clase laplace

La transformada de Laplace

Dr. Angel Estrella GonzalezFMAT, UADY

Abril 2015

Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY

Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de Laplace

Resolviendo PVIFunciones Discontinuas

Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es un metodo para resolverecuaciones diferenciales y es del tipo mas generalconocido como Transformadas Integrales.

En muchos casos, una transformada integral trata deresponder la pregunta: Que tanto una funcion dada separece a otra funcion conocida?La transformada de Laplace de una funcion y(t), usa unaintegracion para compararla con la funcion exponencialest .





La transformada de Laplace es un metodo para resolverecuaciones diferenciales y es del tipo mas generalconocido como Transformadas Integrales.En muchos casos, una transformada integral trata deresponder la pregunta: Que tanto una funcion dada separece a otra funcion conocida?

La transformada de Laplace de una funcion y(t), usa unaintegracion para compararla con la funcion exponencialest .





La transformada de Laplace es un metodo para resolverecuaciones diferenciales y es del tipo mas generalconocido como Transformadas Integrales.En muchos casos, una transformada integral trata deresponder la pregunta: Que tanto una funcion dada separece a otra funcion conocida?La transformada de Laplace de una funcion y(t), usa unaintegracion para compararla con la funcion exponencialest .





DefinicionLa Transformada de Laplace de una funcion y se denota porL [y ] y esta dada por:

L [y ] (s) =

0

y(t)est

dt =

0y(t)estdt

NotaLa transformada de Laplace de una funcion y(t) es una nuevafuncion que depende de la variable s, por eso usaremos lassiguientes notaciones

L [y ] (s) = L [y(t)] (s) = L [y ]





DefinicionLa Transformada de Laplace de una funcion y se denota porL [y ] y esta dada por:

L [y ] (s) =

0

y(t)est

dt =

0y(t)estdt

NotaLa transformada de Laplace de una funcion y(t) es una nuevafuncion que depende de la variable s, por eso usaremos lassiguientes notaciones

L [y ] (s) = L [y(t)] (s) = L [y ]Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY



Ejemplo 1

Si y = e2t halle L [y ] (s).

L [y ] (s) =

0e2testdt =

0

et(2s)dt

=e(2s)t

2 s

]0

= limt

e(2s)t

2 s 1

2 s

=

{ 1s2 si s > 2no definida si s 2




Ejemplo 2

L [eat]

=

0

eatestdt =

0e(as)tdt =

1s a si s>a




Ejemplo 2

L [eat]=

0

eatestdt =

0e(as)tdt =

1s a si s>a




Ejemplo 3

L [1]

=

0

est = limtest

s(1s

)=

1s

si s>0




Linealidad

La transformada de Laplace es una transformacion lineal, esdecir ...




Ejemplos de linealidad

EncuentraL[13e5t e6t/5 17

]




Propiedades Fundamental de la Transformada deLaplace

Supongamos que y(t) es una funcion continua con derivaday(t), entonces:

L [y ] = 0

esty (t)dt

Usando integracion por partes obtenemos

L [y ] = 0

esty (t)dt = esty(t)0 + s

0

esty(t)dt





Supongamos que

limt

y(t)est

= 0

Entonces:L [y ] = 0 y(0) + sL [y ] ,

esto esL [y ] = sL [y ] y(0)





TeoremaSi y(t) es una funcion continua con derivada y (t), tal que

limt

y(t)est

= 0,

entonces:L [y ] = sL [y ] y(0).





Teorema. V2Si y(t) es una funcion continua con derivada y (t), tal que|y(t)| keMt para algun M > 0 y algun k > 0, entonces:

L [y ] = sL [y ] y(0)para s > M.




Ejemplos

Usa la Propiedad Fundamental de las Transformadas deLaplace (PFTL) para encontrar L [t ].

Tomando y(t) = t , entonces y (t) = 1, usando la PFTL seobtiene

L [1] = sL [t ] y(0)por lo tanto

1s= sL [t ] ,

para s > 0.Despejando obtenemos

L [t ] = 1s2

,

para s > 0.




Ejemplos

Usa la Propiedad Fundamental de las Transformadas deLaplace (PFTL) para encontrar L [t ].Tomando y(t) = t , entonces y (t) = 1, usando la PFTL seobtiene

L [1] = sL [t ] y(0)

por lo tanto1s= sL [t ] ,


L [t ] = 1s2

,

para s > 0.




Ejemplos



1s= sL [t ] ,

para s > 0.

Despejando obtenemos

L [t ] = 1s2

,

para s > 0.




Ejemplos



1s= sL [t ] ,


L [t ] = 1s2

,

para s > 0.Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY



Ejemplos

Encuentra las siguientes transformadas.L [t2]

= 2s3 para s > 0.

L [tn] = n!sn+1 para s > 0. Tarea: Demostrarlo por induccion.




Ejemplos

Encuentra las siguientes transformadas.L [t2] = 2s3 para s > 0.

L [tn] = n!sn+1 para s > 0. Tarea: Demostrarlo por induccion.




Ejemplos

Encuentra las siguientes transformadas.L [t2] = 2s3 para s > 0.L [tn]

= n!sn+1 para s > 0. Tarea: Demostrarlo por induccion.




Ejemplos

Encuentra las siguientes transformadas.L [t2] = 2s3 para s > 0.L [tn] = n!sn+1 para s > 0. Tarea: Demostrarlo por induccion.




Ejemplos

Usa la PFTL para encontrar una formula para L [y ].

Por la PFTL aplicada a (y ) tenemos

L [y ] = sL [y ] y (0),aplicando otra vez la PFTL pero ahora a y se obtene

L [y ] = s[sL [y ] y(0)] y (0),de donde:

L [y ] = s2L [y ] sy(0) y (0).




Ejemplos

Usa la PFTL para encontrar una formula para L [y ].Por la PFTL aplicada a (y ) tenemos

L [y ] = sL [y ] y (0),

aplicando otra vez la PFTL pero ahora a y se obtene


L [y ] = s2L [y ] sy(0) y (0).




Ejemplos



L [y ] = s[sL [y ] y(0)] y (0),

de donde:L [y ] = s2L [y ] sy(0) y (0).




Ejemplos




L [y ] = s2L [y ] sy(0) y (0).Dr. Angel Estrella EDO, FMAT-UADY



Ejemplos

Encuentra una formula para L [y (n)].




Ejemplos

Calcula L [sen t ].

Tomando y(t) = sen t , entonces y (t) = sen t , usando laformula para la transformada de la segunda derivada de unafuncion obtenemos

L [y ] = L [sen t ] = s2L [sen t ] ssen 0 cos 0= s2L [sen t ] 0s 1,

despejando obtenemos

L [sen t ] = 11 + s2

.




Ejemplos

Calcula L [sen t ].Tomando y(t) = sen t , entonces y (t) = sen t , usando laformula para la transformada de la segunda derivada de unafuncion obtenemos

L [y ] = L [sen t ] = s2L [sen t ] ssen 0 cos 0= s2L [sen t ] 0s 1,

despejando obtenemos

L [sen t ] = 11 + s2

.




Ejemplos

Encuentra las siguientes transformadas de LaplaceL [cos t ].

L [sen (kt)].L [cos(kt)].




Ejemplos

Encuentra las siguientes transformadas de LaplaceL [cos t ].L [sen (kt)].

L [cos(kt)].




Ejemplos

Encuentra las siguientes transformadas de LaplaceL [cos t ].L [sen (kt)].L [cos(kt)].




Formulas

Tabla 1

y L [y ]tn n!sn+1eat 1sa , s > a

cos kt sk2+s2sen kt kk2+s2




Ejemplos

Encuentra y tal que L [y ] = 2s+1 1s1 .

L [y ] = 2 1s + 1

1s 1 = 2L

[et] L [et]

= L [2et et] ,Por lo tanto y = 2et et .




Ejemplos

Encuentra y tal que L [y ] = s3(s+1)(s1) .

Usando el metodo de fracciones parciales obtenemos que

s 3(s + 1)(s 1) =

2s + 1

1s 1 .

Entonces por el ejemplo anterior

y = 2et et




Ejemplos

Encuentra y tal que L [y ] = s3(s+1)(s1) .Usando el metodo de fracciones parciales obtenemos que

s 3(s + 1)(s 1) =

2s + 1

1s 1 .

Entonces por el ejemplo anterior

y = 2et et




PVI

Supongamos que y (t) es una solucion del PVI

y = y 4et ,y(0) = 1.

Use la Transformada de Laplace para hallar y(t).




PVI

Aplicando la transfromada de Laplace en ambos lados de laecuacion diferencial y las propiedades conocidas obtenemos

L [y ] = L [y 4et]sL [y ] y(0) = L [y ] 4L [et]

sL [y ] 1 = L [y ] 4s + 1

,

despejando y simplificando obtenemos

L [y ] = s 3(s + 1)(s 1) ,

y por los ejemplos anteriores obtenemos y = 2et et




PVI

Resuelva el siguiente PVI, usando la Transformada de Laplace.

y (t) y (t) 6y(t) = 2y(0) = 1, y (0) = 0

Solucion.Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de laigualdad

L [y (t) y (t) 6y(t)] = L [2] ,




PVI

y despejando obtenemos

L [y ] = s2 s + 2

s(s 3)(s + 2) .

Con el metodo de fracciones parciales encontramos que

L [y ] = 13 1s+

815 ss 3 +

45 1s + 2

= 13L [1] + 8

15L[e3t]+

45L[e2t

]= L

[1

3+

815

e3t +45e2t

]




PVI

Finalmente se tiene que:

y = 13+

815

e3t +45e2t .




Formula

Introducir a la tabla:Traslacion en el eje s:

L [f (t)eat] (s) = L [f ] (s a).NOTA: En esta igualdad, el termino de la izquierda es latransformada de la funcion dada evaluada en el punto s yel termino de la derecha es la transformada de f evaluadaen el punto s a.L [tneat] = n!

(sa)n+1 ,n = 0,1, ...

Ejercicio: Demuestra las formulas anteriores.




Sistemas de ODEs

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

y (t) z (t) + z (t) y(t) = et 22y (t) z (t) 2y (t) + z(t) = ty(0) = y (0) = z(0) = z (0) = 0




Sistemas de ODEs

De la primera ecuacion y de los valores iniciales obtenemos

L [y z + z y] = L [et 2] ,(s2 1)L [y ] (s2 s)L [z] = 2 s

(s 1)s .

De la segunda ecuacion:

L [2y z 2y + z] = L [t ] ,(2s2 2s)L [y ] (s2 1)L [z] = 1

s2




Sistemas de ODEs

Es decir, obtenemos el sistema

(s2 1)L [y ] (s2 s)L [z] = 2 s(s 1)s

(2s2 2s)L [y ] (s2 1)L [z] = 1s2

Despejando en este sistema L [y ] y L [z] se tiene




Sistemas de ODEs

L [y ] = 1s(s 1)2 ,

L [z] = 2s 1s2(s 1)2 .

Aplicando descomposicion en fracciones parciales y lasformulas de la transformada de Laplace




Sistemas de ODEs

L [y ] = 1s(s 1)2 =

1s 1

s 1 +1

(s 1)2 = L[1 et + tet] ,

L [z] = 2s 1s2(s 1)2 =

1s2

+1

(s 1)2 = L[t + tet] .

Luego:

y = 1 et + tet ,z = t + tet .




DefinicionSea a 0 y denotemos por Ha(t) a la funcion:

Ha(t) ={

0, si t < a,1, si t a,

esta funcion recibe el nombre de Funcion de Heaviside en a.

Nota:H0(t a) = Ha(t).




L [Ha(t)]EncuentraL [Ha]

=

0

Ha(t)estdt =

=0 a0Ha(t)estdt +

a

Ha(t)estdt

=

a

estdt =est

s

]a

=esa

s.

As:

L [Ha] = esa

s, s > 0.




Traslacion en el eje t

Aumenta a la tabla de transformadas de Laplace la formula

L [H0(t a)f (t a)] = L [Ha(t)f (t a)] = esaL [f ] ,la cual recibe el nombre de formula de traslacion en el eje tpara las transformadas de Laplace.Ejercicio: Demuestra esta formula.




Tabla completa

y(t) L [y ]tn n!sn+1 , para s > 0eat 1sa , para s > a

cos kt sk2+s2 .sen kt kk2+s2 .Ha(t) e

sas , para s > 0. Heaviside

Ha(t)f (t a) esaL [f ]. Traslacion eje ttneat n!

(sa)n+1 , n = 0,1, . . ., s > af (t)eat L [f ] (s a). Traslacion eje s




Ejemplo

Resuelva el PVI:

dydt =

{ y si t < 3y + 1 si t 3

y(0) = 2




Solucion

Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de laecuacion diferencial obtenemos

L[dydt

]=

{ L [y ] si t < 3L [y + 1] si t 3

INCORRECTOLo anterior es un error, ninguna propiedad de lastrasnformadas de Laplace nos dice que podemos hacerlo yademas ni siquiera tiene sentido lo que esta escrito.




Solucion

Usando H3(t) escribimos la ecuacion como{ dydt = y + H3(t)y(0) = 2

Ahora s podemos aplicar la transformada de Laplace enambos lados de la ecuacion y obtenemos:




Solucion

L [y ] = L [y + H3(t)] ,sL [y ] y(0) = L [y ] + L [H3(t)] ,

sustituyendo y despejando

L [y ] = e3s + 2ss(s + 1)

,

usando fracciones parciales




Solucion

L [y ] = 2s + 1

+e3s

s(s + 1)

= 2L [et]+ e3ss(s + 1)

= 2L [et]+ e3s (1s 1

s + 1

)= 2L [et]+ e3sL [1 et] ,

usando la formula de traslacion en el eje t obtenemos




Solucion

L [y ] = 2L [et]+ L [H3(t)(1 et3)]= L

[2et + H3(t)(1 et3)

],

por lo tantoy = 2et + H3(t)(1 et3).




Ejemplos adicionales

1. Halle y tal que L [y ] = e2s 6s4 .

L [y ] = e2sL[t3]

= L[H2(t)(t 2)3

]Entonces: y = H2(t)(t 2)3





2.L [cos kt ] = s

k2 + s2

L [e7t cos 4t] = L [cos 4t ] (s 7) = s 742 + (s 7)2





3.

L [e5tH2(t)] = L [H2(t)] (s 5) = e2(s5)s 5





4.

L [eatH4(t)] = L [H4(t)] (s a) = e4(sa)s a ,entonces

L1[e4(sa)

s a

]= eatH4(t).





5. EncuentraL1

[1

s2 + 2s + 5

]

L [y ] = 1s2 + 2s + 5

=1

(s2 + 2s + 1) + 4

=1

(j + 1)2 + 22=

2(j + 1)2 + 22

12

=12L [etsen 2t] = L [etsen 2t

2

]y =

etsen 2t2





6. Resuelva el siguiente P. V.I.

d2ydt2

+ 2dydt

+ 5y ={

1 si t < 70 si t 7

y(0) = y (0) = 0

Usando la funcion de Heaviside, la ecuacion la podemosescribir

y + 2y + 5y = 1 H7(t)





Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de laecuacion y despejando obtenemos

L [y ] = 1 e7s

s(s2 + 2s + 5)=

1s(s2 + 2s + 5)

e7s

s(s2 + 2s + 5)

Usando el metodo de fracciones parciales se tiene

g =1

s(s2 + 2s + 5)=

15s s + 2

5(s2 + 2s + 5)

=15L [1] 1

5s + 2

s2 + 2s + 5





Pero:

s + 2s2 + 2s + 5

=s + 2

(s + 1)2 + 22=

s + 1(s + 1)2 + 22

+2

(s + 1)2 + 22 1

2

= L[et cos 2t +

12etsen 2t

]Entonces

g =1

s(s2 + 2s + 5)= L

[15

] L

[15et(cos 2t +

12sen 2t)

](s)

= L[

15 e

t

5

(cos 2t +

12sen 2t

)](s)





Sea

f (t) =15 e

t

5

(cos 2t +

12sen 2t

),

entoncesg = L [f (t)]

Por la formula de la traslacion en el eje t

e7sL [g] = L [H3(t)f (t 7)]





Finalmente,

L [y ] = g e7sg= L [f (t) H7(t)f (t 7)] ,

entonces

y = f (t) H7(t)f (t 7)=

[15 e

t

5

(cos 2t +

12sen 2t

)]H7(t)

[15 e

(t7)

5

(cos 2(t 7) + 1

2sen 2(t 7)

)]


Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de LaplaceResolviendo PVIFunciones Discontinuas

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