ensalada de matemáticas

Ensalada de Matematicas

Jose Galaviz Casas Monica Lenero Padierna

Indice general

1 La Razon Aurea 1

1.1 De donde surge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 El rectangulo aureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 La sucesion de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 La espiral logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 La estrella de cinco puntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Filotaxis, el cuerpo humano, el arte . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 El Conjunto de Cantor 15

2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Medida y cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Propiedades Topologicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Algo Mas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Generalizaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Fractales y recursion 29

3.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Dimension fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2 Algoritmos recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 La Curva Triadica de Koch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Permetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2 area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3 Dimension Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 El Algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

0 Ensalada de Matematicas

3.5 Bibliografa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 El Problema de las Hormigas Enamoradas y mal Correspon-fidas 414.1 Descripcion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Generalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Longitud de la Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Teselaciones 455.1 Cubriendo el plano con polgonos regulares congruentes . . . 455.2 Cubriendo el plano con polgonos regulares diferentes . . . . . 485.3 Enlosados aperiodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Un poco de caos(el mapeo logstico) 556.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1.1 Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.1.2 El mapeo logstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.1.3 Sistemas dinamicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.1.4 Diagramas de telarana. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2 El regimen estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.1 Puntos fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.2 Puntos periodicos (voy y vengo). . . . . . . . . . . . 616.2.3 El germen de la complejidad. . . . . . . . . . . . . . . 63

6.3 El regimen caotico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.1 Surgimiento del caos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.2 Remansos de orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.3 El ordenamiento de Sarkovsky. . . . . . . . . . . . . . 656.3.4 El esqueleto del diagrama de bifurcaciones. . . . . . . 656.3.5 Los descubrimientos de Feigenbaum. . . . . . . . . . . 66

6.4 Las cualidades del caos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4.1 Todos desparramados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.4.2 Cuando los hermanos se separan. . . . . . . . . . . . . 67

6.5 Comentarios finales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.6 Lecturas complementarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1La Razon Aurea

1.1 De donde surge

Supongamos que tenemos dos segmentos de recta con longitudes A y B.A es un segmento mas largo que B; por ejemplo: A = 6 y B = 4. Estossegmentos guardan cierta relacion entre s, en nuestro ejemplo B cabe unay media veces en A esto se expresa por la razon (cociente):

A

B=

6

4=

3

2

Ahora quisieramos tener un segmento de recta de longitud C de talforma que C guarde la misma proporcion respecto a A que la proporcion deA respecto a B, es decir queremos que A quepa una y media veces en C.Esto lo expresamos asi:

A

B=C

A

o bien, si ponemos los valores de las longitudes:

6

4=C

6

Cuanto debe medir C para que esto ocurra? La respuesta la obtenemoscon lo que conocemos como una regla de tres:

C = 6 64

=36

4= 9

Esto significa que C es tan grande respecto a A como A lo es respectoa B. B cabe una y media veces en A y A cabe una y media veces en C, la


proporcion entre A y B es igual que la proporcion entre C y A. Si vieramosa A y B juntos y luego nos pararamos mas lejos vieramos a C y A juntos nonotaramos la diferencia. Estas razones o proporciones o tamanos relativos,como se les quiera llamar, es lo que nos ocupara el resto de este trabajo.

Ahora cambiemos el problema. Supongamos que queremos encontrar,no la longitud de un segmento, sino la proporcion entre dos segmentos A yB de tal forma que cumpla con alguna condicion. Por ejemplo que la razonA/B sea igual a la razon (A+B)/A, esto es, que la relacion que existe entreA (segmento largo) y B (segmento corto) sea la misma que existe entre elsegmento que resulta de sumar las longitudes de A y B (que ahora hace lasveces del segmento largo) y la de A (que ahora es el corto). Esto es:

A

B=A+B

A(1.1.1)

Esto es equivalente a:A2 = AB +B2

de donde:A2 AB B2 = 0

dividiendo por B2 tenemos:

A2

B2 AB 1 =

(A

B

)2 AB 1 = 0

Lo que queremos obtener es el valor que debe tener A/B as que si llamamosx a A/B tenemos:

x2 x 1 = 0 (1.1.2)y esto es facil de resolver. Sabemos que las soluciones reales de una ecuacionde la forma a x2 + b x+ c = 0 son:

x1 =b+b2 4ac

2a(1.1.3)

x1 =bb2 4ac

2a(1.1.4)

En nuestro caso las soluciones son:

x1 =1+

14(1)(1)2(1) =

1 +

5

2(1.1.5)

x2 =1

14(1)(1)2(1) =

152

(1.1.6)

La Razon Aurea 3

Aproximadamente: x1 = 1.618033988749895 y x2 = 0.6180339887498949.Como nos interesa encontrar una relacion entre A y B, que son longitudes desegmento y por tanto son cantidades positivas, la solucion x2 no nos interesamayormente. x1 s y de hecho le vamos a cambiar el nombre, de ahora enadelante le llamaremos , la razon aurea.

=1 +

5

2 1.618 . . . (1.1.7)

es la razon A/B que satisface 1.1.1.

Al ver los valores aproximados de x1 y x2 a uno se le ocurre que x2 =(x1 1) = 1 x1, es decir

x1 = 1 x2 (1.1.8)

Esto es facil de verificar:

1 x2 = 1(

1

2

5

2

)

=1

2+

5

2= x1

Ademas ocurre que:

1

x1= x2 (1.1.9)


porque:

1

x1=

11+5

2

=

=2

1 +

5=

=2

1 +

5

5 15 1

=2(

5 1)(5 + 1

) (5 1)

=2(

5 1)

52 12

=2(

5 1)4

= (15)

2= x2

Combinando 1.1.8 y 1.1.9 obtenemos

= x1 = 1 x2 = 1 + 1x1

= 1 +1

(1.1.10)

Otra propiedad interesante es:

2 = 1 + (1.1.11)

esto ocurre porque:

2 =

(1 +

5

2

)2=

1

4+

5

2+

5

4

=6

4+

5

2

=3 +

5

2

= 1 +1 +

5

2= 1 +

La Razon Aurea 5

De hecho esta ultima propiedad implica que:

n = n1 + n2 (1.1.12)

porque si multiplicamos 1.1.11 por obtenemos: 3 = + 2, si multipli-camos otra vez por : 4 = 2 + 3 y as sucesivamente.

De 1.1.10 podemos concluir que 1.1.12 se cumple tambien para potenciasnegativas, si usamos el hecho de que 1 = 0 podemos reescribir 1.1.10 como = 0 + 1, dividiendo por 2 obtenemos: 1 = 2 + 3 y as podemoscontinuar dividiendo sucesivamente entre .

La primera vez que aparecio en la historia la razon aurea fue en el libroII de los Elementos de Euclides, la obra fundamental de la geometra. Allse plantea el problema de encontrar un punto R dentro de un segmento delnea PQ de tal forma que el area del cuadrado de lado PR sea igual a ladel rectangulo de lados PQ y RQ, es decir PR PR = PQRQ, o lo quees lo mismo:

PR

RQ=PQ

PR=PR+RQ

PR

lo que, como sabemos ya, es la definicion de .

1.2 El rectangulo aureo

Imaginemos ahora que tenemos un rectangulo con lados de longitud A(largo) y B (corto) que satisfacen la relacion A/B = . Este no es unrectangulo cualquiera, se le llama rectangulo aureo y tiene propiedades muyinteresantes.

Es facil construir un rectangulo aureo (vease figura 1.1). Imaginemos quetenemos un segmento de recta cualquiera ab, a la longitud de ese segmentole llamaremos B.

1. Localizamos el punto medio del segmento, al que llamaremos p.

2. Trazamos un segmento de recta perpendicular a ab en uno de susextremos, digamos b. Este segmento es entonces bc y mide lo mismoque ab, es decir B.

3. Apoyando el compas en p lo abrimos hasta c y trazamos el arco de cir-cunferencia hasta que intersecte la recta sobre la que esta el segmentooriginal ab. Llamemos i al punto de interseccion.

4. Prolongamos el segmento original hasta llegar a la interseccion con elarco, el segmento resultante ai esta en relacion respecto al segmentooriginal ab y es por tanto el lado largo del rectangulo buscado.


Figura 1.1: Construccion de un rectangulo aureo.

5. El lado corto del rectangulo debe medir B. As que no hay mas quecopiar bc en los extremos de ai y luego copiar ai para completar elrectangulo.

Imaginemos nuestro rectangulo aureo de lados cuyas longitudes son A yB, donde A es la medida del lado largo. Dado que A > B podemos trazaruna lnea perpendicular a los lados A del rectangulo que lo divida en dostrozos: un cuadrado de lado B y un rectangulo de lados B y A B. Enese pequeno rectangulo el lado largo mide B y el corto A B. Si la razonde los lados del rectangulo grande es A/B = resulta que en el rectangulopequeno: B/(AB) = .

Esto es facil de probar, multiplicando por 1 = B/B la relacion en elrectangulo pequeno tenemos:

B

AB =1

AB 1

=1

1pero de 1.1.10 tenemos que: 1 = 1/ as que:

B

AB =11

=

Ah! el rectangulo pequeno es tambien un rectangulo aureo (vease figura1.2); al que, por cierto, podemos aplicarle el mismo procedimiento anterior:

La Razon Aurea 7

Figura 1.2: Construccion de un numero infinito de rectangulos aureos apartir de uno dado.

dividirlo en un cuadrado y un rectangulo que volvera a ser aureo. Esteprocedimiento lo podemos repetir hasta el infinito obteniendo rectangulosaureos cada vez mas pequenos dentro de los anteriores.

Por supuesto tambien podemos hacer el proceso inverso. Dado un rectanguloaureo ponerle junto un cuadrado cuyo lado sea tan largo como el lado largodel rectangulo y el resultado sera un nuevo rectangulo aureo mas gran-de. Podemos tambien continuar este proceso indefinidamente obteniendorectangulos aureos cada vez mas grandes.

1.3 La sucesion de Fibonacci

Podemos utilizar el ultimo proceso descrito para trazar una aproxima-cion al rectangulo aureo. Es una aproximacion porque el rectangulo queconstruiremos no posee la relacion entre sus lados, pero podemos acercar-nos tanto como queramos a dicha relacion. Comencemos con un cuadradode lado 1 cm.; junto a el ponemos otro cuadrado del mismo tamano. Estaes nuestra primera aproximacion a un rectangulo aureo, los lados estan el larelacion 2/1 = 2 que no se parece mucho a 1.618 ciertamente. Luego, juntoa este rectangulo trazamos un cuadrado de lado igual a la suma de los ladosdel rectangulo, es decir 2. Este nuevo rectangulo tiene lados de longitud 3


Figura 1.3: Aproximacion al rectangulo aureo usando la sucesion de Fibo-nacci.

y 2 que estan en la relacion: 3/2 = 1.5 que se parece un poco mas a .Continuamos el proceso ahora trazando un cuadrado de lado 5 al lado delrectangulo que tenemos, ahora la relacion es: 5/3 1.666 . . . , ya nos acerca-mos un poco mas. El siguiente cuadrado sera de lado 8 y genera la relacion8/5 = 1.6, el siguiente sera de lado 13 y genera la relacion 13/8 = 1.625.As podemos continuar indefinidamente y conforme mas avancemos en esteproceso mas nos acercamos a un rectangulo aureo perfecto (vease figura 1.3).

La sucesion de las longitudes de los lados de los cuadrados que usamos:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . es la conocida como sucesion de Fibonacci y puede ex-presarse brevemente diciendo que:

xi =

{1 si i = 0 o i = 1xi1 + xi2 en otro caso

(1.3.13)

Lo que nos recuerda la expresion 1.1.12.

Esta sucesion surge de un problema planteado en 1202 por Leonardo dePisa, el hijo de un comerciante llamado Bonaccio, como en latn el hijo deBonaccio se dice algo as como filius Bonacci se le quedo el nombre, con elque lo conocemos an la actualidad: Fibonacci. Fibonacci escribio un libro, elliber Abaci (libro del abaco) para ilustrar la utilidad practica de la notacion

La Razon Aurea 9

Figura 1.4: Analisis del problema de los conejos de Fibonacci.

indo-arabiga en las manipulaciones aritmeticas, para hacer cuentas pues.El problema en cuestion es acerca de contar conejos. Supongamos que secoloca una pareja de conejos (macho y hembra) en un prado cercado y quese cumplen las siguientes condiciones:

Los conejos nunca mueren. Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes. En cuanto alcanzan su madurez los conejos se aparean y a partir de

ese momento lo hacen cada mes.

Cada vez que se aparean la hembra queda prenada y da a luz unapareja (macho y hembra), luego de un mes de gestacion.

La pregunta de Fibonacci era: Cuantas parejas de conejos habra en el pradoluego de un ano? Si se analiza el problema de cuantas parejas hay mes conmes lo que se obtiene es la sucesion de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, etc., donde eli-esimo termino de la sucesion se obtiene sumando los dos terminos previos;partiendo de que los dos primeros terminos son 1 (vease fig. 1.4), la solucional problema esta dada entonces por el doceavo termino de la sucesion queresulta ser 144.


Figura 1.5: La espiral construida a partir del rectangulo aureo.

Lo curioso aqu es que si se divide el i-esimo termino de la sucesion entreel anterior ((i 1)-esimo) el resultado se acerca a conforme crece i.

1.4 La espiral logartmica

Tomemos un rectangulo aureo y apliquemos el proceso de hacerlo creceranadiendo cuadrados como se describio. Si trazamos los cuartos de circun-ferencia como aparecen en la figura 1.5 obtenemos una curva, de hecho unaespiral. Esta es una buena aproximacion a una espiral muy particular lla-mada espiral logartmica y resulta tener tambien propiedades interesantes.Es, por ejemplo, la curva que trazara un bichito minusculo si caminara muydespacio sobre la aguja del segundero de un reloj con una rapidez constante.Tambien es la curva que describen las hormigas en el problema de las hor-migas enamoradas y mal correspondidas y resulta ser la forma de la conchade un molusco marino llamado nautilus1.

La espiral logartmica tambien se conoce como espiral equiangular, es-piral de crecimiento y spira mirabilis. En coordenadas polares la ecuacion

1El nombre cientfico es Nautilius Pompilius se trata de un molusco cefalopodo (algocomo el pulpo) que ha estado en nuestro planeta desde hace unos 500 millones de anoscasi sin cambios.

La Razon Aurea 11

Figura 1.6: Aproximaciones a la espiral logartmica.

que la describe es:r = a eb (1.4.14)

Tambien puede describirse parametricamente como:

x = a cos() eb

y = a sen(()) eb

Tambien puede ser construida por un proceso iterativo de aproximacio-nes sucesivas. Comenzamos con un conjunto de rayos igualmente espaciados(el angulo entre dos de ellos consecutivos es constante) Luego nos paramosen un punto arbitrario de uno de los rayos y trazamos un perpendicular ael hasta tocar el vecino. Nos colocamos ahora en este punto de intersec-cion y trazamos la perpendicular correspondiente hasta intersectar al vecinoy as sucesivamente. Cuanto mas cercanos esten los rayos mejor sera laaproximacion que tendremos (vease figura 1.6.

Jacobo Bernoulli, uno de los estudiosos de esta curva, estaba tan fasci-nado por ella que pidio que la trazaran en la lapida de su tumba.

La espiral logartmica tambien aparece en los patrones de crecimientode las coliflores, de las pinas de pino y en la forma en que se acomodan losestambres de el girasol, en esta flor hay 21 espirales con crecimiento levogiroy 34 dextrogiro.


Figura 1.7: El pentagrama y su relacion con .

1.5 La estrella de cinco puntas

Otra figura geometrica interesante, relacionada con la razon aurea ypresente tambien en la naturaleza es la estrella regular de cinco puntas,tambien llamada pentagrama. En la figura 1.7 se muestra la estrella y larelacion en la que estan sus segmentos, que resulta ser justamente .

Tenemos referencias (por ejemplo Aristofanes o Luciano) de que la es-trella de cinco puntas era el smbolo que identificaba a los miembros dela hermandad pitagorica, por lo que es plausible creer que los pitagoricosconocan la razon aurea y la tenan en gran aprecio.

Son muchos los ejemplos que podemos mencionar del pentagrama en lanaturaleza, conchas marinas, las estrellas de mar, etc.

Ademas si tomamos un pentagrama y usamos algunas de sus lneas paraobtener las dos superficies que se muestran en la figura 1.8 lo que se obtieneson las dos figuras necesarias para construir un mosaico capaz de cubrir todoel plano y hacerlo aperiodicamente (si uno toma un trozo del mosaico y lodesplaza, sin rotarlo ni reflejarlo, nunca va a encontrar otro lugar dondecoincida); estas figuras en particular son los componentes de una teselacion

La Razon Aurea 13

Figura 1.8: Los dos componentes de una teselacion de Penrose derivados deun pentagrama. A la figura inferior se le suele llamar papalote (kite) y ala superior flecha (dart).

aperiodica de Penrose.

1.6 Filotaxis, el cuerpo humano, el arte

Se pueden encontrar muchas otras insospechadas conexiones entre fenomenosy formas de la naturaleza y el numero o los numeros de Fibonacci, parien-tes cercanos.

Por ejemplo: tomemos una ramita de un arbusto y fijamos nuestra aten-cion en dos hojas que surjan del tallo en la misma lnea vertical. Llamemos aa la hoja mas baja y b a la mas alta. Sigamos la escalera de caracol forma-da por todos los brotes que surgen entre a y b, contemos el numero de vueltasque da la escalera alrededor del tallo y llamemos v a este numero; conte-mos tambien el numero de escalones en la escalera, es decir, el numero debrotes entre a y b (sn contar a a ni a b), llamemos a este numero n. Enpromedio v y n tienden a ser numeros de Fibonacc y el cociente v/n tiendea ser .

Tambien podemos hacer otro experimento: tomemos una rama de ar-busto y coloquemosla verticalmente, contemos cuantas bifurcaciones hay a


la misma altura (aproximadamente), primero habra una, luego otra, luegodos, tres, cinco, etcetera; otra vez los numeros de Fibonacci.

Al estudio de la manera que tienen las plantas de acomodar su follaje sele llama filotaxis y a pesar de que parece que alguien diseno las plantas paraestar acorde a la razon aurea, la razon es garantizar la mejor iluminacion,procurar que las hojas superiores no tapen el sol a las inferiores, lo quefacilita la fotosntesis.

Tambien el cuerpo humano responde a patrones de diseno relacionadoscon la razon aurea, Si por ejemplo dividimos nuestra estatura total entrela altura de nuestro ombligo encontraremos que el cociente es, aproximada-mente, . Lo mismo ocurre si dividimos la longitud total de la cara entre suancho (nuestra cara esta inscrita, pues, en un rectangulo aureo) o si dividi-mos la altura de nuestro torax (del nacimiento de las piernas hasta la puntade la cabeza) entre la distancia que hay del nacimiento de las piernas a loshombros; o si dividimos la distancia de la punta de la cabeza a las rodillasentre la distancia de ellas al pecho. Y as podramos mencionar muchasotras proporciones del cuerpo humano que coinciden con .

Por supuesto muchos artistas se dieron cuenta de estas proporcionesdel cuerpo y las enfatizaron en su obra, desde los artistas clasicos hastaDa Vinci. Luego en otras ramas del arte menos relacionadas con la formahumana tambien se procuro utilizar la razon aurea debido a el placer esteticoque produce ver cosas que guarden esa proporcion (parece exageracion perono lo es, mida las ventanas de su casa, las hojas de papel que usa, lasdimensiones del librero que mas le guste). Los ejemplos se multiplican.

No es extrano pensar que cuando se conoce y sus inesperadas apari-ciones en la naturaleza uno sienta que ha develado el secreto de la msticageometra con la que Dios creo el mundo. Lo han pensado muchos a lolargo de la historia: msticos, matematicos y filosofos serios. Es un numerotan curioso como pi, que a la sazon es tambien una proporcion: la que exis-te entre la circunferencia y el diametro de cualquier circulo; tanto comopi aparecen inesperadamente en diversas situaciones: prefiere hacerlo enfenomenos relacionados con la vida, pi prefiere hacerlo en la fsica. En laCabala se hace referencia al poder de la palabra, develar el secreto de lacreacion es conocer el nombre de Dios: podramos pensar que mas que defonemas, el nombre de Dios esta hecho de numeros y pi y son dos de ellos;un pensamiento muy pitagorico por cierto.

2El Conjunto de Cantor

2.1 Introduccion

El conjunto de Cantor de tercio medio es, probablemente, el mas usualejemplo y contraejemplo de cuantos se utilizan en el estudio de ciertas areasde las matematicas. Fue construido por primera vez a fines del siglo XIXpor Georg Cantor para resolver un problema que se haba planteado en elmarco de la naciente topologa, a saber, si exista o no un subconjunto com-pacto no vacio de R que fuera totalmente disconexo y denso en s mismo.Cantor probo que s existe, mas tarde ya en el siglo XX se demostro quetodos los conjuntos con estas caractersticas son topologicamente equivalen-tes (homeomorfos). El presente trabajo reune una buena cantidad de losresultados mas interesantes respecto a este famoso objeto.

Antes que nada se recordara cual es el proceso de construccion del con-junto de Cantor. Supongase que al intervalo cerrado [0,1] se le divide entres subintervalos de igual longitud: [0,1/3], (1/3, 2/3) y [2/3, 1] y que se lequita el tercio medio, a saber el intervalo (1/3, 2/3). El conjunto que quedaesta constituido por los intervalos [0,1/3] y [2/3, 1]. Supongase ahora quecada uno de estos intervalos es dividido a su vez en tres partes iguales y quese quitan los tercios medios de cada intervalo. Si repetimos este proceso unainfinidad de veces obtendremos el conjunto de Cantor. Es decir, si denota-mos por Cn a la union de todos los intervalos cerrados que permanecen hastael paso n (o n-esima iteracion), el conjunto de Cantor es C = limn Cn.

Denotemos por Jn,i al i-esimo intervalo presente en la n-esima iteraciony por In,j al j-esimo ausente en la misma iteracion. Como se puede observar


en la tabla siguiente:

Cn =2nk=1

Jn,k

Ademas:

C =n=1

Cn

Iteracion n Cn0 J0,1 = [0, 1]1 J1,1 = [0,

13 ], J1,2 = [

23 , 1]

2 J2,1 = [0,19 ], J2,2 = [

29 ,

13 ], J2,3 = [

23 ,

79 ], J2,4 = [

89 , 1]

3 J3,1 = [0,127 ], J3,2 = [

227 ,

327 ], J3,3 = [

627 ,

727 ], J3,4 = [

827 ,

927 ]

3 (cont.) J3,5 = [1827 ,

1927 ], J3,6 = [

2027 ,

2127 ], J3,7 = [

2427 ,

2527 ], J3,8 = [

2627 ,

2727 ]

2.2 Medida y cardinalidad

Sea la funcion de medida (longitud) en R, C el conjunto de Cantor detercio medio y Cc el complemento del mismo ( Cc = [0, 1] \ C )

Teorema 2.1 (C) = 0.

Dem.:

(Cc) = 13

+2

9+

4

27+ ... =

i=1

2i1

3i=

1

2

i=1

2i

3i

Sea A =

i=1

(23

)i, entonces:

A+ 1 = 1 +i=1

(2

3

)i=

i=0

(2

3

)iEsto es una serie geometrica con razon 23 < 1 y por lo tanto converge:

A+ 1 =1

1 23=

113

= 3

de donde: A = 2 y entonces:

El Conjunto de Cantor 17

(Cc) = 12A = 1

Ademas: ([0, 1]) = 1

Por lo tanto:(C) = 1 (Cc) = 1 1 = 0

Proposicion 2.1 Si [a, b] es un intervalo del tipo Jn,k entonces b es multiploimpar de (1/3)n.

Dem.: (Por induccion sobre n).[n = 1]

J1,1 =

[0,

1

3

]=

[0, 1

(1

3

)]J1,2 =

[2

3, 1

]=

[2

3, 3

(1

3

)]

Ahora suponemos que la proposicion es valida para n = s 1, i.e.

J(s1),k =[R

3s1,R+ 1

3s1

]donde R es par.

[n = s.]Al construir los Jss dentro de J(s1),k para el siguiente nivel de iteraciontenemos: [

3R

3s,3R+ 1

3s

]y

[3R+ 2

3s,3(R+ 1)

3s

]Dado que R es par R = 2q para alguna q N y 3R = 3(2q) = 2(3q) es

par.Por lo tanto:

3R+ 1 es impar.

Ademas:

3(R+ 1)

3s=R+ 1

3s1el cual era impar por hipotesis.


Ahora se utilizaran las expresiones ternarias de los numeros en el in-tervalo unitario, recuerdese que en dichas expresiones solo son posibles losdgitos 0, 1 y 2 y cada posicion en el numero corresponde a una potencia de1/3.

Proposicion 2.2 Si x es un multiplo impar de una potencia de 1/3 enton-ces existe una expresion ternaria finita para x.

Dem.:

x = (2s 1)(

1

3

)n=

2s1i=1

(1

3

)ny esta sumatoria, evidentemente se expresa en, a lo mas, n dgitos terna-

rios.

Proposicion 2.3 Si x es un multiplo impar de una potencia de 1/3 con re-presentacion ternaria finita 0.t1t2...tn entonces existe i {1, 2, ..., n} tal queti = 1.

Dem.: (por reduccion al absurdo)x es multiplo impar de una potencia de 1/3, por lo tanto:

x = (2s 1)(

1

3

)ksupongase que tiene una representacion ternaria finita (0.t1, t2, ...tn) don-

de para toda i {1, 2, ..., n} se tiene que ti {0, 2}.Sea d1, d2, ..., dr la sucesion creciente de ndices tales que:

tdj = 2 para toda j {1, 2, ..., r}entonces:

x = 2

(1

3

)d1+2

(1

3

)d2+...+2

(1

3

)dr= 2

[(1

3

)d1+

(1

3

)d2+ ...+

(1

3

)dr]=

2

[3drd1 + 3drd2 + ...+ 1

3dr

]sea s = 3drd1 + 3drd2 + ...+ 1 entonces:

x = 2s

(1

3

)dr


lo que contradice la hipotesis de que x es multiplo impar de una potenciade 1/3.

Teorema 2.2 Para todo n N la expresion ternaria de los elementos deIn,k para toda k {1, 2, ..., 2n 1} tiene, al menos, un 1 involucrado.

Dem.: De las proposiciones 2 y 4 se deduce que para toda n N los extremosderechos de los intervalos Jn,k que son los extremos izquierdos de los In,ktienen una representacion ternaria con, al menos un 1 involucrado. Ademas,dado que todos los elementos de In,k distan de su extremo izquierdo en menosque (1/3)n entonces la expresion ternaria de dicho extremo es un subconjuntode la expresion correspondiente a cualquier elemento de In,k. Es decir, si laexpresion ternaria del extremo izquierdo de un In,k es 0.a1a2...an entoncesla expresion ternaria de cualquier punto de In,k es 0.a1a2...anb1b2... donde,al menos uno de los dgitos ai es 1.

Proposicion 2.4 El conjunto de Cantor tiene una cardinalidad mayor oigual a la del intervalo [0, 1).

Dem.: Denotaremos por #A la cardinalidad del conjunto A.Considerese la expresion binaria de todos los elementos del intervalo

[0, 1) R.Para todo x [0, 1) tenemos que:

x = 0.b1b2...

donde bi {0, 1} para todo i N.Defnase la funcion f como sigue:

f(x) = 0.2b12b2...

Es decir sustituimos todos los 1s por 2s en la expresion binaria de x.Llamesele F a la imagen bajo f de [0, 1). Claramente f es una funcion

biyectiva (es invertible). F esta constituida exclusivamente por elementosde la forma 0.t1t2... donde ti {0, 2} para todo i N.

Por lo tanto F [0, 1], ademas #F = # [0, 1].Si se considera a los elementos de F como expansiones ternarias de los

elementos de [0, 1] vemos que para todo x F , para todo n N y para todok {1, 2, ..., 2n 1},


x / In,k porque su expresion ternaria tendra al menos un 1 involucrado,por lo tanto x Cn para todo n N.

En conclusion: x C F C #F #C.

Teorema 2.3 El conjunto de Cantor tiene la cardinalidad del continuo.

Dem.: Por la proposicion anterior #C # [0, 1] .Por construccion C [0, 1] #C # [0, 1].Entonces:

#C = # [0, 1] = 20

2.3 Propiedades Topologicas.

Recuerdese que por Cn denotamos la n-esima generacion del proceso deCantor y por C al lmite de Cn cuando n.

Proposicion 2.5 Si x Cn para alguna n N entonces existe y C talque |x y| (13)n y x 6= y.Dem.: x Cn x Jn,k para alguna k

{1, 2, ..., 2n1

}Sean y1 y y2 los

extremos de dicho Jn,k.

Tenemos que:

y1 x y2Sea y el extremo mas distante de x, es decir:

y =

{y1 si |x y1| |x y2|y2 si |x y2| > |x y1|

entonces:

|x y| |y1 y2| =(

1

3

)n

Con Ca se denota el conjunto derivado de C (es decir, el conjunto depuntos de acumulacion de C) .


Teorema 2.4 C Ca. Es decir, el conjunto de Cantor es denso en s mis-mo, todos sus puntos son de acumulacion.

Dem.: Sea x C x Cn para todo n N. Por lo tanto para cada n Nexiste y(n) C tal que:

|x y| 13n

y x 6= y (por la proposicion anterior).Sea > 0 y N tal que:

ln()ln(3)

< N

log3 () < N log3 () < N log3 (3)1

< 3N

(1

3

)N<

entonces existe y (N) tal que y 6= x y |x y| (13)N < por lo tanto:x Ca C Ca

Proposicion 2.6 Para todo n N , Cn es cerrado.

Dem.: Por definicion:

Cn =2n1k=1

Jn,k

y cada Jn,k es un intervalo cerrado. La union finita de conjuntos cerradoses un comjunto cerrado. Por lo tanto para todo n N , Cn es cerrado.

Teorema 2.5 C es cerrado.

Dem.: Para todo n N, Cn es cerrado, por la proposicion anterior.Por definicion:

C =i=1

Ci

C es la interseccion numerable de conjuntos cerrados, luego C es cerrado.

Teorema 2.6 C es perfecto (cerrado y denso en s mismo).


Dem.: Del terorema 9 y el teorema 11 se deduce inmediatamente lo deseado.

Por Br(x) se denotara la bola abierta de radio r y centro en x.

Proposicion 2.7 Si x Cn , (n > 0) entonces Br(x) Ccn 6= con:

r =1

2n

(por Ccn denotamos [0, 1] \ Cn )

Dem.: Si x Cn x Jn,k para alguna k {1, 2, ..., 2n 1}.Sean y1 y y2 los extremos de dicho intervalo. i.e. Jn,k = [y1, y2].Por construccion del conjunto de Cantor:

|y1 y2| = 13n

0 entonces x Cn para todan N dado que C Cn.

Entonces, para cada n N, si r = 12n , ocurre:

Br(x) Ccn 6= Br(x) Cc 6=

dado que: Ccn Cc.Sea N tal que:

ln ()ln (2)

< N

de donde:

log2() < N log2(2)1

< 2N 1

2N<

por lo tanto:

B 12N

(x) B(x)

y

B 12N

(x) Cc 6= B(x) Cc 6=

Definicion 2.1 Una cubierta cerrada de un conjunto A es una coleccion deconjuntos cerrados {Ei} tal que A

i (Ei)

Definicion 2.2 La cerradura de un conjunto A es la interseccion de todaslas cubiertas cerradas de A. Es decir, es el mnimo conjunto cerrado quecontiene a A. La cerradura de A se denotara con A.

Definicion 2.3 Un conjunto A es denso en ninguna parte si y solo si elinterior de la cerradura de A es vaco.

Teorema 2.8 C es denso en ninguna parte..

Dem.: C = C y el interior de C es vaco, por lo tanto el interior de C esvaco.


2.4 Algo Mas.

Proposicion 2.8 1/4 C.

Dem.: Observacion:

K

1/3 1/9 < 1/4 < 1/3 11/3 1/9 < 1/4 < 1/3 1/9 + 1/27 2

1/3 1/9 + 1/27 1/81 < 1/4 < 1/3 1/9 + 1/27 31/3 1/9 + 1/27 1/81 < 1/4 < 1/3 1/9 + 1/27 1/81 + 1/243 4

En general

con k impar: ak+1 1 por lo tanto no converge

y

P = limn (Pn) =

3.2.2 area

Para calcular el area acotada por la curva triadica cerrada de Koch esnecesario primero determinar el numero de triangulos que se agregan encada generacion. Este dato aparece en la tabla siguiente.


.

Generacion Triangulos que se agregan

1 3 402 3 43 3 424 3 43n 3 4n1

Tabla 2: Numero de triangulos que se agregan a la CTK.

Como se puede observar, en la generacion n se agregan exactamente3 4n1 triangulos, ahora solo hay que determinar que area tienen dichostriangulos.

Todos los triangulos que se agregan son equilateros; como el lector recor-dara el area de un triangulo se obtiene multiplicando un medio de la base

por la altura. En un triangulo equilatero de lado a la altura es a3

2 de dondeel area de triangulo es:

A = a2

3

4

Es posible entonces calcular el area acotada por la curva hasta la n-esimage-neracion, observese la tabla siguiente:

.

Generacion area

0 A0 =34

1 A1 = A0 +3( 13)

23

4

2 A2 = A1 +34( 19)

23

4

3 A3 = A2 +342( 127)

23

4

n An = An1 +34n1( 13n )

23

4

Tabla 3: area acotada por la CTK en funcion de la generacion.

Fractales y recursion 35

De aqu es posible concluir:

An =

3

4

[1 + 3

ni=1

4i1

32i

]= A0

(1 + 3

ni=1

4i1

9i

)

Sea

Q =

i=1

4i1

9i= 4Q =

i=1

4i

9i

y por el resultado que se obtuvo previamente para las series geometricasse tiene que:

4Q =49

1 49=

4

5

es decir:

Q =1

5

Con este resultado y la ecuacion para el area de la n-esima generacionse obtiene:

limnAn = A0

(1 + 3

(1

5

))= A0

(1 +

3

5

)Es decir, el area final es solo (3/5) mas grande que el area del triangulo

inicial.

3.2.3 Dimension Fractal

Para determinar la dimension fractal de la curva triadica de Koch esnecesario contar cuantos intervalos son necesarios para cubrirla; estos in-tervalos, aunque en principio pueden ser de una longitud arbitraria, serantomados de longitud (1/3)n para que sea cubierta exactamente la curva.Es decir, para cada generacion n se contara cuantos segmentos de longitud(1/3)n constituyen la curva. Los resultados de este conteo pueden obsrvarseen la siguiente tabla.

Generacion N

0 1 11

(13

)4

2(19

)16

n(13

)n4n


Tabla 4: Longitud y numero de los segmentos usados para cubrir la CTK.

Si se hace ahora algo como lo indicado al respecto de la costa de Bretanase tiene que:

D = limn

ln (4n)ln 1

( 13)n

= limn

(ln (4n)

ln (3n)

)=

ln (4)

ln (3)= 1.261...

y D es la dimension fractal de la curva triadica de Koch.

3.3 El Algoritmo.

Es posible establecer una primera aproximacion a lo que sera el algorit-mo paraconstruir la CTK de nivel n. Esta aproximacion debera ser refinada, pe-ro establecera en terminos muy generales el procedimiento a seguir paratrazar la curva.

Por ahora el algoritmo considerara la curva triadica de Koch que seconstruye con solo un segmento inicial, es decir en la generacion cero la CTKentre dos puntos es solo la lnea recta que los une, como si solo tuvieramosla parte de la curva construida sobre un lado del triangulo.

Ahora bien, En que consiste trazar la CTK de generacion n entre lospuntos P1 y P5? Pues si n = 0 consiste en trazar una lnea entre los puntosy si n no es cero entonces consiste en encontrar los puntos P2, P3 y P4 (veasela figura 2) y trazar la CTK de generacion n 1 entre (P1, P2), (P2, P3),(P3, P4) y (P4, P5). En terminos generales es posible escribir el algoritmocomo sigue:

CTK(P1, P5, n) =

linea(P1, P5) Si n = 0

CTK(P1, P2, n 1)CTK(P2, P3, n 1) Si n > 0CTK(P3, P4, n 1)CTK(P4, P5, n 1)

El problema es, entonces, determinar quienes son P2, P3 y P4. Es decir,que coordenadas tienen. Se reemplazara la notacion utilizada hasta ahorapor notacion vectorial. Se asociara al punto Pi el vector que le corresponde


(el que tiene las mismas coordenadas del punto) denotandolo por vi . Usandoesta notacion y recordando las ecuaciones vectoriales de las rectas es sencilloencontrar v2 y v4 (vease figura 3):

v2 = v1 + 13 (v5 v1)v4 = v1 + 23 (v5 v1)

Se denotara con ` a la recta que pasa por v1 y v5 y con ` a la rectaperpendicular a ` que pasa por el punto medio del segmento (v1 ,v5); a estepunto medio se le denotara con vm.

Ahora bien, el punto asociado con v3 es un punto externo a la recta `y que esta contenido en `. Es posible conocer la pendiente de ` dado queconocemos la de ` y sabemos que son perpendiculares. Si denotamos conm0 y m1 las pendientes de ` y de `

respectivamente tenemos que:

m0 =y5 y1x5 x1 m1 =

1

m0=x1 x5y1 y5

donde: v1 = (x1, y1) y v5 = (x5, y5).As que el punto que buscamos v3 , debe cumplir con:

(y3 ym) = m1 (x3 xm) ()

donde (xm, ym) son las coordenadas devm.

Ahora se determinara cual debe ser la distancia entre v3 y vm. Se re-cordara que la altura de un triangulo equilatero de lado a es a

3

2 , como ladistancia entre v3 y vm es, justamente, la altura del triangulo que se ha deconstruir sobre el lado (v1 ,v5), entonces:

v3 vm =

3

2

v5 v13

= h

es decir, el punto que buscamos v3 tambien debe estar en la circunferen-cia de radio h y centro en vm. Por lo tanto debe cumplir:

(x3 xm)2 + (y3 ym)2 = h2 ()

De () se obtiene:

y3 = ym +m1 (x3 xm)

sustituyendo en ():


(x3 xm)2 + (ym +m1 (x3 xm) ym)2 = (m21 + 1) (x3 xm)2 = h2

de donde:

|x3 xm| =

h2

m21 + 1

dado que h 0 tenemos queh2 = |h| = h y entonces:

x3 =

hm21+1

+ xm si x3 xm

hm21+1

+ xm si x3 < xm

Por otra parte, de () :

x3 =y3 ymm1

+ xm

sustituyendo en () :(y3 ymm1

+ xm xm)2

+ (y3 ym)2 =(

1

m21+ 1

)(y3 ym)2 = h2

es decir: (1 +m21m21

)(y3 ym)2 = h2

de donde:

|y3 ym| = h |m1|m21 + 1

finalmente:

y3 =

h |m1|m21+1

+ ym si y3 ym

h |m1|m21+1

+ ym si y3 < ym

Es posible reescribir a x3 y a y3 como sigue:

x3 =Sx hm21 + 1

+ xm


y3 =Sy h |m1|m21 + 1

+ ym

Donde Sx y Sy tienen el valor de -1 o 1 dependiendo de la relacion entrelas coordenadas de los vectores v3 y vm. Es posible determinar el valorde Sx y Sy en funcion de

v1 y v5 solamente, esto es util dado que, hastaahora, para conocer su valor necesitabamos de x3 que es el punto que sepretende calcular. En la siguiente tabla se observa como dependen Sx y Syde las diferencias dx = x5 x1 y dy = y5 y1. Cuando alguna cantidades positiva se le denota con un +, cuando es negativa con un , cuandoes cero con 0; ademas en las columnas etiquetadas x3, xm y y3, ym se hacolocado el smbolo de desigualdad que debe ir entre las coordenadas. Seesta considerando un sistema de coordenadas al estilo del que se requierepara representar las cosas en una pantalla de computadora; en este sistemael origen se encuentra en la esquina superior izquierda, es por eso que seconsidera que una cierta y es mayor que otra y si la primera se encuentramas abajo que la segunda, contrariamente a lo que se acostumbra. Debetomarse esto en consideracion al observar la tercera columna que contiene ladireccion y el sentido en el que se traza la curva en cada caso; el punto finalv5 se encuentra en la punta de la flecha, mientras que v1 se encontrara enel extremo opuesto.

dy dx Trazo x3,xm Sx y3,ym Sy

0 0 0 + + < 0 + ++ 0 + ++ + + < + + + 0 < + + < < < +

Del analisis de la tabla se concluye que:

Sx =

1 si dy < 0

+1 en otro caso


Sy =

1 si dx > 0

+1 en otro caso

3.4 Conclusiones.

A lo largo de este captulo se ha analizado un caso particular. Sin em-bargo existen muchos otros objetos fractales cuya autosimilitud los hace sus-ceptibles de un proceso de construccion recursivo, como la curva cuadraticade Koch o el triangulo de Sierpinski. El lector interesado puede encontraralgunos de estos objetos en la literatura listada al final del texto, principal-mente en el libro de Mandelbrot. Es posible tambien que el lector inventesus propios fractales recursivos, calcule sus correspondientes dimensionesfractales y elabore los programas que los dibujen en la computadora. Co-mo siempre ocurre en matematicas, no hay restriccion alguna, basta poseersuficiente imaginacion y tenacidad.

3.5 Bibliografa.

Mandelbrot, Benoit. Los Objetos Fractales, Forma, Azar y Dimension.Tusquets Editores,1984.

Barnsley, Michael. Fractals Everywhere. Academic Press Inc. 1988.

Falconer, Kenneth. Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Ap-plications. John Wiley & Sons. 1990.

4El Problema de las HormigasEnamoradas y malCorresponfidas

4.1 Descripcion del Problema

Supongase que se tienen cuatro hormigas colocadas en los vertices de uncuadrado de lado ` centrado en el origen de nuestro sistema de referencia ycon los vertices sobre los ejes. Llamese A al vertice que se encuentra sobrela parte positiva del eje de la x y procedase a etiquetar los vertices en elsentido contrario a las manecillas del reloj B, C, y D. Supongase ahoraque la hormiga en A esta enamorada de la que esta en B, que la de B estaenamorada de la de C, que la de C esta enamorada de la de D y esta lo estade la de A. Cada hormiga camina hacia aquella de la que esta enamoraday todas caminan con la misma rapidez. Se pretende conocer la trayectoriaque sigue cada hormiga. A partir de este momento se denotara con a ala hormiga cuyo punto de partida es A, con b a la que estaba en B y asisucesivamente.

4.2 Solucion

Sea (x, y) el punto donde se encuentra, al instante t, la hormiga a. Enese momento, dado que todas las hormigas caminan con la misma rapidez,b estara en el punto de coordenadas (y, x). Es decir en el punto que seobtiene de rotar 90o = pi/2 el punto (x, y). La hormiga a entonces en esemomento estara dirigiendose hacia (y, x) que es donde se encuentra b, es


decir su vector velocidad tendra la direccion de la recta con pendiente:

m =x yy x =

y xy + x

Considerese esta pendiente como la derivada dy/dx.Hagase ahora un cambio a coordenadas polares:

x = r cos()

y = r sin()

entonces:dy

dx=r sin() r cos()r sin() + r cos()

=sin() cos()sin() + cos()

Por otra parte:dx = cos()dr r sin()ddy = sin()dr + r cos()d

De donde:

sin() cos()sin() + cos()

=sin()dr + r cos()d

cos()dr r sin()dManipulando esta expresion:

(sin()cos())(cos()drr sin()d) = (sin()+cos())(sin()dr+r cos()d) =sin() cos()dr r sin2()d cos2()dr + r sin() cos()d =

sin2()dr + r sin() cos()d + sin() cos()dr + r cos2()d =( cos2() sin2())dr = (r cos2() + r sin2())d =

dr = rd = (

1

r

)dr = d

De donde finalmente: ln |r| = + C

Es decir:r = e(+C) = Ke

Dado que el cuadrado esta centrado en el origen con los vertices soble losejes, cuando = 0 tenemos que r = `/

2, de donde: K = `/

2 y entonces:

r =

(`2

)e

Y esta es la ecuacion que describe una espiral logaritmica, muy conocidapor su estrecha relacion con la razon aurea y que aparece inesperadamenteen la naturaleza. En la figura 1 se puede observar la trayectoria seguida porcada hormiga.

El Problema de las Hormigas Enamoradas y mal Corresponfidas43

4.3 Generalizacion

Es posible generalizar el resultado suponiendo que tenemos a las hormi-gas acmomodadas en los vertices de un poligono regular de n lados centradoen el origen. Cuando una hormiga, a la que se llamara a, esta en el puntode coordenadas (r cos(), r sin()) la hormiga a la que persigue, llamesele b,esta en (r cos(+2pi/n), r sin(+2pi/n)). As que la pendiente de la tangentea la trayectoria en ese punto es:

m =sin( + 2pi/n) sin()cos( + 2pi/n) cos()

Recuerdense las expresiones para calcular el seno y el coseno de U + Ven terminos de los senos y los cosenos de U y V , utilizandolas obtenemos:

m =sin() cos(2pi/n) + cos() sin(2pi/n) sin()cos() cos(2pi/n) sin() sin(2pi/n) cos() =

sin()(cos(2pi/n) 1) + cos() sin(2pi/n)cos()(cos(2pi/n) 1) sin() sin(2pi/n) =

sin()dr + r cos()d

cos()dr r sin()dDe donde:

sin

(2pi

n

)dr = r

(cos

(2pi

n

) 1)d =

(1

r

)dr =

(cos(2pin

) 1sin(2pin

) ) dIntegrando:

ln |r| =(

cos(2pin

) 1sin(2pin

) ) + Ces decir:

r = K e

(cos( 2pin )1sin( 2pin )

)

Donde K R depende del polgono donde esten colocadas las hormigasy que se espera sera de un numero par de vertices, de modo que no tengamosque pensar en que las hormigas tengan algun tipo de preferencia sexual noconvencional.


4.4 Longitud de la Trayectoria

Para calcular cuanto recorre cada hormiga hasta llegar al centro debemoscalcular la longitud de arco. Esto se hace calculando b

ar()

En el caso del cuadrado:

r() =(

`2

)e ( cos sin , cos sin )

De donde:

r() =(

`2

)e

2 = è

Y la longitud de la trayectoria: 0

è = è0

= `

5Teselaciones

5.1 Cubriendo el plano con polgonos regularescongruentes

Cuando caminamos por un piso casi siempre pisamos cuadrados, a vecesrectangulos, pero casi nunca las losetas de los pisos tienen otras formas yademas generalmente todas las losetas son iguales, solo ocasionalmente secombinan de dos tipos diferentes, cuadrados a fin de cuentas, aunque dedistinto tamano. por que casi siempre las losetas que se fabrican para elpiso son cuadradas? se podran fabricar losetas con forma de otro polgonoregular?. A lo mejor s. Supongamos que se puede cubrir un piso conpuras losetas de un lado mas que las comunes, con pentagonos regulares yexperimentemos. En la figura 5.1 en el recuadro superior izquierdo se puedever el resultado. Es un fracaso, por mas que intentemos siempre queda unindeseable hueco entre dos losetas. Que caractersticas debe cumplir laforma de las losetas para cubrir completamente el plano del suelo?.

Procedamos a hacer un analisis general de la situacion, primero deseamossaber si es posible cubrir el plano con losetas de forma regular de n lados,todas iguales.

Calculemos primero el valor del angulo interior de un loseta regularde n lados al que llamaremos , si trazamos rayos a partir del centro deun polgono regular de n lados hacia cada uno de los vertices obtenemostriangulos, en la figura 5.2 se muestra el ejemplo con un pentagono, pero lopodemos hacer con cualquier polgono. Sabemos de la geometra elementalplana que la suma de los angulos internos de cualquier triangulo es 180o = pi,as que ++ = pi pero justamente + = 2 = donde es el angulobuscado.


Figura 5.1: Losetas buenas y malas para cubrir el piso.

Figura 5.2: Determinacion del angulo interior de un polgono regular.

Teselaciones 47

Entonces:

pi = + +

= + 2

= + (5.1.1)

Ademas sabemos que, como estamos trabajando con polgonos regulares:

=360o

n=

2pi

n(5.1.2)

substituyendo 5.1.2 en 5.1.1:

pi = +2pi

n

De modo que:

= pi 2pin

= pi

(1 2

n

)= pi

(n 2n

)(5.1.3)

Por otra parte, si pretendemos que alrededor de cada vertice del enlosadose coloquen exactamente un numero entero k de polgonos regulares, nece-sariamente tendremos que k veces el angulo debe ser una vuelta completa(2pi). As que:

=2pi

k(5.1.4)

Igualando 5.1.3 y 5.1.4:

pi

(n 2n

)=

2pi

k

eliminando pi de ambos lados: (n 2n

)=

2

k(5.1.5)

Manipulando 5.1.5 obtenemos:

2 = k

(n 2n

)2n = kn 2k

2n+ 2k = kn

2 (n+ k) = kn (5.1.6)


k n

6 3

4 4

3 6

Tabla 5.1: Posibles valores de n (numero de lados del polgono regular) y k(numero de polgonos alrededor de cada vertice del enlosado) que satisfacenla ec. 5.1.7.

A partir de 5.1.6:

kn 2 (n+ k) = 0kn 2n 2k = 0

kn 2n 2k 4 + 4 = 0kn 2n 2k + 4 = 4

(k 2) (n 2) = 4 (5.1.7)

Las unicas soluciones posibles para 5.1.7 son mostradas en la tabla 5.1,es decir, solo es posible cubrir el plano completamente uniendo alrededor decada vertice del enlosado: 6 polgonos regulares de 3 lados (triangulos), 4de 4 lados (cuadrados) o 3 de 6 lados (hexagonos); tal como se muestra enla figura 5.1.

Tambien a partir de 5.1.6 es posible obtener lo siguiente:

n+ k =1

2kn

n+ k

kn=

1

21

k+

1

n=

1

2(5.1.8)

5.2 Cubriendo el plano con polgonos regulares di-ferentes

Es posible cubrir tambien el plano con polgonos regulares pero sin usarde un solo tipo, sino combinando diversas formas de loseta.

De la ecuacion 5.1.3 sabemos cuanto mide el angulo interior de unpolgono regular de n lados. Ahora lo que pretendemos es juntar, alre-dedor de cada vertice del enlosado, 3, 4, 5 y hasta 6 polgonos regulares

Teselaciones 49

de distintos tipos (con distinto numero de lados), as que esto lo podemosexpresar como: (

n1 2n1

+n2 2n2

+n3 2n3

)pi = 2pi(

n1 2n1

+n2 2n2

+n3 2n3

+n4 2n4

)pi = 2pi(

n1 2n1

+n2 2n2

+n3 2n3

+n5 2n5

+n5 2n5

)pi = 2pi(

n1 2n1

+n2 2n2

+n3 2n3

+n4 2n4

+n5 2n5

+n6 2n6

)pi = 2pi

La primer de estas ecuaciones se transforma en:

1 2n1

+ 1 2n2

+ 1 2n3

= 2

de donde:

3 2 = 2n1

+2

n2+

2

n3

Si hacemos algo similar con las demas obtenemos las siguientes ecuacio-nes:

1

n1+

1

n2+

1

n3=

1

2(5.2.9)

1

n1+

1

n2+

1

n3+

1

n4= 1 (5.2.10)

1

n1+

1

n2+

1

n3+

1

n4+

1

n5=

3

2(5.2.11)

1

n1+

1

n2+

1

n3+

1

n4+

1

n5+

1

n6= 2 (5.2.12)

Las soluciones a estas ecuaciones estan en la tabla 5.2. Las soluciones10, 14 y 17 son las que analizamos en la seccion anterior y las soluciones1, 2, 3, 4, 6 y 9 se pueden llevar acabo solo en un vertice aislado, pero elresultado no se puede extender a todo el plano, as que no nos sirven. Por suparte la solucion 11 no se puede implantar por si sola, requiere combinarsecon 5 o con 15 para llevarse a cabo. Los resultados utiles estan listados enla tabla 5.3.

As que hay esencialmente solo ocho posibles formas de hacer un enlosadoque cubra el piso completamente usando losetas de forma regular de distintos


No. n1 n2 n3 n4 n5 n6

1 3 7 42

2 3 8 24

3 3 9 18

4 3 10 15

5 3 12 12

6 4 5 20

7 4 6 12

8 4 8 8

9 5 5 10

10 6 6 6

11 3 3 4 12

12 3 3 6 6

13 3 4 4 6

14 4 4 4 4

15 3 3 3 4 4

16 3 3 3 3 6

17 3 3 3 3 3 3

Tabla 5.2: Conjunto de soluciones a las ecuaciones 5.2.9-5.2.12

No. n1 n2 n3 n4 n5

5 3 12 12

7 4 6 12

8 4 8 8

11 3 3 4 12

12 3 3 6 6

13 3 4 4 6

15 3 3 3 4 4

16 3 3 3 3 6

Tabla 5.3: Conjunto de soluciones utiles que si construyen enlosados quecubren el plano

Teselaciones 51

Figura 5.3: Las ocho formas de cubrir el plano con losetas regulares dedistintos tipos.


tipos. Los resultados de la tabla 5.3 se encuentran ilustrados en la figura5.3.

Aunque no estamos muy acostumbrados a ello, estos enlosados si hansido usados para cubrir pisos y muros. Basta echar una ojeada a los exqui-sitos trabajos arquitectonicos arabes de la edad media, como la Alhambrao a algunas construcciones romanas edificadas en Europa y medio orientedurante el imperio.

5.3 Enlosados aperiodicos

Los enlosados (tambien llamados teselaciones) presentados hasta ahoratienen la caracterstica de que si se imprimiera uno de ellos sobre una hoja depapel y se imprimiera el mismo sobre una hoja transparente podramos ha-cer que coincidieran ambas impresiones en distintas posiciones, aun cuandose volteara la impresion sobre la hoja transparente (es decir intercambiandoel anverso y el reverso de la hoja). No solo eso, si pudieramos tener lasimpresiones del enlosado sobre hojas infinitas podriamos hacer que coinci-dieran una infinidad de veces. Cuando esto ocurre se dice que el enlosadoes periodico.

En 1961 Wang conjeturo que cualquier conjunto de losetas con las quese pueda cubrir el plano pueden ser arregladas de forma que el enlosado seaperiodico. Pero en 1966 R. Berger demostro que esto no es verdad, exist unconjunto de 20,426 losetas que cubran el plano con un enlosado aperiodico.Desde ese entonces este numero se ha visto reducido considerablemente, en1971 Raphael M. Robinson redujo el numero a seis y en 1974 Roger Penrosedescubrio un conjunto de dos (si se incluyen restricciones de color). Nosocuparemos aqu de este ultimo conjunto.

Las losetas de Penrose se ilustran en la figura 5.4.

5.4 Bibliografa

Grunbaum, Branko y G. C. Shephard, Tiling and Patterns, W. H. Free-man and Company, 1987.

Kraitchik, Maurice, Mathematical Recreations, W. W. Norton & CompanyInc., 1942.

Wang, H, Proving Theorems by Pattern Recognition. II. Bell System Tech.J., 40, 1961. pp. 1-42.

Teselaciones 53

Figura 5.4: Las losetas de Penrose. Los lados miden 1 y = 1.618 . . . (larazon aurea). = 15 pi


Berger, R, The Undecidability of the Domino Problem. Memoirs of Ame-rican Mathematical Society, 66, 1966, 72 pp.

6Un poco de caos(el mapeo logstico)

6.1 Introduccion.

6.1.1 Funciones.

Recientemente el concepto de caos se he vuelto muy popular. Hemosodo a algunos economistas mencionarlo a proposito de la inestabilidad de losmercados accionarios en New York y a uno de los protagonistas de JurassicPark, aquel que sabiamente sentencia que la vida se abre paso. Perociertamente no es un concepto que la mayora de las personas tenga claro,en general la palabra caos evoca el completo desorden, el dominio del azar, elsin-sentido, lo impredecible, lo anarquico que no obedece regla alguna. Algohay de todo eso, como veremos, pero hay tambien algo de orden y reglas.

Para comenzar nuestra travesa vamos a necesitar algo de conceptos ma-tematicos elementales. Lo primero es el concepto de funcion. Cuando en lavida cotidiana se nos dice algo como: tu ida al cine esta en funcion de querecojas el tiradero de tu cuarto, lo que se nos trata de decir es que una cosa(ir al cine en este caso) depende de otra (asear el cuarto), es decir una cosacondiciona a la otra. En matematicas el concepto es el mismo.

Supongamos que tenemos un par de conjuntos, digamos A y B y que he-mos establecido una relacion establecida entre ellos de tal forma que siempreque escogemos a un elemento del conjunto A la relacion nos entrega exac-tamente un elemento del conjunto B, el elemento de B esta en funcion delelegido en A. La restriccion es que no es posible que al elegir un elementode A la relacion nos entregue dos o mas elementos de B o no nos entregue


ninguno, nos entrega exactamente uno. Eso es una funcion: un vnculo en-tre dos conjuntos que relaciona a cada elemento de uno de ellos, al que sedenomina el dominio de la funcion, con otro llamado contradominio de talforma que cada elemento del dominio esta vinculado con uno y solo uno delcontradominio.

En mi casa suelo anudar mis calcetines por pares, de forma que no puedaperder ninguno de los miembros del par (o pierdo ambos o ninguno), as seque si entreveo en mi cajon uno de mis calcetines azules y lo jalo, segura-mente secare mi par de calcetines azules y no solo el que alcance a ver. Esoes una funcion. Podemos pensar en un conjunto constituido por un calcetnde cada par y llamar a este conjunto A, luego podemos pensar en el con-junto del resto de los calcetines y llamar a este B. Mis nudos constituyenuna funcion de A a B, cada nudo relaciona un elemento de A con uno ysolo uno de B. Utilizaremos letras minusculas para denotar a las funciones,as que podramos decir que si a es un calcetn del conjunto A y b es el quele corresponde del conjunto B entonces el nudo entre ellos es una funcionf tal que f(a) = b. Para especificar que una funcion tiene dominio A ycontradominio B usaremos la notacion f : A 7 B.

Asociada con una funcion hay normalmente una regla de corresponden-cia. La regla nos dice que elemento del contradominio esta relacionado conun elemento dado del dominio, Esto nos permite escribir poco si queremosespecificar una funcion. Con lo que sabamos de los parrafos previos, escribiruna funcion consistira en decir, para cada elemento del dominio, que ele-mento del contradominio le toca usando la funcion. Pero si tenemos unaregla de correspondencia entonces podemos abreviar esto poniendo solo laregla, lo que resulta muy conveniente si tratamos con conjuntos que tienenuna infinidad de elementos.

6.1.2 El mapeo logstico.

Imaginemos que tenemos una poblacion de bichos, digamos conejos, enun area limitada y que queremos saber en todo momento cuantos conejoshay en la poblacion. Vamos a suponer que el tiempo avanza en pasos,generaciones por ejemplo. As que quisieramos saber el numero de conejosen la generacion t, lo que denotaremos como Pt, para cualquier valor de t.

Por supuesto el numero de conejos que habra en la generacion t dependedel numero de conejos que ya estaban en la poblacion antes de esa generaciony que seran padres de los que se integraran a la poblacion en la generacion t.Es decir, el numero de conejos en la generacion t esta en funcion, o depende,

Un poco de caos(el mapeo logstico) 57

del numero de conejos en la generacion t 1, esto lo escribimos:

Pt = f(Pt1)

donde f es una funcion.Lo primero que se nos ocurre es que haya una tasa de crecimiento cons-

tante de la poblacion, que denotaremos con a, para que entonces ocurra:

Pt = aPt1 (6.1.1)

Siguiendo esta regla de correspondencia podemos decir entonces que al prin-cipio haba a conejos; luego, en la generacion 2, hay a2 conejos; a3 en latercera generacion y as sucesivamente. Pero esta regla de correspondenciano funciona muy bien, porque la poblacion de conejos no puede crecer inde-finidamente, la naturaleza tiene lmites y seguramente luego de un tiempolos conejos ya no tendran alimento suficiente y la poblacion disminuira. Esdecir, nuestra tasa a no puede tener un valor fijo, debe depender del numerode conejos de alguna manera, o sea que a debe ser funcion de Pt. Lo massimple que se nos ocurre es decir que:

at = b c Pt1donde b y c son constantes. As la tasa de crecimiento de la poblacion se hacemenor cuanto mayor sea la poblacion. Reemplazando la a de la expresion6.1.1 por esta nueva at tenemos:

Pt = (b c Pt1)Pt1= b Pt1 c P 2t1 (6.1.2)

Si definimos xt =cbPt, es decir:

Pt =b

cxt

entonces podemos reescribir la expresion 6.1.2 como:

b

cxt = b

b

cxt1 c

(b

cxt1

)2=

b2

cxt1 b

2

cx2t1

=b2

cxt1 (1 xt1)


lo que equivale a decir:

xt = b xt1 (1 xt1)Esta es la expresion de lo que se conoce como la ecuacion logstica. En estetrabajo nos daremos a la tarea de analizar esta ecuacion, pero la expresare-mos como:

xt = 4 r xt1 (1 xt1) (6.1.3)y diremos que el dominio es el conjunto de todos los numeros reales entrecero y uno, es decir el intervalo de la recta real [0, 1]. Tambien restringiremosel valor de r al mismo intervalo y, como hemos dicho que el tiempo avanzaen pasos, los valores para t son los numeros naturales N = {0, 1, . . . }.

6.1.3 Sistemas dinamicos.

La forma de la expresion 6.1.3 nos dice que el valor de x al tiempo tes una funcion del valor que tena x en el instante anterior t 1. Esto esinteresante, significa que el dominio y el contradominio de la funcion son elmismo y ademas significa que para obtener el valor de x al tiempo t nos bastacon tener su valor al tiempo t1 y para obtener este solo necesitamos el valoral tiempo t 2 y as sucesivamente. En sntesis, para determinar los valoresque adquiere x solo se requiere de un valor inicial al que podemos llamar x0,usar este como el valor de xt1 en la expresion 6.1.3 para obtener x1, luegousar este como xt1 para obtener x2 y repetir el proceso indefinidamente.Dado un valor para x0 diremos que el conjunto de valores de x en los pasostemporales sucesivos x1, x2, . . . son la orbita de x0.

A una sucesion de valores x0, x1, . . . que cumplen la condicion de quecada valor depende del valor previo, es decir xi = f(xi1) donde f es unafuncion, se le llama sistema dinamico. As que la expresion 6.1.3 es, dehecho, un sistema dinamico. Para ser precisos, dado que el tiempo avanzaen pasos, se trata de un sistema dinamico discreto.

Los sistemas dinamicos son de gran importancia. Con frecuencia se lesusa para describir el comportamiento de una gran variedad de fenomenos na-turales, usando la terminologa correcta, se utilizan como modelos de dichosfenomenos. Nosotros usamos el sistema descrito por 6.1.3 para modelar elcrecimiento de una poblacion, de hecho es de ese contexto de donde surgio.

6.1.4 Diagramas de telarana.

En el resto de este trabajo tendremos que analizar las orbitas de diferen-tes puntos en el dominio de nuestra funcion logstica, as que es conveniente


Figura 6.1: Diagrama de telarana para encontrar la orbita de x0.

hacer claro un truco que estaremos utilizando asiduamente.Supongamos que poseemos la grafica que describe nuestra funcion una

vez que se ha dado el valor para el parametro r en la expresion 6.1.3. Lagrafica se vera como la que se muestra en la figura 6.1. Ahora supongamosque queremos seguir la secuencia de puntos en la orbita de un valor determi-nado del dominio de la funcion, digamos x0 [0, 1]. Como dijimos la orbitade x0 esta dada por:

x1 = 4 r x0 (1 x0)x2 = 4 r x1 (1 x1)x3 = 4 r x2 (1 x2)

...

siempre xn es obtenida a partir de xn1 aplicando la misma funcion, repi-tiendola o, para hablar propiamente, iterandola.

Pues bien, si nos fijamos en el valor que se obtiene para x1 a partir dex0 en la grafica, este corresponde al punto en el eje vertical (ordenadas) quecorresponde a la altura que tiene la funcion en x0. Si ahora queremos iterarel proceso evaluando la funcion en x1, formalmente tendramos que fijarnosen el valor x1 en el eje horizontal (abscisas), graficamente lo que haramos


es apoyar la punta de un compas en el origen donde cruzan los ejes y abrirlohasta llegar a la altura x1 para luego trazar un arco y localizar a x1 en el ejede las abcisas. Luego podemos fijarnos en la altura que la funcion tiene en x1y habremos localizado x2. Pero si observamos la figura 6.1 nos percataremosde que hay un atajo, en vez de localizar x1 sobre el eje de las ordenadas yluego bajarlo con el compas, podemos trazar la horizontal que pasa porx1 en la grafica de la funcion hasta topar con la recta `, que no es otra quela recta que pasa por el origen a 45o, y = x (la identidad), y luego rebotaren ella hacia arriba hasta volver a encontrar a la grafica de la funcion paralocalizar x2. Podemos repetir este proceso tantas veces como sea necesario,rebotando en la diagonal y localizando todos los puntos en la orbita dex0. Al resultado grafico de aplicar este proceso se le denomina diagrama detelarana, por razones que pronto seran evidentes.

6.2 El regimen estable.

6.2.1 Puntos fijos.

Ha llegado el momento de comenzar a explorar nuestra familia de fun-ciones logsticas. Cabe resaltar que tenemos una funcion diferente por cadavalor del parametro r que escojamos en la expresion 6.1.3, cada una conun comportamiento potencialmente diferente. Sin embargo toda la familiacomparte caractersticas comunes, por ejemplo todas las funciones alcanzanuna altura maxima igual al valor del parametro r y esta altura es alcanzadaexactamente en x = 0.5, a la mitad del intervalo que constituye el dominiode la funcion, ademas las funciones son siempre simetricas respecto a la rectavertical que pasa por este punto.

Comencemos con un valor r = 0.2 en este caso la funcion logstica nollega muy alto, ni siquiera pasa por arriba de la recta identidad y = x. Siescogemos un punto cualquiera del intervalo [0, 1] y lo seguimos a lo largode su orbita veremos que muy pronto cae en el origen, es decir x = 0, comola expresion 6.1.3 entrega el valor cero cuando se le da como argumento elcero entonces ya no ocurre nada interesante. No importa que valor inicialx0 escojamos, la orbita tarde o temprano se convertira en una monotonasecuencia infinita de ceros.

Cuando un punto en el dominio de la funcion es mapeado por esta enel mismo, se dice que es un punto fijo. As que el cero es un punto fijo detodas las funciones de la familia logstica.

Un poco mas interesante es lo que ocurre cuando r = 0.3 en este caso lagrafica de la funcion sigue siendo chaparra, no rebasa el 0.5 de altura, sin


r Pto. fijo

0.3 0.1666

0.4 0.375

0.5 0.5

0.6 0.583

0.7 0.642

0.75 0.666

0.8 0.6875

0.9 0.722

Tabla 6.1: Valores aproximados del punto fijo distinto de cero para las fun-ciones logsticas determinadas por el parametro r.

embargo ya cruza la recta identidad en x = 0.1666 . . . , lo que significa quede hecho este es un punto fijo ademas del consabido x = 0.

Si escogemos un valor cualquiera en el intervalo [0, 1] como x0 e iteramosla funcion para obtener su orbita nos percataremos de que, sin importarque punto hayamos elegido, tarde o temprano caemos en el punto fijo x =0.1666 . . . , as que ademas de ser un punto fijo es tambien una especie depunto de atraccion.

Cuando podemos encontrar un conjunto de puntos alrededor de un puntofijo, tales que al iterar el sistema partiendo de cualquiera de ellos, la orbita seacerca cada vez mas al punto fijo, decimos que este es un punto fijo estable.Si, por el contrario, la orbita de cualquier punto alrededor del punto fijo sealeja de el, decimos que es un punto fijo inestable. As que nuestro puntofijo x = 0.1666 . . . es estable, mientras que el cero, que siempre es puntofijo, es ahora inestable.

Si ahora hacemos r = 0.4 entonces el punto fijo distinto de cero seconvierte en x = 0.375, que tambien resulta ser estable. En la tabla 6.1 semuestran los valores del punto fijo distinto de cero para diferentes valoresde r, todos los asociados con valores de r menores (o iguales) a 0.75 sonestables, de los demas hablaremos a continuacion.

6.2.2 Puntos periodicos (voy y vengo).

Cuando alcanzamos el valor r = 0.75 comienza a ocurrir algo interesante.El punto fijo, que resulta ser 2/3 = 0.666 . . . , es estable, atrae a los puntosvecinos, de hecho a todo el intervalo [0, 1] hacia el, pero muy despacio. Siprobamos con valores de r menores a 0.75 veremos la diferencia, casi siempre


Puntos periodicos

r w1 w2

0.8 0.7994 0.513

0.85 0.8421 0.4519

0.86 0.8485 0.4422

0.87 0.8543 0.4329

Tabla 6.2: Valores aproximados de los puntos periodicos para las funcioneslogsticas determinadas por el parametro r.

la orbita se acerca rapidamente al punto fijo estable, con r = 0.75 en cambiodamos varias vueltas alrededor del punto en nuestra telarana (que ahora seentiende por que suele llamarse as) antes de caer en el.

La cosa se pone aun mas drastica con r = 0.8 entonces el punto fijo dis-tinto de cero, a saber, 0.6875 (aproximadamente), deja de ser estable. Ahoralos puntos cercanos a el no se le acercan. Si experimentamos con diferentesvalores de x0 nos percataremos de que, luego de algunas iteraciones, soloobtenemos alternativamente, dos valores, aproximadamente x = 0.7994 yx = 0.513.

Cuando un punto de una orbita tiene la propiedad de que xt = xt+k, esdecir, luego de k pasos temporales el sistema dinamico regresa a el, se diceque el punto es periodico. As que los puntos x = 0.7994 y x = 0.513 sonperiodicos para r = 0.8. Como hay que esperar dos pasos temporales pararegresar a cada uno de ellos diremos que tienen periodo 2.

Si denotamos con f(x) a nuestra funcion, es decir f(x) = 4 (0.8)x (1x),el hecho de que un punto, digamos w1 sea periodico de periodo 2, significaque al aplicar la funcion f al resultado de aplicar la misma funcion al puntow1 lo que obtenemos es nuevamente w1. Podramos abreviar y denotar conf2 la aplicacion de f al resultado de aplicar f , es decir: f2(x) = f(f(x)).Esto formalmente es la composicion de f consigo misma. Ahora podemosdecir que el punto w1 es de periodo 2 porque f(f(w1)) = w1, es decir:f2(w1) = w1, lo que significa que si consideramos a la funcion f

2 en vez dea f tenemos que w1 es punto fijo de f

2.

Para r = 0.85 tenemos el punto fijo xf = 0.7058 que es tambien inestabley ademas los puntos de periodo dos: w1 = 0.8421 y w2 = 0.4519. En la tabla6.2 se muestran algunos otros resultados.


6.2.3 El germen de la complejidad.

Si seguimos incrementando (poco a poco) el valor de r siguen apareciendopuntos de periodo dos. Pero cuando alcanzamos el valor r = 0.875 cambiael panorama. Ahora las iteraciones, luego de un tiempo, generan solo cuatroposibles valores, aproximadamente: w1 = 0.383, w2 = 0.501, w3 = 0.827y w4 = 0.875. Ahora hemos encontrado una familia de puntos de periodocuatro. Nuestro punto fijo, xf = 0.7142 en este caso, es inestable.

Cuando llegamos a r = 0.89 otra vez ocurre el fenomeno, esta vez pasa-mos de puntos de periodo 4 a puntos de periodo 8. En este caso los puntosson: 0.374, 0.809, 0.551, 0.349, 0.833, 0.494, 0.881 y 0.890. Ademas hay queser mucho mas minuciosos que antes, porque ahora los cambios de periodoocurren cada vez mas cerca unos de otros. Para r = 0.89175, apenas unamilesima distante del anterior, ya tenemos puntos de periodo 16. Podemoscontinuar incrementando muy poco a poco r y encontraremos puntos de pe-riodos 32, 64, 128, y as sucesivamente. Todos estos numeros son potenciasde 2, es decir se pueden escribir como 2n para alguna n, esto es mas o menosclaro, cada vez que hay un cambio duplicamos el periodo. Pero seguramenteel lector se estara preguntando cuando acabamos?, la respuesta es nunca!Para toda n que se nos ocurra, sin importar cuan grande sea, es posibleencontrar un valor de r tal que la funcion logstica tenga puntos de periodo2n.

Pero no todos los puntos tienen periodos de la forma 2n. Cuando hace-mos r = 0.93475 obtenemos puntos de periodo 5, a partir de all obtenemosperiodos 10, 20, 40, etc. Otra vez duplicando el periodo anterior. Cuan-do r = 0.958 obtenemos puntos de periodo 3, lo que es particularmenteimportante como veremos mas adelante, y a partir de all 6, 12, 24 y assucesivamente.

Si graficamos el valor del parametro r contra el valor de los puntos pe-riodicos de la funcion logstica obtenemos lo que se denomina el diagramade bifurcaciones. Los puntos periodicos de periodo n se van distanciandohasta que, en algun momento, cada uno de ellos se parte en dos puntosperiodicos que se van distanciando hasta que, a su vez, se parten en dosy este proceso se repite infinidad de veces. Cuando el numero de puntosperiodicos es muy grande el periodo es, por supuesto, tambien muy grande,es decir, si obtenemos el valor de uno de ellos habra que esperar muchsimotiempo antes de volverlo a ver aparecer.


6.3 El regimen caotico.

6.3.1 Surgimiento del caos.

Llevando el proceso de bifurcacion al lmite, esto es, si pensamos enla situacion en la que ya hay una infinidad de puntos periodicos, hay quepensar que nunca regresamos a un punto que hemos visto previamente, nostardamos un tiempo infinito en volverlo a ver.

Si probamos con r = 0.895 nuestras sospechas parecen confirmarse. Eldiagrama de telarana parece cubrir totalmente los puntos de la grafica de lafuncion sin importar cual sea el punto inicial que decidimos iterar. De he-cho, si nuestras computadoras pudieran manejar numeros con una precisioninfinita eso es lo que pasara. Esto parece indicar que la funcion pasa por to-dos los puntos de su dominio, nunca se estabiliza en un conjunto restringidode unos cuantos valores, ademas si probamos con dos diferentes valores depunto inicial my cercanos entre s, digamos x0 = 0.5 y x0 = 0.51 los puntosen las orbitas no estan, ni cercanos, ni a una distancia fija; el sistema esimpredecible. En efecto, para r = 0.895 hemos alcanzado el caos.

6.3.2 Remansos de orden.

Sin embargo nuestro valor r = 0.895 es menor que 0.93475 en el quetenamos puntos de periodo 5, tambien es menor que 0.958 en el que tenamospuntos de periodo 3. Como que, de pronto, el comportamiento caotico dalugar a un regimen estable, un breve remanso antes de resurgir. Si observa-mos detenidamente el diagrama de bifurcaciones nos percatamos de ello. Enmedio de la marana de pronto ha ventanas de comportamiento apacibleen las que hay unos pocos puntos periodicos que se duplican y se dupli-can hasta volver al caos, ademas esto pasa recurrentemente; si hacemos unacercamiento en el diagrama de bifurcaciones podemos ver con mas claridadestos remansos de orden. Un acercamiento en el intervalo [0.956, 0.960] nospermite apreciar la ventana de periodo 3, por ejemplo.

Haciendo acercamientos como el propuesto, es posible distinguir otrasventanas periodicas imperceptibles sn el acercamiento. En efecto, hay dehecho infinitas (pero numerables) ventanas periodicas que irrumpen en elregimen caotico, cuanto mas nos acercamos mas ventanas percibimos, todascon puntos periodicos que se bifurcan repetidamente. Como dira la abuelaes cuento de nunca acabar.

La pregunta que se nos puede ocurrir ahora es cual es el catalogo deposibles periodos? Ya hemos visto que hay puntos periodicos de periodo 2y todas sus potencias, es decir de la forma 1 2n, tambien vimos que hay


puntos de periodo 3 2n y 5 2n. Ahora nos gustara saber para que valoresde k podemos encontrar un valor de r tal que haya puntos de periodo k 2n.

6.3.3 El ordenamiento de Sarkovsky.

La respuesta nos la proporciono en 1964 un matematico ruso: Olek-sandr Mikolaievich Sarkovsky. El establecio un orden peculiar para todoslos numeros enteros positivos, a saber:

3B 5B 7B 9B B 2 3B 2 5B 2 7B . . .B22 3B 22 5B B 24 B 23 B 22 B 2B 1

Luego demostro que si una funcion continua con dominio y contradominio enlos numeros reales (condiciones que satisface nuestra funcion logstica) tienepuntos de periodo m y k es un numero que aparece a la derecha de m en elordenamiento anterior, entonces la funcion tambien tiene puntos de periodok. Dado que hemos encontrado valores de r para los que la funcion logsticatiene puntos de periodo 3 y este encabeza la lista ordenada de Sarkovsky,podemos concluir que tiene puntos de cualquier periodo que se nos ocurra.De all que otros dos matematicos Li y Yorke, quienes difundieron en occi-dente el trabajo de Sarkovsky (diez anos despues), escribieran un artculotitulado Periodo tres implica Caos1.

6.3.4 El esqueleto del diagrama de bifurcaciones.

Otra de las caractersticas que podemos observar en el diagrama de bi-furcaciones es que hay, lo que podramos llamar, lneas mas gruesas o conmayor densidad de puntos. Este es otro rasgo de orden perceptible en mediodel desorden.

Resulta que las lneas densas as como los puntos de bifurcacion obedecenuna regla: todos ellos viven alrededor de las curvas descritas por polinomiosque dependen de r. A la familia de estos polinomios se le suele llamarel esqueleto del diagrama de bifurcaciones. Estos polinomios son definidosrecursivamente:

P0(r) =1

2Pn(r) = 4rPn1(r) (1 Pn1(r))

1Li, T. y J. Yorke, Period three implies chaos, American Mathematical Monthly, No.82, 1975, pp. 985-992.


6.3.5 Los descubrimientos de Feigenbaum.

Otra curiosa caracterstica que denota algo de orden es la siguiente. Fi-jemos nuestra atencion en los valores de r para los que hay una bifurcacion.Es decir los valores de r para los que se pasa de tener puntos de periodo na puntos de periodo 2n. Llamemos pi al i-esimo de estos valores de r. Aspor ejemplo p1 = 0.75, el valor de r para el que se pasa de tener un solopunto fijo a un par de puntos de periodo dos. p2 = 0.862 (aproximadamen-te), cuando obtenemos por primera vez puntos de periodo 4 y p3 = 0.885,cuando obtenemos puntos de periodo 8. Si ahora hacemos:

p2 p1p3 p2 =

0.862 0.750.885 0.862 =

0.112

0.023= 4.86957

obtenemos un numero que, en principio, no se ve muy interesante. Lo real-mente interesante es que, si continuamos haciendo esta division del tamanode los intervalos en los que ocurren bifurcaciones, lo que obtenemos no esmuy diferente del numero anterior, de hecho nos acercamos cada vez mas aun cierto numero fijo, a saber:

=pn+1 pnpn+2 pn+1 4.669201609

al que se le ha llamado constante de Feigenbaum, en honor a su descubridorM. Feigenbaum, que llego a ella en 1975.

Ademas de hay otra constante de Feigenbaum, a la que se suele denotarcon 2.502907875. Este es tambien el valor lmite de un cociente. Sidividimos la distancia que hay entre dos ramas al momento de bifurcarse yla distancia que hay entre las ramas de la bifurcacion siguiente nos acercamoscada vez mas a .

6.4 Las cualidades del caos.

Lo mas interesante de las constantes de Feigenbaum es que son universa-les. En nuestro caso hemos estudiado la funcion logstica, pero hay muchasotras funciones que exhiben comportamientos caoticos. En todas las fun-ciones cuadraticas, es decir en todas aquellas en las que la regla de corres-pondencia depende del cuadrado de la variable independiente, aparecen lasmismas constantes de Feigenbaum. De hecho hay constantes equivalentespara funciones cubicas, de cuarto, quinto y demas grados.

Es oportuno ahora hablar sobre las caractersticas que hemos descubiertoy generalizar, establecer las cualidades del caos.


6.4.1 Todos desparramados.

Una de las caractersticas que descubrimos fue que el numero de puntosposibles a los que va a dar la funcion cubre completamente su dominio, almenos eso es lo que parece. Los puntos periodicos de la funcion se desparra-man por todo su dominio, no hay un trozo del dominio donde no encontre-mos algun punto periodico de la funcion. En matematicas esto significa queel conjunto de puntos periodicos de la funcion es denso en el dominio de esta.Formalmente hablando: si escogemos una distancia arbitraria pequena, tanpequena como nos de la gana, y nos paramos en un punto cualquiera delintervalo [0, 1] entonces podemos encontrar, a una distancia menor que laelegida, algun punto periodico de la funcion logstica.

6.4.2 Cuando los hermanos se separan.

Otra de las cualidades que podemos apreciar es que si observamos lasorbitas de dos puntos originalmente muy cercanos, estas son completamentediferentes cuando se esta en el regimen caotico. Es decir nuestro sistemadinamico es sumamente sensible a pequensimos cambios en los valores delpunto inicial, por razones evidentes a este fenomeno se le suele llamar sen-sibilidad a las condiciones iniciales, otra de las cualidades del caos.

Para cuantificar objetivamente la separacion de las orbitas de puntos di-ferentes, se utiliza el concepto de exponente de Lyapunov. Una explicaciondetallada de esto escapa de los objetivos y alcance del presente texto. Enesencia, sin embargo, consiste en determinar que tan rapido crece, en pro-medio, la distancia entre las orbitas. Si la tasa de cambio a la que crece ladistancia es positiva entonces las orbitas se alejan, lo que significa sensibili-dad a condiciones iniciales; si, por el contrario, la tasa es negativa, las orbitasse acercan, se tiende a un conjunto restringido de puntos fijos, es decir, seesta en un regimen estable. Si observamos la grafica del valor del exponentede Lyapunov contra el valor del parametro r podemos observar las oscilacio-nes que corresponden a las transiciones entre el regimen caotico y el estable,cuando r esta en una de esas ventanas periodicas que hemos mencionadoel exponente es negativo. Hacia el final del intervalo [0, 1] predominan losvalores positivos del exponente de Lyapunov.

6.5 Comentarios finales.

Hemos hecho una visita guiada al caos usando como caso de estudio lafuncion logstica, pero hay muchas otras funciones, algunas tan simples co-


mo el mapeo logstico, que exhiben comportamiento caotico. Las cualidadesdel caos que hemos mencionado se cumplen en todas ellas y de hecho, co-mo tambien hemos mencionado, las constantes de Feigenbaum permanecenvigentes para mapeos del mismo tipo (continuos, con una sola variable inde-pendiente y con el mismo grado). El fenomeno de la cascada de bifurcacioneses tambien comun a todos ellos.

El lector habra notado la similitud que existe entre el aspecto general deldiagrama de bifurcaciones y el que muestra luego de hacerle un acercamiento.Justamente eso es lo que nos indican las constantes de Feigenbaum. Que elaspecto de cada acercamiento es una reproduccion aproximada a escala delaspecto que presenta el diagrama en general, la similitud es perfecta en ellmite, cuando hemos hecho (si esto fuera posible) infinitos acercamientos.Esta es una cualidad de un tipo particular de objetos llamados fractales,que sera oportuno tratar con detenimiento en otro texto.

Esto nos lleva a pensar que es posible estudiar el comportamiento gene-ral de las funciones caoticas del mismo grado si podemos olvidarnos de laescala aproximada, es decir, si nos ponemos a observar como se comportanen el lmite cuando la similitud es perfecta. Feigenbaum exploro esta idea,para ello se valio de un recurso matematico usual en fsica llamado renor-malizacion y que consiste, justamente, en hacer una especie de acercamientoinfinito con el fin de que el factor de escala fuera unico y perfecto siempre.

A nosotros nos parece que la tierra es plana porque siempre tenemos solouna vision de un pequeno trozo el planeta, somos tan pequenos en relacional tamano de la tierra que, sin pretenderlo, nuestros ojos han hecho unacercamiento, una ampliacion de la casi esfera que habitamos y nos pareceun plano. La idea de la renormalizacion es esa: un segmento infinitesimalde circunferencia es, en el lmite, cuando se renormaliza, una lnea rectaque, ya sin importar a que escala se vea, sigue siendo una lnea recta: suautosimilitud es perfecta.

Esto llevo a Feigenbaum a lo que se conoce como la funcion de Feigen-baum, que resulta ser una funcion que depende de una funcion, aquella queexhibe el comportamiento caotico. En la funcion de Feigenbaum el factor deescala es perfecto y es justamente el valor de ya mencionado. La ventajaprimordial de poseer esta herramienta es que se posee un modelo que en-globa a todas las funciones caoticas del mismo grado y extraer propiedadesde este modelo equivale a hacerlo para todas ellas. La desventaja es que alrenormalizar, algo del detalle se pierde, sin duda algunas de las cualidadesespecficas de cada funcion ya no son recuperables. Sin duda mucho restapor hacer.


6.6 Lecturas complementarias.

Libros.

Stewart, Ian, Juega Dios a los dados?, Barcelona, Crtica, 1991, 318pags., Drakontos.

Este es un texto de divulgacion que trata sobre el caos en general.

Devaney, Robert, A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Theoryand Experiment, Addison-Wesley, 1992, 302 pags.

El libro de Devaney es referencia obligada para aquellos que se dedi-can al estudio de fenomenos caoticos. Este es un libro de texto paraestudiantes de matematicas a nivel licenciatura.

Alligood, K., T. Sauer y J. Yorke, Chaos: An introduction to dynamicalsystems, Springer Verlag, 1996.

Otro libro de texto a nivel licenciatura, un poco mas elemental que elDevaney.

Holmgren, Richard, A First Course in Discrete Dynamical Systems,2a ed., Springer Verlag, 1996, 223 pags., Universitext.

Tambien libro de texto a nivel licenciatura, el mapeo logstico es tra-tado profusamente.

Abraham, R., L. Gardini y C. Mira, Chaos in Discrete DynamicalSystems: A Visual Introduction in 2 Dimensions, Springer Verlag,1997, 246 pags., Telos.

Este es tambien un libro de texto, pero viene acompanado de unCDROM en el que se pueden encontrar programas como el presen-tado aqu, con los que el lector puede experimentar por su cuenta.

Bai-Lin, H., Elementary Symbolic Dynamics, and chaos in dissipativesystems, Wolrd Scientific, 1989, 460 pags.

Este es un libro de nivel un poco mayor, se trata el tema del grupode renormalizacion y es el unico libro donde el autor de estas paginasencontro los polinomios del esqueleto de bifurcaciones.

Paginas web.

Sarkovskiis theorem - Wikipedia,http://en.wikipedia.org/wiki/Sarkovskiis theorem


Logistic map - Wikipedia,http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic map

Sarkovskiis Theorem,http://cnls.lanl.gov/nbt/Book/node45.html Feigenbaum Function from MathWorld,http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumFunction.html

Fractal Frequently Asked Questions and Answers,http://www.faqs.org/faqs/fractal-faq/

ensalada de matemáticas

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