estática elasticidad

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS Curso: FISICA I CB 302U 2010 II Profesor: Lic. JOAQUIN SALCEDO [email protected] Tema: Estática elasticidad Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky, Benson, Lea-Burke, Ohanian-Markert http://es.wikipedia.org/ Si la resultante de fuerzas sobre un cuerpo es nula 0 F ¿Se puede decir que esta en reposo?

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Si la resultante de fuerzas sobre un cuerpo es nula

0F

¿Se puede decir que esta en reposo?

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Estática Ponemos atención al CM Si a=0 el cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación (puede estar en movimiento pero a velocidad…………..) Si 0 se encuentra en equilibrio de rotación. En el caso especial que el cuerpo se encuentre en reposo se dice que está en equilibrio estático. Si un CR en equilibrio de traslación la fuerza neta es nula.

0, 0,0 0x y zF FF F

Si un CR esta en equilibrio de rotación el torque neto es nulo.

0

Cuando el CR solo puede girar alrededor de un eje fijo. (Llamemos z)

0z

Nota no olvide que la suma es vectorial, luego es necesario dar un signo al sentido de la rotación. Y dejar indicado en el grafico del ejercicio. Centro de gravedad. (CG) Imagine que en parque hay un sube-baja y un niño quiere subir contigo ¿es posible? ………………………… Para hallar el CG buscamos un punto con una propiedad: Una fuerza aplicada en ese punto puede reemplazar a varias fuerzas aplicadas en diferentes puntos. La suma de los torques en el cuerpo producido por un conjunto de fuerzas paralelas es

ˆii i i ir xF r Fxn (*)

El torque equivalente será

. ˆ

i C i C ir x F r Fxn (*)

Aplicando: transitividad y la propiedad AxB CxB A C

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CC

i

i

i

i

i ir F r Fr F

rF

Si las fuerzas son pesos de cuerpos en el sistema

CCG G

i i iii i i i

i i

r m g r m gr m g

rm g

Si los valores de g no varían la expresión anterior se transforma en ¿…? Centro de Masa CM

CG CG

i i

i

rdmr mr r

m dm

Si las masa es homogénea, tenemos el centro ……………..llamado también ………….. en geometría analítica. Receta.

1. En el CR a estudiar identifique todas las fuerzas externas que actúan sobre él. DCL

2. Elija u sistema de coordenadas y descomponga las fuerzas en él 3. Elija un eje conveniente (reducir incógnitas) para la evaluación de los

torques e indique el sentido que toma positivo.

0, 0, 0x y zF F

4. Escriba las relaciones de equilibrio 5. Algebra 6. Analiza y comenta

* Una escalera de longitud l y peso W se apoya en un piso rugoso y contra una

pared sin fricción. Si 0.6s Halla

a) el valor máximo del ángulo para que no deslice b) la fuerza ejercida por la pared.

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2 1 2 1

1 1

0

0

x

y

F N f N f

F N W N W

Aplica torques en la base y el apoyo

1 1

1

cos 02

cos 02

a

b

LW sen f L N Lsen

LW sen N L

Justo antes del deslizamiento la fuerza de fricción estática debe ser máxima

1 1sf N

2 1 1

2 c 50.os a 20 t n 2S s

o

ss

sen

N Wf N

Un cilindro de peso W y radio R se va levantar un escalón de altura h con una cuerda enrollada a su alrededor jalando horizontalmente. Asumiendo que el cilindro no desliza. Halle la fuerza F mínima para subir el cilindro y la fuerza de reacción en P ejercida por el escalón sobre el cilindro

Cuando esta a punto de levantarse la reacción en el punto del piso se anula.

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Ahora solo hay tres fuerzas. W, F y la reacción en P. Calculamos el brazo de palanca del peso respecto a P

2 2 2( ) 2 2d R R h Rh h h R h

El brazo de palanca de F respecto a P

2R h Luego el momento de torsión neto sobre el cilindro respecto a P

(2 ) 0Wd F R h

2 (22

)W h R h F R hW h

FR h

Para hallar la fuerza de reacción en P

2 2

cos 0 cos

s 0 s

tan

x

y

F F n n F

F n en W n en W

Wn W F

F

La locomotora tiene 90 000kg y el puente es una viga de hierro uniforme de 900 000kg ¿Cual es la carga sobre c/ pilar?

6(4.7,5.0) 10x N

¿Cuál es la tensión del músculo? El bíceps está conectado en un a unos 4cm del punto que actúa como pivote. Si la mano sostiene un peso de 50N ¿Cuál es la tensión del músculo? Compara con el peso La fuerza ejercida por el músculo actúa a 10° con la vertical Modelo: el antebrazo es una barra horizontal uniforme que pesa 15N y tiene 30cm de longitud.

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Tomamos torque respecto al codo (para eliminar las fuerzas V y H)

0 cos 02

cos10º (0.04) 15(.15) 50(0.3

43

0

8

)

A B

LT d W W

T N

L

T

La fijas? Una masa de 6 kg se sostiene en la mano formando el brazo y el antebrazo un ángulo de 90°.

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El bíceps ejerce una fuerza Fm cuyo punto de aplicación dista 3,4cm del punto pivote O, en la articulación del codo. Modelo: el antebrazo, una barra uniforme de masa 1 kg a) ¿Cuál es el módulo de Fm si la distancia al punto pivote es 30 cm? b) Hallar la fuerza ejercida sobre la articulación del codo

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Una persona de 60kg está parada sobre las puntas de sus pies con el peso igualmente distribuido entre ellos. El músculo que causa el giro del pie está conectado a 4cm del tobillo y ejerce una fuerza vertical ¿Cuál es la tensión del músculo?

Palancas

'

' ' 0'

F lFl F l

F l

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Poleas

No hay ganancia de ventaja mecánica, el único beneficio es que permite jalar de manera cómoda Polipasto Arreglo de muchas poleas. Proporciona una ganancia de ventaja mecánica En el esquema siguiente ¿Cual es la ventaja?

¿Un diseño que proporcione '

5

FF ?

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Algunas aplicaciones

Relación entre fuerzas y desplazamientos

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Una palanca transmite el trabajo que se suministra en un extremo ala carga en el otro extremo.

' 'F x F x ¿Cuál tiene mayor ventaja mecánica?

En estos dispositivos (cabrestantes y cortatornillos compuesto) ¿Qué fuerza se debe aplica a la manija? ¿Cuál es la ventaja mecánica?

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Par de fuerzas Dos fuerzas iguales y opuestas que actúan en diferentes líneas tienden a producir una rotación, aunque su fuerza resultante es nula La figura muestra un par de las fuerzas F1 y F2, separadas por la distancia D

El torque producido por este par r respecto a un punto arbitrario O es

1 2 1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 1

F F ,

=r xF +r xF =r xF -r xF = (r -r )xF

F F

¡No depende de la elección del punto O.! El módulo de este momento es

Demuestre que =DF

1 2 1 1 2 1 2

1 2

90º 180º =90º-

= (r -r )xF = (r -r ) (r -r ) (90º- )

(r -r )

Fsen Fsen

cos F DF

F módulo de la fuerza D es la distancia entre sus líneas de acción.

El torque producido por un par de fuerzas es el mismo respecto a cualquier punto del espacio.

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Elasticidad

Hasta ahora hemos supuesto que los cuerpos permaneces indeformables al ser sometidos a fuerzas externas.

Los cuerpos pueden ser deformados es decir cambiar su deforma aumentar o disminuir una de sus dimensiones a cambio de disminuir o aumentar el otro.

Analizamos estas deformaciones en función de los conceptos deformación y esfuerzo

Esfuerzo. (E) Fuerza externa por unidad de área de sección transversal

Deformación. Cambio en las dimensiones respecto a su dimensión original

Deformación unitaria ( u ). Razón de la deformación a su dimensión original.

Experimento: para esfuerzos suficientemente pequeños el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación. La constante de la proporcionalidad (modulo elástico=me) depende del material y de la naturaleza de la deformación.

eE dp u E m u

Son tres tipos de deformación. El modulo elástico será diferente en cada caso Modulo de Young (Y) mide la resistencia de un solidó a un cambio en su longitud

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Modulo de corte o cizalladura (MC ) Mide la resistencia al movimiento paralelo a la

dimensiona afectada.

Modulo volumétrico. ( ) Mide la resistencia en sólidos o líquidos al cambio en su

volumen

Elasticidad en la longitud. Young Sea una barra de longitud L0 y sección transversal S al que se somete a alargamiento pasando a su nueva longitud L.

Aplicando la relación general tenemos

0

F LY

AE me u

L

Y modulo de Young

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Esta relación se utiliza para caracterizar una barra o alambre sometidos a esfuerzo ya sea por tensión o compresión. Los experimentos muestran que existen dos zonas claramente definidas (análogo

resorte)

Elástica. Se caracteriza por volver a su estado original al cesar la fuerza. Plástica. El material queda permanentemente deformado. No pudiendo cumplir sus funciones anteriores. De aumentar el esfuerzo se produce la ruptura.

Al estirar o comprimir un objeto se usa el mismo Y para materiales homogéneos.

Ohanian-markert 447

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Un alambre de acero de 1.60 de largo y 0.2cm de diámetro Halle la tensión si se ha alargado 0.3cm

2 2 6

10 6

0 0

(0.001) 3.1 10

0.00322 10 ( )3.1 10

1.61200

A r x

F L LY F Y A x x

L LN

A

Elasticidad de la forma. Modulo de corte La deformación es el cambio en la longitud paralelo a la línea de aplicación de la fuerza sobre el espesor de la muestra

CCE

F xM

Ame u

L

MC modulo de cizalladura Exprese la relación anterior en función del ángulo Esta relación es muy importante en el movimiento de fluidos … pero debe modificarse

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Elasticidad de volumen. Modulo volumétrico

0

F VE m u pe

A V

Modulo volumétrico

Ahora el esfuerzo es la presión que se trasmite por los fluidos El signo menos es necesario por cuando la acción de la presión es reducir el volumen * Un alambre de 2 m de largo y área transversal 0.1cm2 soporta una carga de 100kg. Si el alambre se estiro 0.2cm.

a) Halle el esfuerzo, la deformación y el modulo de Young. b) Probablemente esta hecho de …………. o ………….

8

4

2

0

2

3

9.8 1010

1

0(9

.0 10

.8)

0.1 10

0.2 10

2

Nx

m

F mgE

A A x

L xu

Lx

211

2

8

3

9.8 10

1.09.8 10

10

Nx

E mYmu

xx

N

Pregunta ¿Por qué las vigas metálicas tienen la forma que tienen?

¿Cómo puede aplicar la elasticidad al cuidado de su salud? ¿Buscar ejemplos de lesiones deportivas relacionados con la elasticidad? ¿Cuanto aumenta de tamaño una cadena de acero de 50 metros colgada por un extremo?

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resilina (proteína flexible parecida al caucho que se encuentra en los artrópodos)

El tendón de un saltamontes tiene longitud inicial 0, 75mm, diámetro 0,13 mm. Si una carga de 2,4gr lo alarga hasta 1,39 mm

3

2

6

232

, ,

2, 4 10 (9.8)

0,131

10( ) ( )

2

,

2

77 10

Halla E u Y

F mg xE

D xA

Nx

m

0

66

2

(1,39 0,72)

0,70,93

1

2

1,77 10

0,93,9 10

Lu

L

E xY

Nx

u m

Cambios colaterales Al estirar o comprimir un objeto también se producen alteraciones en las otras dimensiones. La relación para materiales isotrópicos homogéneos es. Para un paralepipedo

0

a b L

a b L

σ es el coeficiente de Poisson (recopile datos a su plagio)

El módulo de Young y el coeficiente de Poisson especifican en forma completa las propiedades elásticas de un material homogéneo. Una barra de sección rectangular longitud 1m, ancho 0,4m y espesor 0,6m módulo

de Young 10

27,0 10 , 0,4

Nx

m coeficiente de Poisson

Si el esfuerzo de tensión es 8

23,5 10

Nx

m

Hallar las variaciones de sus dimensiones.

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8

10

0 0 0

0

0

0

3,5 100,05

7,0 10

0,4(0,05) 0,002

0,5(0,002)

(0,6)(0,002

1

1,

5

) 2

L L E L xE Y

L L Y L x

L

L

a La

a Lcm

b Lb

L

Lcm

cm

b

Serway 25-31

a) Suponga para un hueso 10

21,5 10

NY x

m y se fractura si se ejerce más de

8

21,5 10

Nx

m de esfuerzo

a) ¿cuál es la fuerza máxima que puede ejercerse sobre el hueso fémur en la pierna si esta tiene un diámetro efectivo mínimo de 2.5cm? b) si esta gran fuerza se aplica comprensivamente .¿cuanto se acorta un hueso de 25cm de largo? 1 a) Halla el área luego aplica la relación del esfuerzo con la fuerza y el área.

2 2 24

8 4

(2,5 10 )4,91 10

4 4

1,5 10 (4,91 1 ) 30 7 600

d xA x

FE

EA x N

A

F x

b) usamos la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria

8 2

10

1,5 10 (252,

10 )

1,5 105

l El x xE Y l

l Y xmm

Serway 31-12

5

21 1,01 10

Natm x

m

Cuando el agua se congela se expande cerca de 9% ¿cuál es el aumento de presión dentro del monoblock del motor de un automóvil si el agua en él se congelara?

9

22,0 10hielo

Nx

m

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9 9

21,8 10

1800

0.92,0 10

???

Nx

V Vp p x

V V m

p atm

*El cable de levantamiento de acero de la grúa (diámetro 5.0cm)¿Cuánto se estira?

t= 1 000kg