el problema de kepler. aplicaciones del vector de laplace-runge-lenz en órbitas perturbadas

Universidad Nacional de Educacin a Distancia.

Facultad de Ciencias.

Departamento de Fsica.

Memoria del Trabajo Fin de Grado en Fsica.

EL PROBLEMA DE KEPLER.APLICACIONES DEL VECTOR DE

LAPLACE-RUNGE-LENZ EN RBITASPERTURBADAS.

Gustavo Adolfo Prez Snchez.

Tutor: Dr. lvaro Perea Covarrubias.

Curso 2014/2015

Gustavo Adolfo Prez Snchez.

EL PROBLEMA DE KEPLER.APLICACIONES DEL VECTOR DE

LAPLACE-RUNGE-LENZ EN RBITASPERTURBADAS.

.No nos preguntamos qu propsito til hay en el canto de lospjaros, cantar es su deseo desde que fueron creados para can-tar. Del mismo modo no debemos preguntarnos por qu la men-te humana se preocupa por penetrar los secretos de los cie-los...La diversidad de los fenmenos de la naturaleza es tangrande y los tesoros que encierran los cielos tan ricos, preci-samente para que la mente del hombre nunca se encuentre ca-rente de su alimento bsico.

Johannes Kepler.

i

Agradecimientos

Gracias. Mil gracias a todos aquellos que de alguna manera contribuyeron encierto momento y lugar , quizs sin saberlo muchos, a la puesta a punto deesta memoria, son artfices tambin de ella.Gracias en particular:A Ana Mara, mi compaera eterna, por su apoyo constante y desinteresadosiempre, y cmo no, por su paciencia infinita ms de una vez.A mis padres claro, siempre a ellos por todo, por educarme en el estudio de laciencia, por ms y ms , dar motivos concretos desvirtuara al resto de ellos.Al Dr. lvaro Perea Covarrubias, mi tutor en este trabajo, por elegir un tema tanfascinente, por toda su colaboracin, por dejarme el camino libre de obstculosy facilitarme el trato y la comunicacin hacindola eficiente y limpia a parte deeficaz. Gracias lvaro.A la Universidad Nacional de Educacin a Distancia (UNED) y a la Universidadde Crdoba (UCO), porque sto es sin duda producto de su enseanza.A mis grandes amigos Antonio, Pablo, Martn, colegas en esta ardua, tortuosa,y sin embargo maravillosa tarea de arrebatarle las ideas a Dios.A todos los no nombrados por no extenderme, gracias y mil perdones, s quesabrn excusarme.

ii

Resumen

Luego de una vista general del conocido Problema de Keplerde la mecnica celeste, su tratamiento bajo las pticas newtoniana,lagrangiana, y mediante el llamado vector de Laplace-Runge-Lenz(LRL) que se conserva. Mostraremos el mtodo de la dinmica delvector LRL que permite analizar ciertas caractersticas de las solu-ciones del problema bajo pequeas perturbaciones, perturbacionesque quiebran la simetra que conduce a la conservacin de tal vectorproduciendo por tanto una evolucin temporal del mismo. Discuti-remos algunos casos de inters tanto para perturbaciones de tipocentral como no central, presentando la forma de proceder y los losresultados a los que se llega.

Abstract

After an overview of known Kepler Problem in celestial mecha-nics, its treatment under newtonian view , lagrangian, and throughthe Laplace - Runge -Lenz (LRL) vector that is preserved. We willshow the method of the dynamics of LRL vector to analyze somecharacteristics of the solutions of the problem under tiny perturba-tions , perturbations that break the symmetry leading to the conser-vation of the vector thereby producing a temporal evolution of this.We discuss some cases of interest to both kind, central and notcentral perturbations, presenting how to proceed and the obtainedresults.

iii

ndice general

1 Introduccin. 6

2 El Problema De Kepler. 72.1 Breve Resea Histrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Tratamiento Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Tratamiento Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL). . . . . . . . . . . . . . 16

3 Aplicaciones del vector LRL en rbitas perturbadas. 193.1 La perturbacin orbital. Dinmica del vector LRL . . . . . . . . . 193.2 Precesin anmala del perihelio de Mercurio. La correccin re-

lativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Precesin general del perihelio. La influencia planetaria. . . . . . 273.4 Perturbacin dependiente de la velocidad. El arrastre atmosfri-

co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Notas finales. 34

A Efecto de una perturbacin f 1/r3:Resolucin analtica. 36

Referencias 40

iv

ndice de figuras

2.1 Trayectorias del Problema de Kepler segn el valor de la excentricidad. Fuente:[8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Energa potencial total efectiva (curva en negro) como suma de las energaspotenciales centrfuga y gravitacional (curvas en gris). Las energas E0 a E3corresponden a distintas trayectorias cnicas, circular, elptica, parablica e hi-perblica respectivamente. Los valores rm{ny rmax (pericentro y apocentro) co-rresponden a los puntos en que se anula la velocidad radial en el caso de rbitaelptica para la energa mecnica E1. El valor r0 corresponde al radio de rbi-ta circular para la energa mecnica en el mnimo de la energa potencial totalefectiva E0 = Uefm{n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Trayectoria abierta pero limitada, despus de un nmero finito de oscilacionesentre rm{ny rmax sta no se cierra sobre si misma. Fuente: [8] . . . . . . . . 13

2.4 Representacin de la degeneracin orbital, distintas rbitas con excentricidadesdiferentes poseen la misma energa. Fuente: [1]. . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Representacin del vector constante LRL A en cuatro puntos de una rbita elp-tica. Obsrvese que est dirigido hacia el pericentro. . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Representacin del modelo matemtico utilizado para determinar la perturbacinf que ejerce un planeta de masa m0 en rbita circular en torno al Sol sobre larbita de un planeta de masam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ndice de cuadros

2.1 Clasificacin de las rbitas segn valores de la excentricidad y la energa. . . . 153.1 Valores de la precesin del perihelio ext de Mercurio debida a la influencia

gravitacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la contribucintotal de stos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Valores de la precesin del perihelio y an de los planetas del sistema solardebida a la influencia gravitacional neta del resto de planetas y causada por lacorreccin relativista de la fuerza gravitacional respectivamente. . . . . . . . 31

v

1 Introduccin.

El contenido de estas pginas corresponde, a la memoria del Trabajo de Fn deGrado conducente a la obtencin del ttulo de Graduado en Fsica por la Uni-versidad Nacional de Educacin a Distancia (UNED). Se enmarca bajo la lineade trabajo asignada Simetra y Conservacin. Simetra y Evolucin, el temaen concreto fue elegido por el profesor tutor del trabajo, y en la humilde opinindel alumno, de quien escribe stas lneas, no poda haber estado ms acerta-do. El Problema de Kepler. Aplicaciones del vector de Laplace-Runge-Lenzen rbitas perturbadas, tal como aparece en la portada es el tema mismo atratar, una revisin bibliogrfica que el lector, que si no est versado entende-mos que al menos dispone de conocimientos de fsica, ya se estar haciendouna idea de qu se trata y de lo que seguramente enseguida constatar.Est estructurada la memoria en secciones de las cuales dos de ellas cons-tituyen la espina dorsal de la misma. En la primera seccin, piedra angularpara la siguiente, presentaremos a modo de repaso general y no por ello ca-rente de cierto nivel, el conocido Problema de Kepler de la mecnica celeste,construyendo el marco fsico-matemtico para su resolucin y tratndolo des-de la perspectiva tanto de la mecnica newtoniana como desde la lagrangiana.Posteriormente definiremos el llamado vector de Laplace-Runge-Lenz o vectorLRL que surge de forma natural del mismo problema y que se conserva comoconsecuencia de la existencia de ciertas simetras, es por tanto una integralde movimiento que nos permitir dar tambin con la solucin, aunque en estecaso y en opinin de un servidor, de un modo ms elegante.En la segunda seccin entraremos en materia por decirlo de alguna manera,presentaremos el mtodo de la dinmica del vector LRL, una tcnica de bajocoste en cuanto a esfuerzo se refiere y que permite analizar caractersticas delas soluciones del Problema de Kepler cuando ste se ve sometido a peque-as perturbaciones, que por lo general rompen la simetra que da origen ala conservacin del vector LRL. El lector pudiere pensar llegado el momento,que la frase pequeas es extenuante, que le resulta redundante y repetitivaa lo largo del texto, pronto comprender con toda seguridad que el mantenerrigor matemtico exige ciertos vicios, sobretodo, cuando de lo que se trataes de dejar claro algo importante, como en este caso, en el que las perturba-ciones deben ser pequeas (en su momento se dejar claro que se entiendepor pequeas) para dar validez al mtodo de la dinmica del vector LRL.Por ltimo, solo decir que aunque el propsito principal de este trabajo de finde grado resulta evidente, pretender que no lo es sera sinuoso, tambin esde justicia hacer constar que el tema expuesto aqu, aunque de carcter intro-ductorio, ha supuesto tal gozo intelectual al autor, que quiere dejar la puertaabierta a una futura ampliacin del texto.

UNED. 6 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.

2 EL PROBLEMA DE KEPLER.

2 El Problema De Kepler.

2.1 Breve Resea Histrica.

Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratis-bona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), public las tres leyes que descri-ben el movimiento de los planetas en rbitas cerradas alrededor del Sol, lasdos primeras en su obra Astronomia Nova, cuando an no se conoca la leyde gravitacin de Newton, Isaac Newton nacera el 25 de diciembre del ao1642, doce aos despus de la muerte de Kepler. As pus el descubrimien-to de Kepler fue experimental, basndose en los datos sobre el movimientoplanetario que se conocan hasta el momento, en particular las observacionesy datos acumulados por el astrnomo Tycho Brahe (1546-1601), a los cualespudo acceder despus de su muerte a partir de 1602. Kepler fue ayudante deBrahe, quien acumul datos sobretodo del movimiento de Marte, a partir destos Kepler concluy que ninguno de los modelos hasta entonces encajabacon los datos analizados si se recurra a rbitas circulares, afortunadamente,la rbita de Marte es lo suficientemente excntrica, de otro modo quizs Keplerno se hubiera percatado de este hecho. Kepler saba que no poda deberse aerrores de Brahe, ya que conoca de la precisin de ste, concluy entoncesque las rbitas no eran circulares sino elpticas con el Sol situado en uno delos focos, rompi as con el dogma de movimientos circulares de la poca en1609 con su primera ley. La segunda ley afirma que la linea que une el Sol conel planeta, barre reas iguales en tiempos iguales. Finalmente en 1619, en suobra Harmonices mundi (La armona del mundo) Kepler publica la tercera leyque establece la proporcionalidad entre el cuadrado del perodo orbital de losplanetas en torno al Sol y el cubo del semieje mayor de la elipse que describen.

Con aparicin la ley de atraccin de las masas como fuerza central de potencialinverso de la distancia, las tres leyes pudieron ser deducidas matemticamen-te. Esta deduccin terica solamente pudo hacerse, evidentemente, a partir dela obra de Newton como veremos a continuacin.

2.2 Tratamiento Newtoniano.

Imaginemos dos masas puntuales o esfricas, m1y m2, aisladas y sometidasmutuamente a la interaccin gravitatoria. Partamos pues de la Ley de Gravi-tacin Universal y de la segunda ley de Newton, la ecuacin diferencial quegobierna a este sistema se escribe:

p =

r = Gm1m2

r3r; (2.1)

donde = m1m2m1+m2 es la masa reducida del sistema,G es la constante de gravi-tacin universal, r es la distancia que separa a ambas masas y, r = r2 r1 esun vector de las coordenadas espaciales rectangulares (x; y; z) dirigido haciamasa m2 sobre el segmento que une ambas masas, con r2 y r1 radiovectores


2.2 Tratamiento Newtoniano.

de posicin de dichas masas relativos al centro de masas del sistema1. Deesta manera el problema de los dos cuerpos, queda formalmente reducido alde un solo cuerpo de masa sometido a un campo de fuerzas central de tipogravitacional .De la centralidad de la interaccin, lo que la hace invariante frente a rotaciones (la isotropa espacial), se desprende de inmediato la conservacin del momentoangular, en efecto, puesto que

:r y p son paralelos y teniendo en cuenta (2.1):

L = d

dt[r p] = :r p+r :p = 0 + 0 = 0: (2.2)

De manera que L es un vector constante en el tiempo, el movimiento de lasdos masas por tanto est restringido a un plano definido por los vectores r y pperpendiculares a L. En este sentido se puede escoger un sistema coordenadopolar (r; ) sobre el plano del movimiento, e introduciendo Gm1m2 , laecuacin (2.1) se reescribe como :

(::r r _2

=

r2

2 _r _ + r

= 0

; (2.3)

en donde cada ecuacin se corresponde con la componente segn los unitariosbr y ^ del sistema coordenado polar respectivamente. La segunda ecuacin delsistema anterior es la derivada respecto del tiempo de lamagnitud del momentoangular como puede comprobarse, expresa por tanto su conservacin cuyamagnitud es L = r2 _ = cte. Sustituyendo entonces

:

en funcin de L en laprimera ecuacin, resulta:

"::r

L

21

r3

#=

r2: (2.4)

Para encontrar la ecuacin de las trayectorias vamos obtener una relacin en-tre r y eliminando el tiempo de la ecuacin anterior. Escribiendo:

_r =dr

d_ =

L

r2dr

d= L

d

d

1

r

;

::r =

d

d

L

d

d

1

r

_ =

L

21

r2d2

d2

1

r

;

(2.5)

y sustituyendo en (2.4) resulta:

1

r2

d2

d2

1

r

+

1

r

=

L2fg; (2.6)

1En todo momento en este texto se pasar por alto el movimiento del centro de masas delsistema. Ntese que ste se mueve con un movimiento rectilneo uniforme puesto que

pCM = 0

(se encuentra libre de fuerzas) , por lo que no resulta relevante para el estudio del problema.



donde hemos hecho fg = r2 .

La ecuacin anterior se conoce como Frmula de Binet para el campo gravi-tacional, multiplicndola por r2 resulta una ecuacin diferencial lineal, no ho-mognea y de coeficientes constantes para la variable dependiente 1r , cuyasolucin inmediata pude comprobarse que es:

r =

1 + " cos( 0) ; (2.7)

en donde hemos llamado,

L2

;

" C L2

;

(2.8)

con 0 un ngulo inicial que puede escogerse convenientemente igual a cerosin perder generalidad, y donde C, es una constante de integracin que seobtiene de las condiciones iniciales del problema.

-Primera Ley de Kepler:

La expresin (2.7) representa la ecuacin de una cnica en coordenadaspolares centrada en uno de sus focos, esto es, representa una parbola, unahiprbola o una elipse segn sea el valor de la excentricidad " que surge delas condiciones iniciales del problema, el valor de se conoce comosemilatus rectum de la cnica, geomtricamente es la altura perpendicularsobre el eje de simetra mayor alzada desde cualquiera de los focos hasta lacnica. Es pues este resultado, para el caso de una trayectoria elptica, unademostracin de la Primera Ley de Kepler.

En la figura 2.1 se muestran las distintas trayectorias del problema segn el va-lor de la excentricidad, en el caso elptico, obsrvese, los dos cuerpos giran entorno a un foco de la elipse (al centro en el caso circular), centro de masas delsistema, as, supuesto quem1 m2 pngase el caso del sistema Sol-Tierra, elcentro de masas estar desplazado hacia el Sol casi por entero, describiendola tierra pues, una trayectoria elptica con el Sol situado en uno de sus focos.


2.3 Tratamiento Lagrangiano.

Figura 2.1: Trayectorias del Problema de Kepler segn el valor de la excentricidad. Fuente: [8].

-Segunda Ley de Kepler:

Escribamos la expresin del rea barrida por el vector r por unidad de tiempo:

dA =12 (r dr)

) dAdt = 12 (r p)

= L2 = cte: (2.9)Lo que se muestra es que sta, conocida como velocidad areolar, es constantecomo consecuencia de la conservacin del momento angular L. Se obtiene as,de un modo simple y natural, la Segunda Ley de Kepler. La Tierra entonces,y todos los dems planetas, barren en su trayectoria en torno al Sol, reasiguales en tiempos iguales.

Dejaremos la Tercera Ley de Kepler para el apartado siguiente donde tratare-mos el problema desde el punto de vista de la Mecnica Lagrangiana y estu-diaremos energticamente el sistema, lo dejaremos no por necesidad sino msbien por pura eleccin ya que ambas perspectivas, Lagrangiana y Newtoniana,conducen como no poda ser de otro modo a los mismos resultados.


El Lagrangiano de nuestro sistema de un cuerpo equivalente bajo un campocentral de tipo gravitacional, en coordenadas polares sobre el plano del movi-



miento, resulta de inmediato ser:

L =T U = 12

:r2+ r2

2+

r: (2.10)

Visto que la coordenadas es cclica en el lagrangiano, el momento conjugadocorrespondiente p = dL

d

= r2 _ o momento angular, se conserva como yasabamos. Por lo que introduciendo (2.10) en la ecuacin de Euler-Lagrangepara la coordenada r , resulta despus de expresar

:

en trminos de L:

d

dt

@L@ _r

@L

@r=

"::r

L

21

r3

#+

r2= 0; (2.11)

que es la misma ecuacin (2.4) obtenida en el apartado anterior. Al igual queall hicimos, repitiendo los mismos pasos para llegar a la Frmula de Binet (2.5), se obtiene sin ms la ecuacin de las trayectorias del problema. Cnicascomo ya vimos entonces.Veamos ahora el Hamiltoniano del sistema, sabemos que se corresponde conla energa mecnica del sistema2:

E = H =12:r2+ r2

:

2

r=

1

2:r2+

1

2

L2

r2

r; (2.12)

es fcil ver que en efecto es otra constante de movimiento pues de las Ecua-ciones Cannicas de Hamilton se tiene sin ms que:

dHdt

= @L@t

= 0; (2.13)

debido pues a que el Lagrangiano es explcitamente independiente del tiempo.Se conserva entonces la energa en este sistema como consecuencia de lahogeneidad del tiempo.Fijmonos ahora en los dos ltimos trminos de la energa, stos pueden re-cogerse en una nica energa potencial, es nombrada energa potencial totalefectiva Uef , de modo que as, el problema quede reducido a uno unidimen-sional de la variable r. Puede entonces expresarse la energa como:

E =1

2:r2+ Uef ) Uef = 1

2

L2

r2

r: (2.14)

Donde el ltimo sumando de la energa potencial total efectiva corresponde alpotencial gravitacional, y el primero, es tradicionalmente conocido como ener-ga potencial centrfuga, dado que, teniendo ste dimensiones de energa, sise asocia a una energa potencial, su gradiente resulta:

2Esto es cierto siempre que la energa potencial sea independiente de la velocidad y, las trans-formaciones de coordenadas a las generalizadas no contengan explcitamente al tiempo. Refirasepor ejemplo a [8],[4] para mayor informacin.



rr1

2

L2

r2

= d

dr

1

2r2

:

2

= r:

2= Fc; (2.15)

es decir, se obtiene la expresin que histricamente es conocida como fuerzacentrfuga Fc.3

Figura 2.2: Energa potencial total efectiva (curva en negro) como suma de las energas poten-ciales centrfuga y gravitacional (curvas en gris). Las energas E0 a E3 corresponden a distintastrayectorias cnicas, circular, elptica, parablica e hiperblica respectivamente. Los valores rm{nyrmax (pericentro y apocentro) corresponden a los puntos en que se anula la velocidad radial enel caso de rbita elptica para la energa mecnica E1. El valor r0 corresponde al radio de rbitacircular para la energa mecnica en el mnimo de la energa potencial total efectiva E0 = Uefm{n .

Pasemos ya a obtener por medio de la energa o Hamiltoniano del sistema laecuacin de las trayectorias. Despejando :r de (2.12) tenemos:

:r = +

s2

(E U) L

2

2r2; (2.16)

donde por conveniencia se ha puesto la energa potencial gravitacional comoun potencial central U = U (r) de un modo ms general. Escribiendo adems:

d =d

dt

dt

drdr =

:

:rdr; (2.17)

3Debe recordar el lector que la fuerza centrfuga no es una fuerza de origen real, es una fuer-za de las llamadas ficticias, por lo que debe entenderse sta y su energa potencial asociada,meramente como un artefacto matemtico.



e introduciendo (2.16) en (2.17), y poniendo:

en funcin de L, despus deoperar se obtiene:

0 = L

r2r2E U L22r2

dr: (2.18)La integral anterior nos da la variacin angular en funcin de r . Es interesantenotar de (2.16) que en general la velocidad radial :r se anular para dos valo-res de rm{n y rmax, significaa sto que r oscilar entre stos, conocidos comopericentro y apocentro respectivamente, vease la figura 2.2. Asi pues, la tra-yectoria est confinada sin embargo, slo ser una trayectoria cerrada si lavariacin angular en la integral anterior, evaluada entre dos pericentros o dosapocentros consecutivos, es una fraccin racional p/q de 2 , en efecto, puesluego de un nmero entero q de perodos, la posicin de r = r () volver aser la inicial. Para ciertas combinaciones de E;U; y L; (2.16) presentar unaraz doble, en tal caso, el valor de r se mantendr constante en el tiempo yel sistema presentar una situacin de equilibrio estable con energa mnimaE0 = Uefm{n , es el caso ste el de rbita circular de radio r0.La figura 2.3 siguiente muestra el caso de una trayectoria abierta, observe queen tal caso, despus de un numero finito de oscilaciones entre los valores rm{nyrmax, la rbita no se cierra. Un resultado importante, el Teorema de Bertrand,muestra que para potenciales centrales U / rn+1, slo se producirn rbitascerradas para los casos n = 1 y n = 2 4. El primer caso es el potencial elsti-co, el segundo corresponde justamente al caso del potencial gravitacional. Unademostracin del teorema puede encontrarla en [4], Apndice A.

Figura 2.3: Trayectoria abierta pero limitada, despus de un nmero finito de oscilaciones entrerm{ny rmax sta no se cierra sobre si misma. Fuente: [8]

Volviendo a la integral (2.18), escrita para el potencial gravitacional,

0 = L

r2r2E + r L

2

2r2

dr; (2.19)4Ciertos valores fraccionarios de n conducen tambin a rbitas cerradas, sin embrago, estos

casos no son de gran inters fsico.



resulta de fcil solucin mediante el cambio u 1r , lo que conduce a la expre-sin:

0 = arccos0@ L2r 1q

1 + 2EL2

2

1A ; (2.20)y que despus de definir:

L2

;

" s

1 +2EL2

2;

(2.21)

nos permite escribirla en la forma:

r= 1 + " cos( 0); (2.22)

que se corresponde pues con la ecuacin de las trayectorias cnicas ya obte-nidas anteriormente mediante la segunda ley de Newton ( en la pgina 7). Eneste caso adems, hemos podido escribir la excentricidad " de tales cnicasen trminos de la energa E del sistema y de la magnitud del momento angularL del mismo.

Teniendo ahora en cuenta que para una rbita elptica, de (2.22) haciendo 0 = 0 e igual a respectivamente, resulta el semieje mayor a,

rm{n + rmax =

1 + "+

1 " )

) a = 1 "2

(2.23)

y que junto con las dos expresiones de (2.21) se tiene que:

E =

2

"2 1 =

2a; (2.24)

resulta finalmente que la energa puede determinarse mediante el parmetroorbital a; esto es, mediante el semieje mayor de la elipse.

Lo anterior expresa la llamada degeneracin orbital, es decir, dado que la ener-ga depende slo del semieje mayor a; distintas rbitas, con distintas excen-tricidades, pueden corresponder al mismo valor de la energa. Obsrvese lafigura a continuacin.



Figura 2.4: Representacin de la degeneracin orbital, distintas rbitas con excentricidadesdiferentes poseen la misma energa. Fuente: [1].

El cuadro siguiente muestra la clasificacin de las rbitas, la cnica resultantesegn el valor de la excentricidad y de la energa.

Excentricidad ("): Energa (E): Trayectoria:" > 1 E > 0 Hiprbola" = 1 E = 0 Parbola

0 < " < 1 Uefm{n < E < 0 Elipse" = 0 E = Uefm{n Crculo

Cuadro 2.1: Clasificacin de las rbitas segn valores de la excentricidad y la energa.

-Tercera Ley de Kepler:

De la Segunda Ley de Kepler (2.9), podemos escribir:

T0

dt =2

L

A0

dA ) T = 2LA; (2.25)

siendo T el perodo orbital. Teniendo en cuenta la expresin para el rea deuna elipse, resulta:

T =2

Lab; (2.26)

con a y b los semiejes mayor y menor de la elipse respectivamente.Finalmente, elevando al cuadrado la relacin anterior, poniendoL2 = a

1 "2

de la primera de (2.21) y de (2.23), y sabiendo que para una elipse es b2 =a21 "2 , queda:

T 2 =42

a3: (2.27)


2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).

La relacin anterior expresa la Tercera Ley de Kepler, el cuadrado del perodoorbital es proporcional al cubo del semieje mayor de la trayectoria elptica; sinembargo, tngase en cuenta que aqu aparece la masa reducida, por lo que laexpresin se refiere al problema equivalente de un cuerpo. Si en cambio hace-mosm1 m2 , como hicimos ya en la seccin anterior, recordemos el sistemaSol-Tierra, entonces ser ' m2 y puesto que es Gm1m2, tenemos:

T 2 =42

Gm1a3; (2.28)

que s es la relacin enunciada por Kepler en 1619.


En el Problema de Kepler, aparece, adems de las cantidades conservadas yavistas antes, a saber, la energa y el momento angular E y L respectivamente,una nueva cantidad conservada que surge en conexin con la clausura o cie-rre de las rbitas keplerianas y con la degeneracin orbital, consecuencia enbuena parte de las particularidades y simetras del potencial gravitacional, msconcrtamente las llamadas simetras ocultas, transformaciones de las coor-denadas y los momentos que conducen a un grupo de rotaciones SO4 de unespacio euclidiano cuadridimensional5. Esta constante es un vector. Vemoslo,en efecto recordando que:

:p = r

r3y L = r r; (2.29)

hagamos el producto vectorial de:p con L,

:p L =

r3r r :r ; (2.30)

desarrollando el triple producto vectorial entre corchetes, puede ponerse como:

:p L =

r3rr :r r2 :r (2.31)

Ahora bien, dado que r :r = r :r la expresin anterior, despus de operar, queda:

:p L =

:rr

:rrr2

!=

d

dt

rr

; (2.32)

y finalmente, teniendo en cuenta que:

L = 0 (el momento angular se conserva),resulta que:

5Esta inslita aparicin de un espacio cuadridimensional es algo llamativa y debe ser asumidams como un artefacto matemtico que como una propiedad fsicamente tangible.



d

dt

p L br = 0 ) A p L br = cte (2.33)

Tal vector A es como hemos dicho una nueva constante de movimiento. Losfsicos han llamado a este vector, vector de Runge-Lenz, o ms correctamente,vector de Laplace-Runge-Lenz o simplemente por siglas vector LRL.Es inmediato comprobar que A L = 0, lo que demuestra que el vector LRL seencuentra situado sobre el plano orbital. Para conocer su direccin, hagamosahora el producto escalar de A con r:

A r = Ar cos = (p L) r br r = (r p) L r = L2 r; (2.34)esto es,

r =

L2

1 + A cos : (2.35)

Comparando la ecuacin anterior con la ecuacin (2.7), y teniendo en cuentaque all puede hacerse 0 = 0 convenientemente sin perder generalidad, tene-mos pues la ecuacin de las trayectorias del Problema de Kepler sin ms. Esas ste otro modo de obtener los resultados anteriores, vemos que el vectorfijo LRL forma el mismo ngulo con r que ste ltimo con el eje polar, estentonces en direccin apsidal, y adems, comparando nuevamente (2.35) con(2.7), se ve claramente que:

A = " ; A = "bx; (2.36)donde bx es el vector unitario en la direccin del eje polar (direccin apsidal)hacia el pericentro. El mdulo de A por tanto es proporcional a la excentricidadde la rbita.

Figura 2.5: Representacin del vector constan-te LRL A en cuatro puntos de una rbita elptica.Obsrvese que est dirigido hacia el pericentro.

Constituyen as, las componentes deA y L , ms la energa E, siete cons-tantes de movimiento inmersas en elProblema de Kepler, debidas claro,como se ha advertido, a simetraspresentes en el problema. Sin em-bargo, no son todas ellas indepen-dientes, para verlo, basta comparar(2.36) con la segunda expresin de(2.21) y despus reordenar trminospara llegar sin dificultad a la relacin:

A2

22= 1 +

2EL2

2; (2.37)



que junto con A L = 0 forma un sistema de dos ecuaciones con siete incgni-tas, lo que nos dice que el vector LRL no es independiente, depende de otrasdos constantes, E y L, siendo por tanto al final cinco las constantes de movi-miento verdaderamente independientes.La existencia de esta constante de movimiento adicional fue demostrada porLaplace en su curso de Mcanique Cleste publicado en 1799. Posteriormen-te y de forma totalmente independiente, por Hamilton en 1845. Sin embargo,a pesar de estos descubrimientos y redescubrimientos, la existencia de estevector permaneci bastante ignorada hasta que Carl Runge lo populariz enun curso de Anlisis Vectorial publicado en 1919. Finalmente Wilhelm Lenz loutiliz en 1924 en el estudio cuntico del tomo de hidrgeno.


3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN RBITAS PERTURBADAS.

3 Aplicaciones del vector LRL en rbitas pertur-badas.

3.1 La perturbacin orbital. Dinmica del vector LRL

Nuestro propsito ahora se centrar en estudiar los efectos que sobre las tra-yectorias orbitales del Problema de Kepler produce una perturbacin aadida.Por perturbacin, o ms exactamente por pequea perturbacin, entendere-mos una fuerza f que sumada a la fuerza gravitacional, modifique ligeramentela trayectoria original del problema no perturbado, esto ltimo es debido, co-mo es de suponer, a que de un modo general las soluciones analticas a lasecuaciones del problema perturbado slo son posibles en algunos casos, yconducen en general a trayectorias que en poco o nada tienen que ver con lascnicas de Kepler estudiadas, as pues, la perturbacin ha de ser lo suficiente-mente pequea en comparacin con la fuerza gravitacional (en el mnimo de laenerga potencial total efectiva), una pequea perturbacin pues, de modo quemediante los mtodos perturbativos podamos asegurar que las soluciones vana ser cercanas a las del problema sin perturbar, para sto basta con imponer ala fuerza perturbatriz la condicin f /r20, donde r0 es como sabemos el ra-dio de rbita circular estable correspondiente al mnimo de la energa potencialtotal efectiva del problema sin perturbar.Acabamos de comentar que en general, las soluciones analticas al Proble-ma de Kepler perturbado no siempre son posibles, tenindose que recurrir portanto a los mtodos perturbativos, sin embargo, y por poner un ejemplo, en elcaso de una perturbacin central de la forma f = /r3 , con una constantepositiva (vase el Apndice A), se obtiene una ecuacin diferencial lineal no ho-mognea de coeficientes constantes al introducirla en la Frmula de Binet (2.6),las soluciones analticas de dicha ecuacin resultan ser trayectorias espirales,pero cuando el valor de es suficientemente pequeo resultan cnicas cuyopericentro se desplaza con el tiempo. Dicho desplazamiento del pericentro esconocido usualmente como precesin del perihelio (pericentro con referenciaal Sol) o avance del perihelio, y en el caso de una trayectoria elptica por ejem-plo, es como si el perihelio girase poco a poco como se aprecia en la figura2.3, tal efecto sobre las rbitas es la modificacin que introduce la pequeaperturbacin en la solucin del problema no perturbado.Mediante el mtodo de aproximaciones sucesivas de Picard por ejemplo, pue-de abordarse la resolucin de la Frmula de Binet bajo una pequea perturba-cin cuando no es posible su resolucin analtica, en ese caso se procede asuponer como solucin, en primer orden de aproximacin, la del problema noperturbado, que posteriormente se va corrigiendo en rdenes de aproximacinsuperior mediante iteraciones sucesivas, as hasta obtener la exactitud desea-da. Por tanto, se van aadiendo a la solucin sin perturbar, correcciones en lasque aparecen trminos seculares responsables de efectos sobre las cnicascomo el comentado en el prrafo anterior, por supuesto, sobra decir que lasmodificaciones en las trayectorias no siempre resultarn en una pecesin delperihelio, esto depender en general de la forma matemtica de la perturba-cin, pudiendo no manifestarse precesin alguna y s presentarse o no otrasalteraciones.



En este epgrafe y en los siguientes mostraremos un mtodo que resulta bas-tante econmico a la hora de evaluar los efectos que sobre las rbitas aparecenal introducir una pequea perturbacin al Problema de Kepler. Dado que co-mo hemos visto, el vector LRL en el problema no perturbado est en direccinapsidal, y su mdulo es proporcional a la excentricidad de las orbitas, analizarentonces las variaciones en la trayectoria, como la precesin del perihelio oalteraciones en la excentricidad, se traduce esencialmente en obtener la tasade variacin temporal del vector LRL bajo la perturbacin, pues si gira el pe-rihelio con el tiempo , gira con el tiempo el vector LRL, y si vara en el tiempola excentricidad, lo har igualmente el mdulo del LRL.

Por simplicidad, en adelante supondremos que tratamos con un centro de fuer-zas de masa M en torno al cual gira en rbita elptica un cuerpo de masa mde manera que sea M m , as GMm y la aproximacin ' m quedajustificada; en ningn modo el no hacer esto supone mayor dificultad, pero lasaplicaciones que aqu van a se expuestas sugieren hacer esta simplificacinpor comodidad.

Empecemos ya escribiendo la Segunda Ley de Newton para el cuerpo demasam del Problema de Kepler con una perturbacin general aadida y la derivadatemporal del momento angular del sistema bajo dicha perturbacin, tenemospues:

:p =

r2r^+ f ;

L = r p = r f: (3.1)

Recordando los pasos del epgrafe anterior al definir el vector LRL, expresiones(2.29) a (2.35), haciendo uso ahora de las dos expresiones anteriores, resultaque es:

:p L = m d

dt

rr

+ f L y p

L = p (r f); (3.2)

donde en la primera expresin se ha hecho uso de (2.32) con ' m. Sumandolas dos relaciones anteriores tenemos:

:p L+ p

L = m ddt

rr

+ f L+p (r f); (3.3)

y finalmente queda:

:p L+ p

Lm ddt

rr

=

d

dt

p Lmbr

=A = f L+p (r f):

(3.4)

La expresin anterior no es ms que la derivada temporal del vector A, la evo-lucin temporal del vector LRL bajo una perturbacin general.



Es importante interpretar correctamente (3.4), el vector A que ah vara conel tiempo se corresponde con el vector LRL del Problema de Kepler, esto es,el vector de Laplace-Runge-Lenz del problema en ausencia de perturbacinalguna tal y como fue definido en la seccin 2.4. All demostramos que tal vectorconstituye una constante de movimiento ms, que se mantiene en direccinapsidal de la rbita elptica y que sumagnitud es proporcional a la excentricidadde la misma, pero en general, las rbitas del problema perturbado no presentaun vector similar, y por tanto (3.4) tal cual, no da informacin de inters a cercade las caractersticas de las rbitas del problema con perturbacin.

Para aclarar las ideas, que desde luego pueden ser confusas, supongamosuna perturbacin central sobre el Problema de Kepler de la forma f = r2br;en la que es una constante positiva tal que se verifica el criterio de pequeaperturbacin f /r20. La fuerza neta ejercida sobre la masa m es entonces:

F = r2br

r2br = 0

r2br (3.5)

Ntese que por la particularidad de la perturbacin; sta no ha hecho ms quecambiar la constante del Problema de Kepler no perturbado por la nuevaconstante 0 = + , las soluciones analticas del problema resultan ser lasmisma; cnicas, se conserva entonces la energa y, de (2.10) se desprende deinmediato que el momento angular queda conservado tambin, dirigido segnel unitario bz perpendicular al plano del movimiento y tal que L = mr2 bz comoall mostramos. Ahora bien, la sustitucin de la fuerza perturbatriz f en (3.4)conduce a:

A =

r2brmr2 bz = L

r2b = L

r2sen bx+ cos by 6= 0; (3.6)

es decir, el vector LRL A del problema en cuestin no es una constante demovimiento, indica la existencia de una variacin temporal de los psides en larbita, lo cual resulta contradictorio a la vista de la equivalencia de las solucio-nes del problema con las del problema sin perturbar. Lo que est sucediendoaqu es que el vector LRL al que se refiere (3.6) es el vector A p Lmbrdel problema no perturbado definido en (2.4), y es evidente que en este casoes el vector redefinido A0 p L m0br quien cumple las propiedades deA del problema en ausencia de perturbacin y no la cantidad A de la expre-sin anterior , por supuesto, esta redefinicin es slo posible siempre que laperturbacin no quiebre las simetras del Problema de Kepler como en este ca-so. Dicho sto, la expresin (3.6) no es incorrecta en si misma, pero tampocoinforma de nada en especial.

Volvamos a la cantidad A p L mbr, por definicin, independientementede la constante y de los vectores p y L = r p con que se construye, esun vector siempre situado sobre el plano definido por los vectores r y p , portanto se encuentra tambin siempre sobre el plano de las rbitas del proble-ma perturbado anterior. Recordando ahora que para una funcin del tiempof (r (t) ; (t))) su promedio en un intervalo temporal 4t es:



hf (r (t) ; (t))i = 14t t+4tt

f (r () ; ()) d; (3.7)

que si adems f es peridica en el tiempo con perodo T , es entonces:

hf (r (t) ; (t))i = 1T

t+Tt

f (r () ; ()) d =1

T

T0

f (r (t) ; (t)) dt; (3.8)

luego, cambiando el perodo temporal T a perodo angular de 2 rads. sabiendoque es L = mr2

constante en el Problema de Kepler no perturbado, nos es

conveniente reescribir la integral anterior en la forma:

hf (r (t) ; (t))i = 1T

T0

f (r (t) ; (t)) dt =1

T

20

f (r () ; )

d

dt

1d

=m

TL

20

r2f (r () ; ) d:

(3.9)Con esto, finalmente tomemos (3.6) en promedio en un perodo ngular, y vea-mos que

A

=m

T

20

sen bx+ cos by d = 0: (3.10)Resultado que indica que aunque el vector LRL del Problema de Kepler va-ra con el tiempo bajo la perturbacin f = r2br, en un perodo sus efectos enpromedio se anulan, y por tanto las soluciones no presentan diferencias enpromedio respecto de las soluciones en ausencia de perturbacin, no hay va-riaciones apsidales netas, en coherencia con lo que caba esperar y que yasabiamos de las soluciones analticas.Por tanto, en las aplicaciones tomaremos (3.4) en promedio y tendremos:

A

= hf Li+ hp (r f)i ; (3.11)

que es la evolucin temporal media del vector LRL.El uso de la dinmica del vector LRL en media temporal, en las aplicaciones aproblemas perturbados, es de suma importancia para obtener informacin deutilidad sobre las caractersticas de las soluciones y requiere de una correctainterpretacin de (3.4). En [10] por ejemplo, queda de manifiesto un uso inco-rrecto del vector LRL al omitir el uso de medias temporales, tal como exponenlos autores all, esto conduce a la prdida de trminos que, en el mejor de loscasos debido a las peculiaridades de cada perturbacin , puede llegarse a solu-ciones correctas quedando inadvertida la situacin, pero que de forma generalacarrear resultados equivocados respecto de la informacin que se pretendeobtener.



3.2 Precesin anmala del perihelio de Mercurio. La correc-cin relativista.

Al igual que el resto de los planetas de nuestro sistemas solar en mayor o me-nor medida, Mercurio, el primero y ms pequeo de ellos, exhibe en su rbitauna precesin del perihelio que es debida en buena parte a la influencia gravi-tacional del resto de los planetas que orbitan el Sol , influencia que aade unaperturbacin cuyo efecto, como veremos en el prximo epgrafe, es precisa-mente el de la precesin.

Fu el astrnomo y matemtico francs Le Verrier (1811-1877), codescubridorde Neptuno en 1846, el primero en anunciar en 1859 una anomala en el avan-ce del perihelio de Mercurio, calcul un desfase de 3800 por siglo respecto delavance debido a la influencia gravitacional del resto de planetas. Le Verrier,como explicacin del hallazgo, propuso la existencia de un cinturn o anillo demateria entre el Sol y Mercurio parecido al cinturn de asteroides entre Martey Jpiter, Ese mismo ao un astrnomo amateur llamado Leecarbault, afirmque llevaba tiempo observando un planeta pequeo en transit por el Sol alque llam Vulcano, la Real Sociedad Astronmica de Londres anunci a bom-bo y platillo entonces, que Vulcano era la explicacin correcta de la presesinanmala del perihelio de Mercurio. Todos estos argumentos fueron descarta-dos uno a uno, incluso se pens en el achatamiento de los polos solares comoposible respuesta.

En en 1894 el astrnomo Asaph Hall (1829-1907) propuso alterar la Ley de laGravitacin Universal de Newton, la ley del inverso del cuadrado de la distan-cia, aadiendo un trmino inverso del cubo de la distancia multiplicado por unaconstante que ajust para que diera cuenta de la anomala observada en Mer-curio. En 1895 Newcomb (1805-1909) public un trabajo sobre el movimientode los planetas rocosos del sistema solar en el que observ anomalas simila-res a las del perihelio de Mercurio en todos los planetas rocosos, incluso en laLuna aunque mucho ms pequeas. La nueva ley de Hall no daba cuenta deestas otras anomalas. Newcomb demostr que la nueva ley de gravitacin deHall no era la respuesta correcta, pero puso en el candelero la posibilidad deque una nueva ley de gravitacin pudiera ser la clave.

La idea de modificar la Ley de Gravitacion Universal se enmarca en el con-texto de las nuevas teoras de la gravedad que se volvieron muy populares afinales del siglo XIX, Muchos fueron los esfuerzos y muchos los impulsores deestas teoras que no terminaban por dar una explicacin correcta de la anoma-la, cuantitatvamente algunas de ellas daban cuenta de tan slo una fraccindel desfase observado y otras, no explicaban de modo general la anomalaobservada en el resto de planetas.

La solucin fue obtenida por primera vez gracias a la teora de la gravedad deun fsico alemn casi desconocido, el maestro de escuela Paul Gerber (1854-1909), publicada en 1898, la derivacin era bastante poco clara y aos mstarde se encontr que contena errores (susceptibles de ser corregidos), anas, obtuvo la frmula correcta. Su idea consista en aplicar una teora de po-tenciales retardados similar a la utilizada en electrodinmica bajo la hiptesisde que la gravedad se propaga a una velocidad finita, que Gerber calcul que


3.2 Precesin anmala del perihelio de Mercurio. La correccin relativista.

coincida con la velocidad de la luz c en el vaco, puede leerse en [3] una articu-lo que desarrolla esta idea. Gerber propuso entonces un potencial gravitacionalmodificado en la forma:

Vr;

:r= GM

r

11 :rc

2 ; (3.12)que como se aprecia depende no slo de r sino tambin de la velocidad radial:r , por lo que la fuerza derivada de tal potencial es, aplicando la ecuacin deEuler-Lagrange :

d

dt

@

@:r

1

2m

:r2

= m

d

dt

@V

@:r

@V

@r

)

) f = GMmr2

1

:r

c

4 "6r

::r

c2 2

:r

c

1

:r

c

+

1

:r

c

2#:

(3.13)

que deesarrollada en serie de potencias de :r/c, puede escribirse como:

f = GMmr2

1 3

:r2

c2+

6r::r

c2 8

:r3

c3+

24r:r::r

c3 : : :

!;

:rc < 1: (3.14)

La expresin anterior para la fuerza gravitacional, predice los valores correctos(o significativamente prximos) observados para la velocidad de precesin dela anomala en el perihelio de Mercurio y en el resto de los planetas, en elcaso de Mercurio, observaciones actuales precisas dan unos 4300 por siglo, sinembargo, como ya se seal, tal solucin careca de una justificacin y de unaargumentacin clara y satisfactoria.

Quien puso punto y final al asunto, fue Albert Einstein en 1915 con sus teo-ras de la Relatividad Especial y General. De ellas se desprende un trminoperturbativo de correccin a la fuerza gravitacional de la forma:

f = 3r4br; (3.15)

con GML2mc2 , una constante. La mitad de la expresin anterior puede serexplicada desde el punto de vista de la teora Especial de la Relatividad, (1/3)debida a la dilatacin del tiempo y (1/6) consecuencia de la variacin de lamasacon la velocidad. El resto se explica en el marco de la teora general y tienesu origen en la velocidad finita de propagacin de la interaccin gravitacional(accin a distancia).

La correccin de Gerber conduce en primer orden de aproximacin al resul-tado de Einstein para la velocidad de precesin anmala del perihelio, y trasla reimpresin del artculo de Gerber en 1917, varios detractores de Einsteinle acusaron de plagio. Einstein siempre manifest que desconoca el oscuro



trabajo de Gerber, pero que incluso habindolo conocido, llo no habra influi-do a la hora de desarrollar su teora y de afirmar que sus resultados sobre laanomala del perihelio, confirmaban su teora de la relatividad.La perturbacin f (3.15) satisface el criterio exigido por los mtodos perturba-tivos f /r20, en efecto, pues para los valores tanto de Mercurio como delresto de planetas del sistema solar, es,

3r20r4

=3L6

(m2c)2r4 1 (3.16)

en donde se ha tenido en cuenta que r0, el radio de rbita circular de mnimaenerga potencial efectiva del Problema de Kepler, de (2.22) y de la primera de(2.21), es,

r0 = L2

' L

2

m: (3.17)

y r = r (), la ecuacin de las trayectorias orbitales del Problema de Kepler sinperturbacin alguna. Por tanto, siguiendo la manera de operar en los mtodosperturbativos, empleando sta ecuacin como solucin en primera aproxima-cin al problema perturbado, esto es, empleando

r =

1 + " cos ; (3.18)

podemos aplicar la evolucin temporal media del vector LRL (3.11) a la pertur-bacin teniendo en cuenta adems que, por ser sta de tipo central, tenemosen este caso que hp (r f)i = 0 , luego es:

A

= hf Li = 3L brr4

= 3

cos r4

L bx; (3.19)

donde se ha tenido en cuenta la constancia de L en la rbita no perturbada yque, debido a la simetra de la misma,

brr4

=

cos bx+ sen by

r4

=

cos bxr4

; (3.20)

siendo los vectores bx e by , los unitarios en la direccin positiva del eje polar yperpendicular a ste en sentido positivo respectivamente.Calculando el promedio en (3.20) mediante (3.9), resulta entonces,

A

= 3

cos r4

L bx = 3m

TL

20

cos r2

d

L bx: (3.21)

Resolviendo la ltima integral, sustituyendo antes la solucin en primer ordende aproximacin (3.18),


3.2 Precesin anmala del perihelio de Mercurio. La correccin relativista.

20

cos r2

d =1

2

20

cos (1 + " cos )2 d = 12

20

2" cos2 d

=2"

2;

(3.22)

resultado que llevado a (3.21) y, recordando que segn (2.23) es el semilatusrectum = a

1 "2, queda:

A

=6m"

Ta2 (1 "2)2LL bx: (3.23)

Convenientemente la expresin anterior puede reescribirse sustituyendo GML2

mc2 , junto con el hecho de que de la primera relacin de (2.21) y de la expre-sin de anterior se deduce que es L2 = ma(1"2) , y finalmente teniendo encuenta que el vector LRL de la rbita no perturbada es segn (2.37) A = m"bx,

A

=6GM

c2Ta (1 "2)bL A: (3.24)

Escrita de este modo, y comparndola con A

= an A; (3.25)

resulta que por asimilacin , en promedio, el vector LRL gira con velocidad an-gular an , dicho de otro modo, la correccin relativista produce una precesin

an del perihelio, que viene dada por:

an =6GM

c2Ta (1 2) : (3.26)

Relacin que conM la masa del Sol ym la de Mercurio, y despus de introducirel resto de parmetros orbitales del planeta, arroja el valor an ' 4300 por siglo,valor en destacable concordancia con el observado, que dependiendo de lafuente consultada est alrededor de los 43; 110 por siglo.Se puede ver en (3.24) que el sentido de giro del perihelio es el mismo que eldel planeta en su rbita (an tiene igual direccin y sentido que L). El ngulode ocurrencia entre un perihelio y el siguiente es mayor que 2 rads, por tanto,se dice que hay un atraso temporal del mismo (llega ms tarde respecto de elde la rbita no perturbada), o visto de otra manera, hay un avance espacial delperihelio (est ms adelante respecto de el de la rbita no perturbada).Ntese tambin que el efecto ser tanto ms pronunciado cuanto mayor sea elsemieje mayor a y mayor sea la excentricidad " de la rbita. Por consiguiente,Mercurio, el planeta ms cercano al Sol y con la rbita ms excntrica, es el quepresenta precesin del perihelio ms notoria. De otra forma, podemos decir queel desplazamiento relativista del perihelio es mximo en el caso de Mercurio,debido al hecho de que su velocidad orbital es muy alta, por lo que el parmetrorelativista v/c es elevado y los efectos relativistas se ven acusados.



3.3 Precesin general del perihelio. La influencia planetaria.

Como se mencion al principio del epgrafe anterior, aparte de la precesinanmala debida a los efectos relativistas, la rbita de los planetas del sistemasolar manifiestan una precesin del perihelio bastante ms pronunciada, quees consecuencia de la perturbacin que aade la influencia gravitacional delresto de planetas orbitando en torno al Sol.

Aqu entraremos ms de lleno en el problema, y como se hizo antes, usaremosla dinmica del vector LRL en media temporal para determinar la velocidad deprecesin en este caso.

Para empezar supongamos un planeta de masam que orbita al Sol cuya masaes M , y otro de masa m0 que lo hace en una rbita exterior a la del primero.El segundo planeta ejerce como es obvio una influencia gravitacional sobre elprimero que perturba su rbita, para determinar la fuerza perturbatriz f supon-dremos por simplicidad que todas las rbitas se sitan sobre un mismo plano yadems, todas menos la del planeta perturbado consideradas circulares; des-preciaremos tambin el movimiento del Sol.

Estas hiptesis si bien no son ciertas, tan solo restarn en un tanto acepta-ble exactitud a los resultados y en cambio, aadirn claridad y simplicidad almodelo matemtico que siempre puede ser ampliado teniendo en cuenta lascaractersticas reales de problema.

Figura 3.1: Representacin del modelo matemtico utilizado para determinar la perturbacin fque ejerce un planeta de masa m0 en rbita circular en torno al Sol sobre la rbita de un planetade masam:

Como se desprende de la figura anterior, el modelo matemtico consiste enrepresentar al planeta de masa m0 en rbita exterior a la del planeta de masam, como una distribucin de masa continua de densidad lineal m0 sobre unanillo de radio R igual al radio de su rbita circular. Con lo dicho y de la figura,es inmediato ver que el potencial gravitacional debido al anillo, en la posicin ren la que se encuentra la masa m es:



V (r) = G

anillo

m0dl

jR rj = Gm0

2R

20

Rd'pR2 + r2 2Rr cos' ; (3.27)

0 < r < R ; r 6= R;

en donde ' representa el ngulo que forman los radiovectores R y r. La integralanterior puede ser escrita de un modo ms conveniente haciendo rR ,

V () = Gm0

R

0

d'p1 + 2 2 cos' ; 0 < 1; (3.28)

en la que el intervalo de integracin se ha reducido a rads dada la simetraangular del integrando.

La fuerza perturbatriz es pues:

f = mrrV (r) = m@V ()@

@

@rbr

=Gmm0

R2

0

cos' (1 + 2 2 cos')3/2

d'br ; 0 < 1:(3.29)

Hay quematizar quematemticamente las integrales de parmetro que resul-tan tanto para el potencial como para la fuerza, convergen siempre que 6= 1, pero los valores negativos de carecen de sentido fsico alguno y para laperturbacin de un planeta exterior es siempre < 1. Tales integrales estnestrechamente ligadas con las llamadas funciones elpticas de primera y se-gunda especie, de hecho pueden escribirse en trminos de estas funciones,sea como fuere, por este motivo no pueden ser resueltas en trminos de lasfunciones elementales siendo necesario acudir a los mtodos numricos deresolucin.

La perturbacin obtenida satisface el criterio de losmtodos perturbativos siem-pre que,

1

m0

M2I() 1; (3.30)

donde hemos llamado I() a la integral de parmetro de (3.29) . Su valores positivo y se acerca a cero conforme tambin lo hace, esto es, cuandoR ! 1 , puesto que es R > r en nuestro caso siendo adems m0 M , larelacin anterior se satisface.

Al igual que hicimos en el epgrafe anterior, puesto que en este caso tambinla perturbacin es central, usando (3.11) tal como all, con la ecuacin de lastrayectorias orbitales r () (3.18) del Problema de Kepler no perturbado comoprimer orden de aproximacin, resulta:



A

= hf Li = Gmm0

R2

I()br L =Gmm0

R2

I()br L

= Gmm0L

R2hI()cos i bL bx = Gm2m0

TR2

20

r2I()cos d bL bx= Gm

2m0

TR2

20

I()2cos

(1 + " cos )2d bL bx

= m02

TR2M"

20

I()cos

(1 + " cos )2d bLm"bx

= 2m0a2

1 "22

TR2M"

0

I()cos

(1 + " cos )2d bL A;

(3.31)

con r()R .

Se tiene entonces que para la velocidad de precesin del perihelio ext, delplaneta de masa m debida a la influencia gravitacional del planeta exterior demasa m0 que:

ext =2m0a2

1 "22

TR2M"

0

I()cos

(1 + " cos )2d

: (3.32)

Puede probarse que los valores de la ltima integral doble de (3.31) sonnegativos para 0 < < 1 y 0 < " < 1 , por lo tanto, es inmediato que elsentido de giro del perihelio es el mismo que el del planeta que orbita (exttiene igual direccin y sentido que L) siendo adems la velocidad de precesinindependiente de la masa m del propio planeta.

El cuadro siguiente contiene los valores de la precesin del perihelio ext deMercurio debida a la influencia gravitacional de cada uno de los planetas delsistema solar y la contribucin total de stos. Han sido obtenidos medianteclculo numrico con la expresin anterior.



Planeta: ext(00 por siglo):Venus 292,65

Tierra + Luna 95,83Marte 2,38Jpiter 156,84Saturno 7,57Urano 0,14Neptuno 0,04TOTAL 555,45

Cuadro 3.1: Valores de la precesin del perihelio ext de Mercurio debida a la influencia gravi-tacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la contribucin total de stos.

Para el caso de la perturbacin generada por la influencia de un planeta interiorde masa m0 en la rbita del planeta de masa m , basta tan slo con hacer enla figura (3.1) R < r y, siendo ahora Rr() se obtiene:

f = Gmm0

R3

0

3cos'

(1 + 2 2 cos')3/2d'br ; 0 < 1; (3.33)

que con la condicin,

1

m0

MRI() 1; (3.34)

entonces resulta,

A

=2m0

TMa" (1 "2) 0

I() (1 + " cos ) cos d bL A; (3.35)y finalmente,

int =2m0

TMa" (1 "2) 0

I() (1 + " cos ) cos d: (3.36)

Los valores de la integral en este caso, son positivos para 0 < < 1 y 0 < " < 1,por lo que como antes, el sentido de giro del perihelio es el mismo que el delplaneta que orbita (int tiene igual direccin y sentido que L), mantenindosela independencia respecto de m en la velocidad de precesin.

El cuadro siguiente muestra los valores de la precesin general del perihelio

neta de los planetas del sistema solar debida a la influencia gravitacional delresto de planetas, tambin se muestra la precesin anmala del perihelio ancausada por la correccin relativista de la fuerza gravitacional. Han sido obte-nidos con las expresiones anteriores (3.32), (3.36) y (3.26), mediante clculonumrico.



Planeta: (00 por siglo).

an(00 por siglo):Contribucin neta de todos los planetas:

Mercurio 555,45 43Venus 1207,59 8,5

Tierra + Luna 1280,00 3,8Marte 3358,00 1,4Jpiter 752,25 0,06Saturno 1887,43 0,01Urano 277,11 0,002Neptuno 71,99 0,0008

Cuadro 3.2: Valores de la precesin del perihelio y an de los planetas del sistema solardebida a la influencia gravitacional neta del resto de planetas y causada por la correccin relativistade la fuerza gravitacional respectivamente.

En el caso de Mercurio por ejemplo, un clculo ms afinado teniendo en cuentala inclinacin de las rbitas de los planetas, y el hecho de que stas no soncirculares si no elpticas, conduce un valor en torno a 53200 por siglo para laprecesin general . Hay que decir adems, que este valor y el de la precesinanmala, se suman a la precesin general de los equinoccios respecto de lasestrellas fijas que asciende a 5025; 600 por siglo [8] para la Tierra.

3.4 Perturbacin dependiente de la velocidad. El arrastre at-mosfrico.

Vamos por ltimo a aplicar la dinmica del vector LRL al caso de una perturba-cin dependiente de la velocidad de un cuerpo en rbita Kepleriana.

Supongamos un satlite artificial en rbita baja en torno a la Tierra. Los gasesatmosfricos ejercen sobre ste una friccin, y por tanto, una resistencia almovimiento o fuerza de arrastre que es proporcional a alguna potencia de lavelocidad del satlite, dependiendo de las propiedades de tales gases, comola densidad, temperatura, viscosidad, etc, y de la propia velocidad del satliteen rbita, la dependencia puede ser lineal o cuadrtica, en cualquier caso laperturbacin ejercida sobre la rbita puede escribirse como:

f = vn1v; (3.37)

donde es una constante positiva y n un entero positivo.

Supuesto que se satisface el criterio f /r20 (es as para los valores usua-les) para poder aplicar (3.11) a la perturbacin, en este caso puesto que laperturbacin no es central, se tiene,


3.4 Perturbacin dependiente de la velocidad. El arrastre atmosfrico.

A

= hf Li+ hp (r f)i

=

vn1v L+ mv rvn1v

=

2vn1v L :

(3.38)

Sustituyendo de (2.33) v L = A/m+ br en la ltima expresin , y teniendo encuenta que el vector A permanece constante en la rbita no perturbada, queda,

A

=2m

vn1

A 2 vn1br : (3.39)

De la simetra que exhibe el vector velocidad v en la rbita no perturbada, sededuce que:

vn1br = vn1 cos bx; (3.40)

que junto con el hecho de que esA = m"bx, (3.39) puede escribirse finalmentecomo:

A

= ("; ; )A; (3.41)

donde hemos definido la constante positiva:

("; ; ) =2

m"

vn1 ("+ cos )

: (3.42)

Como segn (3.31), la evolucin temporal promedio del vector LRL es propor-cional al mismo vector LRL, concluimos que no aparece precesin ninguna delperihelio en este caso, sin embargo, la misma expresin muestra que el mdulodel vector A decrece con el tiempo, o lo que es lo mismo, el vector LRL dismi-nuye su longitud con el tiempo, y por tanto, disminuye tambin con el tiempo laexcentricidad " de la rbita. La rbita elptica va tendiendo poco a poco haciala circularidad mientras el satlite va cayendo poco a poco hacia la Tierra, vaacercndose al foco de la elipse (centro de fuerzas) como consecuencia de ladisipacin energtica ocasionada por la friccin atmosfrica.

Si (3.42) no dependiera de la excentricidad, entonces (3.41) sera fcilmenteintegrable y en promedio A decrecera exponencialmente con el tiempo, esteno es el caso, ("; ) depender de " y por tanto de A en general , luego lasolucin de (3.41) no ser siempre una exponencial.

Resulta interesante el caso en que n = 1, es decir, el caso en que la fuerza dearrastre atmosfrica depende linealmente de la velocidad del satlite en rbita.



En este caso, puesto que como puede probarse es

br = hcos i bx = "bx 6,

(3.39) se queda en,

A

=2m

A 2 br = 2m

Am"bx = 0 (3.43)

por lo que en el caso f = v, no hay variacin temporal media ningunadel vector LRL, nuestro satlite va cayendo hacia la Tierra por disipacin deenerga, pero no hay precesin del perihelio y la excentricidad se mantieneconstante en todo momento .

6En efecto, por consideraciones de simetra, resulta en este caso ms fcil tomar el promedio delos psides de la rbita 1

2

hrm{na

+(rmax)

a

i= ", que acudir directamente a la expresin(3.9).


4 Notas finales.

En la primera seccin, hemos dado una repaso general al Problema de Keplertratndolo tanto desde la perspectiva de la mecnica Newtoniana como des-de la Lagrangiana. Luego hemos definido el vector de Laplace-Runge-Lenz ovector LRL que se conserva, y que junto al momento angular y a la energa for-ma un conjunto de siete cantidades conservadas de las cuales slo cinco sonindependientes. Como ya se mencion, la aparicin de esta nueva constantees consecuencia de la existencia de simetras ocultas, de las caractersticasparticulares del potencial gravitacional responsables de la degeneracin de lasrbitas y del hecho de que stas sean cerradas. Hemos finalmente tratado elproblema mediante el vector LRL obteniendo la ecuacin de las trayectoriasorbitales del problema en cuestin.En la segunda seccin se ha presentado un mtodo basado en la dinmica delvector LRL, concretamente en la evolucin temporal promedio del vector, paraanalizar los efectos que aparecen sobre las rbitas sometidas a una pequeaperturbacin, dado que en general la perturbacin quiebra la simetra, el vectorLRL deja de ser constante y dependiendo de la perturbacin misma, los efectospueden o no resultar en una precesin del perihelio o en una variacin tempo-ral de la excentricidad. Un mtodo bastante econmico a la hora de estudiar elcomportamiento apsidal de las rbitas del Problema de Kepler ante pequeaspertubaciones, y que puede ser aplicado a rbitas de cualquier excentricidad(salvo cero como es evidente) y para perturbaciones no necesariamente cen-trales como vimos en la seccin 3.4.Las aplicaciones del mtodo no se quedan slo en las discutidas en estas pgi-nas de ningn modo. Por poner ejemplos, el achatamiento de los polos terres-tres introduce una perturbacin en la rbita de un satlite artificial modeladacomo,

f = (13 cos2 )3R2

5r4br,

con R el radio terrestre, = (Dd)/D una constante en la que D y d son losdimetros ecuatorial y polar terrestres respectivamente, y el ngulo que formael plano orbital del satlite con el eje de rotacin de la Tierra; esta perturbacintiene la misma forma (salvo factor constante) que la perturbacin tratada enla seccin 3.2, all vimos que el efecto producido es el de la precesin delperihelio, por lo que en este caso tambin lo es.La presin de radiacin solar ejerce sobre los planteas en sus rbitas una pe-quea fuerza central cuya magnitud es proporcional 1/r2 , aplicando el mtodo( en este caso puede ser resuelta analticamente la Frmula de Binet (2.6)) sellega a que una perturbacin de este tipo no produce efecto alguno sobre laforma de las rbitas.


4 NOTAS FINALES.

En [2], los autores presentan una explicacin alternativa al problema de la curvade rotacin de las galaxias7 sin necesidad de introducir el concepto de materiaoscura, y sto, mediante la aplicacin de la dinmica del vector LRL a unacorreccin cuntica del potencial gravitacional..El vector tambin aparece relacionado al campo elctrico como cabe esperar(el potencial elctrico tiene esencialmente la misma forma que el gravitacional),y es utilizado en el estudio de partculas cargadas en presencia de camposmagnticos.No slo en el marco de la mecnica clsica tiene utilidad el mtodo, en mec-nica cuntica, mediante una definicin adecuada del vector LRL en trminosde operadores, se obtiene de un modo elegante mediante ste, el espectro deenergas del tomo de hidrgeno, y puede usarse la dinmica del vector paraanalizar los efectos de perturbaciones aadidas al potencial elctrico en dichotomo. Del mismo modo que en el Problema de Kepler, la aparicin del vec-tor LRL en mecnica cuntica es debida a la existencia de simetras ocultaspropias de las caractersticas del potencial elctrico, responsables de la inde-pendencia de los niveles de energa del tomo de hidrgeno con el momentoangular (la energa de stos slo depende del nmero cuntico principal n y node los nmeros cunticos de momento angular l y m ), esto es , de la existen-cia de degeneracin en los orbitales de un modo similar a lo que ocurre en lasrbitas del Problema de Kepler.Podramos escribir lneas y lneas acerca del tema, el estudio minucioso delvector de Laplace-Runge-Lenz , las simetras implicadas y sus entresijos lle-gan hasta las entraas mismas de la mecnica terica con un extenso y fasci-nante bagaje matemtico; ante esto, el autor siente cierta sensacin de trabajoinacabado, sensacin que por fortuna, la intencin introductoria de estas notas,mitiga.Antes del punto y final, slo dar las gracias al lector por mostrar inters en eltema y por dejar parte de su valioso tiempo en la lectura y comprensin destas hoy por hoy preliminares y humildes anotaciones.

7Las galaxias rotan en torno a su centro galctico con velocidad creciente conforme la materiase aleja del mismo, debido como es lgico a quemayor masa ejerce gravedad sobre los puntosmasdistanciados. Lo que se ha observado sin embargo, es que esta velocidad se hace prcticamenteconstante a partir de cierta distancia; la presencia de materia oscura en el halo galctico podraexplicar esta paradoja pues una contraposicin de fuerzas gravitacionales podra compensarse yanular las aceleraciones de los puntos distantes de la galaxia.


A Efecto de una perturbacin f 1/r3:Resolucin analtica.

Supongamos un cuerpo de masa m sometido a la interaccin gravitatoria deotro de masaM conM m , de modo que sea la masa reducida del sistemade los dos cuerpos ' m: Supongamos que una fuerza pertubatriz f afectaa la masa m tal que,

f = r3br; (A.1)

con una constante positiva.

En estas condiciones, la fuerza resultante sobre m es:

f = r2br

r3br; (A.2)

con GMm.Llevando la resultante anterior a la Frmula de Binet (2.6), resulta que :

1

r2

d2

d2

1

r

+

1

r

= m

L2

r2 r3

=d2

d2

1

r

+

1

r

=

m

L2+

m

L2

r) d

2

d2

1

r

+h1 m

L2i1

r

=

m

L2:

(A.3)

La ecuacin diferencial anterior en este caso es lineal en la variable1r

y de

coeficientes constantes. Es por tanto integrable y sus soluciones son distintassegn sean los casos mL2 < 1 ,

mL2 > 1

mL2 = 1. Vesmoslo.

- En el caso mL2 = 1 , trivialmente es,

d2

d2

1

r

=

m

L2) 1

r=

1

22 + C1 + C2: (A.4)

Solucin que corresponde a una trayectoria en espiral descendente con C1 yC2 constantes de integracin que se obtienen de las condiciones iniciales delproblema.

- En el caso mL2 > 1, tenemos,

d2

d2

1

r

1 m

L2 1

r

=

m

L2) 1

r= C1e

qj1 m

L2j + C2e

qj1 m

L2j:(A.5)


A EFECTO DE UNA PERTURBACIN F 1/R3:RESOLUCIN ANALTICA.

Solucin que tambin en este caso corresponde a una trayectoria en espiraldescendente.-Y por ltimo, en el caso mL2 < 1 , resulta,

d2

d2

1

r

+h1 m

L2i1

r

=

m

L2) 1

r=

mL2

1 mL2+C cos

r1 m

L2 0

:

(A.6)

Esta solucin resulta ms interesante que las anteriores para lo que nos ocupa, corresponde a una trayectoria cnica que describe el cuerpo de masa m conla masa M en la posicin de uno de los focos (al igual que en el Problema deKepler sin perturbar), pero en este caso particular, el argumento del coseno nosindica que el pericentro de la cnica precesa, concretamente avanza espacial-mente. El ngulo entre dos pasos consecutivos por el pericentro, haciendo0 = 0 lo que no restringe la generalidad, es:

r1 m

L2 = 2 ) = 2p

1 mL2; (A.7)

y el avance espacial del pericentro por revolucin ,

= 2

1p

1 mL2 1

!: (A.8)

Aplicando ahora el mtodo de la dinmica del vector LRL a la perturbacin f,supuesto que como siempre para ello ha de cumplirse:

f r20) L

4

r3m23 1; (A.9)

donde como ya se sabe, r0 = L2 ' L2

m , es el el radio de rbita circular enel mnimo de energa potencial efectiva del Problema de Kepler sin perturbar,y r = r () la ecuacin de las trayectorias del Problema de Kepler tambin sinperturbar. As pues,

A

= hf Li = L brr3

=

cos r3

L bx

=m

TL

20

(1 + " cos ) cos dL bx = m"

TLL bx

=

TbL A = m

TL2bL A;

(A.10)

es decir, se obtiene para el avance espacial del pericentro por revolucin:


=m

L2: (A.11)

Esta expresin difiere claramente de la (A.8); sin embargo, dado que se satisfa-ce (A.9) para todo r de la trayectoria orbital, ms an lo hace para el apocentrormax de la misma, que segn (2.23) con L2 ' L

2

m , es:

rmax =L2

m

1 " ; (A.12)

de manera que resulta,

L4

r3maxm23

=m

L2 (1 ") < L

4

r3m23 1: (A.13)

Si suponemos adems que (A.9) es lo suficientemente menor que uno comopara asegurar que:

m

L2 1; (A.14)

entonces desarrollando (A.8) en serie de potencias de mL2 ,

= 2

1 +

1

2

mL2

3

8

mL2

2

+ : : :

1

; (A.15)

serie que converge siempre que mL2 < 1 y como adems se cumple (A.14),resulta que despreciando los trminos de orden dos y mayores en la sumaanterior, es,

' mL2

; (A.16)

que es exactamente el resultado (A.11) para el avance espacial del pericentropor revolucin al que se llega mediante la dinmica del vector LRL.


A EFECTO DE UNA PERTURBACIN F 1/R3:RESOLUCIN ANALTICA.


Referencias

Referencias

[1] Farina. O vetor de laplace-runge-lenz no problema de kepler. Caderno daFsica da UEFS, 04:115159, 2006.

[2] Farina, Kort-Kamp,Mauro, Shapiro. Dynamics of the Laplace-Runge-Lenzvector in the quantum-corrected Newton gravity. Universidad Federal deJuiz de Fora, CEP: 36036-330, MG, Brazil, 2011.

[3] Gin. On the origin of the anomalous precession of mercurys perihelion.Chaos, Solitons & Fractals, 38:10041010, November 2008.

[4] Goldstein. Mecnica Clsica. Editorial Revert, S.A., Barcelona,1987.

[5] Hand, Finch. Analitical Mechanics. Cambridge University Press, NewYork, 1998.

[6] Leach, Flessas. Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz Vector. Jour-nal of Nonlinear Mathematical Physics, 10(3):340423, 2003.

[7] Lemos. Mecnica analtica. Editoria Libraria da Fsica, So Paulo, 2007.

[8] Marion. Dinmica Clsica de las Partculas y Sistemas. Editorial Revert,S.A., Barcelona,1995.

[9] Martnez,Miralles,Marco,Galad-Enrquiez. Astronoma Fundamental.PUV, Valencia,2005.

[10] McDonald,Farina,Tort. Right and Wrong Use of the Lenz Vector for Non-Newtonian Potentials. Am. J. Phys, 58:540, 1990.

[11] Raada. Dinmica Clsica. Fondo de Cultura Econmica, ed., MxicoDF., 2005.

[12] Vucetich. Introduccin a la mecnica analtica. Universidad de BuenosAiers, Buenos Aires, 2009.


1 Introduccin.2 El Problema De Kepler.2.1 Breve Resea Histrica.2.2 Tratamiento Newtoniano.2.3 Tratamiento Lagrangiano.2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).

3 Aplicaciones del vector LRL en rbitas perturbadas.3.1 La perturbacin orbital. Dinmica del vector LRL3.2 Precesin anmala del perihelio de Mercurio. La correccin relativista.3.3 Precesin general del perihelio. La influencia planetaria.3.4 Perturbacin dependiente de la velocidad. El arrastre atmosfrico.

4 Notas finales.A Efecto de una perturbacin f-1r3. Resolucin analtica.Referencias

el problema de kepler. aplicaciones del vector de laplace-runge-lenz en órbitas perturbadas

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