Problema 5/26. Construir los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento

flexionante para la siguiente estructura.

Prob. 5/26

5.6 Marcos

Problema 5/27. Construir los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento

flexionante para el siguiente marco.

Prob. 5/27

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