aplicaciones reales laplace

5/14/2018 Aplicaciones Reales Laplace - slidepdf.com

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Aplicaciones reales dela transformada de

Laplace

Ing. Elvira NiñoDepartamento de Mecatrónica y Automatización

[email protected]



Control de Procesos

• ¿Qué es un sistema de control ? – En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que

necesitan cumplirse.

• En el ámbito doméstico

– Controlar la temperatura y humedad de casas yedificios

• En transportación – Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a

otro en forma segura y exacta• En la industria – Controlar un sinnúmero de variables en los procesos

de manufactura



Control de Procesos

• En años recientes, los sistemas de control hanasumido un papel cada vez más importante enel desarrollo y avance de la civilización modernay la tecnología.

• Los sistemas de control se encuentran en grancantidad en todos los sectores de la industria: – tales como control de calidad de los productos

manufacturados, líneas de ensa,ble automático,

control de máquinas-herramienta, tecnología espacialy sistemas de armas, control por computadora,sistemas de transporte, sistemas de potencia,robótica y muchos otros



Ejemplos de procesos

automatizados

• Un moderno avión comercial




automatizados

• Satélites




automatizados

• Control de la concentración de un productoen un reactor químico




automatizados

• Control en automóvil



¿ Por que es necesario controlar un

proceso ?

• Incremento de la productividad• Alto costo de mano de obra

• Seguridad

• Alto costo de materiales• Mejorar la calidad

• Reducción de tiempo de manufactura

• Reducción de inventario en proceso• Certificación (mercadosinternacionales)

• Protección del medio ambiente(desarrollo sustentable)



Control de Procesos

• El campo de aplicación de los sistemas decontrol es muy amplia.

• Y una herramienta que se utiliza en eldiseño de control clásico es precisamente:

La transformada de Laplace



¿Por qué Transformada de

Laplace?

• En el estudio de los procesos esnecesario considerar modelosdinámicos, es decir, modelos de

comportamiento variable respecto altiempo.

• Esto trae como consecuencia el uso de

ecuaciones diferenciales respecto altiempo para representarmatemáticamente el comportamiento de

un proceso.




Laplace?

• El comportamiento dinámico de losprocesos en la naturaleza puederepresentarse de manera aproximada

por el siguiente modelo general decomportamiento dinámico lineal:

• La transformada de Laplace es unaherramienta matemática muy útil para el

análisis de sistemas dinámicos lineales.




Laplace?

• De hecho, la transformada de Laplacepermite resolver ecuaciones diferencialeslineales mediante la transformación enecuaciones algebraicas con lo cual sefacilita su estudio.

• Una vez que se ha estudiado el

comportamiento de los sistemasdinámicos, se puede proceder a diseñary analizar los sistemas de control demanera simple.



El proceso de diseño del

sistema de control

• Para poder diseñar un sistema de controlautomático, se requiere – Conocer el proceso que se desea controlar,

es decir, conocer la ecuación diferencial quedescribe su comportamiento, utilizando lasleyes físicas, químicas y/o eléctricas.

– A esta ecuación diferencial se le llamamodelo del proceso. – Una vez que se tiene el modelo, se puede

diseñar el controlador.



Conociendo el proceso …

• MODELACIÓN MATEMÁTICASuspensión de un automóvil

f(t) z(t)

k b

m

Fuerza de

entrada

Desplazamiento,

salida del sistema

2

2 )()()()(

dt

t zd m

dt

t dzbt kzt f

maF



El rol de la transformada de

LaplaceConviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Suspensión de un automóvil

k bsmssF

s Z

k bsmss Z sF

s Z mssbsZ skZ sF

dt

t zd m

dt

t dzbt kzt f

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(

cero)aigualinicialesscondicionendo(considera

términocadaaLaplacedeadatransformlaAplicando

)()()()(

Función de

transferencia



Conociendo el proceso…

• MODELACIÓN MATEMÁTICANivel en un tanque

qo(t)

Flujo de

salida

R

(resistencia

de la válvula)

h(t)

qi(t)

Flujo de

entrada

dt

t dh At h

Rt q

t q

t h R

dt

t dh At qt q

i

o

oi

)()(

1)(

)(

)(

)()()(

Flujo que entra – Flujo que sale =Acumulamiento

A

(área del

tanque)

El l d l t f d d





Nivel en un tanque

11

1

)(

)(

)1)(()(

)()(1

)(

LaplacedeadatransformlaAplicando

)()(

1)(

ARs

R

R As

sQ

s H

R Ass H sQi

s AsH s H R

sQi

dt

t dh At h

R

t q

i

i

Función detransferencia



Conociendo el proceso…

• MODELACIÓN MATEMÁTICACircuito eléctrico

)()(1

)(1

)()(

)(

t edt t iC

dt t iC

t Ridt

t di Lt e

o

i

El l d l t f d d



1

1

)(

)(

1)()(E

)(1)()()(E

I(s))parao(despejandecuacioneslasCombinando

)()(1

)(1

)()()(E


)()(1

)(1

)()(

)(

2

2i

i

i

RCs LCss E

s E

RCs LCss E s

sCsE Cs

sCsE RsCsE Lss

s E s I Cs

s I Cs

s RI s LsI s

t edt t iC

dt t iC

t Ridt

t di Lt e

i

o

o

ooo

o

oi



Circuito eléctrico

Función de

transferencia



La función de transferencia

• Representa el comportamiento dinámico del proceso• Nos indica como cambia la salida de un procesoante un cambio en la entrada

• Diagrama de bloquesforzanteFunción

procesodelRespuesta

)(

)(procesodelentradalaenCambio

procesodelsalidalaenCambio

)(

)(

s X

sY s X

sY

ProcesoEntrada del proceso

(función forzante o

estímulo)

Salida del proceso

(respuesta al

estímulo)




Diagrama de bloques• Suspensión de un automóvil

Entrada

(Bache)

Salida

(Desplazamientodel coche)k bsms 2

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3




Diagrama de bloques• Nivel en un tanque

Qi(s)

(Aumento del flujo deentrada repentinamente)

H(s)

(Altura del nivel enel tanque1 ARs

R

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

25




Diagrama de bloques• Circuito eléctrico

Ei(s)

(Voltaje de entrada)

Eo(s)

(Voltaje de salida)1

1

2 RCs LCs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



Propiedades y teoremas de la

transformada de Laplace más

utilizados en al ámbito de control

• TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso enel tiempo)

• TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL

(Es uno de los más utilizados para transformar lasecuaciones diferenciales)

P i d d t d l



Propiedades y teoremas de la

transformada de Laplace más

utilizados en al ámbito de control

• TEOREMA DE VALOR FINAL(Nos indica el valor en el cual se estabilizarála respuesta)

• TEOREMA DE VALOR INICIAL(Nos indica las condiciones iniciales)

Ejemplo aplicado:



• Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos ycoraza. En condiciones estables, este intercambiadorcalienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentrode tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.

• En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo deagua cambian, produciéndose una perturbación en elintercambiador.

Ejemplo aplicado:Intercambiador de calor

Ejemplo aplicado:



• a) Obtenga la función de transferencia del cambiode la temperatura de salida del agua con respectoa un cambio en la temperatura del vapor y uncambio en el flujo de agua, suponiendo que la

temperatura de entrada del agua alintercambiador se mantiene constante en 80°F.• b) Determine el valor final de la temperatura de

salida del agua ante un cambio tipo escalón de

+20°F en la temperatura del vapor, y un cambiode +10 gal/min en el flujo de agua.• c) Grafique la variación de la temperatura de

salida del agua con respecto al tiempo.

Ejemplo aplicado:Intercambiador de calor

Ej l li d



• Ecuación diferencial que modela el intercambiador decalor

Ejemplo aplicado:

Intercambiador de calor



Intercambiador de calor • Ecuación diferencial

• Donde:• Ud0 : Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior• (BTU/h °F ft2)• ATC0 : Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)• Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)• tv : Temperatura del vapor (°F)• te : Temperatura del agua a la entrada (°F)• ts : Temperatura del agua a la salida (°F)• (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)• tref : Temperatura de referencia (°F)• w : Flujo de agua (lb/h)• m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)• : Valores en condiciones estables

• Tv , Ts , W Variables de desviación

twtstv ,,




• Linealizando 1

2• Evaluando en condiciones iniciales estables

3

• Restando (2) de (3)




• Utilizando variables de desviación

• Aplicando la transformada con Laplace



Intercambiador de calor • Simplificando

• Datos físicos – Largo del intercambiador = 9 ft – Diámetro de coraza = 17 ¼’’ – Flujo = 224 gal/min – Temperatura de entrada =80°F

– Temperatura de salida = 185°F – Presión de vapor =150psia. – Número de tubos= 112 – Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con

un claro entre tubos de 0.63’’. – Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F, – Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU – Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F




• Calculando

lasconstantes

I t bi d d l




• Función de transferencia

• Determine el valor final de la temperatura de salida del agua

ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura delvapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

0 0

I t bi d d l




Flujo de

agua entrada

Salida de

Agua °T

Temp de

Vapor entrada

Salida de

vapor

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

224

234

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

220

240

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

185

188.85



La respuesta del proceso en el

tiempo

Transformada Inversa De Laplace

s

b

s

b

s

a

s

a

sssssT

ssssss

x

sssT

ss

K

ss

K sT

ssW

ssT sW

s

K sT

s

K sT

s

s

s

vvs

2121

4

2

2

1

1

2

2

1

1

583772.0583772.0583772.0

213928.2

583772.0

458658.4)(

parcialesfraccionesenExpansión

1712995.1

792464.3

1712995.1

63766.725.5007

1712995.1

10573947.720

1712995.1

381883.0)(

25.5007

1

20

1)(

25.5007)(

20)()(

1)(

1)(



La respuesta del proceso en el

tiempo

Tsseet T

emperatur Tsseet T

sssssT

sssb

sssb

ss

sa

sssa

t t s

t t s

s

s

s

s

s

583772.0583772.0

583772.0583772.0

0

2

583772.0

1

0

2

583772.0

1

1792453.31637670.7)(

salida)deinicialat(Tss 792453.3792453.3637670.7637670.7)(

792453.3

583772.0

792453.3637670.7

583772.0

637670.7

)(

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2583772.0

6376.7

583772.0

458658.4

583772.0

458658.4

6376.7583772.0

458658.4

583772.0

458658.4583772.0

Transformada Inversa De Laplace



El sistema de control automático

Temperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin

control)

Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado(con control)

Tv(s)

(Aumento de latemperatura de vapor a la

entrada )

Ts(s)

(Aumento en latemperatura de agua

a la salida)

11

1

s

K

Controlador1713.1

3819.0

s

+

-Valor

deseado Acciónde

control

Variablecontrolada



La ecuación del controlador

• ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID

Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valormedido

sss E

s M

ssE s E

ss E

s M

ssE s E s

dt

t dedt t et eKct m

d i

d

i

d i

d i

11Kc

)(

)(

)()(1

E(s)Kc

)(

)(

)()(1

E(s)KcM(s)


)()(

1)()(



El sistema de control automático

Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control)

(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir delcambio en la entrada

1713.1

3819.0

s

+

-Valor

deseado Acciónde

control

Variablecontrolada

sKc d si

11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

X: 0.683

Y: 4.91

-1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

L t d l i t d t l



0 2 4 6 8 10 12

0

1

2

3

4

5

6

X: 0.683

Y: 4.91

X: 6.873

Y: 4.91

La respuesta del sistema de control

de nivel

• Comparación del sistema en lazo abierto (sincontrol) y en lazo cerrado (con control)

Concontrol Sin

control



¿ Preguntas ?

Ing. Elvira NiñoDepartamento de Mecatrónica y Automatización

[email protected] Aulas 7, 3er piso -- LD - 306 - H

A ti id d li

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



Actividad para realizar en

casa

• Un sistema de suspensiónsimplificada de un automóvil sepuede representar por la figurasiguiente:

• Las ecuaciones diferencialesque modelan al sistema estándadas por:

dt

t dx

dt

t dybt xt yk

dt

t yd m

t xt uk dt

t dx

dt

t dybt xt yk

dt

t xd m

)()()()(

)(

)()()()(

)()()(

22

2

2

122

2

1

A ti id d li



Actividad para realizar en

casa

a) Obtén la función de transferencia(Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) enambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejarY(s)/U(s) )

b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm,k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg.Si se le aplica una cambio escalón unitario en laentrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es

decir, la transformada inversa de dicha función.c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel,

matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta deldesplazamiento en el tiempo para t = [0,20]

)(

)(

sU

sY

aplicaciones reales laplace

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