el director del proyecto - instituto de investigacion ... · pdf filede frontera por otros dos...

Autorizada la entrega del proyecto de la alumna:

D.ª Nuria Merchán Ríos

Madrid, 8 de septiembre de 2009

EL DIRECTOR DEL PROYECTO

Fdo.: Dr. D. Francisco Javier Rodríguez Gómez

Vº Bº del Coordinador de Proyectos

Fdo.: D. Eduardo Alcalde Lancharro Fecha: ……/ ……/ ……

PROYECTO FIN DE CARRERA

SOFTWARE DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON VALOR EN FRONTERA DE ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS

AUTORA: NURIA MERCHÁN RÍOS

MADRID, SEPTIEMBRE 2009

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO EN INFORMÁTICA

Agradecimientos y dedicatoria

“Sé perseverante, porque el agua horada la roca a fuerza de caer sobre

ella.

Prosigue y no desmayes, y ten en mucho lo poco conseguido, pues la

llovizna no es abundante y, sin embargo, cala.”

El collar de la paloma, Ibn Hazm de Córdoba

Gracias a mis padres y a mi hermana que siempre han estado ahí

apoyándome y recordándome esta cita de este poeta cordobés. También

quiero darle las gracias a mi director Francisco Javier, por su ayuda y

paciencia.

Finalmente, quiero dedicarle este proyecto, de forma muy especial a

aquellos que se emocionarían sabiendo que ya terminé esta ingeniería.

Software para la resolución de EDO I

Resumen

Es objeto del presente proyecto el abordar un desarrollo software para el estudio, análisis e

implementación de los métodos numéricos que se encargan de resolver de manera

aproximada las ecuaciones diferenciales de segundo orden con la siguiente estructura:

y≥ = f Hx, y, y£L a§ x § b

que verifica las condiciones de frontera en los puntos extremos del intervalo:

yHaL = a y yHbL = b.

Este tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden se presentan con frecuencia en

numerosos problemas de Ingeniería Civil (deflexiones de una viga de sección rectangular

con carga uniforme), en Física (potenciales electroestáticos en materiales cargados

uniformemente), y en Química (análisis del flujo de la corriente en un tubo al vacío,

ecuación de Van der Pol).

Los métodos numéricos objeto de análisis, estudio e implantación son:

1.- Método del disparo lineal. Se basa en la sustitución del problema lineal con condiciones

de frontera por otros dos problemas con valores iniciales. Se emplea el método de Runge-

Kutta de cuarto orden (que resuelve ecuaciones diferenciales de primer orden) con el fin de

conseguir las aproximaciones de este método.

Proyecto Fin de Carrera II

2.- Método del disparo para problemas no lineales. Aun pareciéndose al método lineal, la

solución del problema no se expresa como una combinación lineal de las soluciones a los

problemas de dos valores iniciales, si no que utiliza una sucesión de problemas con valor

inicial. Este método se auxilia del método de de Runge-Kutta de cuarto orden y del método

de resolución de ecuaciones no lineales de Newton.

3.- Método de las diferencias finitas para problemas lineales. Este método reemplaza las

derivadas en las ecuaciones diferenciales por una aproximación de cocientes de diferencias

finitas adecuadas.

4.- Método de las diferencias finitas para problemas no lineales. Utiliza, como en el

método anterior, el método de diferencias finitas, pero al dar origen a un sistema de

ecuaciones no lineales, se requiere un proceso iterativo para su resolución, en particular se

emplea el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.

5.- Método de Raileigh-Ritz. En este método se selecciona de un conjunto de todas las

funciones, suficientemente derivables que verifican las condiciones de frontera, aquellas

que reducen al mínimo unas determinadas integrales. Posteriormente, se disminuye el

conjunto de funciones candidatas para obtener la aproximación a la solución del problema

con valor de frontera. Es decir, la función que aproxima la solución es una combinación

lineal de ciertas funciones básicas que son linealmente independientes.

En el método lineal segmentario cada función básica es sustituida por un polinomio lineal

definido por intervalos.

Software para la resolución de EDO III

En el método de los trazadores cúbicos cada función básica es sustituida por un polinomio

cúbico o trazador B (polinomio cúbico en forma de campana). Este método da origen a un

sistema lineal de ecuaciones con una matriz simétrica de banda con un ancho máximo de

valor siete, que se resuelve mediante el método de descomposición de Cholesky.

Los citados métodos, tras haberse estudiado detalladamente, se diseñan y se programan en

un lenguaje con capacidades de cálculo numérico, simbólico y con funcionalidades gráficas,

a fin de analizar tanto las aproximaciones numéricas con su cota de error, como representar

las gráficas de la solución exacta de la ecuación diferencial junto a la función aproximada

obtenida.

Por ultimo, se presentan todos los algoritmos de este proyecto bajo una interfaz gráfica de

usuario (GUI) que facilita y permite comprobar cada uno de los métodos para cualquier

ecuación diferencial de segundo orden con valor en la frontera de dos puntos. Los

resultados, numéricos y gráficos, se presentan en la propia interfaz de usuario diseñada, y el

detalle de todos los pasos intermedios con los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales

y demás fórmulas, se indican en un fichero del entorno de desarrollo empleado: el programa

Mathematica.

Proyecto Fin de Carrera IV

Abstract

The objective of this project is to develop software for the study, analysis and

implementation of numerical methods which are used to solve in an approximate way a

second-order differential equations with the following structure:

y≥ = f Hx, y, y£L a§ x § b

Which verifies the boundary-values conditions at the endpoints of the interval:

yHaL = a y yHbL = b.

This types of second-order differential equations are often presented in many problems of

Civil Engineering (alterations of a rectangular beam section with uniform weight load) in

Physics (electrostatic potentials in materials uniformly loaded) and in Chemistry (The Van

der Pol equation, i.e. an analysis of the flow of the stream in a vacuum pipe/tube

(Relaxation Oscillations).

The numerical methods to be analysed, studied and implanted/introduced are:

1. - Linear shooting method. Which is based on the substitution of the boundary-value

linear problem for two other problems with initial values. The fourth-order Runge-Kutta

method (which solves first-order differential equations) with the aim of achieving the

approximations of this method.

Software para la resolución de EDO V

2. - The shooting method for nonlinear problems. Even though it is similar to the linear

method, the solution to the problem is not expressed as a linear combination of the

solutions to the problems with two initial values Instead a succession of problems with

initial value is used. This method is supported by the fourth-order Runge Kutta method and

the Newton method for solving nonlinear equations.

3. - The finite-difference method for linear problems. This method replaces the derivatives

in the differential equations for an approximation of quotients of adequate finite differences.

4. - The finite-difference method for nonlinear problems. Like the previous method, it uses

the finite-difference method, but as it gives rise to a system of nonlinear equations, a

repeated process is required in order to solve it; in particular the Newton method for

nonlinear equations systems is applied.

5. - Raileigh-Ritz method. In this method, a whole group of all the functions is selected,

enough derivative, which verify the boundary-values conditions, those ones that reduce

some specific integral signs to the minimum. As a result, the group of candidate functions

for obtaining the approximation to the solution of the problem with boundary-value is

diminished. That is to say, the function which brings up the solution is a linear combination

of some basic functions which are independent in a linear way.

The piecewise linear method, each basic function is substituted by a linear polynomial

defined by intervals.

In the cubic spline method, each basic function is substituted by a cubic polynomial or B

Proyecto Fin de Carrera VI

tracer (cubic polynomial with a bell shape). This method gives rise to a linear system of

equations with a symmetric band matrix with a maximum width of seven which is solved

through Cholesky's decomposition method.

When studied in detail, the methods mentioned above are designed and programmed in a

language with numerical, symbolic calculation capacities and with graphic functions with

the aim of analysing the numerical approximations with their error figure, and also

representing the exact graphics solution of the differential equation together with the

approximate function obtained.

Finally, all the algorithms of this project under a graphical user interface (GUI) facilitates

and allows checking each of the methods for any second-order differential equation with

boundary-value of two points. The numerical and graphic results are presented in the

designed user interface itself, and the detail of all the intermediate steps with the linear and

nonlinear equation system together with the rest of the formula are shown in a file of the

development environment used: the Mathematica programme.

Software para la resolución de EDO VII

Índice

Agradecimientos y dedicatoria I......................................................................................

Resumen II.........................................................................................................................

Abstract V...........................................................................................................................

Índice VIII..............................................................................................................................

1. Introducción y motivación... 1.......................................................................................

2. Objetivos del proyecto... 5.............................................................................................

3. Análisis de requisitos... 7...............................................................................................

3.1. Requisitos funcionales... 7...................................................................................

4. Metodología... 13.............................................................................................................

5. El método del disparo lineal... 20....................................................................................

5.1. Método de Runge-Kutta... 20................................................................................

5.2. Método del disparo lineal... 24..............................................................................

6. El método del disparo no lineal... 30...............................................................................

7. El método lineal de diferencias finitas... 38....................................................................

8. El método lineal de diferencias finitas para problemas no lineales... 45.........................

9. El método de Rayleigh-Ritz... 54....................................................................................

9.1. Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz... 54................................................

9.2. Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz... 72...........................................

9.2.1. Método de Cholesky... 93............................................................................

10. Estudio de la arquitectura... 95......................................................................................

11. Diseño externo... 96.......................................................................................................

11.1. Métodos lineales... 97..........................................................................................

Proyecto Fin de Carrera VIII

11.2. Métodos no lineales... 103.....................................................................................

11.3. Métodos de Rayleigh-Ritz... 110...........................................................................

11.4. Menú Ayuda... 131................................................................................................

12. Valoración económica y planificación... 133.................................................................

12.1. Valoración económica del proyecto... 133............................................................

12.2. Planificación temporal del proyecto... 138............................................................

13. Conclusiones... 139..........................................................................................................

Anexo I. Manual de Instalación y de Usuario... 143..............................................................

Bibliografía... 146..................................................................................................................

CD-ROM. Software de Resolución de Problemas con valor en frontera para la Resolución

de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. (en Mathematica”).

† Código de los algoritmos numéricos.

Código (Problemas de Contorno con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb

† Interfaz de usuario.

Interfaz.nb

† Conjunto de problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias resueltos con los

diferentes métodos numéricos de aproximación.

Problemas (Problemas de Contorno con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb

Software para la resolución de EDO IX

1. Introducción y motivación

La construcción de infraestructuras de gran tamaño y para uso público,

principalmente edificios, obras hidráulicas y de transporte, es hoy en día de gran

importancia. Por ello, existe una rama de la ingeniería llamada Ingeniería Civil que aplica

los conocimientos de Física, Química y Geología a la elaboración de dichas infraestructuras.

Figura 1

Puente ValdebebasHMadridL.

Figura 2

Croquis del puente ValdebebasHMadridL.

Software para la resolución de EDO 1

Un problema común en las obras de ingeniería civil, como la que se puede observar

en las imágenes anteriores, es el que se relaciona con la deflexión de una viga de sección

transversal rectangular sujeta a una carga uniforme, mientras sus extremos están soportados

de modo que no experimentan deflexión alguna.

Figura 3

Deflexión de una viga.

La ecuación diferencial que aproxima esta situación física es una ecuación

diferencial de segundo orden de la forma

„2w

„x2= S

E I w+

q x2 E I

Hx- 1L

donde w = w HxL es la deflexión a una distancia x desde el extremo izquierdo de la viga, l es

la longitud, q representa la intensidad de la carga uniforme, E es el módulo de elasticidad, S

el esfuerzo en los extremos y finalmente I es el momento central de inercia.

Esta ecuación diferencial tiene asociadas dos condiciones de frontera dadas por la

suposición de que no ocurre deflexión alguna en los extremos de la viga

w H0L = w HlL = 0.

Proyecto Fin de Carrera 2

Cuando la viga tiene un espesor uniforme, el producto E I es constante y la solución

exacta se obtiene fácilmente. No obstante, en muchas aplicaciones el espesor no es

uniforme y, por lo tanto, el momento de inercia I es una función de x, y se requieren

métodos de aproximación para hallar la solución del cálculo de la deflexión, y es esto a lo

que el presente proyecto está dedicado.

El presente proyecto tratará de calcular las aproximaciones de las ecuaciones

diferenciales dadas mediante la aplicacion de diferentes métodos numéricos que se van a

desarrollar:

è Método del disparo lineal; para ecuaciones lineales, se basa en la sustitución del

problema lineal con valor de frontera por dos problemas con valor inicial.

è Método del disparo para problemas no lineales; la solución a este problema no

puede expresarse como una combinación lineal de las soluciones de los problemas de dos

valores iniciales. Se necesitan utilizar las soluciones de una sucesión de problemas con un

valor inicial.

è Método de diferencias finitas para problemas lineales; se basa en reemplazar las

derivadas en la ecuación diferencial mediante una aproximación de cociente de diferencias

adecuada.

è Método de diferencias finitas para problemas no lineales; se parece al método

lineal, pero en este caso el sistema de ecuaciones no será lineal y, por lo mismo se requiere

un proceso iterativo para resolverlo.


è Método de Rayleigh-Ritz; en este método el problema se aborda de una forma

distinta, ya que se reformula el problema de valor de frontera como un problema que

consiste en seleccionar, del conjunto de todas las funciones suficientemente derivables que

satisfacen las condiciones de frontera, aquélla que reduzca al mínimo una determinada

integral.

La motivación del presente proyecto es realizar un software sencillo e intuitivo

capaz de calcular, una vez introducida la ecuación, la aproximación a dichas funciones

utilizando los métodos citados anteriormente. Y así permitir el cálculo de las deflexiones de

las vigas en los problemas de Ingeniería Civil, entre otras áreas técnicas.

Conocer diversos algoritmos para la aproximación de ecuaciones diferenciales no

estudiados durante toda la carrera es otra motivación, ya que amplían los conocimientos de

matemáticas adquiridos hasta el momento y proporcionan una aplicación práctica a estas

aproximaciones como puede ser en el ámbito de la Ingeniería Civil.

Otra motivación es aprender la utilización de la herramienta y el lenguaje

Mathematica que es un programa orientado a áreas científicas, de ingeniería, matemáticas y

áreas computacionales.


2. Objetivos del proyecto

Los objetivos que se proponen para este proyecto han sido los de conocer e

implementar cinco métodos diferentes para aproximar con un grado de similitud aceptable

ecuaciones diferenciales procedentes, en este caso, del cálculo de las deflexiones de vigas

de longitud l al aplicarle una fuerza, entre otras aplicaciones prácticas. Además, se intenta

mostrar a través de una aplicación software estas aproximaciones calculadas con unas

gráficas para poder observar la solución obtenida por el programa.

Por lo tanto, otro objetivo que se propone es el de diseñar dicha aplicación con una

interfaz de usuario que permita insertar las fórmulas y mostrar los resultados obtenidos y la

función gráfica de la aproximación y de la solución exacta.

Además se considera la finalidad educativa y formativa la intencionalidad principal

del proyecto.

A continuación, se citan los objetivos propuestos para el desarrollo correcto de la

aplicación:

1.- Estudio del método del disparo lineal para su comprensión, y así diseñar un

algoritmo para su posterior programación. Realización de diferentes ejercicios para

comprobar el correcto funcionamiento del programa. Este método implementa para su

funcionamiento el método de Runge-Kutta, con lo cual también es necesario su estudio.

2.- Estudio del método del disparo no lineal para su comprensión y el posterior


diseño del algoritmo y programación del mismo. De igual manera, se requiere la

programación de diferentes ejercicios para comprobar el correcto funcionamiento del

programa. Aquí hay que enfrentarse a un método que trata problemas que no son lineales

como en el método anterior.

3.- Estudio del método de las diferencias finitas para su comprensión, y diseñar el

algoritmo y posteriormente su programación. Se realizarán diferentes ejercicios para

comprobarlo. Este método trata problemas diferentes a los anteriores, ya que presentan la

dificultad de que son algo inestables.

4.- Estudio del método de las diferencias finitas no lineal, diseño del algoritmo y

programación. Se realizará una tanda de ejercicios para comprobar su funcionamiento. Este

método trata problemas que son también algo inestables pero que además son no lineales.

5.- Estudio del método de Rayleigh-Ritz, que se compone de dos métodos: el

método lineal segmentario y el método de los trazadores cúbicos. Diseño de ambos

algoritmos y su programación. De igual manera hay que realizar ejercicios para su

comprobación. Este es sin duda el método más complejo por su forma de tratar los

problemas.

6.- Diseño y programación de una interfaz de usuario para la aplicación que permita

al usuario realizar de manera cómoda el cálculo de las aproximaciones de las ecuaciones

introducidas y que muestre los resultados de forma gráfica. Se realizará gracias a un paquete

que se añade a Mathematica y que permite la creación de estos interfaces.


3. Análisis de requisitos

3.1. Requisitos funcionales

RF001. Métodos de la aplicación.

La aplicación debe implementar sies métodos de aproximación de ecuaciones

diferenciales para generar dicha aproximación y gráficos que muestren el resultado. Los

métodos que se implementen serán los siguientes:

Método del disparo lineal.

Método del disparo no lineal.

Método lineal de las diferencias finitas.

Método lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales.

Método de Rayleigh-Ritz lineal segmentario.

Método de Rayleigh-Ritz trazadores cúbicos.

RF002. Método del disparo lineal.

Resuelve de forma aproximada ecuaciones diferenciales de segundo orden, con unas

condiciones de frontera y un valor inicial. Se requieren unas condiciones que garanticen la

existencia de una solución para dicha función.

(1)-y≥ + pHxL y£ + qHxL y+ rHxL = 0,

a§ x§ b yHaL = a yHbL = b.


RF003. Método del disparo no lineal.


condiciones de frontera y un valor inicial. Se necesitan unas condiciones que garanticen la

existencia de una solución para la función.

(2)y≥ = f Hx, y, y£L,

a§ x§ b f HaL = yHaL = a f HbL = yHbL = b.

RF004. Método lineal de las diferencias finitas.




(3)y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxL,

a§ x§ b yHaL = a yHbL = b.

RF005. Método lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales.




(4)y≥ = f Hx, y, y£L,

a§ x § b yHaL = a yHbL = b.


RF006. Método de Rayleigh-Ritz lineal segmentario.




(5)-

„

„ x pHxL „ y

„ x+ qHxL y = f HxL,

0§ x § 1 y H0L = y H1L = 0.

RF007. Método de Rayleigh-Ritz trazadores cúbicos.




(6)-

„

„ x pHxL „ y

„ x+ qHxL y = f HxL,

0§ x § 1, y H0L = yH1L = 0.


RF008. Interfaz de Usuario.

El interfaz de usuario debe permitir la ejecución de todos los métodos de una forma

sencilla para el usuario y que a su vez muestre los resultados de forma clara.

Este interfaz debe contener las siguientes ventanas:

Ventana menú. Al iniciar la aplicación aparecerá una ventana donde se podrá

elegir el método que se desea ejecutar. Además debe incluir un acceso a una ayuda para el

usuario.

Ventana para el método del disparo lineal. Debe incluir tres casillas de texto para

introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los valores del intervalo, dos

casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra última casilla para

introducir el tamaño del paso del intervalo. También debe mostrar la solución obtenida

mostrando los puntos de la aproximación obtenida y un gráfico comparativo.

Ventana para el método del disparo no lineal. Debe incluir una casilla de texto

para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los valores del

intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra última

casilla para introducir el tamaño del paso del intervalo. Así mismo debe mostrar la solución

calculada mostrando los puntos de la aproximación obtenida y un gráfico comparativo.


Ventana para el método lineal de diferencias finitas. Debe incluir tres casillas de

texto para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los valores del

intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra última

casilla para introducir el tamaño del paso del intervalo. Debe mostrar la solución obtenida

mostrando los puntos de la aproximación obtenida y un gráfico comparativo.

Ventana para el método lineal de diferencias finitas para problemas no

lineales. Debe incluir una casilla de texto para introducir la ecuación a aproximar, dos

casillas para introducir los valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de

frontera del intervalo y otra última casilla para introducir el tamaño del paso del intervalo.

Así mismo debe mostrar la solución obtenida mostrando los puntos de la aproximación

obtenida y un gráfico comparativo.

Ventana para el método de Rayleigh-Ritz lineal segmentario. Debe incluir tres

casillas de texto para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los

valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra

última casilla para introducir el número de subintervalos que se realizarán del intervalo. Así

mismo debe mostrar la solución obtenida mostrando los puntos de la aproximación


Ventana para el método de Rayleigh-Ritz trazadores cúbicos. Debe incluir tres

casillas de texto para introducir la ecuación a aproximar, dos casillas para introducir los

valores del intervalo, dos casillas para introducir los valores de frontera del intervalo y otra

última casilla para introducir el número de subintervalos que se realizarán del intervalo. Así


mismo debe mostrar la solución obtenida mostrando los puntos de la aproximación


Ventana ayuda al usuario. Debe contener una ayuda para que el usuario sepa

cómo debe ejecutar cada método, qué parámetros usa y su pseudocódigo.

Ventana acerca de la aplicación. Debe contener los datos relevantes de la

aplicación, nombre, autor, director y otros datos que se consideren.


4. Metodología

A continuación, se describe la metodología utilizada para el desarrollo de la

aplicación del proyecto, la cual, al tratarse de un desarrollo de un software que implementa

funciones matemáticas, no utiliza una metodología estándar.

La metodología de desarrollo empleada está basada en el modelo estructurado de

Yourdon y se siguen unos determinados pasos formales necesarios en este desarrollo, pero

adaptándola a las necesidades de implementación del proyecto. Seguidamente se muestra de

manera gráfica las diferentes fases en la que se observa que se han propuesto diferentes

paquetes de trabajo (WP).

Figura 4

Fases del desarrollo de la aplicación.


WP.01.- Definición del problema.

Es el paquete de trabajo fundamental para el desarrollo del proyecto, ya que se

estudiarán todas las propuestas e ideas que se tienen para el desarrollo del mismo. Se

marcan los límites y alcance del proyecto y de qué manera serán abordados. De esta manera

se obtendrán los objetivos generales a conseguir.

Es necesario obtener y estudiar información relacionada con los métodos de

aproximación que se van a programar en el proyecto para tener todo el conocimiento

necesario para el correcto desarrollo. Así como las herramientas que se van a emplear para

el mismo.

WP.02.- Análisis de requisitos.

En este paquete de trabajo se procederá a describir y a analizar todo lo que la

aplicación tiene que poder hacer una vez que el proyecto esté terminado. Se clasifican

requisitos como funcionales y no funcionales, divididos a su vez en requisitos para cada

uno de los métodos que se implementan.

Estos requisitos han de ser tenidos en cuenta durante todo el desarrollo del proyecto

y tienen que ser verificados en la fase de pruebas.


WP.03.- Desarrollo de los métodos.

Este módulo de trabajo a su vez se ha dividido en otro ciclo iterativo que se repite

para cada método, de manera que cada método se termina totalmente antes de pasar al

siguiente, con un mayor grado de complejidad. A continuación se puede ver de manera

gráfica lo explicado anteriormente.

Figura 5

Desarrollo de los métodos numéricos.

WP.03.1.- Análisis de conceptos.

Se estudia en profundidad el método a implementar. Es necesario buscar toda la

información posible para conseguir una correcta relación de conceptos así como de todas

las funciones que a su vez utiliza el método.


WP.03.2.- Análisis de requisitos.

Es necesario aplicar todos los requisitos específicos que se propusieron para cada

uno de los métodos, como la manera de introducir las ecuaciones, cómo deben tratarse y

cómo tienen que ser las salidas.

WP.03.3.- Diseño del algoritmo.

Es necesario escribir un pseudocódigo con toda la información recabada hasta este

punto, que cumpla con los requisitos y funcionalidades necesarios.

WP.03.4.- Codificación del método.

Se codifica en el lenguaje especificado el pseudocódigo del paquete de trabajo

anterior, de manera que pueda implementar ya la funcionalidad requerida correctamente.

WP.03.5.- Realización de ejercicios de prueba.

En este paquete de trabajo se tiene que probar rigurosamente el correcto

funcionamiento del método implementado, de no ser así, se debe volver a la codificación

del método (WP.03.5) si el fallo es de programación, o al diseño del algoritmo (WP.03.4) si

el fallo es conceptual.

WP.03.6.- Documentación del método.

Se realiza una explicación detallada de la funcionalidad del método.


WP.04.- Desarrollo del interfaz de usuario.

Este módulo de trabajo a su vez se ha dividido en otro ciclo iterativo que se repite

para cada método, de manera que cada método tiene su interfaz totalmente terminada antes

de pasar al siguiente. De igual manera, como se especifica en los requisitos, se desarrolla un

interfaz menú desde el que se acceden a los demás. A continuación se puede ver de manera

gráfica.

Figura 6

Desarrollo del interfaz de usuarioHGUIL.

WP.04.1.- Análisis de requisitos del interfaz.

Es necesario aplicar todos los requisitos específicos que se propusieron para cada

uno de los interfaces de cada método, como la manera de introducir las ecuaciones y cómo

tienen que mostrarse las salidas.


WP.04.2.- Diseño del interfaz.

Es necesario realizar un diseño previo de cuáles serán y de cómo aparecerán los

componentes del interfaz para que se adapte a los requisitos expuestos.

WP.04.3.- Programación del interfaz.

Se programa en el lenguaje y con la herramienta especificada de manera que se

pueda ejecutar la funcionalidad completa requerida.

WP.04.4.- Realización de pruebas del interfaz.

Se realizan pruebas de entrada y salida. De manera que si ocurriera algún error se

tendría que volver al paquete de programación del interfaz (WP.04.3) para subsanarlo si el

error fuera de programación o al paquete de diseño del interfaz (WP.04.2) si el error fuera

de diseño o si no se ajustase a los requisitos.

WP.05.- Realización de pruebas globales.

En este paquete de trabajo se comprueba la funcionalidad completa de la aplicación.

Hay que validar que el programa hace lo que tiene que hacer, navegar correctamente por la

aplicación, y comprobar que la ejecución es correcta y que muestra los resultados correctos

en función del método elegido. Si se produce algún error se tiene que volver al método

donde ha ocurrido y verificarlo de nuevo.


También se tiene que validar el cumplimiento de todos los requisitos enunciados al

comienzo del desarrollo.

WP.06.- Documentacion final.

En este paquete de trabajo se ha considerado que se deben desarrollar dos tareas

fundamentalmente. Se puede observar gráficamente a continuación.

Figura 7

Documentación final.

WP.06.1.- Documentación del proyecto.

Se describe con detalle todos los métodos implementados, así como todos los

componentes del ciclo de desarrollo utilizados, valoración económica, planificación,

además de todos los documentos que se consideren oportunos.

WP.06.2.- Realización de manual de usuario.

En este paquete de trabajo se realiza un documento para la ayuda al usuario al

manejo de la aplicación, navegación por la misma, explicación de funcionalidad y temas

que puedan resultarle de interés para una correcta utilización del software.


5. El método del disparo lineal

En los métodos de la serie de Taylor para resolver problemas de valor inicial el

error global final es del orden de O IhNM, donde N se puede elegir suficientemente grande

para que el error sea pequeño. El inconveniente de este método es la elección del valor de N

y el cálculo de las derivadas, que puede ser muy complicado.

Cada método de Runge-Kutta se deriva del correspondiente de Taylor de orden N

en el que el error global final es del orden de O IhNM. Se realiza una simplificación para

realizar varias evaluaciones de funciones en cada paso para eliminar el cálculo de las

derivadas de orden superior. Estos métodos se pueden construir para cualquier orden N.

5.1. Método de Runge-Kutta

El método más empleado es el de orden N = 4 ya que es muy preciso, estable y fácil

de programar. El método de Runge-Kutta de orden cuarto, también llamado RK4 simula la

precisión del de la serie de Taylor de orden N = 4. Se basa en el cálculo de la aproximación

yi+1 del modo siguiente:

(7)yi+1 = yi +w1 F1 + w2 F2 +w3 F3 +w4 F4,

siendo

(8)

F1 = h f Hxi , yiL,F2 = h f Hxi + a1 h, yi + b1 F1L,F3 = h f Hxi + a2 h, yi + b2 F1 + b3 F2L,F4 = h f Hxi + a3 h, yi + b4 F1 + b5 F2 + b6 F3L.


Si se igualan los coeficientes con los del método de la serie de Taylor de orden

N = 4, de modo que el error local sea del orden O Ih5M, en el método de Runge-Kutta se

obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

(9)

b1 = a1,

b2 + b3 = a2,

b4 + b5 + b6 = a3,

w1 +w2 +w3 +w4 = 1,

w2 a1 +w3 a2 +w4 a3 =1

2,

w2 a12 +w3 a2

2 +w4 a32 =

1

3,

w2 a13 +w3 a2

3 +w4 a33 =

1

4,

w3 a1 b3 +w4Ha1 b5 + a2 b6L = 1

6,

w3 a1 a2 b3 +w4 a3Ha1 b5 + a2 b6L = 1

8,

w3 a12 b3 +w4Ia1

2 b5 + a22 b6M = 1

12,

w4 a1 b3 b6 =1

24.

El sistema tiene 11 ecuaciones y 13 incógnitas. Las dos condiciones adicionales más

empleadas son

(10)a1 =1

2, b2 = 0.

Con estas restricciones la solución al sistema de ecuaciones viene dado por los

valores


(11)

a1 =1

2, a2 =

1

2, a3 = 1,

b1 =1

2, b2 = 0, b3 =

1

2, b4 = 0, b5 = 0, b6 = 1,

w1 =1

6, w2 =

1

3, w3 =

1

3, w4 =

1

6.

Sustituyendo estas variables en la fórmula general del método de Runge-Kutta de

orden N = 4, se obtiene la siguiente regla para generar los las aproximaciones yi+1:

(12)

yi+1 = yi +HF1 + 2 F2 + 2 F3 + F4L

6,

F1 = h f Hxi , yiL,F2 = h f xi +

h

2, yi +

1

2 F1 ,

F3 = h f xi +h

2, yi +

1

2 F2 ,

F4 = h f Hxi + h, yi + F3L.

Se llama método de cuarto orden debido a que reproduce los términos de la serie de

Taylor incluyendo el término h4, por lo que el error es O Ih5M.

Error del método frente al tamaño del paso

El término de error de la regla de Simpson usada para aproximar la integral de la

expresión yHx1L - yHx0L = Ÿx0

x1 f Hx, yHxLL „ x con un tamaño de paso de h ê 2 viene dado por

(13)-yH4LHxL h5

2880.

Si este fuera el único error cometido en cada paso, entonces después de los M pasos

el error acumulado por el método de Runge-Kutta de orden N = 4 HRK4L sería:


(14)-‚i=1

MyH4LHxiL h5

2880º

Hb- aL5760

yH4LHxL h4 º O Ih4M.

El método de RK4 tiene un error global final de orden O Ih4M.Precisión del método de Runge-Kutta

Se supone que yHxL es la solución del problema de valor inicial e yHxL œ C4+1@x0, bD,y 8Hxi , yiL<i=0

M es la sucesión de aproximaciones generadas por el método de Runge-Kutta de

orden 4. Entonces:

(15)

ei = †yHxiL - yi § = O Ih4M ,

ei+1 = †yHxi+1L - Hyi + h Tn Hxi , yiLL§ = O Ih4+1M = OIh5M,Tn Hxi , yiL = ‚

j=1

n yH jLHxiLj !

h j-1.

El error global final del intervalo en el extremo derecho viene dado por

(16)EHyHbL, hL = †yHbL - yM § = O Ih4M.Si se emplea el método de Runge-Kutta de orden N = 4 con tamaños de paso h y

h ê 2, se obtiene un error global final que viene dado por:

(17)

EHyHbL, hL º C h4,

E yHbL, h

2º C

h

2

4

=1

16 C h4 º

1

16 EHyHbL, hL.

Si el tamaño de paso se reduce a la mitad en el método RK4 el error global final se

reducirá en un factor de 116.

A continuación se presenta el algoritmo que calcula los valores del problema de

valor inicial empleando el método de Runge-Kutta de orden N = 4.


è Algoritmo 1. Método de Runge-Kutta de orden N = 4 HRK4L

Input Hy£ = f Hx, yL , yHaL = y0, a, b, hLn ≠ Hb - aL êhx0 ≠ a

For i = 0, 1, 2, 3, ..., n - 1 do

F1 ≠ h f Hxi, yiLF2 ≠ h f Jxi + h

2, yi +

1

2 F1N

F3 ≠ h f Jxi + h

2, yi +

1

2 F2N

F4 ≠ h f Hxi + h, yi + F3Lyi+1 ≠ yi + 1 ê6 HF1 + 2 F2 + 2 F3 + F4Lxi+1 ≠ xi + h

End

Return H8y0, y1, ..., yn <LOutput

5.2. Método del disparo lineal

Es el método utilizado para resolver de manera aproximada ecuaciones diferenciales

de segundo orden, con unas condiciones de frontera y un valor inicial. Se proponen una

serie de condiciones que garantizan la existencia de una solución para dicha función.

ô Teorema 1. Se supone:

y≥ = f Hx, y, y£L, ab xb b, f HaL = a, f HbL = b

continua en el conjunto

D = 8Hx, y, y£L » a § x§ b, -¶ < y< ¶, -¶ < y£ < ¶<

y ∑ f ê∑ y y ∑ f ê∑ y£son también continuas en D.

Si ∑ f∑y Hx, y, y£L > 0 para toda Hx, y, y£L œ D y existe una constante M , con


… ∑ f∑y Hx, y, y£L … § M , para toda Hx, y, y£L œ D,entonces el problema tiene una solución

única.

El método del disparo se basa en dividir la función en dos funciones y1HxL y

y2HxL que se obtienen de manera aproximada, después se aproxima la solución mediante la

siguiente ecuación:

(18)yHxL = y1HxL + b - y1HbLy2HbL y2HxL.

Esta ecuación representa la solución única al problema con valor de frontera

siempre y cuando y2HbL ∫ 0.

El algoritmo que se utiliza para obtener una aproximación a la función es el

siguiente.

Con la función:

(19)y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxLse toman como datos de entrada los extremos a y b, las condiciones de frontera a y b,

yHaL = a e yHbL = b, y el número de subintervalos N.


è Algoritmo 2. Método del disparo lineal

Input HpHxL, qHxL, r HxL, a, b, a, b, hLmatriz u, v, k, kp, w

vector xi, yi

(* Se inicializan los vectores y matrices *)

For i = 1, ..., 4 do

For j = 1, 2 do

ki, j ≠ 0

kpi, j

≠ 0

End

End

For i = 0, ...., 60- 1 do

xi ≠ 0

End

For i = 0, ..., 3- 1 do

For j = 0, ..., 60- 1 do

ui, j ≠ 0

vi, j ≠ 0

wi, j ≠ 0

End

End

n ≠ Round B b-ah

F;u1,0 ≠ a

u2,0 ≠ 0

v1,0 ≠ 0

v2,0 ≠ 1

For i = 0, 1, ..., n - 1 do

xi ≠ a + i µh

k1,1 ≠ h µu2,i

k1,2 ≠ h µ IpHxiLµu2,i + q HxiLµu1,i + rHxiLMk2,1 ≠ h µ Iu2,i + 1

2 k1,2M

k2,2 ≠ h µ Jp Jxi + h

2Nµ Iu2,i + 1

2 k1,2M + q Jxi + h

2Nµ

µ Iu1,i + 1

2 k1,1M + rJxi + h

2NN

k3,1 ≠ h µ Iu2,i + 1

2 k2,2M

k3,2 ≠ h µ Jp Jxi + h

2Nµ Iu2,i + 1

2 k2,2M + q Jxi + h

2Nµ

µ Iu1,i + 1

2 k2,1M + rJxi + h

2NN

k4,1 ≠ h µ Iu2,i + k4,2M


k4,2 ≠ h µ IpHxi + hLµ Iu2,i + k3,2M + qHxi + hLµ Iu1,i + k3,1M+ rHxi + hLM

u1,i+1 ≠ u1,i +1

6 Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1M

u2,i+1 ≠ u2,i +1

6 Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2M

k£1,1 ≠ h µv2,i

k£1,2 ≠ h µ IpHxiLµv2,i + qHxiLµv1,iM

k£2,1 ≠ h µ Iv2,i + 1

2 k£

1,2Mk£

2,2 ≠ h µ JpJxi + h

2Nµ Iv2,i + 1

2 k£

1,2M +qJxi + h

2Nµ Iv1,i + 1

2 k£

1,1MNk£

3,1 ≠ h µ Iv2,i + 1

2 k£

2,2M k£

3,2 ≠ h µ JpJxi + h

2Nµ Iv2,i + 1

2 k£

2,2M +qJxi + h

2Nµ Iv1,i + 1

2 k£

2,1MNk£

4,1 ≠ h µ Iv2,i + k£3,2M

k£4,2 ≠ h µ IpHxi + hLµ Iv2,i + k£

3,2M +qHxi + hLµ Iv1,i + k£

3,1MMv1,i+1 ≠ v1,i +

1

6 Ik£

1,1 + 2 k£2,1 + 2 k£

3,1 + k£4,1M

v2,i+1 ≠ v2,i +1

6 Ik£

1,2 + 2 k£2,2 + 2 k£

3,2 + k£4,2M

End

w1,0 ≠ a

w2,0 ≠b-u1,n

v1,n

For i = 0, 1, ..., n do

w1,i = u1,i +w2,0 µv1,i

w2,i = u2,i +w2,0 µv2,i

End

Return J8xi<i=0n , 9w1,i=i=0n NOutput


Ejemplo.

à Problema 1. Represéntese con u el potencial electrostático entre dos esferas metálicasconcéntricas de radio R1 y R2 con R1 < R2, tales que el potencial de la esfera interior semantenga constante en V1 voltios y el potencial de la esfera exterior sea 0 volts. Elpotencial de la región situada entre ambas esferas está regido por la ecuación de Laplace,que en esta aplicación particular se reduce a:

„2u

„r2+ 2

r „u„r

= 0 R1 b r b R2 uHR1L = V1, uHR2L = 0

Supóngase que R1 = 2 plg, R2 = 4plg y que V1 = 110volts.a) Aproximar uH3L por medio del algoritmo del disparo lineal.b) Comparar los resultados de la parte (a) con el potencial real uH3L, donde

uHrL = V1 R1

r I R2-r

R2-R1M.

Método del disparo lineal para el problema con valor de frontera:

y≥ = -2

xy£ + 0y + 0

x œ @2., 4.D, yH2.L = 110., yH4.L = 0. h = 0.2

i xi u1,i v1,i w1,i w2,i

0 2.0000000000 110.0000000000 0.0000000000 110.0000000000 -110.0007250420

1 2.2000000000 110.0000000000 0.1818140590 90.0003216920 -90.9098962614

2 2.4000000000 110.0000000000 0.3333271869 73.3337677598 -76.3896741012

3 2.6000000000 110.0000000000 0.4615313634 59.2312153917 -65.0894867210

4 2.8000000000 110.0000000000 0.5714210884 47.1432659743 -56.1231128776

5 3.0000000000 110.0000000000 0.6666591047 36.6670151264 -48.8894884031

6 3.2000000000 110.0000000000 0.7499925253 27.5002784455 -42.9692901652

7 3.4000000000 110.0000000000 0.8235221130 19.4119704861 -38.0627707556

8 3.6000000000 110.0000000000 0.8888818110 12.2223563183 -33.9510573337

9 3.8000000000 110.0000000000 0.9473615838 5.7895389053 -30.4713128917

10 4.0000000000 110.0000000000 0.9999934088 0.0000000000 -27.5003625208

Tabla de errores


xi w1,i yHxiL »w1,i - yHxiL»2.0000000000 110.0000000000 110.0000000000 0.0000000000

2.2000000000 90.0003216920 90.0000000000 0.0003216920

2.4000000000 73.3337677598 73.3333333333 0.0004344264

2.6000000000 59.2312153917 59.2307692308 0.0004461609

2.8000000000 47.1432659743 47.1428571429 0.0004088314

3.0000000000 36.6670151264 36.6666666667 0.0003484598

3.2000000000 27.5002784455 27.5000000000 0.0002784455

3.4000000000 19.4119704861 19.4117647059 0.0002057803

3.6000000000 12.2223563183 12.2222222222 0.0001340961

3.8000000000 5.7895389053 5.7894736842 0.0000652211

4.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000

Gráficas de la solución de la ecuación diferencial

yHxL = 110 H4- xLx

y la aproximación obtenida con el método del disparo lineal con

un tamaño de paso h = 0.2

2.5 3.0 3.5 4.0X

20

40

60

80

100

Y


6. El método del disparo no lineal

Este método se utiliza para resolver problemas no lineales con valor de frontera de

segundo orden:

(20)y≥ = f Hx, y, y£L,a § x§ b, f HaL = yHaL = a, f HbL = yHbL = b.

Tiene parecido con el método anterior sin embargo la solución de un problema no

lineal no puede expresarse como una combinación de dos problemas iniciales, así que para

este método se utiliza en lugar de dos problemas una sucesión de ellos, donde t es un

parámetro para la aproximación de la solución, de la siguiente forma:

(21)y≥ = f Hx, y, y£L, a § x§ b, yHaL = a, y£HaL = t.

Se escoge el parámetro t = tk de tal forma que

límkz¶

yHb, tkL = yHbL = b,

donde yHb, tkL es la solucion del problema de valor inicial con t = tk e yHxL es la solución al

problema con valor de frontera.

La ténica que se sigue es empezar con un parámetro t0, que determinará la posición

inicial a partir de la cual se traza una recta que tratará de aproximar la solución, como si de

un disparo se tratase, buscando el objetivo desde el punto Ha, aL a lo largo de la curva que

describe la solución al problema de valor inicial dado por

y≥ = f Hx, y, y£L, a§ x§ b, yHaL = a, y£HaL = t0.


x

y

••••

a b

••••

ββββ

αααα

y (b, t 0)

(a, αααα)

(b, y (b, t 0))

y (x, t 0)

pendiente t 0

Figura 8

Problema del valor inicial con la elevación inicialt0 desde el puntoHa, aL.

Si yHb, t0L no está lo suficientemente cerca de b se utilizarán las elevaciones

t1, t2, ... y así sucesivamenete hasta que se considere que el valor yHb, tkL se aproxima lo

suficiente al valor b, es decir, se acierte en el blanco. Véase la siguiente figura.

x

y

••••

a b

••••

ββββ

αααα (a, αααα)

y (x, t 0)

••••

••••

•••• y (x, t 1)

y (x, t 3)

y (x, t 2)

y (b, t 0)

y (b, t 1)

y (b, t 3)

y (b, t 2)

Figura 9

Problema del valor inicial con diferentes elevaciones.


Los parámetros tk se calculan de tal forma que:

yHb, tL - b = 0.

Ecuación no lineal en cuya resolución se puede aplicar el método de Newton o del

de la Secante.

Para utilizar el método de la Secante se necesitan unas aproximaciones iniciales

t0 y t1 y luego generar las t restantes mediante la siguiente ecuación:

(22)tk = tk-1 -HyHb, tk-1L - bL Htk-1 - tk-2L

yHb, tk-1L - yHb, tk-2L , k = 2, 3, ...

Para generar la misma sucesión 8tk< con el método de Newton sólo se necesita la

primera aproximación de la sucesion t0. Se aplica la siguiente ecuación:

(23)tk = tk-1 -yHb, tk-1L - b

„ y„ t Hb, tk-1L .

Este método requiere que se conozca „ y„ t Hb, tk-1L, que es un problema porque no se

dispone de la función yHb, tL, sólo de unos valores yHb, t0L, yHb, t1L, ... , yHb, tk-1L.

Si se modifica el problema de valor inicial (20), teniendo en cuenta que la solución

se basa en y y en t se tiene:

(24)

y≥Hx, yL = f Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL,a§ x§ b, yHa, tL = a, y£Ha, tL = t.


Para calcular „ y„ t Hb, tL cuando t = tk-1, se calcula la derivada parcial de la ecuación

anterior respecto de t:

(25)

∑ y≥

∑ t Hx, tL = ∑ f

∑ t Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL

∑ y≥

∑ t Hx, tL = ∑ f

∑ x Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑x

∑ t

+∑ f

∑ y Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑ y

∑ t+∑ f

∑ y£ Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑ y£

∑ t.

Dado que x y t son independientes entonces ∑ x∑ t

= 0 y

(26)

∑ y≥

∑ t Hx, tL =

∑ f

∑ y Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑ y

∑ t Hx, tL + ∑ f

∑ y£ Hx, yHx, tL, y£Hx, tLL ∑ y£

∑ t.

con a§ x§ b. Las condiciones iniciales resultan:

∑ y∑ t Ha, tL = 0 y ∑ y£

∑ t Ha, tL = 1.

Si se simplifica la ecuación anterior usando zHx, tL en lugar de ∑ y∑ t Hx, tL y si se

invierte el orden de derivar de x y de t, se convierte en el problema de valor inicial:

(27)

z≥Hx, tL = ∑ f

∑ y Hx, y, y£L zHx, tL + ∑ f

∑ y£ Hx, y, y£L z£Hx, tL,

a§ x§ b, zHa, tL = 0, z£Ha, tL = 1, zHx, tL = ∑ y

∑ t Hx, tL.

Como se ve, el método de Newton necesita que los dos problemas de valor inicial

sean resueltos en cada iteración del método.


(28)tk = tk-1 -yHb, tk-1L - b

zHb, tk-1L .

De todos modos ningún problema de valor inicial puede resolverse de manera

exacta. Se puede buscar una solución aproximada utilizando un método como éste, cuyo

algoritmo se plantea un poco más abajo (algoritmo 3). En dicho algoritmo se utiliza el

método de Runge-Kutta de cuarto orden para aproximar la dos soluciones que necesita el

método de Newton.

è Algoritmo 3. Método del disparo no lineal

El siguiente algoritmo aproxima la solución numérica del problema no lineal de

valor de la frontera dado por

y≥ = f Hx, y, y£L, a§ x§ b, f HaL = yHaL = a, f HbL = yHbL = b

con un paso dado por h con una tolerancia tol o un número máximo de m iteraciones.

Input Hf HxL, a, b, a, b, h, tol, mLmatriz k, kp, w

vector xi, yi,ui, vi

(* Se inicializan los vectores y matrices *)

For i = 1, ..., 4 do

For j = 1, 2 do

ki, j ≠ 0

kpi, j

≠ 0

End

End

For i = 0, ...., 60- 1 do

xi ≠ 0

End

For j = 0, ..., 60- 1 do


ui, j ≠ 0

vi, j ≠ 0

wi, j ≠ 0

End

n ≠ Round B b-ah

F;tk≠ Round B a-b

b-aF;

cont = 1;

While cont § m do

w1,0 ≠ a

w2,0 ≠ tk

u1 ≠ 0

u2 ≠ 1

For i = 1, 2, ..., n - 1 do

xi ≠ a + Hi - 1Lµhk1,1 ≠ h µu2,i-1

k1,2 ≠ h µ If HxiL, w1,i-1, ww,i-1Mk2,1 ≠ h µ Iw2,i +

1

2 k1,2M

k2,2 ≠ h µ Jf HxiL + h

2, w1,i-1 +

1

2µk1,1,

w2,i-1 +1

2µk1,2N

k3,1 ≠ h µ Iuw2,i-1 +1

2 k2,2M

k2,2 ≠ h µ Jf HxiL + h

2, w1,i-1 +

1

2µk2,1,

w2,i-1 +1

2µk2,2N

k4,1 ≠ h µ Iw2,i-1 + k4,2Mk2,2 ≠ h µ Jf HxiL + h

2, w1,i-1 +

1

2µk3,1,

w2,i-1 +1

2µk3,2N

w1,i+1 ≠w1,i +1

6 Ik1,1 + 2 k2,1 + 2 k3,1 + k4,1M

w2,i+1 ≠w2,i +1

6 Ik1,2 + 2 k2,2 + 2 k3,2 + k4,2M

k£1,1 ≠ h µv2

k£1,2 ≠ h µ IfyIxi, w1,i-1, 22,i-1M u1

+ fy£ Ixi, w1,i-1, 22,i-1M u2Mk£

2,1 ≠ h µ Iv2 + 1

2 k£

1,2M

k£2,2 ≠ h µ IfyIxi + 1

2, w1,i-1, 22,i-1M Iu1 + 1

2µk£

1,1M+ fy£ Ixi + 1

2, w1,i-1, 22,i-1M Iu2 + 1

2µk£

1,2MMk£

3,1 ≠ h µ Iv2 + 1

2 k£

2,2M

k£3,2 ≠ h µ IfyIxi + 1

2, w1,i-1, 22,i-1M Iu1 + 1

2µk£

2,1M+ fy£ Ixi + 1

2, w1,i-1, 22,i-1M Iu2 + 1

2µk£

2,2MM


k£4,1 ≠ h µ Iv2 + k£

3,2Mk£

4,2 ≠ h µ IfyIxi + 1

2, w1,i-1, 22,i-1M Iu1 + k£

2,1M+ fy£ Ixi + 1

2, w1,i-1, 22,i-1M Iu2 + k£

2,2MM

v1,i+1 ≠ v1,i +1

6 Ik£

1,1 + 2 k£2,1 + 2 k£

3,1 + k£4,1M

v2,i+1 ≠ v2,i +1

6 Ik£

1,2 + 2 k£2,2 + 2 k£

3,2 + k£4,2M

End

If …w1,N - b … b tol do

For i = 0, 1, ..., N do

xi ≠ a + i µh

SALIDA Ixi, w1,i, w2,iMProceso terminado

End

End If

tk = tk -w1,N-b

u1

cont = cont + 1

End While

SALIDA HNúmeromáximode iteraciones excedidoLProceso terminado sin éxito

Return J8xi<i=0n , 9w1,i=i=0n NOutput

Ejemplo.

à Problema 2. La ecuación de Van der Pol:y≥ - mIy2 - 1M y£ + y= 0

rige el flujo de la corriente en un tubo al vacío con tres elementos internos. Seam = 1

2 , yH0L = 0, y yH2L = 1. Aproximar la solución yHtL para t = 0.2i, donde 1 § i § 9.

Método del disparo no lineal para el problema con valor de frontera:

y≥ =1

2Iy2 - 1M z - y

x œ @0., 2.D, yH0.L = 0., yH2.L = 1. h = 0.2


i xi w1,i w2,i

0 0.0000000000 0.0000000000 1.4493098115

1 0.2000000000 0.2741820867 1.2876947955

2 0.4000000000 0.5138861327 1.1076209444

3 0.6000000000 0.7168357586 0.9212303115

4 0.8000000000 0.8821406042 0.7310688000

5 1.0000000000 1.0088521172 0.5346865325

6 1.2000000000 1.0953383832 0.3282347528

7 1.4000000000 1.1393133677 0.1095119683

8 1.6000000000 1.1384586255 -0.1191497223

9 1.8000000000 1.0915768064 -0.3486231536

10 2.0000000000 1.0000169321 -0.5628194818


yHxL = 88yHxL Ø InterpolatingFunction@H 0. 2. L, <>D@xD<<y la aproximación obtenida con el método del disparo lineal con

un tamaño de paso h = 0.2

0.5 1.0 1.5 2.0X

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Y


7. El método lineal de diferencias finitas

El método de las diferencias finitas se utiliza para resolver problemas que presentan

cierta inestabilidad y que con los métodos anteriormente estudiadoss no podían resolverse.

Este método tiene mejor estabilidad pero cuesta más llegar a una solución con

precisión. Este método sustituye las derivadas en la ecuacion diferencial mediante una

aproximacion del cociente de diferencias adecuada.

El problema de valor de frontera de segundo orden

(29)y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxL, a § x§ b, yHaL = a, yHbL = b

requiere utilizar las aproximaciones del cociente de diferencias para aproximar tanto a

y£como a y≥. Primero, se escoge el número de subintervalos n+ 1 en los que se va a dividir

el intervalo @a, bD, cuyos extremos de estos subintervalos son los puntos de malla. Se

calcula el valor del subintervalo h=Hb-aLHn+1L , y al calcularse h así se facilita la aplicación de un

algoritmo matricial con el cual se resuelve un sistema lineal que contenga una matriz nµn.

Para los puntos de malla xi , para i = 1, 2, 3, ...,n, la ecuación que se aproxima es:

(30)y≥HxiL = pHxiL y£HxiL + qHxiL yHxiL + rHxiL.Al desarrollar y en el tercer polinomio de Taylor alrededor de xi evaluada en xi+1 y

xi-1, se tiene:

yHxi+1L = yHxi + hL = yHxiL + h y£HxiL + h2

2 y≥HxiL + h3

6 yH3LHxiL + h4

24 yH4LIxi

+M


para alguna xi+en Hxi , xi+1L, y

yHxi-1L = yHxi - hL = yHxiL - h y£HxiL + h2

2 y≥HxiL - h3

6 yH3LHxiL + h4

24 yH4LHxi

-L

para alguna xi+en Hxi , xi+1L, suponiendo y œ C4@xi-1, xi+1D. Si se suman estas escuaciones y

se simplifica se obtiene la fórmula de las diferencias centradas para y≥HxiL:

(31)y≥HxiL = 1

h2@yHxi+1L - 2 yHxiL + yHxi-1LD - h2

12 yH4LHxiL.

De manera semejante se obtiene para y£HxiL:

(32)y£HxiL = 1

2 h@yHxi+1L - yHxi-1LD - h2

6 yH3LHhiL,

hi œ Hxi-1, xi+1L.Si se sustituyen las ecuaciones de las diferencias centradas en los términos y de la

ecuación (24) resulta:

(33)

yHxi+1L - 2 yHxiL + yHxi-1Lh2

= pHxiLB yHxi+1L - yHxi-1L2 h

F +

qHxiL yHxiL + rHxiL - h2

12A2 pHxiL yH3LHhiL - yH4LHziLE.

El método de diferencia finitas se obtiene utilizando esta ecuación junto con las

condiciones de frontera yHaL = a e yHbL = b para definir

(34)

w0 = a, wn+1 = b

2 wi -wi+1 - wi-1

h2+ pHxiL K wi+1 -wi-1

2 hO qHxiL wi = rHxiL

i = 1, 2, ..., n.


Esta ecuación se puede reescribir como sigue:

(35)- 1+h

2 pHxiL wi-1 + I2+ h2 qHxiLM wi - 1-

h

2 pHxiL wi-1 = -h2 rHxiL.

Y el sistema de ecuaciones que resulta se expresa en forma de matriz tridiagonal

nµn de la forma

(36)A w= b

siendo

A=

2+ h2 qHx1L -1+ h2 pHx1L 0 ∫ 0

-1- h2 pHx2L 2+ h2 qHx2L -1+ h

2 pHx2L ∏ ª

0 ∏ ∏ ∏ 0

ª ∏ ∏ ∏ -1+ h2 pHxn-1L

0 ∫ 0 -1+ h2 pHxnL 2+ h2 qHxnL

w =

w1

w2

ª

wn-1

wn

, y b =

-h2 rHx1L + I1+ h2 pHx1LM w0

-h2 rHx2Lª

-h2 rHxn-1L-h2 rHxnL + I1+ h

2 pHxnLM wn+1

Se expresa en el teorema siguiente las condiciones bajo las que el sistema lineal

tridiagonal anterior tiene solución única.

ô Teorema 2. Se supone que p, q y r son continuas en el intervalo @a, bD. Si qHxL ¥ 0 en

@a, bD, entonces el sistema lineal tridiagonal tiene una solución única siempre y cuando

h < 2 L, donde L = máxa§x§b » pHxL ».


è Algoritmo 4. Método lineal de las diferencias finitas

Input HpHxL, qHxL, r HxL, a, b, a, b, hLvector xi, ai, bi, ci, di, li, ui, wi, zi

(* Se inicializan vectores y matrices *)

For i = 0, ...., n + 1 do

xi ≠ 0

ai ≠ 0

bi ≠ 0

ci ≠ 0

di ≠ 0

li ≠ 0

ui ≠ 0

wi ≠ 0

zi ≠ 0

End

n ≠ Round B b-ah

F - 1

x1 ≠ a + h

a1 ≠ 2+ h2 qHxiLb1 ≠ -1+ J h

2N pHxiL

d1 ≠ -h2 rHxiL + J1+ J h2

N pHxiLN a

For i = 2, ..., n - 1 do

xi ≠ a + i h

ai ≠ 2+ h2 qHxiLbi ≠ -1+ J h

2N pHxiL

ci ≠ -1 - J h2

N pHxiLdi ≠ -h2 rHxiL

End

xn ≠ b - h

xn+1 ≠ b

an ≠ 2 + h2 qHxnLcn ≠ -1- J h

2N pHxnL

dn ≠ -h2 rHxnL + J1- J h2

N pHxnLN b(* Se resuelve un sistema lineal tridiagonal *)

l1 ≠ a1

u1 ≠b1

a1

z1 ≠d1

l1

For i = 2, ..., n - 1 do


li ≠ ai - ci ui-1

ui ≠bi

li

zi ≠di-ci zi-1

li

End

ln ≠ an - cn un-1

zn ≠dn-cn zn-1

ln

w0 ≠ a

wn+1 ≠ b

wn ≠ zn

For i = n - 1, ..., 1do

wi ≠ zi - ui wi+1

End

Return I8xi<i=0n , 8wi<i=0n MOutput

Ejemplo:

à Problema 3. La deflexión de una placa rectangular larga y uniformemente cargada, yque se encuentra bajo una fuerza de tensión axial, se rige por la ecuación diferencial desegundo orden.

Sea S la fuerza axial y q la intensidad de la carga uniforme. La deflexión W a lolargo de la longitud elemental está dada por:

W≥HxL = SE I WHxL + q x

2 E I Hx- lL xœ @0, lD WH0L = 0, WHlL = 0.

Donde l es la longitud de la placa, q la intensidad de la carga uniforme, E elmódulo de elasticidad, S el esfuerzo en los extremos y el momento decentral de inerciaes I . Sean l = 120 plg, q= 100 lbê pie, E = 3.0µ107 lb ë plg2, S= 1000 lb, e

I = 625 plg4. Aproximar la deflexión WHxL de la vifa en intervalos de 6 plg.

Método de las diferencias finitas para el problema con valor de frontera:

y≥ = 0.y£ + 5.33333µ10-8y + 2.66667µ10-9 Hx - 120.L xx œ @0., 120.D, yH0.L = 0., yH120.L = 0. h = 6.


i xi wi

0 0.0000000000 0.0000000000

1 6.0000000000 0.0022980631

2 12.0000000000 0.0045304665

3 18.0000000000 0.0066384627

4 24.0000000000 0.0085702157

5 30.0000000000 0.0102808010

6 36.0000000000 0.0117322061

7 42.0000000000 0.0128933298

8 48.0000000000 0.0137399822

9 54.0000000000 0.0142548850

10 60.0000000000 0.0144276711

11 66.0000000000 0.0142548850

12 72.0000000000 0.0137399822

13 78.0000000000 0.0128933298

14 84.0000000000 0.0117322061

15 90.0000000000 0.0102808010

16 96.0000000000 0.0085702157

17 102.0000000000 0.0066384627

18 108.0000000000 0.0045304665

19 114.0000000000 0.0022980631

20 120.0000000000 0.0000000000

Gráfica de la aproximacion obtenida con el método lineal de diferencia finitas

con un tamaño de paso h = 6.


20 40 60 80 100 120X

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

Y


8. El método lineal de diferencias finitas para problemas no lineales

Este método es parecido al expuesto anteriormente para problemas lineales, sin

embargo estos problemas no tendrán un sistema de ecuaciones lineal y por lo tanto hace

falta un proceso iterativo para resolverlos. Sea el caso de los problemas no lineales con

valor de frontera:

(37)y≥ = f Hx, y, y£L, a§ x§ b, yHaL = a, yHbL = b

Para el desarrollo de este método se supondrá que f satisface las siguientes

condiciones:

ô 1.- f y las derivadas parciales fy ª ∑ f ê∑ y y fy£ ª ∑ f ê∑ y£ son continuas en

D = 8Hx, y, y£L » a§ x§ b, -¶ < y < ¶, -¶ < y£ < ¶<;

2.- fyHx, y, y£L ¥ d en D para alguna d > 0;

3.- Existen las constantes k y L, con

k = máxHx,y,y£L e DfyHx, y, y£L , L = máxHx,y,y£L e D

fy£Hx, y, y£L .

Esto garantiza que exista una solución única.

Al igual que en el método anterior, se divide el intervalo @a, bD en N + 1

subintervalos de ancho el valor h que se calcula como h= Hb- aL ê HN + 1L cuyos extremos

se encuentran en xi = a+ h i, para i = 0, 1, ... , N + 1. Si se supone que la solución exacta


tiene una cuarta derivada acotada permite reemplazar y≥HxiL y y£HxiL en cada una de las

ecuaciones:

(38)y≥HxiL = f Hxi , yHxiL, y£HxiLLpor la fórmula adecuada de diferencias centradas. Esto da, para toda i = 1, 2, ..., N,

(39)

yHxi+1L - 2 yHxiL + yHxi-1Lh2

= f xi ,yHxi+1L - yHxi-1L

2 h-

h2

6 yH3LHhiL +

h2

12 yH4LHxiL,

para alguna hi y zi en el intervalo Hxi-1, xi+1L.

Los resultados del método de diferencias finitas se emplean cuando se eliminan los

términos de error y las condiciones de frontera:

w0 = a, wn+1 = b,

y

-wi+1- 2 wi +wi-1

h2+ f Ixi , wi ,

wi+1-wi-1

2 h M = 0,

para toda i = 1, 2, ..., N.


El sistema no lineal NµN obtenido con este método es el siguiente:

(40)

2 w1 -w2 + h2 f Kx1, w1,w2 - a

2 hO = 0

-w1 + 2 w2 -w3 + h2 f Kx2, w2, w3 - w1

2 hO = 0

ª

-wN-2 + 2 wN-1 -wN + h2 f KxN-1, wN-1,wN -wN-2

2 hO = 0

-wN-1 + 2 wN + h2 f xN , wN, b -wN-1

2 h- b = 0

Este sistema tiene una solución única siempre y cuado h< 2 ê L.

Para resolver este sistema con una solución aproximada, se aplica el método de

Newton para sistemas no lineales. Se genera una sucesión de iteraciones

:Iw1HkL, w2

HkL, ..., wNHkLMt> que converge a la solución del sistema (34), con la condición de que

la aproximación inicial Iw1H0L, w2

H0L, ..., wNH0LMt

se acerque lo suficiente a la solución

Hw1, w2, ..., wNLt, y de que la matriz jacobiana del sistema no sea singular. En el caso del

sistema (34), la matriz jacobiana JHw1, w2, ..., wNL es tridiagonal. Su elemento i j - ésimo

viene dada por la expresión:

(41)

JHw1, w2, ..., wNLi, j =

:-1+ h

2 fy£ Ixi , wi,wi+1-wi-1

2 h M, i = j - 1, j = 2, ...,N

2+ h2 fy Ixi , wi ,wi+1-wi-1

2 h M, i = j, j = 1, ...,N

-1- h2 fy£ Ixi , wi,

wi+1-wi-1

2 h M, i = j + 1, j = 1, ...,N - 1


donde w0 = a y wN+1 = b.

El método de Newton para los sistemas no lineales requiere que en cada iteración se

resuelva el sistema lineal de N µN:

(42)

JHw1, w2, ..., wNL Hv1, ..., vnLT = - 2 w1 -w2 - a + h2 f Kx1, w1,w2 - a

2 hO,

-w1 + 2 w2 -w3 + h2 f Kx2, w2,w3 -w1

2 hO, ... ,

-wN-2 + 2 wN-1 -wN + h2 f KxN-1, wN-1,wN - wN-2

2 hO,

-wN-1 + 2 wN + h2 f xN, wN,b -wN-1

2 h- b

T

para v1, v2, ..., vN, porque

wiHkL = wi

Hk-1L + vi , para cada i = 1, 2, ...,N,

Puesto que J es tridiagonal, se puede aplicar el algoritmo de factorización de Crout

para los sistemas tridiagonales.

El algoritmo de este método se describe a continuación.


è Algoritmo 5. Método lineal de las diferencias finitas para problemas no lineales

Input Hf HxL, a, b, a, b, h, tol, mLvector xi, ai, bi, ci, di, li, ui, wi, zi


For i = 0, ...., n + 1 do

xi ≠ 0

ai ≠ 0

bi ≠ 0

ci ≠ 0

di ≠ 0

li ≠ 0

ui ≠ 0

wi ≠ 0

zi ≠ 0

End

n ≠ Round B b-ah

F - 1

w0 ≠ a

wn+1 ≠ b

For i = 1, ..., n do

wi ≠ a+ i J b-a

b-aN h

End

cont≠1

While cont § m do

x1 ≠ a + h

t =Iw2-aM2 h

a1 ≠ 2+ h2 fy Hx1, w1, tLb1 ≠ -1 + J h

2N fy£ Hx1, w1, tL

d1 ≠ -I2 w1 -w2 - a + h2 f Hx1, w1, tLMFor i = 2, ..., n - 1 do

xi ≠ a + i h

t =Hwi+1-wi-1L

2 h

ai ≠ 2 + h2 fy Hxi, wi, tLbi ≠ -1+ J h

2N fy£ Hxi, wi, tL

ci ≠ -1- J h2

N fy£ Hxi, wi, tLdi ≠ -I2 wi -wi+1 -wi-1 + h

2 f Hxi, wi, tLMEnd


xn ≠ b - h

t =Hb-wn-1L

2 h

an ≠ 2+ h2 fy Hxn , wn, tLcn ≠ -1- J h

2N fy£ Hxn, wn, tL

dn ≠ -I2 wn -wn-1 - b + h2 f Hxn, wn , tLM(* Se resuelve un sistema lineal tridiagonal *)

l1 ≠ a1

u1 ≠b1

a1

z1 ≠d1

l1

For i = 2, ..., n - 1 do

li ≠ ai - ci ui-1

ui ≠bi

li

zi ≠di-ci zi-1

li

End

ln ≠ an - cn un-1

zn ≠dn-cn zn-1

ln

vn ≠ zn

wn ≠wn + vn

For i = n - 1, ..., 1do

vi ≠ zi - ui vi+1wi ≠wi + vi

End

If »» v »» b tol do

For i = 0, ..., N - 1do

xi ≠ a + i h

SALIDA Hxi, wiLProceso terminado

End

End If

cont≠cont+1

SALIDA H ' Númerode iteraciones excedido'LReturn I8xi<i=0N-1, 8wi<i=0N-1MOutput


Ejemplo.

à Problema 4. Sea el problema de valor de frontera

y≥ = Jx2Hy£L2- 9 y2 + 4 x6N í x5, xœ @1, 2D, yH1L = 0, yH2L = ln 256.

y su solución exacta yHxL = x3 ln x.Aproximar la solución aplicando el método no lineal de diferencias finitas

tomando h= 0.05 y una tolerancia de 10-4.

Método del diferencias finitas para el problema

no lineal con valor de frontera.

y≥ =4 x6 + z2 x2 - 9y2

x5

x œ @1., 2.D, yH1.L = 0., yH2.L = 5.54518 h = 0.05

i xi wi

0 1.0000000000 0.0000000000

1 1.0500000000 0.0562377725

2 1.1000000000 0.1263684409

3 1.1500000000 0.2118227193

4 1.2000000000 0.3140662227

5 1.2500000000 0.4345979113

6 1.3000000000 0.5749486970

7 1.3500000000 0.7366801826

8 1.4000000000 0.9213835170

9 1.4500000000 1.1306783480

10 1.5000000000 1.3662118644

11 1.5500000000 1.6296579151

12 1.6000000000 1.9227161994

13 1.6500000000 2.2471115203

14 1.7000000000 2.6045930975

15 1.7500000000 2.9969339343

16 1.8000000000 3.4259302347

17 1.8500000000 3.8934008681

18 1.9000000000 4.4011868793

19 1.9500000000 4.9511510405

20 2.0000000000 5.5451774445

Tabla de errores.


xi wi yHxiL »wi - yHxiL»1.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.

1.0500000000 0.0562377725 0.0564807138 2.4294129214µ10-4

1.1000000000 0.1263684409 0.1268578493 4.8940844341µ10-4

1.1500000000 0.2118227193 0.2125604441 7.3772477638µ10-4

1.2000000000 0.3140662227 0.3150516501 9.8542746209µ10-4

1.2500000000 0.4345979113 0.4358272487 1.2293373602µ10-3

1.3000000000 0.5749486970 0.5764142890 1.4655920832µ10-3

1.3500000000 0.7366801826 0.7383698367 1.6896540091µ10-3

1.4000000000 0.9213835170 0.9232798173 1.8963003043µ10-3

1.4500000000 1.1306783480 1.1327579472 2.0795992538µ10-3

1.5000000000 1.3662118644 1.3684447399 2.2328755092µ10-3

1.5500000000 1.6296579151 1.6320065809 2.3486658077µ10-3

1.6000000000 1.9227161994 1.9251348654 2.4186660246µ10-3

1.6500000000 2.2471115203 2.2495451902 2.4336699615µ10-3

1.7000000000 2.6045930975 2.6069765975 2.3834999521µ10-3

1.7500000000 2.9969339343 2.9991908635 2.2569291292µ10-3

1.8000000000 3.4259302347 3.4279718297 2.0415950205µ10-3

1.8500000000 3.8934008681 3.8951247721 1.7239039938µ10-3

1.9000000000 4.4011868793 4.4024758053 1.2889259445µ10-3

1.9500000000 4.9511510405 4.9518713190 7.2027851232µ10-4

2.0000000000 5.5451774445 5.5451774445 0.


yHxL = x3 logHxLy la aproximación obtenida

con el método de las diferencias finitas no lineal

con un tamaño de paso h = 0.05


1.2 1.4 1.6 1.8 2.0X

1

2

3

4

5

Y


9. El método de Rayleigh-Ritz

Este método aborda el problema de hallar la aproximación de la función con un

planteamiento distindo al visto en los anteriores métodos.

Para empezar, se reformula el problema de valor de frontera como un problema que

consista en seleccionar la función que reduzca al mínimo una determinada integral de entre

todas las funciones suficientemente derivables que satisfagan las condiciones de frontera.

El tamaño de del conjunto de funciones se disminuye, obteniéndose así una aproximación a

la solución al problema de minimización y por lo tanto, una aproximación a la solución del

problema con valor de frontera.

9.1. Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz

Para explicar este método se considera la aproximación de una solución a este

problema lineal con valor de frontera. Esta ecuación describe la deflexión y HxL de una viga

de longitud l , con una sección transversal variable qHxL, y los exfuerzos agregados pHxL y

f HxL. Satisface la la ecuación diferencial:

(43)-„

„ x pHxL „ y

„ x+ qHxL y = f HxL, para 0§ x § 1

con las condiciones de frontera

(44)y H0L = y H1L = 0

ô Se supone que p œ C1@0, 1D, que q, f œ C@0, 1D y d > 0, tal que

pHxL ¥ d tal que qHxL ¥ 0 para cada x en @0, 1D.


Con estas suposiciones se garantiza que el problema de valor de frontera,

anteriormente descrito tiene una solución única.

Los problemas con valor de frontera describen fenómenos físicos, en este caso la

solución a la ecuación la viga satisface la propiedad variacional, que resulta indispensable

para el desarrollo del método de Rayleigh-Ritz y que además caracteriza la solución de esa

ecuación como la función que reduce al mínimo cierta integral sobre las funciones

enC02@0, 1D, el conjunto de esas funciones u en C2@0, 1D con la propiedad de que

uH0L = uH1L = 0.

La caracterización de este método se establece en el siguiente teorema.

ô Teorema 5. Sea p œ C1@0, 1D, q, f œ C@0, 1D y además

pHxL ¥ d > 0 qHxL ¥ 0 para 0 § x § 1.

La función y œ C02@0, 1D es la solucion única de la ecuacion diferencial

- „„x IpHxL „y

„xM + qHxL y = f HxL, 0 § x § 1

si y sólo si y es la función única en C20@0, 1D que reduce al mínimo la integral

I @uD = Ÿ0

19pHxL @u£HxLD2 + qHxL @uHxLD2 - 2 f HxL uHxL= „ x.

Reduciendo al mínimo la integral, el método de Rayleigh-Ritz aproxima la solución

de yHxL sólo sobre el conjunto más pequeño de las funciones que contienen combinaciones


lineales de ciertas funciones básicas f1, f2, ..., fn. Estas funciones son linealmente

independientes y satisfacen:

fiH0L = fiH1L = 0, para cada i = 1, 2, ..., n.

Después de resolver las constantes c1, c2, ..., cn, que reducen al mínimo

I A⁄ i=1n ci fiE, se obtiene una aproximación fHxL = ⁄ i

n ci fiHxL a la solución yHxL de la

ecuacion anterior. De acuerdo con la ecuación de la integral I @uD, se tiene:

(45)

I @fD = I B‚i=1

n

ci fi FI @fD =

‡0

1:pHxLB‚i=1

n

ci fi£ HxLF

2

+ qHxLB‚i=1

n

ci fi HxLF2

- 2 f HxL ‚i=1

n

ci fi HxL> „ x

Cuando se considera I como una función de c1, c2, ..., cn para encontrar un mínimo

es necesario tener

(46)∑ I

∑ c j= 0 j = 1, 2, ..., n

Derivando se obtiene:

(47)

∑ I

∑ c j= ‡

0

1:2 pHxL ‚i=1

n

ci f£iHxL f£ jHxL + 2 qHxL ‚

i=1

n

ci fiHxL f jHxL

- 2 f HxL f jHxL> „ x


y al sustituir en la ecuacion anterior se obtiene:

(48)

0 = ‚i =1

n

B‡0

19pHxL f£ iHxL f£ jHxL + qHxL fiHxL f jHxL= „ x F ci -

‡0

1

f HxL f jHxL „ x, j = 1, 2, ..., n.

De estas ecuaciones se obtiene un sistema lineal A c = b de n µ n en las variables

c1, c2, ..., cn, donde esta matriz simétrica viene definida por

(49)

ai j = ‡0

1ApHxL f£ iHxL f£ jHxL + qHxL fiHxL f jHxLE „ x

bi = ‡0

1

f HxL f jHxL „ x.

La elección más elemental de las funciones básicas requiere la intervención de

polinomios lineales seccionados. El primer paso es escoger puntos x0, x1, ... xn+1 para

formar una partición dentro del intervalo @0, 1D de tal manera que

0 = x0 < x1 < ... < xn < xn+1 = 1.

Al utilizar hi = xi+1 - xi para toda i = 0, 1, ..., n, se definen las funciones básicas

f1HxL, f2HxL, ..., fnHxL mediante la expresión:

(50)fiHxL = :

0, 0§ x§ xi-1x-xi-1

hi-1, xi-1 < x§ xi

xi+1-xhi

, xi < x § xi+1

0, xi+1 < x§ 1

i = 1, 2, ...,n.

Las funciones fi son lineales y seccionadas, por ello, aunque las derivadas fi£, no


son continuas, son constantes en el subintervalo abierto (x j , x j+1L para j = 0, 1, ..., n.

Se obtiene, por tanto,

(51)fi

£HxL = :0, 0< x< xi-1

1hi-1

, xi-1 < x< xi

- 1hi

, xi < x < xi+1

0, xi+1 < x< 1

i = 1, 2, ...,n.

Como fi y fi£ son distintos de cero solamente en (xi - 1, xi+1L,

fi HxL f j HxL ª 0 y fi£HxL f j

£HxL ª 0,

excepto cuando j toma un valor igual a i - 1, i, o i + 1. Por lo tanto, el sistema lineal dado

en el teorema se reduce a un sistema lineal tridiagonal de n µ n. Los elementos de A que

son distintos de cero son:

ai, i = Ÿ0

19pHxL@fi£ HxLD2 + qHxL@fiHxLD2= „ x

= I 1hi-1

M2 Ÿxi-1

xi pHxL „ x + I- 1hi

M2 Ÿxi

xi+1 pHxL „ x

+ I 1hi-1

M2 Ÿxi-1

xi Hx- xi-1L2 qHxL „ x + I 1hi

M2 Ÿxi

xi+1Hxi+1 - xL2 qHxL „ x

para i = 1, 2, ..., n;

ai ,i+1 = Ÿ0

19pHxL fi£HxL f£ i+1HxL + qHxL fi

£HxL fi+1HxL= „ x

= -I 1hi

M2 Ÿxi

xi+1 pHxL „ x + I 1hi

M2 Ÿxi

xi+1Hxi+1 - xL Hx- xiL qHxL „ x,

para i = 1, 2, ..., n- 1;


ai ,i-1 = Ÿ0

19pHxL fi£HxL f£ i-1HxL + qHxL fi

£HxL fi-1HxL= „ x

= -I 1hi-1

M2 Ÿxi-1

xi pHxL „ x + I 1hi-1

M2 Ÿxi-1

xi Hxi - xL Hx- xi-1L qHxL „ x,

para i = 1, 2, ..., n;

Los valores de la matriz b son:

bi = Ÿ0

1f HxL fiHxL „ x= 1

hi-1 Ÿxi-1

xi Hx- xi-1L f HxL „ x + 1hi Ÿxi

xi+1Hxi+1 - xL f HxL „ x,

para i = 1, 2, ..., n;

Por lo tanto, se obtienen seis tipos de integrales a evaluar:

(52)

Q1, i =1

hi

2

‡xi

xi+1Hxi+1 - xL Hx- xiL qHxL „ x, i = 1, 2, ...,n- 1,

Q2, i =1

hi-1

2

‡xi-1

xi Hx- xi-1L2 qHxL „ x, i = 1, 2, ...,n,

Q3, i =1

hi

2

‡xi

xi+1Hxi+1 - xL2 qHxL „ x, i = 1, 2, ...,n,

Q4, i =1

hi-1

2

‡xi-1

xi

pHxL „ x, i = 1, 2, ...,n+ 1,

Q5, i =1

hi-1 ‡

xi-1

xi Hx- xi-1L f HxL „ x, i = 1, 2, ...,n,

Q6, i =1

hi ‡

xi

xi+1Hxi+1 - xL f HxL „ x, i = 1, 2, ...,n.


La matriz A y b del sistema lineal A c = b contienen los elementos:

(53)

ai, i = Q4,i +Q4,i+1 + Q2, i +Q3, i , i = 1, 2, ..., n,

ai,i+1 = -Q4,i+1 +Q1,i , i = 1, 2, ..., n- 1,

ai,i-1 = - Q4,i + Q1-1, i = 2, 3, ..., n,

bi = Q5,i +Q6,i , i = 1, 2, ...,n.

Los elementos de c son los coeficientes desconocidos c1, c2, ..., cn, a partir de los

cuales se construye la aproximación de Rayleigh-Ritz f, dada por fHxL = ⁄ i=1n ci fiHxL.

En este método existe la dificultad práctica de tener que evaluar las 6 n integrales.

Estas integrales puede evaluarse directamente o mediante una fórmula de cuadratura. La

evaluación de la integral consiste en aproximar las funciones p, q y f con su polinomio

interpolante lineal seccionado, e integrar luego la aproximación.

Supóngse que se comienza por la integral de Q1,i . La interpolación lineal

segmentaria de q es

PqHxL = ⁄ i=0n+1 qHxiL fiHxL

donde f1, f2, ..., fn están definidas en la fórmula (50) y además,

f0HxL = :x1-x

x1, 0§ x§ x1

0, entonces

fn+1HxL = :x-xn

1-xn, xn § x§ 1

0, entonces

Puesto que el intervalo de integración es @xi , xi+1D, Pq se reduce a


PqHxL = qHxiL fiHxL + qHxi+1L fi+1HxL.

La aproximación a Q1, i se obtiene integrando la aproximación al integrando

Q1,i = I 1hi

M2 Ÿxi

xi+1Hxi+1 - xL Hx- xiL qHxL „ x

º I 1hi

M2 Ÿxi

xi+1Hxi+1 - xL Hx- xiLA qHxi L Hxi+1-xLhi

+qHxi+1L Hx-xiL

hiE „ x

= hi

12@qHxiL + qHxi+1LD.

De la misma manera se realizan las aproximaciones a las integrales restantes,

obteniéndose los siguientes resultados:

(54)

Q1,i ºhi

12@qHxiL + qHxi+1LD

Q2,i ºhi-1

12@3 qHxiL + qHxi-1LD

Q3,i ºhi

12@3 qHxiL + qHxi+1LD

Q4,i ºhi-1

2@pHxiL + pHxi-1LD

Q5,i ºhi-1

6@2 f HxiL + f Hxi-1LD

Q6,i ºhi

6@2 f HxiL + f Hxi+1LD.

En el algoritmo que se desarrolla a continuación se establece el sistema lineal

tridiagonal donde se incorpora el algoritmo de factorización de Crout para resolver el

sistema.

Se aproxima la solución al problema de valor de frontera:


„yM + qHxL y = f HxL, 0§ x§ 1, y H0L = yH1L = 0


è Algoritmo 6. Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz

Input HpHxL, qHxL, f HxL, nLvector xi, ci,hi


x0 ≠ 0

For i = 1, ...., n do

xi ≠ 0

ci ≠ 0

hi ≠ 0

End

For i = 0, ..., n do

hi ≠ xi+1 - xiEnd

For i = 1, ..., n do

fiHxL ô :0, 0 § x § xi-1x-xi-1hi-1

, xi-1 < x § xixi+1-x

hi, xi < x § xi+1

0, xi+1 < x § 1

End

(* Se calculan Q1, j, Q2, j, Q3, j, Q4, j, Q5, j, Q6, j *)

For i = 1, ..., n - 1do

Q1,i ≠hi

12@qHxiL + qHxi+1LD

Q2,i ≠hi-1

12@3 qHxiL + qHxi-1LD

Q3,i ≠hi

12@3 qHxiL + qHxi+1LD

Q4,i ≠hi-1

2@pHxiL + pHxi-1LD

Q5,i ≠hi-1

6@2 f HxiL + f Hxi-1LD

Q6,i ≠hi

6@2 f HxiL + f Hxi+1LD

End

(* Se calculan Q2,n, Q3,n, Q4,n, Q4,n+1, Q5,n, Q6,n *)

Q2,n ≠hn-1

12@3 qHxnL + qHxn-1LD

Q3,n ≠hn

12@3 qHxnL + qHxn+1LD

Q4,n ≠hn-1

2@pHxnL + pHxn-1LD

Q5,n ≠hn-1

6@2 f HxnL + f Hxn-1LD

Q6,n ≠hn

6@2 f HxnL + f Hxn+1LD


(* Creación del sitema lineal tridiagonal simétrico *)

For i = 1, 2, ..., n - 1do

ai ≠ Q4,i +Q4,i+1 +Q2,i +Q3,i

bi ≠ Q1,i +Q4,i+1

bi ≠ Q5,i +Q6,i

End

an ≠ Q4,n +Q4,n+1 +Q2,n +Q3,n

bn ≠ Q5,n +Q6,n

(* Resolución del sitema lineal tridiagonal simétrico *)

a1 ≠ a1

z1 ≠b1

a1

z1≠b1

a1

For i = 2, ..., n - 1do

ai ≠ ai - bi-1 zi-1

zi ≠bi

ai

zi ≠ Hbi - bi-1 zi-1L aiEnd

an ≠an - bn-1 zn-1

zn ≠Hbn-bn-1 zn-1L

an

cn ≠ zn

For i = n - 1, ..., 1do

ci ≠ zi - zi ci+1End

(* Cálculo de la función lineal segmentaria aproximante f(x) *)

fHxL ≠ ⁄i=1n

ci fiHxLReturn HfHxLLOutput

Ejemplo.

à Problema 5. Considérese el problema con valor de frontera- „

„x He-x y£L + e-x y= Hx- 1L - Hx+ 1L e-Hx-1L xœ @0, 1D, yH0L = 0, yH1L = 0

y su solución exacta y= xHex - eL.Aplíquese el método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz para aproximar la

solución f HxL.


Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz para aproximar la

solución al problema de valor de frontera.

-„

„xHpHxL„y

„xL + qHxL y = f HxL

‰-x y + ‰-x„y

„x- ‰-x

„2y

„x2= x - ‰1-x Hx + 1L - 1

pHxL = ‰-x qHxL = ‰-x f HxL = x - ‰1-x Hx + 1L - 1

x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0

Puntos.

n = 19

x0 = 0.

Hxi, hiL =

x1 h1

x2 h2

x3 h3

x4 h4

x5 h5

x6 h6

x7 h7

x8 h8

x9 h9

x10 h10

x11 h11

x12 h12

x13 h13

x14 h14

x15 h15

x16 h16

x17 h17

x18 h18

x19 h19

=

0.05 0.05

0.1 0.05

0.15 0.05

0.2 0.05

0.25 0.05

0.3 0.05

0.35 0.05

0.4 0.05

0.45 0.05

0.5 0.05

0.55 0.05

0.6 0.05

0.65 0.05

0.7 0.05

0.75 0.05

0.8 0.05

0.85 0.05

0.9 0.05

0.95 0.05

xn+1 = 1.

Integrales a evaluar.

Q1, i =H 1hi

L2‡xi

xi+1Hxi+1-xLHx-xiLqHxL „x i = 1, 2,..., n-1.


Q1, i =

0.00773167892989

0.00735460049901

0.00699591239997

0.00665471772621

0.00633016331282

0.00602143760506

0.00572776862784

0.00544842205530

0.00518269937615

0.00492993614483

0.00468950032202

0.00446079069256

0.00424323536325

0.00403629033268

0.00383943813018

0.00365218652294

0.00347406728447

0.00330463502367

Q2, i =H 1

hi-1L2‡

xi-1

xi Hx-xi-1L2qHxL „x i = 1, 2,..., n.

Q2, i =

0.0160539948995

0.0152710323292

0.0145262552940

0.0138178014636

0.0131438993339

0.0125028637990

0.0118930919363

0.0113130589980

0.0107613146000

0.0102364790940

0.00973724011750

0.00926234931313

0.00881061920657

0.00838092023745

0.00797217793420

0.00758337022839

0.00721352489808

0.00686171713755

0.00652706724376


Q3, i =H 1hi

L2‡xi

xi+1Hxi+1-xL2qHxL „x i = 1, 2,..., n.

Q3, i =

0.0156576162758

0.0148939853189

0.0141675970837

0.0134766352203

0.0128193719648

0.0121941638167

0.0115994474294

0.0110337357029

0.0104956140628

0.00998373692465

0.00949682432916

0.00903365874132

0.00859308200560

0.00817399245081

0.00777534213490

0.00739613422427

0.00703542050173

0.00669229899497

0.00636591172154

Q4, i =H 1

hi-1L2‡

xi-1

xi

pHxL„x i = 1, 2,..., n+1.


Q4, i =

19.5082301997

18.5568025859

17.6517766444

16.7908893388

15.9719880026

15.1930249559

14.4520523852

13.7472174732

13.0767577655

12.4389967637

11.8323397329

11.2552697146

10.7063437332

10.1841891878

9.68750042016

9.21503544952

8.76561286740

8.33810888325

7.93145451444

7.54463291322

Q5, i =1

hi-1‡xi-1

xi Hx-xi-1Lf HxL „x i = 1, 2,..., n.

Q5, i =

-0.0920823543453

-0.0906464595925

-0.0890671552422

-0.0873588716292

-0.0855349728124

-0.0836078260911

-0.0815888674426

-0.0794886629483

-0.0773169664427

-0.0750827736090

-0.0727943727297

-0.0704593922905

-0.0680848456236

-0.0656771727653

-0.0632422796942

-0.0607855751060

-0.0583120048712

-0.0558260843146

-0.0533319284470


Q6, i =1

hi‡xi

xi+1Hxi+1-xLf HxL „x i = 1, 2,..., n.

Q6, i =

-0.0911418082118

-0.0896086461892

-0.0879418169777

-0.0861550321492

-0.0842609837696

-0.0822714112291

-0.0801971639778

-0.0780482604087

-0.0758339431140

-0.0735627307280

-0.0712424665587

-0.0688803641976

-0.0664830502873

-0.0640566046152

-0.0616065976921

-0.0591381259668

-0.0566558448167

-0.0541639994481

-0.0516664538317

Sistema tridiagonal simétrico: A.x = b.

A =

38.0967 -18.5491 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-17.6444 36.2387 -17.6444 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -16.7839 34.4714 -16.7839 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -15.9653 32.7902 -15.9653 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 -15.1867 31.191 -15.1867 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -14.446 29.6698 -14.446 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -13.7415 28.2228 -13.7415 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -13.0713 26.8463 -13.0713 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 -12.4338 25.537 -12.4338 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -11.8274 24.2916 -11.8274 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -11.2506 23.1068 -11.2506 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10.7019 21.9799 -10.7019 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10.1799 20.9079 -10.1799 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9.68346 19.8882 -9.68346 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9.2112 18.9183 -9.2112 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.76196 17.9956 -8.76196 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.33463 17.118 -8.33463 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7.92815 16.2831 -7.92815

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -7.92815 15.489


b =

-0.183224

-0.180255

-0.177009

-0.173514

-0.169796

-0.165879

-0.161786

-0.157537

-0.153151

-0.148646

-0.144037

-0.13934

-0.134568

-0.129734

-0.124849

-0.119924

-0.114968

-0.10999

-0.104998

Solución al sistema lineal tridiagonal simétrico.

c =

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

c11

c12

c13

c14

c15

c16

c17

c18

c19

=

-0.0833579867539

-0.161325802637

-0.233488871405

-0.299404271441

-0.358598918782

-0.410567638309

-0.454771116422

-0.490633728118

-0.517541230961

-0.534838318030

-0.541826021412

-0.537758957369

-0.521842403760

-0.493229199752

-0.451016457281

-0.394242073107

-0.321881029648

-0.232841472121

-0.125960548737

Tabla de errores en la aproximación.


i xi fiHxiL = ci yHxiL »fHxiL - yHxiL»1 0.0500000000 -0.0833579868 -0.0833505366 7.4501497537µ10-6

2 0.1000000000 -0.1613258026 -0.1613110910 1.4711598641µ10-5

3 0.1500000000 -0.2334888714 -0.2334671379 2.173354501µ10-5

4 0.2000000000 -0.2994042714 -0.2993758141 2.8457380887µ10-5

5 0.2500000000 -0.3585989188 -0.3585641029 3.4815839019µ10-5

6 0.3000000000 -0.4105676383 -0.4105269063 4.0732044091µ10-5

7 0.3500000000 -0.4547711164 -0.4547249980 4.611846945µ10-5

8 0.4000000000 -0.4906337281 -0.4905828523 5.0875790496µ10-5

9 0.4500000000 -0.5175412310 -0.5174863393 5.4891625123µ10-5

10 0.5000000000 -0.5348383180 -0.5347802789 5.8039150726µ10-5

11 0.5500000000 -0.5418260214 -0.5417658458 6.0175586367µ10-5

12 0.6000000000 -0.5377589574 -0.5376978168 6.1140527621µ10-5

13 0.6500000000 -0.5218424038 -0.5217816496 6.0754120577µ10-5

14 0.7000000000 -0.4932291998 -0.4931703847 5.8815060138µ10-5

15 0.7500000000 -0.4510164573 -0.4509613589 5.5098396669µ10-5

16 0.8000000000 -0.3942420731 -0.3941927200 4.9353133337µ10-5

17 0.8500000000 -0.3218810296 -0.3218397301 4.129959513µ10-5

18 0.9000000000 -0.2328414721 -0.2328108456 3.0626548779µ10-5

19 0.9500000000 -0.1259605487 -0.1259435607 1.6988050936µ10-5

Gráfica de la aproximacion obtenida con el método

lineal segmentario de Rayleigh-Ritz.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

Y


9.2. Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz

La matriz tridiagonal A dada por la funciones básicas es definida positiva, así que,

el sistema lineal es estable respecto al error de redondeo. De acuerdo con todas las hipótesis

formuladas se tiene:

° fHxL - yHxL ° = OIh2M, para todaxen@0, 1D.

Se utilizan las funciones lineales seccionadas básicas que producen una solución

aproximada a la ecuación diferencial que describe el problema de valor de frontera del

apartado anterior, que es continua pero no diferenciable en el intervalo [0, 1]. Sin embargo,

se necesita un conjunto más complejo de funciones básicas para construir una aproximación

que pertenezca C02@0, 1D. Esto se consigue con unas funciones similares al los trazadores

cúbicos interpolantes.

Como definicion de un trazador cubico interpolante S en cinco nodos x0, x1, x2, x3

y x4 para la función f se tiene:

a) S es un polinomio cúbico (Sj) en el intervalo [x j , x j+1] para toda j = 0, 1, 2, 3,

obteniéndose 16 constantes para S, 4 para cada polinomio cúbico.

b) SHx jL = f Hx jL, paraj = 0, 1, 2, 3, 4.

c) Sj+1Hx j+1L = SjHx j+1L, paraj = 0, 1, 2.

d) S£j+1Hx j+1L = Sj

£Hx j+1L, paraj = 0, 1, 2.

e) S≥j+1Hx j+1L = S≥

jHx j+1L, paraj = 0, 1, 2.


f) Satisface una de las siguientes condiciones de frontera:

Libre: S≥Hx0L = S≥Hx4L = 0

Sujeto:S£Hx0L = f £Hx0L y S£Hx4L = f £Hx4L.

Las funciones de los trazadores cúbicos que se utilizan en estas funciones basicas

reciben el nombre de trazadores B o trazadores en forma de campana que difieren de los

trazadores interpolantes en que se satisfacen las condiciones de frontera descritas en el

punto f . Se flexibilizan dos de las condiciones dadas en los puntos b al e.

Ya que el trazador debe tener dos derivadas continuas en [x0, x4], se eliminan dos

de las condiciones de interpolación. Se modifica la condición del punto b, quedando:

b) SHx jL = f Hx jL para j = 0, 2, 4.

El trazador B básico, S, que se define a continuación usa los siguientes nodos

x0 = -2, x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1 y x4 = 2, que satisfacen las condiciones:

SHx0L = 0, SHx2L = 1, SHx4L = 0

y también

S≥Hx0L = S≥Hx4L = 0 y S£Hx0L = S£Hx4L = 0

En consecuencia, SeC2H-¶, ¶L.


(55)SHxL = :

0, x§ -214 H2+ xL3, -2§ x§ -114 AH2+ xL3 - 4 H1+ xL3E, -1< x § 014 AH2- xL3 - 4 H1- xL3E, 0< x§ 114 H2- xL3, 1< x§ 2

0, 2< x

Para constuir las funciones básicas fi en C02@0, 1D, primero se divide el intervalo

[0,1] en intervalos uniformemente espaciados eligiendo un entero positivo n y definiendo

un h= 1n+1 . Se obtienen los nodos equiespaciados xi = i h, siendo i = 0, 1, ..., n, n+ 1.

Así las funciones básicas 8fi<i=0n+1 se definen como sigue:

(56)fiHxL = :

SI xh

M - 4 SI x+hh

M, i = 0

SI x-hh

M - sI x+hh

M, i = 1

SI x-i hh

M, 2§ i § n- 1

SI x-n hh

M -SI x-Hn+2L hh

M, i = n

SI x-Hn+1L hh

M - 4 SI x-Hn+2L hh

M, i = n+ 1

El conjunto 8fi<i=0n+1 es un conjunto de trazadores cúbicos linealmente independientes

que satisfacen fiH0L = fiH1L = 0 para i = 0, 1, ...,n, n+ 1. Puesto que fiHxL y fi£HxL son

distintas de cero, solo con xi-2 § x § xi+2, la matriz de aproximación de Rayleigh-Ritz es

una matriz de banda con un ancho máximo de banda de siete:


(57)A=

a0,0 a0,1

a1,0 a1,1

a0,2 a0,3

a1,2 a1,3

a2,0 a2,1

a3,0 a3,1

a2,2 a2,3

a3,2 a3,3

0a1,4

∫ 0

∏ ª

a2,4 a2,5

a3,4 a3,5 a3,6

0

ª

0 ∫ 0

∏

∏

an-2,n+1

an-1,n+1

an+1,n-2 an+1,n-1

an,n+1

an+1,n an+1,n+1

donde

ai j = Ÿ0

18pHxL fi£HxL f j

£HxL + qHxL fiHxL f jHxL< „ x

para i, j = 0, 1, ..., n+ 1. La matriz A es definida positiva y se puede resolver el sistema

lineal mediante el algoritmo de Choleski o mediante el método de la eliminación gaussiana.

Se supone fHxL = ⁄i=0n+1 ci fiHxL para toda x en el intervalo [0, 1]. En los nodos xi para

i = 0, ..., n+ 1, se tiene:

f0HxiL = :14 , si i = 1

0, otro caso

f1HxiL = :1, si i = 114, si i = 2

0, otro caso

fnHxiL = :1, si i = n14 , si i = n- 1

0, otro caso

fn+1HxiL = : 14 , si i = n

0, otro caso

y para j = 2, 3, ..., n- 1,


f jHxiL = :1, si i = j14 , si i = j - 1 o i = j + 1

0, otro caso

Como se puede observar a continuación en las gráficas, para algunos valores de

f HxL.

−2 −1 1 2x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

y � SHxL

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

y

y � φi@0D

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

y � φi@1D


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

y � φi@5D

Figura 10

Gráficas defi HxL.

En el siguiente algoritmo se describe la construcción de la aproximación al trazador

cúbico fHxL por el método de Rayleigh-Ritz para el problema con valor de frontera

explicado anteriormente.

è Algoritmo 7. Método de trazadores cúbicos Rayleigh-Ritz

Se aproxima la solución al problema con valor de frontera


„xM + qHxL y = f HxL, 0§ x§ 1, y H0L = yH1L = 0

con la suma de trazadores cúbicos fHxL = ⁄i=1n ci fiHxL.

Input HpHxL, qHxL, f HxL, nLvector xi, hi,ci


For i = 0, ...., n + 1 do

xi ≠ 0

ci ≠ 0

hi ≠ 0


End

h ≠ 1

n+1

For i = 0, ..., n + 1do

xi ≠ i h

End

x-2 ≠ 0

x-1 ≠ 0

xn+2 ≠ 1

xn+3 ≠ 1

(* Se define la funcion S *)

SHxL ≠ :

0, x § -21

4 H2+ xL3, -2 < x § -1

1

4AH2+ xL3 - 4 H1+ xL3E, -1 < x § 0

1

4AH2- xL3 - 4 H1- xL3E, 0 < x § 1

1

4 H2 - xL3, 1 < x § 2

0, 2 � x

f0 ≠ SI xh

M - 4 SJ x+hh

Nf1 ≠ SI x-x1

hM - SJ x+h

hN

For i = 2, ..., n - 1 do

fi ≠ SI x-xih

MEnd

fn ≠ SI x-xnh

M -SJ x-Hn+2L hh

Nfn+1 ≠ SI x-xn+1

hM - 4 SJ x-Hn+2L h

hN

For i = 0, ..., n + 1do

For j = i, i + 1 , ..., mín H8i + 3, n + 1<LdoL ≠máxI9x j-2, 0=MU ≠mínH8xi+2, 1<L

ai j ≠ ŸLU 9pHxL fi £HxL f j £HxL+ qHxL fiHxL f jHxL= „x

If i ∫ j then

a j i ≠ ai j

End If

End

If i ¥ 4 then

For j = 0, ..., i - 4do

ai j ≠ 0

End


End If

If i § n - 3 then

For j = i + 4, ..., n + 1do

ai j ≠ 0

End

End If

L ≠máxH8xi-2, 0<LU ≠mínH8xi+2, 1<L

bi ≠ ŸLU f HxL fiHxL „xEnd

(* Se resuelve el sistema lineal de banda A c = b *)

A ≠ Iai jMi, j=0n+1

b ≠ Hb0, b1, ..., bn+1LT

c ≠ Hc0, c1, ..., cn+1LTc ≠ Cholesky HA, b, nL(* Cálculo de la función aproximante al trazador cúbico f(x) *)

fHxL ≠ ⁄i=1n

ci fiHxLReturn HfHxLLOutput

Ejemplo.

à Problema 6. Considérese el problema con valor de frontera-x2 y≥ - 2 x y£ + 2 y= -4 x2 x œ @0, 1D, yH0L = 0, yH1L = 0

y su solución exacta y= x2 - x.Aplíquese el método de los trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz para aproximar

la solución f HxL.-x2 y≥ - 2 x y£ + 2 y= -4 x2 - „

„x IpHxL „y

„xM + qHxL y = f HxL

f HxL = -4 x2

qHxL = 2

-x2 y≥ - 2 x y£ = - „„x Ix2

„y„x

MM - Ix2 y≥ + 2 xM y£ fl pHxL = x2.


Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz para aproximar la


-„

„xHpHxL„y


-„2y

„x2x2 - 2

„y

„xx + 2y = -4 x2

pHxL = x2 qHxL = 2 f HxL = -4 x2

x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0

Puntos.

n = 9

x0 = 0.

HxiL =

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

=

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.

Tabla de datos para el cálculo de aHi, jL.

i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHaj L, SHbj L f j HxL0 0 0 0.2 0 0.1

1.2.

1

4JH2 -10.xL3 -4 H1- 10.xL3 N - H2 -10. Hx + 0.1LL3 1.

2.

1

4JH2 -10. xL3 - 4 H1 -10. xL3 N - H2- 10. Hx + 0.1LL3

0 0 0 0.2 0.1 0.22.3.

1

4H2 -10.xL3 2.

3.

1

4H2 -10. xL3

0 1 0 0.2 0 0.11.2.

1

4JH2 -10.xL3 -4 H1- 10.xL3 N - H2 -10. Hx + 0.1LL3 0.

2.

1

4JH10. Hx -0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - 1

4H2- 10. Hx + 0.1LL3

0 1 0 0.2 0.1 0.22.3.

1

4H2 -10.xL3 1.

3.

1

4JH2- 10. Hx -0.1LL3 -4 H1- 10. Hx -0.1LL3N

0 2 0 0.2 0 0.11.2.

1

4JH2 -10.xL3 -4 H1- 10.xL3 N - H2 -10. Hx + 0.1LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3

0 2 0 0.2 0.1 0.22.3.

1

4H2 -10.xL3 0.

0

1

4JH10. Hx -0.2L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.2L + 1L3N

0 3 0.1 0.2 0.1 0.22.3.

1

4H2 -10.xL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

ai, j = ‡L

U HpHxL fi £HxL f j £HxL+qHxL fiHxL f jHxLL„x

a H0,0L = 0.0785714

a H0,1L = 0.0861607

a H0,2L = -0.0367857


a H0,3L = -0.00419643

Tabla de datos para el cálculo de bHiL.

i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL0 0 0.2 0 0.1

1.2.

1

4IH2- 10. xL3 - 4 H1- 10. xL3M - H2- 10. Hx + 0.1LL3

0 0 0.2 0.1 0.22.3.

1

4H2- 10. xL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H0L = -0.000933333



0.2.

1

4JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L +1L3 N - 1

4H2 -10. Hx + 0.1LL3 0.

2.

1

4JH10. Hx -0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - 1

4H2- 10. Hx + 0.1LL3

1 1 0 0.3 0.1 0.21.3.

1

4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N 1.

3.

1

4JH2- 10. Hx -0.1LL3 -4 H1- 10. Hx -0.1LL3N

1 1 0 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 -10. Hx - 0.1LL3 2.

4.

1

4H2- 10. Hx - 0.1LL3

1 2 0 0.3 0 0.10.2.

1

4JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L +1L3 N - 1

4H2 -10. Hx + 0.1LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3

1 2 0 0.3 0.1 0.21.3.

1

4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N 0.

0

1

4JH10. Hx -0.2L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.2L + 1L3N

1 2 0 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 -10. Hx - 0.1LL3 1.

0

1

4JH2- 10. Hx -0.2LL3 -4 H1- 10. Hx -0.2LL3N

1 3 0.1 0.3 0.1 0.21.3.

1

4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N -1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

1 3 0.1 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 -10. Hx - 0.1LL3 0.

0

1

4JH10. Hx -0.3L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.3L + 1L3N

1 4 0.2 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 -10. Hx - 0.1LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

ai, j = ‡L


a H1,1L = 0.445

a H1,2L = 0.06125

a H1,3L = -0.173571

a H1,4L = -0.0116964



i L U k k+h SHaiL, SHbi L fi Hx L1 0 0.3 0 0.1

0.2.

1

4IH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3M - 1

4H2 - 10. Hx + 0.1LL3

1 0 0.3 0.1 0.21.3.

1

4IH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M

1 0 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 - 10. Hx - 0.1LL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H1L = -0.00796667


i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL2 2 0 0.4 0 0.1

-1.

0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3

2 2 0 0.4 0.1 0.20.

0

1

4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M

2 2 0 0.4 0.2 0.31.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M

2 2 0 0.4 0.3 0.42.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.2LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.2LL3

2 3 0.1 0.4 0.1 0.20.

0

1

4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

2 3 0.1 0.4 0.2 0.31.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M

2 3 0.1 0.4 0.3 0.42.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.2LL3 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M

2 4 0.2 0.4 0.2 0.31.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

2 4 0.2 0.4 0.3 0.42.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.2LL3 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M

2 5 0.3 0.4 0.3 0.42.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.2LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

ai, j = ‡L


a H2,2L = 0.901429

a H2,3L = -0.0516964

a H2,4L = -0.398571

a H2,5L = -0.0229464




-1.0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3

2 0 0.4 0.1 0.20.0

1

4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M

2 0 0.4 0.2 0.31.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M

2 0 0.4 0.3 0.42.0

1

4H2- 10. Hx - 0.2LL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H2L = -0.026


i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL3 3 0.1 0.5 0.1 0.2

-1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

3 3 0.1 0.5 0.2 0.30.

0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M

3 3 0.1 0.5 0.3 0.41.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M

3 3 0.1 0.5 0.4 0.52.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.3LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.3LL3

3 4 0.2 0.5 0.2 0.30.

0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

3 4 0.2 0.5 0.3 0.41.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M

3 4 0.2 0.5 0.4 0.52.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.3LL3 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M

3 5 0.3 0.5 0.3 0.41.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

3 5 0.3 0.5 0.4 0.52.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.3LL3 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M

3 6 0.4 0.5 0.4 0.52.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.3LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

ai, j = ‡L


a H3,3L = 1.65143

a H3,4L = -0.220446

a H3,5L = -0.713571

a H3,6L = -0.0379464



i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL3 0.1 0.5 0.1 0.2

-1.0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

3 0.1 0.5 0.2 0.30.0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M

3 0.1 0.5 0.3 0.41.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M

3 0.1 0.5 0.4 0.52.0

1

4H2- 10. Hx - 0.3LL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H3L = -0.056


i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL4 4 0.2 0.6 0.2 0.3

-1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

4 4 0.2 0.6 0.3 0.40.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L+ 1L3M

4 4 0.2 0.6 0.4 0.51.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M

4 4 0.2 0.6 0.5 0.62.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.4LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.4LL3

4 5 0.3 0.6 0.3 0.40.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

4 5 0.3 0.6 0.4 0.51.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M

4 5 0.3 0.6 0.5 0.62.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.4LL3 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M

4 6 0.4 0.6 0.4 0.51.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

4 6 0.4 0.6 0.5 0.62.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.4LL3 -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L+ 1L3M

4 7 0.5 0.6 0.5 0.62.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.4LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

ai, j = ‡L


a H4,4L = 2.70143

a H4,5L = -0.445446

a H4,6L = -1.11857

a H4,7L = -0.0566964




-1.0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

4 0.2 0.6 0.3 0.40.0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M

4 0.2 0.6 0.4 0.51.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M

4 0.2 0.6 0.5 0.62.0

1

4H2- 10. Hx - 0.4LL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H4L = -0.098



-1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

5 5 0.3 0.7 0.4 0.50.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M

5 5 0.3 0.7 0.5 0.61.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M

5 5 0.3 0.7 0.6 0.72.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.5LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.5LL3

5 6 0.4 0.7 0.4 0.50.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

5 6 0.4 0.7 0.5 0.61.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L+ 1L3M

5 6 0.4 0.7 0.6 0.72.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.5LL3 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M

5 7 0.5 0.7 0.5 0.61.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

5 7 0.5 0.7 0.6 0.72.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.5LL3 -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L+ 1L3M

5 8 0.6 0.7 0.6 0.72.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.5LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

ai, j = ‡L


a H5,5L = 4.05143

a H5,6L = -0.726696

a H5,7L = -1.61357

a H5,8L = -0.0791964




-1.0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

5 0.3 0.7 0.4 0.50.0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M

5 0.3 0.7 0.5 0.61.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M

5 0.3 0.7 0.6 0.72.0

1

4H2- 10. Hx - 0.5LL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H5L = -0.152



-1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L+ 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

6 6 0.4 0.8 0.5 0.6-1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3M -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.6L + 1L3M

6 6 0.4 0.8 0.6 0.71.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M

6 6 0.4 0.8 0.7 0.82.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3

6 7 0.5 0.8 0.5 0.6-1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

6 7 0.5 0.8 0.6 0.71.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.7L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.7L + 1L3M

6 7 0.5 0.8 0.7 0.82.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M

6 8 0.6 0.8 0.6 0.71.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

6 8 0.6 0.8 0.7 0.82.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.8L + 1L3M

6 9 0.7 0.8 0.7 0.82.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 -1.

-3.

1

4H10. Hx - 0.9L + 2L3

ai, j = ‡L


a H6,6L = 5.70143

a H6,7L = -1.0642

a H6,8L = -2.19857

a H6,9L = -0.105446



i L U k k+h SHai L, SHbi L fiHxL6 0.4 0.8 0.4 0.5

-1.0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

6 0.4 0.8 0.5 0.6 -1.11022 µ10-15

0

1

4JH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3N

6 0.4 0.8 0.6 0.71.0

1

4JH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3N

6 0.4 0.8 0.7 0.82.0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H6L = -0.218



-1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L+ 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

7 7 0.5 0.9 0.6 0.7-1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.7L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3M -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.7L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.7L + 1L3M

7 7 0.5 0.9 0.7 0.81.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M

7 7 0.5 0.9 0.8 0.92.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3

7 8 0.6 0.9 0.6 0.70.

0

1

4IH10. Hx - 0.7L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

7 8 0.6 0.9 0.7 0.81.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.8L + 1L3M

7 8 0.6 0.9 0.8 0.92.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M

7 9 0.7 0.9 0.7 0.81.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M -1.

-3.

1

4H10. Hx - 0.9L + 2L3

7 9 0.7 0.9 0.8 0.92.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 0.

-2.

1

4IH10. Hx - 0.9L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.9L + 1L3M

7 10 0.8 0.9 0.8 0.92.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 -1.

-2.

1

4H10. Hx -1.L + 2L3

ai, j = ‡L


a H7,7L = 7.65143

a H7,8L = -1.45795

a H7,9L = -2.87357

a H7,10L = -0.135446



i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHx7 0.5 0.9 0.5 0.6

-1.0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

7 0.5 0.9 0.6 0.7 -1.11022µ10-15

01

4IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3

7 0.5 0.9 0.7 0.81.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.7LL3

7 0.5 0.9 0.8 0.92.0

1

4H2- 10. Hx - 0.7LL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H7L = -0.296


i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL8 8 0.6 1. 0.6 0.7

-1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

8 8 0.6 1. 0.7 0.80.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L+ 1L3M

8 8 0.6 1. 0.8 0.91.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M

8 8 0.6 1. 0.9 1.2.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.8LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.8LL3

8 9 0.7 1. 0.7 0.80.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M -1.

-3.

1

4H10. Hx - 0.9L + 2L3

8 9 0.7 1. 0.8 0.91.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M 0.

-2.

1

4IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L+ 1L3M

8 9 0.7 1. 0.9 1.2.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.8LL3 1.

-1.

1

4IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3M - 1

4H10. Hx - 1.1L + 2L3

8 10 0.8 1. 0.8 0.91.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M -1.

-2.

1

4H10. Hx - 1.L + 2L3

8 10 0.8 1. 0.9 1.2.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.8LL3 0.

-1.

1

4IH10. Hx - 1.L+ 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L+ 1L3M - H10. Hx - 1.1L + 2L3

ai, j = ‡L


a H8,8L = 9.90143

a H8,9L = -1.73875

a H8,10L = -2.96179



i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL8 0.6 1. 0.6 0.7

-1.0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

8 0.6 1. 0.7 0.80.0

1

4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M

8 0.6 1. 0.8 0.91.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M

8 0.6 1. 0.9 1.2.0

1

4H2- 10. Hx - 0.8LL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H8L = -0.386


i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHaj L, SHbj L f j HxL9 9 0.7 1 0.7 0.8

-1.-3.

1

4H10. Hx -0.9L +2L3 -1.

-3.

1

4H10. Hx - 0.9L +2L3

9 9 0.7 1 0.8 0.90.-2.

1

4JH10. Hx - 0.9L +2L3 - 4 H10. Hx -0.9L +1L3 N 0.

-2.

1

4JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L +1L3 N

9 9 0.7 1 0.9 1.1.-1.

1

4JH2 -10. Hx - 0.9LL3 -4 H1- 10. Hx -0.9LL3 N - 1

4H10. Hx -1.1L +2L3 1.

-1.

1

4JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 -10. Hx - 0.9LL3 N - 1

4H10. Hx - 1.1L +2L3

9 10 0.8 1 0.8 0.90.-2.

1

4JH10. Hx - 0.9L +2L3 - 4 H10. Hx -0.9L +1L3 N -1.

-2.

1

4H10. Hx -1.L +2L3

9 10 0.8 1 0.9 1.1.-1.

1

4JH2 -10. Hx - 0.9LL3 -4 H1- 10. Hx -0.9LL3 N - 1

4H10. Hx -1.1L +2L3 0.

-1.

1

4JH10. Hx -1.L +2L3 -4 H10. Hx -1.L +1L3 N - H10. Hx - 1.1L +2L3

ai, j = ‡L


a H9,9L = 16.645

a H9,10L = 7.82991


i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL9 0.7 1 0.7 0.8

-1.-3.

1

4H10. Hx - 0.9L + 2L3

9 0.7 1 0.8 0.90.-2.

1

4IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3M

9 0.7 1 0.9 1.1.-1.

1

4IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3M - 1

4H10. Hx - 1.1L + 2L3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x


b H9L = -0.437967



-1.-2.

1

4H10. Hx - 1.L + 2L3 -1.

-2.

1

4H10. Hx - 1.L + 2L3

10 10 0.8 1 0.9 1.0.-1.

1

4JH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 N - H10. Hx - 1.1L + 2L3 0.

-1.

1

4JH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3 N- H10. Hx -1.1L + 2L3

ai, j = ‡L


a H10,10L = 14.1786


i L U k k+h SHaiL, SHbi L fi Hx L10 0.8 1 0.8 0.9

-1.-2.

1

4H10. Hx - 1.L + 2L3

10 0.8 1 0.9 1.0.-1.

1

4IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3M - H10. Hx - 1.1L + 2L3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H10L = -0.176933

Sistema con una matriz simétrica en banda: A.x = b.

A =

0.0785714 0.0861607 -0.0367857 -0.00419643 0 0 0 0 0 0 0

0.0861607 0.445 0.06125 -0.173571 -0.0116964 0 0 0 0 0 0

-0.0367857 0.06125 0.901429 -0.0516964 -0.398571 -0.0229464 0 0 0 0 0

-0.00419643 -0.173571 -0.0516964 1.65143 -0.220446 -0.713571 -0.0379464 0 0 0 0

0 -0.0116964 -0.398571 -0.220446 2.70143 -0.445446 -1.11857 -0.0566964 0 0 0

0 0 -0.0229464 -0.713571 -0.445446 4.05143 -0.726696 -1.61357 -0.0791964 0 0

0 0 0 -0.0379464 -1.11857 -0.726696 5.70143 -1.0642 -2.19857 -0.105446 0

0 0 0 0 -0.0566964 -1.61357 -1.0642 7.65143 -1.45795 -2.87357 -0.135446

0 0 0 0 0 -0.0791964 -2.19857 -1.45795 9.90143 -1.73875 -2.96179

0 0 0 0 0 0 -0.105446 -2.87357 -1.73875 16.645 7.82991

0 0 0 0 0 0 0 -0.135446 -2.96179 7.82991 14.1786


b =

-0.000933333

-0.00796667

-0.026

-0.056

-0.098

-0.152

-0.218

-0.296

-0.386

-0.437967

-0.176933

Solución al sistema lineal simétrico. Se aplica el método de Cholesky.

La matriz A es definida positiva.

c =

c0

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

=

-0.00222222222147

-0.0622222222237

-0.108888888890

-0.142222222226

-0.162222222225

-0.168888888894

-0.162222222225

-0.142222222224

-0.108888888891

-0.0622222222165

-0.00222222223236

f HxiL =

0

-0.0933333333355

-0.163333333335

-0.213333333339

-0.243333333338

-0.253333333341

-0.243333333337

-0.213333333336

-0.163333333336

-0.0933333333247

-7.77156120782µ10-18


f HxL = ‚i=0

n+1

ciHxL fiHxL =

-0.00222222 4 H10. Hx - 1.1L + 1L3 - H10. Hx - 1.1L + 2L3 +1

4IH2- 10. Hx - 1.LL3 - 4 H1- 10. Hx - 1.LL3M + -0.0622222

1

4IH2- 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.9LL3M - 1

4H10. Hx - 1.1L + 2L3 +

1

4-0.108889 IH2- 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.8LL3M +

1

4-0.142222 IH2- 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.7LL3M +

1

4-0.162222 IH2- 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.6LL3M +

1

4-0.168889 IH2- 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.5LL3M +

1

4-0.162222 IH2- 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.4LL3M +

1

4-0.142222 IH2- 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.3LL3M +

1

4-0.108889 IH2- 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.2LL3M +

1

4-0.0622222 IH2- 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M +

-0.002222221

4IH2- 10. xL3 - 4 H1- 10. xL3M - H2- 10. Hx + 0.1LL3

Tabla de errores en la aproximación con el método.

i xi ci fHxiL yHxiL »fHxiL - yHxiL»0 0 -0.0022222222 0.0000000000 0.0000000000 0.

1 0.1 -0.0622222222 -0.0900000000 -0.0900000000 0.

2 0.2 -0.1088888889 -0.1600000000 -0.1600000000 0.

3 0.3 -0.1422222222 -0.2100000000 -0.2100000000 0.

4 0.4 -0.1622222222 -0.2400000000 -0.2400000000 0.

5 0.5 -0.1688888889 -0.2500000000 -0.2500000000 0.

6 0.6 -0.1622222222 -0.2400000000 -0.2400000000 0.

7 0.7 -0.1422222222 -0.2100000000 -0.2100000000 0.

8 0.8 -0.1088888889 -0.1600000000 -0.1600000000 0.

9 0.9 -0.0622222222 -0.0900000000 -0.0900000000 0.

10 1. -0.0022222222 0.0000000000 0.0000000000 0.

Gráficas de la aproximación f HxL cúbica de Rayleigh-Ritz y la solución exacta.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

y

y � fHxL

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

y

y � x2 - x

9.2.1. Método de Cholesky

El metodo de factorizacion de Cholesky es utilizado para resolver los sistemas de

ecuaciones de tipo A x= b, donde la matriz A es definida positiva, que a menudo aparecen

en este tipo de problemas.

Para factorizar esta matriz A en L L£, donde L es una matriz triangular inferior, se

aplica el siguiente método:

Algoritmo de factorización de Cholesky

Input IIai jM, HbiL, nMl1,1 ≠ a1,1

For i = 2, 3, ..., n do

l j i ≠ aj i ë l1,1End

For i = 1, 2, 3, ..., n do

li i ≠ ai i - Sk=1

i-1

li k2

1ê2

For j = i + 1, i + 2, ..., n do

l j i ≠ a j i - Sk=1

i-1

l j k.li k ì li iEnd

End

ln n ≠ an n - Sk=1

i-1

ln k2

1ê2


y1 ≠ b1 ë l1,1For i = 2, ..., n do

yi ≠ bi - Sk=1

i-1

li j y j ì li iEnd

xn ≠ yn ê ln nFor i = n - 1, ..., 1 do

xi ≠ yi - Sj=i+1

n

l j i x j ì li i

End

Return H xiLOutput


10. Estudio de la arquitectura

En esta sección se analiza la arquitectura propuesta para la correcta implantación de

la plataforma de desarrollo del proyecto.

Como soporte software, en primer lugar, se propone un sistema operativo

comercial, como Windows XP, Windows Vista, Machintosh, etc.

Es necesaria también una herramienta matemática para la programación de la

aplicación, en este caso Mathematica en su versión 6.0, y el paquete gráfico The Super

Widget Package (SWP) para la creación de la interfaz de usuario (GUI).

Para la ejecución de la aplicación es necesario contar también con la JVM (Java

Virtual Machine) ya que utiliza un núcleo Java para la ejecución de las interfaces y por

último, un software que permita la generación de ficheros PDF para la impresión de la

documentación en formato digital, como por ejemplo PDFCreator.


11. Diseño externo

A continuación se describe el diseño de las ventanas de la interfaz de usuario que se

ha desarrollado para esta aplicación, incluyendo una descripción y características generales

de cada una de las ventanas. Se puede observar que se trata de una interfaz muy sencilla que

hace que la realización de operaciones sea fácil y cómoda para el usuario final.

Figura 11

Ventana de la aplicaciónAproximación de Ecuaciones Diferenciales.


11.1. Métodos lineales

Método del disparo lineal.

En esta ventana se encuentran diferentes casillas de texto donde se introducen los

parámetros necesarios para la ejecución de este método. La ecuación debe de ser

introducida en la forma y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxL, que se indica en la parte superior

derecha de la ventana.

Existe también otra casilla de texto donde se puede introducir de manera opcional la

ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método. A

continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y los valores

de frontera correspondientes a dicho intervalo.

Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo. En la parte

inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “ Salir”.

Al hacer clic sobre “Método” se inicia el proceso del cálculo de la aproximación, el

cual una vez concluido, mostrará los resultados en la parte izquierda de la ventana,

mediante una gráfica donde se representa la solución real y la obtenida y debajo de ésta, en

rojo, los puntos de la aproximación. Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve

a la ventana principal.

A continuación se muestra la ventana y la ejecución en un ejercicio.


ô En el ejemplo se han tomado los siguientes datos:

y≥ = y£ + 2 y+ cosHxL donde pHxL = 1, qHxL = 2 y rHxL = cosHxL,

definida en el intervalo A0, p2 E con unos valores de frontera f HaL = -0.3 y f HbL = -0.1 y

un tamaño de paso de p8 .

La solución exacta a la ecuación diferencia es y = 110 HsenHxL + 3 cosHxLL, la cual

se puede ver representada en la gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a

la representación de la aproximación obtenida en color rojo.

Figura 12

Ventana :Método del disparo lineal.

Se obtiene, también, en un fichero aparte los resultados de la ejecución del método.


Método del disparo lineal para el problema con valor de frontera:

y≥ = 1.y£ + 2.y + cosHxLx œ @0., 1.5708D, yH0.L = -0.3, yH1.5708L = -0.1 h = 0.392699

i xi u1,i v1,i w1,i w2,i

0 0.0000000000 -0.3000000000 0.0000000000 -0.3000000000 -0.0997924893

1 0.3926990817 -0.2650158208 0.5050394157 -0.3154149613 0.0225360287

2 0.7853981634 -0.1383948423 1.4473056289 -0.2828250738 0.1414535329

3 1.1780972451 0.1321628120 3.4005282847 -0.2071843706 0.2388551820

4 1.5707963268 0.6588350398 7.6041297787 -0.1000000000 0.2999187862

Tabla de errores

xi w1,i yHxiL »w1,i - yHxiL»0.0000000000 -0.3000000000 -0.3000000000 0.0000000000

0.3926990817 -0.3154149613 -0.3154322030 0.0000172417

0.7853981634 -0.2828250738 -0.2828427125 0.0000176386

1.1780972451 -0.2071843706 -0.2071929830 8.6123787982µ10-6

1.5707963268 -0.1000000000 -0.1000000000 0.0000000000

Método de las diferencias finitas.

El diseño de esta ventana es muy similar a la del método del disparo lineal. En ella

se encuentran también diferentes casillas de texto donde se introducen los parámetros

necesarios para la ejecución de este método.

La ecuación debe de ser introducida en la forma y≥ = pHxL y£ + qHxL y+ rHxL, que se

indica en la parte superior derecha de la ventana. Existe también otra casilla de texto donde

se puede introducir de manera opcional la ecuación real para hacer una comparativa a

posteriori del error cometido por el método.

A continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo y


los valores de frontera correspondientes a dicho intervalo.

Por último el tamaño del paso por el que será dividido el intervalo.

En la parte inferior de la ventana se encuentran los botones “Método” y “ Salir”.




rojo, los puntos de la aproximación.

Al hacer clic en “Salir” se cierra la ventana y se vuelve a la ventana principal.


ô En el ejemplo se toman los siguientes datos:

y≥ = 2 y£ - y+ x ex - x donde pHxL = 2, qHxL = -1 y rHxL = x ex - x

definida en el intervalo @0, 2D con unos valores de frontera f HaL = 0 y f HbL = -4 y un

tamaño de paso de 0.2.

La ecuación solución exacta es y = 16 x3 ex - 5

3 x ex + 2 ex - x- 2, la cual se puede ver

representada en la gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la represent-

ación de la aproximación obtenida en color rojo.


Figura 13

Ventana :Método de las diferencia finitas.


Método de las diferencias finitas para el problema con valor de frontera:

y≥ = 2.y£ + -1.y + ‰x x - x

x œ @0., 2.D, yH0.L = 0., yH2.L = -4. h = 0.2

i xi wi

0 0.0000000000 0.0000000000

1 0.2000000000 -0.1603338739

2 0.4000000000 -0.3906039636

3 0.6000000000 -0.7066424059

4 0.8000000000 -1.1207043851

5 1.0000000000 -1.6367404975

6 1.2000000000 -2.2430435498

7 1.4000000000 -2.9011389354

8 1.6000000000 -3.5293610693

9 1.8000000000 -3.9789836227

10 2.0000000000 -4.0000000000


Tabla de errores


0.2000000000 -0.1603338739 -0.1627001994 2.3663254409µ10-3

0.4000000000 -0.3906039636 -0.3949876064 4.3836427792µ10-3

0.6000000000 -0.7066424059 -0.7122849228 5.6425168725µ10-3

0.8000000000 -1.1207043851 -1.1263932218 5.6888366605µ10-3

1.0000000000 -1.6367404975 -1.6408590858 4.1185882674µ10-3

1.2000000000 -2.2430435498 -2.2438063263 7.6277646196µ10-4

1.4000000000 -2.9011389354 -2.8971552041 3.9837312552µ10-3

1.6000000000 -3.5293610693 -3.5207514812 8.6095880741µ10-3

1.8000000000 -3.9789836227 -3.9693901290 9.5934937405µ10-3

2.0000000000 -4.0000000000 -4.0000000000 0.


11.2. Métodos no lineales

Método del disparo no lineal.


parámetros necesarios para la ejecución de este método.

La ecuación debe de ser introducida en la forma y≥ = f HxL y£, que se indica en la

parte superior derecha de la ventana.


ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método. A













y≥ = 18 I32 + 2 x3 - y y£M donde f HxL = 1

8 I32 + 2 x3 - y y£M

definida en el intervalo @1, 3D con unos valores de frontera f HaL = 17 y f HbL = 433 y un

tamaño de paso de h = 0.2.

La ecuación real dada es y = x2 + 16x

, la cual se puede ver representada en la

gráfica en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproxi-

mación obtenida en color rojo.

Figura 14

Ventana :Método del disparo no lineal.



Método del disparo no lineal para el problema con valor de frontera:

y≥ =1

8I2 x3 - y z + 32M

x œ @1., 3.D, yH1.L = 17., yH3.L = 14.3333 h = 0.1

i xi w1,i w2,i

0 1.0000000000 17.0000000000 -14.0001920179

1 1.1000000000 15.7554961488 -11.0233385768

2 1.2000000000 14.7733911653 -8.7112939059

3 1.3000000000 13.9977542927 -6.8676175175

4 1.4000000000 13.3886317842 -5.3634064170

5 1.5000000000 12.9167227086 -4.1112334541

6 1.6000000000 12.5600506102 -3.0501060229

7 1.7000000000 12.3018095681 -2.1364242137

8 1.8000000000 12.1289280960 -1.3383516879

9 1.9000000000 12.0310864790 -0.6322028142

10 2.0000000000 12.0000288758 -0.0000610418

11 2.1000000000 12.0290719448 0.5718286786

12 2.2000000000 12.1127474726 1.0941681346

13 2.3000000000 12.2465382236 1.5753844538

14 2.4000000000 12.4266798245 2.0221865406

15 2.5000000000 12.6500101951 2.4399689503

16 2.6000000000 12.9138537239 2.8331091970

17 2.7000000000 13.2159311827 3.2051894605

18 2.8000000000 13.5542889444 3.5591638905

19 2.9000000000 13.9272428451 3.8974862467

20 3.0000000000 14.3333332740 4.2222082675

Tabla de errores.


xi w1,i yHxiL »w1,i - yHxiL»1.0000000000 17.0000000000 17.0000000000 0.0000000000

1.1000000000 15.7554961488 15.7554545455 0.0000416033

1.2000000000 14.7733911653 14.7733333333 0.0000578320

1.3000000000 13.9977542927 13.9976923077 0.0000619850

1.4000000000 13.3886317842 13.3885714286 0.0000603556

1.5000000000 12.9167227086 12.9166666667 0.0000560420

1.6000000000 12.5600506102 12.5600000000 0.0000506102

1.7000000000 12.3018095681 12.3017647059 0.0000448622

1.8000000000 12.1289280960 12.1288888889 0.0000392071

1.9000000000 12.0310864790 12.0310526316 0.0000338474

2.0000000000 12.0000288758 12.0000000000 0.0000288758

2.1000000000 12.0290719448 12.0290476190 0.0000243257

2.2000000000 12.1127474726 12.1127272727 0.0000201999

2.3000000000 12.2465382236 12.2465217391 0.0000164844

2.4000000000 12.4266798245 12.4266666667 0.0000131579

2.5000000000 12.6500101951 12.6500000000 0.0000101951

2.6000000000 12.9138537239 12.9138461538 7.5700547360µ10-6

2.7000000000 13.2159311827 13.2159259259 5.2567860820µ10-6

2.8000000000 13.5542889444 13.5542857143 3.2300976915µ10-6

2.9000000000 13.9272428451 13.9272413793 1.4657825673µ10-6

3.0000000000 14.3333332740 14.3333333333 5.9304811728µ10-8

Método de las diferencias finitas para problemas no lineales.

El diseño de esta ventana es muy similar a la del método del disparo lineal, en ella

se encuentran también diferentes casillas de texto donde se introducen los parámetros

necesarios para la ejecución de este método. En esta ventana se encuentran diferentes

casillas de texto donde se introducen los parámetros necesarios para la ejecución de este

método.La ecuación debe de ser introducida en la forma y≥ = f HxL y£, que se indica en la

parte superior derecha de la ventana.


ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método.A













y≥ = 2 y3 donde f HxL = 2 y3

definida en el intervalo @1, 2D con unos valores de frontera f HaL = 14 y f HbL = 1

5 y un

tamaño de paso de h = 0.25.

La ecuación real dada es y = 1x+3 , la cual se puede ver representada en la gráfica

en la parte izquierda de la ventana en azul junto a la representación de la aproximación

obtenida en color rojo.


Figura 15

Ventana :Método delas disferencias finitas para problemas no lineales.


Método del diferencias finitas para el problema

no lineal con valor de frontera.

y≥ = 2y3

x œ @1., 2.D, yH1.L = 0.25, yH2.L = 0.2 h = 0.25

i xi wi

0 1.0000000000 0.2500000000

1 1.2500000000 0.2353010811

2 1.5000000000 0.2222306398

3 1.7500000000 0.2105320965

4 2.0000000000 0.2000000000

Tabla de errores.



1.2500000000 0.2353010811 0.2352941176 6.9634618716µ10-6

1.5000000000 0.2222306398 0.2222222222 8.4175641572µ10-6

1.7500000000 0.2105320965 0.2105263158 5.78067356µ10-6

2.0000000000 0.2000000000 0.2000000000 0.


11.3. Métodos de Rayleigh-Ritz

Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz.



introducida en la forma pHxL y≥ + qHxL y= f HxL, que se indica en la parte superior derecha

de la ventana.


ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método.

A continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo, que

en este método es siempre @0, 1D.

Por último el número de subintervalos que se realizan en el intervalo original dado.









ô Se toman los siguientes datos:

y≥ + p2 y= 2 p2 senHp xL donde pHxL = 1, qHxL = p2 y f HxL = 2 p2 senHp xL,

definida en el intervalo @0, 1D y un número de subintervalos de 9.

La ecuación real dada es y = senHp xL, la cual se puede ver representada en la



Figura 16

Ventana : Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz.



Método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz para aproximar la


-„

„xHpHxL„y


p2 y -„2y

„x2= 2 p2 sinHp xL

pHxL = 1 qHxL = p2 f HxL = 2 p2 sinHp xLx œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0

Puntos.

n = 9

x0 = 0.

Hxi, hiL =

x1 h1

x2 h2

x3 h3

x4 h4

x5 h5

x6 h6

x7 h7

x8 h8

x9 h9

=

0.1 0.1

0.2 0.1

0.3 0.1

0.4 0.1

0.5 0.1

0.6 0.1

0.7 0.1

0.8 0.1

0.9 0.1

xn+1 = 1.

Integrales a evaluar.

Q1, i =H 1hi

L2‡xi

xi+1Hxi+1-xLHx-xiLqHxL „x i = 1, 2,..., n-1.

Q1, i =

0.164493406685

0.164493406685

0.164493406685

0.164493406685

0.164493406685

0.164493406685

0.164493406685

0.164493406685


Q2, i =H 1

hi-1L2‡

xi-1

xi Hx-xi-1L2qHxL „x i = 1, 2,..., n.

Q2, i =

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

Q3, i =H 1hi

L2‡xi

xi+1Hxi+1-xL2qHxL „x i = 1, 2,..., n.

Q3, i =

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

0.328986813370

Q4, i =H 1

hi-1L2‡

xi-1

xi

pHxL„x i = 1, 2,..., n+1.

Q4, i =

10.0000000000

10.0000000000

10.000000000

10.0000000000

10.0000000000

10.000000000

10.0000000000

10.0000000000

10.0000000000

10.0000000000

Q5, i =1

hi-1‡xi-1

xi Hx-xi-1Lf HxL „x i = 1, 2,..., n.


Q5, i =

0.204675558016

0.492161466035

0.731471180669

0.899179399679

0.978869674097

0.962741364629

0.852373222577

0.658568850666

0.400299171133

Q6, i =1

hi‡xi

xi+1Hxi+1-xLf HxL „x i = 1, 2,..., n.

Q6, i =

0.400299171133

0.658568850666

0.852373222577

0.962741364629

0.978869674097

0.899179399679

0.731471180669

0.492161466035

0.204675558016

Sistema tridiagonal simétrico: A.x = b.

A =

20.658 -9.83551 0 0 0 0 0 0 0

-9.83551 20.658 -9.83551 0 0 0 0 0 0

0 -9.83551 20.658 -9.83551 0 0 0 0 0

0 0 -9.83551 20.658 -9.83551 0 0 0 0

0 0 0 -9.83551 20.658 -9.83551 0 0 0

0 0 0 0 -9.83551 20.658 -9.83551 0 0

0 0 0 0 0 -9.83551 20.658 -9.83551 0

0 0 0 0 0 0 -9.83551 20.658 -9.83551

0 0 0 0 0 0 0 -9.83551 20.658

b =

0.604975

1.15073

1.58384

1.86192

1.95774

1.86192

1.58384

1.15073

0.604975


Solución al sistema lineal tridiagonal simétrico.

c =

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

=

0.310286675614

0.590200329525

0.812341063015

0.954964193344

1.00410877480

0.954964193344

0.812341063015

0.590200329525

0.310286675614

Tabla de errores en la aproximación.

i xi fiHxiL = ci yHxiL »fHxiL - yHxiL»1 0.1000000000 0.3102866756 0.3090169944 1.2696812395µ10-3

2 0.2000000000 0.5902003295 0.5877852523 2.4150772329µ10-3

3 0.3000000000 0.8123410630 0.8090169944 3.32406864µ10-3

4 0.4000000000 0.9549641933 0.9510565163 3.9076770484µ10-3

5 0.5000000000 1.0041087748 1.0000000000 4.1087748009µ10-3

6 0.6000000000 0.9549641933 0.9510565163 3.9076770483µ10-3

7 0.7000000000 0.8123410630 0.8090169944 3.32406864µ10-3

8 0.8000000000 0.5902003295 0.5877852523 2.4150772329µ10-3

9 0.9000000000 0.3102866756 0.3090169944 1.2696812395µ10-3

Método de los trazadores cúbicos de Rayleigh - Ritz.



introducida en la forma pHxL y≥ + qHxL y= f HxL, que se indica en la parte superior derecha

de la ventana.


ecuación real para hacer una comparativa a posteriori del error cometido por el método.

A continuación existen cuatro casillas de texto donde se introducen el intervalo, que


en este método es siempre @0, 1D.

Por último el número de subintervalos que se realizan en el intervalo original dado.








ô Se toman los siguientes datos:

-x2 y≥ - 2 x y£ + 2 y= -4 x2 donde pHxL = x2, qHxL = 2 y f HxL = -4 x2,

definida en el intervalo @0, 1D y un número de subintervalos de 9.

La ecuación real dada es y = x2 - x, la cual se puede ver representada en la




Figura 17

Ventana :

Método de los trazadores cúbicos segmentario de Rayleigh- Ritz.


Método de trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz para aproximar la


-„

„xHpHxL„y


-„2y

„x2x2 - 2

„y

„xx + 2y = -4 x2

pHxL = x2 qHxL = 2 f HxL = -4 x2

x œ @0., 1.D, yH0.L = 0, yH1.L = 0


Puntos.

n = 9

x0 = 0.

HxiL =

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

=

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.


i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL0 0 0 0.2 0 0.1

1.

2.

1

4IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3M - H2 -10. Hx + 0.1LL3 1.

2.

1

4IH2 - 10. xL3 - 4 H1 -10. xL3M - H2 - 10. Hx + 0.1LL3

0 0 0 0.2 0.1 0.22.

3.

1

4H2 - 10. xL3 2.

3.

1

4H2 - 10. xL3

0 1 0 0.2 0 0.11.

2.

1

4IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3M - H2 -10. Hx + 0.1LL3 0.

2.

1

4IH10. Hx -0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3M - 1

4H2 - 10. Hx + 0.1LL3

0 1 0 0.2 0.1 0.22.

3.

1

4H2 - 10. xL3 1.

3.

1

4IH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M

0 2 0 0.2 0 0.11.

2.

1

4IH2 - 10. xL3 - 4 H1 - 10. xL3M - H2 -10. Hx + 0.1LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3

0 2 0 0.2 0.1 0.22.

3.

1

4H2 - 10. xL3 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L+ 1L3M

0 3 0.1 0.2 0.1 0.22.

3.

1

4H2 - 10. xL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

ai, j = ‡L


a H0,0L = 0.0785714

a H0,1L = 0.0861607

a H0,2L = -0.0367857

a H0,3L = -0.00419643




1.2.

1

4IH2- 10. xL3 - 4 H1- 10. xL3M - H2- 10. Hx + 0.1LL3

0 0 0.2 0.1 0.22.3.

1

4H2- 10. xL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H0L = -0.000933333



0.2.

1

4JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L +1L3 N - 1

4H2 -10. Hx + 0.1LL3 0.

2.

1

4JH10. Hx -0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3 N - 1

4H2- 10. Hx + 0.1LL3

1 1 0 0.3 0.1 0.21.3.

1

4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N 1.

3.

1

4JH2- 10. Hx -0.1LL3 -4 H1- 10. Hx -0.1LL3N

1 1 0 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 -10. Hx - 0.1LL3 2.

4.

1

4H2- 10. Hx - 0.1LL3

1 2 0 0.3 0 0.10.2.

1

4JH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L +1L3 N - 1

4H2 -10. Hx + 0.1LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3

1 2 0 0.3 0.1 0.21.3.

1

4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N 0.

0

1

4JH10. Hx -0.2L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.2L + 1L3N

1 2 0 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 -10. Hx - 0.1LL3 1.

0

1

4JH2- 10. Hx -0.2LL3 -4 H1- 10. Hx -0.2LL3N

1 3 0.1 0.3 0.1 0.21.3.

1

4JH2- 10. Hx -0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3 N -1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

1 3 0.1 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 -10. Hx - 0.1LL3 0.

0

1

4JH10. Hx -0.3L + 2L3 -4 H10. Hx - 0.3L + 1L3N

1 4 0.2 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 -10. Hx - 0.1LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

ai, j = ‡L


a H1,1L = 0.445

a H1,2L = 0.06125

a H1,3L = -0.173571

a H1,4L = -0.0116964


i L U k k+h SHaiL, SHbi L fi Hx L1 0 0.3 0 0.1

0.2.

1

4IH10. Hx - 0.1L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.1L + 1L3M - 1

4H2 - 10. Hx + 0.1LL3

1 0 0.3 0.1 0.21.3.

1

4IH2 - 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M

1 0 0.3 0.2 0.32.4.

1

4H2 - 10. Hx - 0.1LL3


bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H1L = -0.00796667


i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL2 2 0 0.4 0 0.1

-1.

0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3

2 2 0 0.4 0.1 0.20.

0

1

4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L+ 1L3M

2 2 0 0.4 0.2 0.31.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M

2 2 0 0.4 0.3 0.42.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.2LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.2LL3

2 3 0.1 0.4 0.1 0.20.

0

1

4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

2 3 0.1 0.4 0.2 0.31.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L+ 1L3M

2 3 0.1 0.4 0.3 0.42.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.2LL3 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M

2 4 0.2 0.4 0.2 0.31.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

2 4 0.2 0.4 0.3 0.42.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.2LL3 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L+ 1L3M

2 5 0.3 0.4 0.3 0.42.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.2LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

ai, j = ‡L


a H2,2L = 0.901429

a H2,3L = -0.0516964

a H2,4L = -0.398571

a H2,5L = -0.0229464



-1.0

1

4H10. Hx - 0.2L + 2L3

2 0 0.4 0.1 0.20.0

1

4IH10. Hx - 0.2L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.2L + 1L3M

2 0 0.4 0.2 0.31.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.2LL3M

2 0 0.4 0.3 0.42.0

1

4H2- 10. Hx - 0.2LL3


bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H2L = -0.026



-1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

3 3 0.1 0.5 0.2 0.30.

0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L+ 1L3M

3 3 0.1 0.5 0.3 0.41.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M

3 3 0.1 0.5 0.4 0.52.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.3LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.3LL3

3 4 0.2 0.5 0.2 0.30.

0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

3 4 0.2 0.5 0.3 0.41.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L+ 1L3M

3 4 0.2 0.5 0.4 0.52.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.3LL3 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M

3 5 0.3 0.5 0.3 0.41.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

3 5 0.3 0.5 0.4 0.52.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.3LL3 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M

3 6 0.4 0.5 0.4 0.52.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.3LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

ai, j = ‡L


a H3,3L = 1.65143

a H3,4L = -0.220446

a H3,5L = -0.713571

a H3,6L = -0.0379464



-1.0

1

4H10. Hx - 0.3L + 2L3

3 0.1 0.5 0.2 0.30.0

1

4IH10. Hx - 0.3L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.3L + 1L3M

3 0.1 0.5 0.3 0.41.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.3LL3M

3 0.1 0.5 0.4 0.52.0

1

4H2- 10. Hx - 0.3LL3


bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H3L = -0.056



-1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

4 4 0.2 0.6 0.3 0.40.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L+ 1L3M

4 4 0.2 0.6 0.4 0.51.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M

4 4 0.2 0.6 0.5 0.62.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.4LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.4LL3

4 5 0.3 0.6 0.3 0.40.

0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

4 5 0.3 0.6 0.4 0.51.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M

4 5 0.3 0.6 0.5 0.62.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.4LL3 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M

4 6 0.4 0.6 0.4 0.51.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

4 6 0.4 0.6 0.5 0.62.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.4LL3 -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L+ 1L3M

4 7 0.5 0.6 0.5 0.62.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.4LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

ai, j = ‡L


a H4,4L = 2.70143

a H4,5L = -0.445446

a H4,6L = -1.11857

a H4,7L = -0.0566964



-1.0

1

4H10. Hx - 0.4L + 2L3

4 0.2 0.6 0.3 0.40.0

1

4IH10. Hx - 0.4L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.4L + 1L3M

4 0.2 0.6 0.4 0.51.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.4LL3M

4 0.2 0.6 0.5 0.62.0

1

4H2- 10. Hx - 0.4LL3


bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H4L = -0.098



-1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

5 5 0.3 0.7 0.4 0.50.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L+ 1L3M

5 5 0.3 0.7 0.5 0.61.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M

5 5 0.3 0.7 0.6 0.72.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.5LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.5LL3

5 6 0.4 0.7 0.4 0.50.

0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

5 6 0.4 0.7 0.5 0.61.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L+ 1L3M

5 6 0.4 0.7 0.6 0.72.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.5LL3 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M

5 7 0.5 0.7 0.5 0.61.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

5 7 0.5 0.7 0.6 0.72.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.5LL3 -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L+ 1L3M

5 8 0.6 0.7 0.6 0.72.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.5LL3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

ai, j = ‡L


a H5,5L = 4.05143

a H5,6L = -0.726696

a H5,7L = -1.61357

a H5,8L = -0.0791964



-1.0

1

4H10. Hx - 0.5L + 2L3

5 0.3 0.7 0.4 0.50.0

1

4IH10. Hx - 0.5L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.5L + 1L3M

5 0.3 0.7 0.5 0.61.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.5LL3M

5 0.3 0.7 0.6 0.72.0

1

4H2- 10. Hx - 0.5LL3


bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H5L = -0.152



-1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L+ 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

6 6 0.4 0.8 0.5 0.6-1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3M -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.6L + 1L3M

6 6 0.4 0.8 0.6 0.71.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M

6 6 0.4 0.8 0.7 0.82.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3

6 7 0.5 0.8 0.5 0.6-1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.6L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

6 7 0.5 0.8 0.6 0.71.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.7L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.7L + 1L3M

6 7 0.5 0.8 0.7 0.82.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M

6 8 0.6 0.8 0.6 0.71.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

6 8 0.6 0.8 0.7 0.82.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.8L + 1L3M

6 9 0.7 0.8 0.7 0.82.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3 -1.

-3.

1

4H10. Hx - 0.9L + 2L3

ai, j = ‡L


a H6,6L = 5.70143

a H6,7L = -1.0642

a H6,8L = -2.19857

a H6,9L = -0.105446



-1.0

1

4H10. Hx - 0.6L + 2L3

6 0.4 0.8 0.5 0.6 -1.11022 µ10-15

0

1

4JH10. Hx - 0.6L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.6L + 1L3N

6 0.4 0.8 0.6 0.71.0

1

4JH2 - 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.6LL3N

6 0.4 0.8 0.7 0.82.0

1

4H2 - 10. Hx - 0.6LL3


bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H6L = -0.218



-1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L+ 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

7 7 0.5 0.9 0.6 0.7-1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.7L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3M -1.11022µ10-15

0

1

4IH10. Hx - 0.7L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.7L + 1L3M

7 7 0.5 0.9 0.7 0.81.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M

7 7 0.5 0.9 0.8 0.92.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3

7 8 0.6 0.9 0.6 0.70.

0

1

4IH10. Hx - 0.7L +2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3M -1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

7 8 0.6 0.9 0.7 0.81.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.8L + 1L3M

7 8 0.6 0.9 0.8 0.92.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 1.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.8LL3 -4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M

7 9 0.7 0.9 0.7 0.81.

0

1

4IH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3M -1.

-3.

1

4H10. Hx - 0.9L + 2L3

7 9 0.7 0.9 0.8 0.92.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 0.

-2.

1

4IH10. Hx - 0.9L+ 2L3 -4 H10. Hx -0.9L + 1L3M

7 10 0.8 0.9 0.8 0.92.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3 -1.

-2.

1

4H10. Hx -1.L + 2L3

ai, j = ‡L


a H7,7L = 7.65143

a H7,8L = -1.45795

a H7,9L = -2.87357

a H7,10L = -0.135446



-1.0

1

4H10. Hx - 0.7L + 2L3

7 0.5 0.9 0.6 0.7 -1.11022 µ10-15

0

1

4JH10. Hx - 0.7L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.7L + 1L3N

7 0.5 0.9 0.7 0.81.0

1

4JH2 - 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.7LL3N

7 0.5 0.9 0.8 0.92.0

1

4H2 - 10. Hx - 0.7LL3


bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H7L = -0.296


i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi Hx L SHa j L, SHb j L f j HxL8 8 0.6 1. 0.6 0.7

-1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3 -1.

0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

8 8 0.6 1. 0.7 0.80.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M 0.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L+ 1L3M

8 8 0.6 1. 0.8 0.91.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M 1.

0

1

4IH2- 10. Hx -0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M

8 8 0.6 1. 0.9 1.2.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.8LL3 2.

0

1

4H2 - 10. Hx - 0.8LL3

8 9 0.7 1. 0.7 0.80.

0

1

4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M -1.

-3.

1

4H10. Hx - 0.9L + 2L3

8 9 0.7 1. 0.8 0.91.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M 0.

-2.

1

4IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L+ 1L3M

8 9 0.7 1. 0.9 1.2.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.8LL3 1.

-1.

1

4IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3M - 1

4H10. Hx - 1.1L + 2L3

8 10 0.8 1. 0.8 0.91.

0

1

4IH2 -10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M -1.

-2.

1

4H10. Hx - 1.L + 2L3

8 10 0.8 1. 0.9 1.2.

0

1

4H2 -10. Hx - 0.8LL3 0.

-1.

1

4IH10. Hx - 1.L+ 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L+ 1L3M - H10. Hx - 1.1L + 2L3

ai, j = ‡L


a H8,8L = 9.90143

a H8,9L = -1.73875

a H8,10L = -2.96179


i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL8 0.6 1. 0.6 0.7

-1.0

1

4H10. Hx - 0.8L + 2L3

8 0.6 1. 0.7 0.80.0

1

4IH10. Hx - 0.8L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.8L + 1L3M

8 0.6 1. 0.8 0.91.0

1

4IH2- 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.8LL3M

8 0.6 1. 0.9 1.2.0

1

4H2- 10. Hx - 0.8LL3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x


b H8L = -0.386



-1.-3.

1

4H10. Hx -0.9L +2L3 -1.

-3.

1

4H10. Hx - 0.9L +2L3

9 9 0.7 1 0.8 0.90.-2.

1

4JH10. Hx - 0.9L +2L3 - 4 H10. Hx -0.9L +1L3 N 0.

-2.

1

4JH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L +1L3 N

9 9 0.7 1 0.9 1.1.-1.

1

4JH2 -10. Hx - 0.9LL3 -4 H1- 10. Hx -0.9LL3 N - 1

4H10. Hx -1.1L +2L3 1.

-1.

1

4JH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 -10. Hx - 0.9LL3 N - 1

4H10. Hx - 1.1L +2L3

9 10 0.8 1 0.8 0.90.-2.

1

4JH10. Hx - 0.9L +2L3 - 4 H10. Hx -0.9L +1L3 N -1.

-2.

1

4H10. Hx -1.L +2L3

9 10 0.8 1 0.9 1.1.-1.

1

4JH2 -10. Hx - 0.9LL3 -4 H1- 10. Hx -0.9LL3 N - 1

4H10. Hx -1.1L +2L3 0.

-1.

1

4JH10. Hx -1.L +2L3 -4 H10. Hx -1.L +1L3 N - H10. Hx - 1.1L +2L3

ai, j = ‡L


a H9,9L = 16.645

a H9,10L = 7.82991


i L U k k+h SHaiL, SHbiL fiHxL9 0.7 1 0.7 0.8

-1.-3.

1

4H10. Hx - 0.9L + 2L3

9 0.7 1 0.8 0.90.-2.

1

4IH10. Hx - 0.9L + 2L3 - 4 H10. Hx - 0.9L + 1L3M

9 0.7 1 0.9 1.1.-1.

1

4IH2 - 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.9LL3M - 1

4H10. Hx - 1.1L + 2L3

bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H9L = -0.437967


i j L U k k+h SHai L, SHbi L fi HxL SHa j L, SHb j L f j HxL10 10 0.8 1 0.8 0.9

-1.

-2.

1

4H10. Hx - 1.L+ 2L3 -1.

-2.

1

4H10. Hx - 1.L + 2L3

10 10 0.8 1 0.9 1.0.

-1.

1

4IH10. Hx - 1.L + 2L3 - 4 H10. Hx - 1.L + 1L3M - H10. Hx - 1.1L+ 2L3 0.

-1.

1


ai, j = ‡L



a H10,10L = 14.1786


i L U k k+h SHaiL, SHbi L fi Hx L10 0.8 1 0.8 0.9

-1.-2.

1

4H10. Hx - 1.L + 2L3

10 0.8 1 0.9 1.0.-1.

1


bi = ‡L

U Hf HxL fiHxLL„x

b H10L = -0.176933

Sistema con una matriz simétrica en banda: A.x = b.

A =

0.0785714 0.0861607 -0.0367857 -0.00419643 0 0 0 0 0 0 0

0.0861607 0.445 0.06125 -0.173571 -0.0116964 0 0 0 0 0 0

-0.0367857 0.06125 0.901429 -0.0516964 -0.398571 -0.0229464 0 0 0 0 0

-0.00419643 -0.173571 -0.0516964 1.65143 -0.220446 -0.713571 -0.0379464 0 0 0 0

0 -0.0116964 -0.398571 -0.220446 2.70143 -0.445446 -1.11857 -0.0566964 0 0 0

0 0 -0.0229464 -0.713571 -0.445446 4.05143 -0.726696 -1.61357 -0.0791964 0 0

0 0 0 -0.0379464 -1.11857 -0.726696 5.70143 -1.0642 -2.19857 -0.105446 0

0 0 0 0 -0.0566964 -1.61357 -1.0642 7.65143 -1.45795 -2.87357 -0.135446

0 0 0 0 0 -0.0791964 -2.19857 -1.45795 9.90143 -1.73875 -2.96179

0 0 0 0 0 0 -0.105446 -2.87357 -1.73875 16.645 7.82991

0 0 0 0 0 0 0 -0.135446 -2.96179 7.82991 14.1786

b =

-0.000933333

-0.00796667

-0.026

-0.056

-0.098

-0.152

-0.218

-0.296

-0.386

-0.437967

-0.176933

Solución al sistema lineal simétrico. Se aplica el método de Cholesky.

La matriz A es definida positiva.


c =

c0

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

=

-0.00222222222147

-0.0622222222237

-0.108888888890

-0.142222222226

-0.162222222225

-0.168888888894

-0.162222222225

-0.142222222224

-0.108888888891

-0.0622222222165

-0.00222222223236

f HxiL =

0

-0.0933333333355

-0.163333333335

-0.213333333339

-0.243333333338

-0.253333333341

-0.243333333337

-0.213333333336

-0.163333333336

-0.0933333333247

-7.77156120782µ10-18


f HxL = ‚i=0

n+1

ciHxL fiHxL =

-0.00222222 4 H10. Hx - 1.1L + 1L3 - H10. Hx - 1.1L + 2L3 +1

4IH2- 10. Hx - 1.LL3 - 4 H1- 10. Hx - 1.LL3M + -0.0622222

1

4IH2- 10. Hx - 0.9LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.9LL3M - 1

4H10. Hx - 1.1L + 2L3 +

1

4-0.108889 IH2- 10. Hx - 0.8LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.8LL3M +

1

4-0.142222 IH2- 10. Hx - 0.7LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.7LL3M +

1

4-0.162222 IH2- 10. Hx - 0.6LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.6LL3M +

1

4-0.168889 IH2- 10. Hx - 0.5LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.5LL3M +

1

4-0.162222 IH2- 10. Hx - 0.4LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.4LL3M +

1

4-0.142222 IH2- 10. Hx - 0.3LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.3LL3M +

1

4-0.108889 IH2- 10. Hx - 0.2LL3 - 4 H1- 10. Hx - 0.2LL3M +

1

4-0.0622222 IH2- 10. Hx - 0.1LL3 - 4 H1 - 10. Hx - 0.1LL3M +

-0.002222221

4IH2- 10. xL3 - 4 H1- 10. xL3M - H2- 10. Hx + 0.1LL3

Tabla de errores en la aproximación con el método.

i xi ci fHxiL yHxiL »fHxiL - yHxiL»0 0 -0.0022222222 0.0000000000 0.0000000000 0.

1 0.1 -0.0622222222 -0.0900000000 -0.0900000000 0.

2 0.2 -0.1088888889 -0.1600000000 -0.1600000000 0.

3 0.3 -0.1422222222 -0.2100000000 -0.2100000000 0.

4 0.4 -0.1622222222 -0.2400000000 -0.2400000000 0.

5 0.5 -0.1688888889 -0.2500000000 -0.2500000000 0.

6 0.6 -0.1622222222 -0.2400000000 -0.2400000000 0.

7 0.7 -0.1422222222 -0.2100000000 -0.2100000000 0.

8 0.8 -0.1088888889 -0.1600000000 -0.1600000000 0.

9 0.9 -0.0622222222 -0.0900000000 -0.0900000000 0.

10 1. -0.0022222222 0.0000000000 0.0000000000 0.


11.4. Menú Ayuda

Ayuda al usuario.

Al ejecutar esta opción del menú se abre un fichero de Mathematica con una

descripción de cada uno de los métodos implementados en la aplicación que sirve de ayuda

a la ejecución de los mismos.

El usuario puede ir desplegando cada uno de los métodos donde, aparte de una

descripción, encontrará el pseudocódigo de dicho método.

Figura 18

Ventana : Ayuda al usuario.


Acerca de la aplicación.

Al ejecutar esta opción aparece esta ventana con toda la información relevante del

programa.

Figura 19

Ventana : Acerca de la aplicación


12. Valoración económica y planificación

12.1. Valoración económica del proyecto

En este apartado se detalla la valoración económica de cada una de las actividades

que comprenden la realización y puesta en funcionamiento del presente proyecto.

Las diferentes partidas o ítems que componen el proyecto y que se han incluido en

este análisis de costes se detallan a continuación.

1. Especificaciones y Desarrollo Software

Esta partida o ítem se ha dividido en dos grandes fases debido a su gran alcance e

importancia.

En primer lugar, aparece la fase de requisitos. Esta fase incluye las fases de

especificación de requisitos, del análisis funcional y del plan de pruebas.

Y en segundo lugar, se indica la fase de desarrollo del software. Esta fase es sin

duda la que ha supuesto más coste, en términos de tiempo, y la que distingue el presupuesto

del de otro proyecto que comprenda el mismo ámbito o sea del mismo tipo. En esta fase se

indican los diferentes métodos de aproximacion programados y probados.

Para cada una de las fases anteriores se reseñan los costes directos, expresados en

meses/hombre (meses completos dedicados para cada actividad), necesarios para acometer


cada una de ellas, indicándose la categoría del realizador: Jefe de Proyecto o

Analista/Programador. La actividad del Jefe de Proyecto se ha estimado en un 14%

respecto de la actividad del Analista/Programador.

Por último, cabe destacar que no debe haber confusión con el significado de los

costes unitarios aquí expresados. Estos costes representan la valoración económica real que

determinaría la empresa por la realización completa de todas las actividades reseñadas y

poner a cargo de este proyecto a dicho Jefe de Proyecto o Analistas en su caso.

2. Instalación, Pruebas e Integración del Software

En este apartado se recogen los costes directos de las actividades de integración y de

pruebas del software en el entorno de desarrollo y en el de explotación, incluidos los gastos

adicionales, tales como los desplazamientos y las dietas. Estos costes han sido calculados

del mismo modo que en el apartado anterior.

3. Equipamiento y Licencias Software

Costes de todo el equipamiento e infraestructura (PCs, impresoras, RAL,

comunicaciones), si fuera necesario. Así mismo, se han de especificar en este apartado las

licencias necesarias para el entorno de explotación.

Para la implementación de este software sólo es necesario una licencia del lenguaje

numérico y simbólico de Mathematica®, en concreto de la versión 6.0 aquí utilizada, y

disponer de un PC. Como la venta de este software será con toda seguridad a una persona


jurídica no se contempla en este presupuesto la adquisición de dicha plataforma hardware,

debido a que en los tiempos presentes cualquier empresa o persona jurídica dispone de un

PC, haciéndose sólo referencia a la licencia del Mathematica®.

4. Apoyo logístico (Formación)

En este concepto se ampara la formación a impartir a los posibles operadores y

administradores del sistema a implantar. Se incluye en la formación la entrega de toda la

documentación necesaria para el curso de formación.

5. Incrementos e IVA

Se parte de la suma de las partidas (1), (2), (3), y (4) formando el Coste Directo del

Proyecto. A este Coste Directo se le aplican los Gastos Generales H13%L y el Beneficio

Industrial H6%L. La suma de los conceptos de Coste Directo, Gastos Generales y Beneficio

Industrial constituyen el Total Importe sin IVA.

A este importe se le sumarán los impuestos correspondientes como IVA H16%L,para la Península y Baleares, IGIC H5%L para las islas Canarias o IPSI para Ceuta H3%L y

Melilla H4%L.

Total Proyecto

La suma del Total Importe sin IVA más la partida de Incrementos e IVA determinan

el importe total del desarrollo, implantación y puesta en servicio del proyecto.


En función de lo explicado anteriormente se puede proceder a calcular los costes

estimados del presente proyecto.

El importe total del proyecto asciende a 24.176, 04 € (VEINTICUATRO MIL

CIENTO SETENTA Y SEIS EUROS CON CUATRO CÉNTIMOS ), impuestos

incluidos.


El detalle de cada una de las partidas reseñadas se expresa en la tabla siguente:


12.2. Planificación temporal del proyecto

En el diagrama de Gantt de actividades siguiente se reflejan las tareas e hitos más

importantes para el desarrollo y ejecución de este Proyecto Fin de Carrera, así como la

planificación temporal final dedicada a cada uno de ellas.

Figura 20

Planificación temporal del Proyecto.


13. Conclusiones

Una vez realizado el presente proyecto fin de carrera sobre el estudio, programación

y aplicación de diferentes métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales

ordinarias de segundo orden con valor en frontera se pueden expresar las siguientes

conclusiones al mismo.

1.- La aproximación a la solución mediante el método del disparo lineal que

utiliza el método de Runge-Kutta de cuarto orden, ofrece una precisión o exactitud OIh4M.Tiene el inconveniente de que utiliza una técnica por error en el redondeo que puede, en

algún caso, presentar algún problema oculto, pudiendo ofrecer una pérdida de los dígitos

significativos debido al proceso de cancelación en el algoritmo empleado, es decir, pérdida

de significación al restar dos cantidades próximas entre sí. Tiene la ventaja de que ha sido

un método relativamente fácil de implementar en el lenguaje de programación Mathematica.

2.- El método del disparo no lineal, también emplea el método Runge-Kutta de

cuarto orden para aproximar la solución pero ha exigido el empleo del método de Newton

para la resolución de una ecuación no lineal. La aplicación de estos métodos implica que el

problema de valor inicial se resuelva de una manera aproximada y no exacta.

También se podría haber utilizado en este algoritmo el método de la Secante para la

resolución de la ecuación no lineal que aparece, si bien el método empleado, el de Newton,

ofrece una mayor rapidez de convergencia. Reseñar que el método del disparo para

problemas no lineales es vulnerable a los errores de redondeo, singularmente si las

soluciones y HxL y z Hx, tL fueran funciones que crecieran muy rápidamente en el intervalo


@a, bD.

3.- Los métodos de diferencias finitas, para problemas lineales y no lineales,

presentan mejores características de estabilidad, a costa de realizar más cómputo para

obtener la solución con la misma precisión. Estos métodos de diferencias finitas reemplazan

las derivadas en la ecuación diferencial por un cociente de diferencias centradas, lo que

obliga a escoger un parámetro h, tamaño del subintervalo, no demasiado pequeño. En

particular, el método de las diferencias finitas para problemas lineales emplea la

resolución de un sistema lineal tridiagonal, cuya solución única requiere que cumpla el

teorema ya explicitado en el método. Este método presenta un error del orden OIh2M frente

al error de truncamiento OIh4M que incluía el método de Runge-Kutta.

4.- En el método de las diferencias finitas para problemas no lineales aparece un

sistema de ecuaciones no lineal, lo que ha exigido un método numérico iterativo: el método

de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales. Esto implica que en cada paso de la

iteración se tiene que resolver de N µ N y se tiene que emplear el concepto de la matriz

Jacobiana. Este método es del orden de convergencia OIh2M.

5.- Se ha abordado el problema con valor en frontera para la resolución de

ecuaciones diferenciales en el método de Rayleigh-Ritz, primero, reformulando el

problema seleccionando del conjunto de todas las funciones suficientemente derivables

aquellas que reducen al mínimo una determinada integral. Y en segundo lugar, se reduce el

tamaño de funciones candidatas para dar una aproximación al problema. El método emplea

un pequeño conjunto de funciones que son combinaciones lineales de ciertas funciones

básicas, ello da origen a la resolución de un sistema lineal formado por una matriz


simétrica, en el que cada elemento se obtiene mediante la integración en el intervalo @0, 1Dde una combinación de las funciones que intervienen en la ecuación diferencial y las

funciones básicas y sus derivadas.

Una elección de las funciones básicas es la selección de polinomios lineales

definidos por tramos (método lineal segmentario de Rayleigh-Ritz). Y otra elección la

utilización de funciones básicas formadas por trazadores cúbicos definidos por intervalos

linealmente independientes (método de los trazadores cúbicos de Rayleigh-Ritz). La

dificultad práctica de este método es la evaluación de las integrales, que se pueden hacer

mediante fórmulas de cuadratura o mediante su evaluación directa. En el presente proyecto

se ha utilizado la técnica de evaluación directa con Mathematica.

En el método lineal segmentario se ha resuelto el sistema tridiagonal simétrico

mediante el método de eliminación de Gauss, mientras que en el método de los trazadores

cúbicos, al aparecer una matriz simétrica definida positiva se ha empleado el método de

Cholesky.

La evaluación de las integrales en el método de los trazadores cúbicos, se ha

realizado mediante la evaluación directa con las funciones de Mathematica, lo que ha

producido una mayor aproximación de las integrales.

Este método es especialmente recomendable cuando el problema con valor de

frontera se define en el intervalo [0, 1].

6.- Habiendo estudiado e implementado los métodos reseñados anteriormente se

establece como líneas futuras de trabajo o mejoras a incluir en este proyecto fin de carrera


las que a continuación se indican:

a) En el método de las diferencias para problemas lineales se podría mejorar la

precisión empleando la serie de Taylor de quinto orden para aproximar y≥HxiL e y£HxiL, pero

el sistema lineal resultante no sería tridiagonal, lo que requeriría un mayor esfuerzo

computacional para su resolución. También se podría utilizar para mejorar la precisión el

método de extrapolación de Richardson para los dos métodos de las diferencias finitas.

b) En el método de Rayleigh-Ritz, los trazadores cúbicos (trazadores B) se podrían

definir con una base formada por polinomios cúbicos definidos por intervalos de Hermite.

c) Otra técnica que podría complementar los anteriores métodos sería el método de

colocación: este procedimiento selecciona un conjunto de funciones básicas, 8f1, ..., fn< y

un conjunto de puntos 8x1, …, xn< definidos en el intervalo@0, 1D tomando estos puntos

como los nodos de las raíces de polinomios ortogonales.


Anexo I. Manual de Instalación y de Usuario

Manual de Instalación

Para poder instalar el software Mathematica es necesario disponer de entre 900 y

1.200 MB libres de disco duro, 1 GB de memoria RAM y una unidad de CD-ROM.

La versión de Mathematica que se va a instalar es la version 6.0. Para instalarla

simplemente hay que ejecutar el fichero setup.exe que se encuentra en el CD. Para la

correcta visión y ejecución del proyecto es necesario instalar unas plantillas.

Las plantillas de Mathematica se copian en el directorio donde se haya instalado el

Software de Resolución de Problemas con valor en frontera para la Resolución de

Ecuuaciones Diferenciales Ordinarias en el mismo directorio.

D:\Software EDO\

Las plantillas básicas a emplear en el PFC son cuatro:

a) Proyecto_Fin_de_Carrera.nb: plantilla a emplear con el fichero PFC.

b) Proyecto_Fin_de_Carrera(Resumen).nb: plantilla que se usará con el fichero

PFC (Nombre y Apellidos) (Resumen, Abstact, Índice).nb.

c) Proyecto_Fin_de_Carrera (Sin código).nb. Se empleará con el fichero PFC

cuando tenga los problemas incluidos.

d) Código_Métodos_Numéricos_12.nb (Ficheros de Problemas y de los


Algoritmos Numéricos).

También es necesario instalar un paquete especial para poder visualizar y utilizar la

interfaz de usuario. El paquete de Mathematica The Super Widget Package (SWP) se ha

diseñado para crear interfaces de usuario (GUI) con Mathematica. Se necesita el fichero

superwidgetpackage.zip V. 4.52 compatible con Mathematica 5.2 o versiones superiores.

La instalación de Super Widget Package (Versión 4.52 libre) se realiza del modo

siguiente:

1. Se copia el fichero superwidgetpackage.zip en el directorio indicado en el directorio

$BaseDirectory, ejecutado en Mathematica.

Ejemplo: "C:\ProgramData\\Mathematica"

2. Se debe preservar la estructura de ficheros contenida en el fichero ZIP. Se

descomprime el fichero pero preservando la estructura de ficheros.

3. Se inicia Mathematica, y en menú Help se selecciona Rebuild Help index. Para

integrar la documentación de SWP con el resto de Mathematica.

4. La ayuda de este paquete, Super Widget Package (SWP), se encuentra en Help

Browser y en la solapa Add-ons & Links.


Manual de Usuario

Para utilizar la aplicación es necesario tener instalado el software Mathematica 6.0,

el paquete The Super Widget y las plantillas suministradas en el CD.

a) Se debe abrir y ejecutar todo el fichero "Código (Problemas de Contorno con

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias).nb". Para ejecutar todo el fichero se debe seleccionar

en la barra de herramientas de Mathematica "Kernel", "Evaluation" y "Evaluate Notebook".

Así serán reconocidos todos los algoritmos desarrollados.

b) Se ejecuta el archivo denominado "Interfaz.nb".

Para resolver problemas con esta interfaz se siguen los siguientes pasos:

1. Seleccionar el método del menú principal.

2. Introducir los datos necesarios para la resolución del problema como se indica en la

ventana del método.

3. Pulsar el botón "Método".

Una vez que se han obtenido los resultados si que quiere volver a resolver un

problema con el mismo método volver a introducir los datos en la misma ventana y pulsar

el botón "Método". Si se quiere resolver un problema con otro método o salir de la

aplicación se debe cerrar la ventana del método y se vuelve a la ventana principal de la

aplicación desde la que se puede cerrar la aplicación o ejecutar problemas con cualquier

método siguiendo los pasos anteriores.


Bibliografía

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International Thomson Editores, México, 1998.

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Cálculo Numérico II. 1ª Edición.

Ed. UNED. Madrid, 1999.

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Análisis Matemático y Métodos Numéricos para Informática

Ed. Dpto. Publicaciones de la E.U.I. Madrid, 2001.

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Cálculo y Métodos Numéricos. Teoría, Algoritmos y Problemas Resueltos

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[ZILL06] Zill, Dennis G.; Cullen, Michael R.

Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera.

6ª Edición.


International Thomson Editores, México, 2006.

URL’s

[1] http://sai.azc.uam.mx/apoyodidactico/

Métodos Numéricos.

[2] http://www.library.cornell.edu/nr/

Libro Numerical Recipes in C.


el director del proyecto - instituto de investigacion ... · pdf filede frontera por otros dos...

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