Juan Carlos Gacita

TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace es un mtodo simple de resolver

ecuaciones diferenciales, convirtindola en una ecuacin

algebraica.

F(t) : una funcin del tiempo t tal que f(t) = 0 para t

El proceso inverso de encontrar la funcin del tiempo f(t) a

partir de la transformada de Laplace F(s) se denomina

transformada inversa de Laplace.

F(t) F(s) F(t)

PROPIEDADES

Linealidad :

L ( f1(t)+f2(t) ) = L (f1(t)) + L (f2(t))

Transformada de una derivada :

Transformada de una primera derivada

L( df(t) ) = S * F(s) f(0)

dt

0

1

1

0

1

0

1 )(....)(

)()()(

t

n

n

t

n

t

nn

n

n

dt

tfd

dt

tdfstfssfs

dt

tfdL

PROPIEDADES

Translacin de la funcin :

L ( f(t-t0) ) = e-t

0S F(S)

Translacin de la transformada:

L (e- at f(t)) = F(S+a)

Integral :

L( f(t)dt) = F(S)/S

Teorema del valor final :

L (lim f(t) ) = lim (s F(S))

t

s 0

Algunas funciones transformadas importantes

Escaln Unitario

Rampa

Exponencial

ssFtf 1)(1)(

SsFttf

2)()( 1

)(1)()(

S

tsFtf e

TABLAS

TABLAS

Expansin en fracciones

T d L

Y(s) = G(s)

T inversa Expansin

Sistema Lineal

Y(t)

Transformar a L(s)

Despejar para Y(s)

Invertir Y(s)

___

12

_2

Ubyaotd

yda

dt

yd

Cond inicial Y(t=o)

Podemos hacer un ejemplo ?

F CA0 V CA

AA kCr

BA

kVF

FK y

kVF

V con

0AKC

AC

dtA

dC

Con CA expresada en variables de desviacin : CA(0)=0

Aplicando T.d.L a la ecuacin diferencial tenemos

}0

{}{}{A

CKLA

CLdt

AdC

L

(s) Ao

KC(s)A

C) (A

(s)-S* CA

CS 0*

0

)1(

)1(

S

K

(s)Ao

C

(s)A

C

(s) Ao

KCS(s)A

C

Si CAo es un escaln entre 0 y A podemos encontrar la

respuesta de la concentracin de salida con el tiempo

)/

1(*

)1(*

et

AK(t)A

C

S

K

S

A(s)

AC