Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

• Error local O(h4) y error global O(h5)

• 4 evaluaciones funcionales por paso

• Dada las evaluaciones funcionales el tamaño de paso podría ser más grande

• Las fórmulas de orden superior (5º,6º,7º) de Runge-Kutta se pueden emplear con la ventaja de determinar un tamaño de paso h apropiado

• Una forma de determinar si los valores de Runge-Kutta son suficientemente precisos es recalcular los valores al final de cada intervalo dividiendo en dos el tamaño de paso.

• Si sólo cambia ligeramente el valor de yn+1, quiere decir que es una buena aproximación a la solución, sino el valor de hdebe dividirse otra vez, hasta que el resultado sea satisfactorio.

• El cambio de paso es una técnica muy cara computacionalmente.

• Otra opción consiste en utilizar dos métodos de Runge-Kutta de orden diferente, uno de cuarto y el otro de quinto, para cambiar de (xn, yn) a (xn+1, yn+1) .

• Este método es popular por que sólo necesita seis evaluaciones de la función (en lugar de 11).

543216

43215

3214

213

1

2

1

40

11

4104

1859

2565

35442

27

8,

2

4104

845

513

36808

216

439,

2197

7296

2197

7200

2197

1932,

13

12

32

9

32

3,

8

3

4,

4

,

kkkkkyh

xhfk

kkkkyhxhfk

kkkyhxhfk

kkyhxhfk

ky

hxhfk

yxhfk

nn

nn

nn

nn

nn

nn

54104

2197

2565

1408

216

25ˆ

5

4311

kkkkyy nn

65431155

2

50

9

56430

28561

12825

6656

135

16kkkkkyy nn

55

2

5075240

2197

4275

128

360Error 65431 kkkkk

• La base de este método es calcular dos estimaciones Runge-Kutta para el nuevo valor pero con errores de diferente orden.

• En lugar de comparar estimaciones para h y h/2 se comparan aproximaciones usando las fórmulas de Runge-Kutta de 4º y 5º orden.

• Como ambas fórmulas hacen uso de las mismas k'ssólo se tienen que hacer seis evaluaciones de f(x,y).

• El valor de h se puede incrementar o disminuir dependiendo del valor del error estimado.

• Como aproximación para el nuevo yn+1se utiliza la fórmula de 5º orden.

MétodoEstimación de la

pendiente sobre el intervalo

E. Global E. LocalEval.

Funcionales

Euler Valor inicial O(h) O(h2) 1

Euler Mejorado Promedio de la pendiente inicial y final

O(h2) O(h3) 2

Runge Kutta 4º Promedio de los cuatro valores

O(h4) O(h5) 4

Runge KuttaFehlberg

Promedio de los seis valores

O(h5) (h6) 6

• Como hemos visto, el tamaño de paso juega un papel importante en la obtención de buenas aproximaciones por métodos numéricos.

• Este tamaño de paso guarda una estrecha relación con el grado del método empleado.

• El método de Runge-Kutta-Fehlberg emplea un parámetro q para determinar el mejor tamaño de paso:

n

ii ww

hq

1

11~

•

• El cálculo de q para optimizar h, se hace para evitar las pérdidas de tiempo ocasionadas por h muy pequeños, en regiones con irregularidades en la derivada de y, y para h grandes, que puedan resultar en la omisión de regiones sensibles cercanas.

• En algunos casos el procedimiento del incremento de h se modifica para que se incorpore solamente para cuando sea necesario tener el error bajo control.

• Para el método de R-K-F con n= 4 q se elige como:

11

4

1

11~

84.0~2 iiii ww

h

ww

hq