metodo de runge kutta 4 jml

5/7/2018 Metodo de Runge Kutta 4 Jml - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓNFACULTAD DE INGENIERÍA Y

ARQUITECTURA INGENIERÍA DE SISTEMASCURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS

Alumno:

José Manuel Limachi Chávez



Introducción

Cabe destacar que el método de Runge kuttafue desarrollado por los matemáticos C.

Runge y M. W. Kutta. Este método es

también llamado Runge-Kutta explícito. Esun método iterativo tanto implícito como

explícito para aproximar las soluciones de

ecuaciones diferenciales ordinarias.

El método cuarto orden se puede utilizar paracalcular soluciones aproximadas.



Método de

Runge Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de

resolución numérica de ecuaciones diferenciales.

Se trata de un método por etapas que tiene la siguiente

expresión genérica:

donde:

i = 1,..., e

con aij ,bi ,c i constantes propias del esquema numérico. Losesquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos

dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta

matriz es triangular inferior con todos los elementos de la

diagonal principal iguales a cero; es decir , aij

= 0 para j =

i ,..., e, los esquemas son explícitos.



Ejemplo:

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = t n

y

otra en t = t n

+ t n. F (u, t) en la primera etapa es:

y para estimar F (u, t) en t = t n + t n usamos un esquemaEuler

Con estos valores de F introducidos en la ecuación

nos queda la expresión:



Las constantes propias de este esquema son: b1

= b2

= 1 /

2;a21

= 1;c 2

= 1.

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico,

también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la

versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos

Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de laecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes

diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una

buena elección de paso.



Método de Runge-Kutta (de cuarto orden):

00

)( ; ),( y x y y x f dx

dy!!

Los llamados métodos de Runge-Kutta son una serie dealgoritmos para calcular aproximaciones numéricas del

valor de la solución de:

En puntos de la forma siguiente:

etch x xh x x ;; 1201 !!

con muy buena precisión, sin que, para ello, seanecesario que los h sean muy pequeños.

El procedimiento consta de los siguientes pasos:Para calcular un valor aproximado de la solución y1 en el

punto



x1 = x0+ h, se calculan los siguientes números:

),( 001 y x f hk !

)2

,2

( 1002

k y

h x f hk !

)

2

,

2

( 2003

k y

h x f hk !

),( 3004 k yh x f hk !

)22(

6

143210 k k k k K !

y entonces se toma:

001 K y y !



),( 111 y x f hk !

)

2

,

2

( 1112

k y

h x f hk !

)2

,2

( 2113

k y

h x f hk !

),( 3114 k yh x f hk !

)22(6

143210 k k k k !

012 K y y !

Del mismo modo, se calcula el valor aproximado de la

solución, y2, en el punto x2 = x1 + h:

Y así, sucesivamente



1)0( ; 2 !! y y xdx

dy

2.02.0001 !!! h x x

Ejemplo 1

Utilizar el método de Runge-Kutta con el problema

siguiente para calcular la solución aproximada en x =0.2 y x =0.4:

h = 0.2:

),(001

y x f hk !

2.0)102(2.0!v!

)2

,2

( 1002

k y

h x f hk ! )1.01,1.00(2.0 ! f



26.01.11.022.02 !v!k

)2,2(2

003

k

y

h

x f hk ! )13.1,1.0(2.0 f !

266.013.11.022.03 !v!k

),( 3004 k yh x f hk ! )266.1,2.0(2.0 f !

3332.0266.12.022.04 !v!k

2642.0)22(6

143210 !! k k k k

2642.1001 !! K y y

4.02.02.012 !!! h x x



),( 111 y x f hk ! 33284.0)2642.12.02(2.0 !v!

)2,2(

1

112

k

y

h

x f hk ! 40612.0)43062.1,3.0(2.0 !! f

)2

,2

( 2113

k y

h x f hk ! 41345.0)46726.1,3.0(2.0 !! f

),( 3114 k yh x f hk ! 49553.0)67765.1,4.0(2.0 !! f

41125.0)22(6

143210 !! k k k k K

67545.141125.02642.1012 !!! K y y



import java.io.BufferedReader;

import java.io.InputStreamReader;

/*

* To change this template, choose Tools | Templates* and open the template in the editor.

*/

/**

*

* @author JOSE MANUEL*/

public class RK {

public static double func(double x, double y)

{

return //-2*x^3+12*x^2-20*x+8.5;

-2*Math.pow(x, 3)+12*Math.pow(x, 2)-20*x+8.5;

}

public static void reportar(double x, double y, int i)

{

System.out.println("\t\t" +i +"\t\t" +x +"\t\t" +y );

}



public static int menu()

{

int opc=0;do

{

BufferedReader br = new BufferedReader( new

InputStreamReader(System.in));

try

{System.out.println("SELECCIONE OPCION");

System.out.println("=================");

System.out.println("1.Metodo de Runge Kutta");

System.out.println("2.Salir");

System.out.print("Opcion:");opc=Integer.parseInt(br.readLine());

}catch(Exception e){e.getMessage();}

}while(opc<1||opc>2);

return opc;

}



public static void Kutta(){

double x0,y0,xf,yf,h,k1,k2,k3,k4;

int n,i;

System.out.println("Metodo de Runge Kutta");

System.out.println("---------------------");BufferedReader br = new BufferedReader(new

InputStreamReader(System.in));

try

{

System.out.print("Ingrese el valor de x0:

");x0=Double.parseDouble(br.readLine());System.out.print("Ingrese el valor de y0:

");y0=Double.parseDouble(br.readLine());

System.out.print("Ingrese el valor de xf:

");xf=Double.parseDouble(br.readLine());

do{

System.out.print("Ingrese el numero de subintervalos a emplear:");n=Integer.parseInt(br.readLine());

}while(n<=0);

h=(xf-x0)/n;

System.out.println("");

System.out.println("\t\t" +"I" +"\t\t" +"Xi" +"\t\t" +"Yi" );

System.out.println("\t\t" +"-" +"\t\t" +"-" +"\t\t" +"-" );



for(i=1;i<=n;i++)

{

k1=func(x0,y0);

k2=func(x0+h/2,y0+h*k1/2);

k3=func(x0+h/2,y0+h*k2/2);k4=func(x0+h,y0+h*k3);

y0=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;

x0=x0+h;

reportar(x0,y0,i);

}

System.out.println("El valor de Yf: " +y0);

}catch(Exception e){e.printStackTrace();}

}

public static void terminar()

{System.out.println("Gracias por usar el programa");

}



public static void main (String[]args)

{int opc;

do

{

opc=menu();

switch(opc)

{case 1: Kutta(); break;

case 2: terminar();break;

}

}

while(opc!=2);

}

}



Conclusió

n

El método de runge kutta es empleado para la resolución de ecuaciones

diferenciales. Los métodos Runge-Kutta o métodos Runge-Kutta-

Fehlberg. Consiste en ir aproximando la solución de la ecuación

mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así

mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

El método de Runge Kutta de cuarto orden es una serie de algoritmos

para calcular aproximaciones numéricas.

metodo de runge kutta 4 jml

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