trabjo encargado metodo de runge kutta

5/16/2018 Trabjo Encargado Metodo de Runge Kutta - slidepdf.com

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METODOS NUMERICOS

METODO DE RUNGE KUTA

INDICE DE CONTENIDO pág.

1 Introduccion 02

2.Objetivos 02

3. Marco Teórico 02

4. Metodo de Runge Kutta 04

4.1 Explicación del método 05

4.2 Método de Runge Kutta de 4to Orden 10

4.3 Ejemplo Ilustrativo 12

5. Problema Propuesto 13

6. Conclusiones 16

7. Recomendaciones 16

8. Bibliografía 16

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN



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METODOS NUMERICOS


METODO DE RUNGE KUTTA

1. INTRODUCCION

Probablemente uno de los procedimientos numéricos más populares, así comomás preciso, usado para obtener soluciones aproximadas para un problema de

valor inicial y’=f(x,y),y(xo)=yo es el Método de Runge Kutta de cuarto orden.

Como indica el nombre hay métodos de Runge Kutta de diferente orden, es así

que en el siguiente informe haremos una clara descripción de dicho método.

2. OBJETIVOS

Aprender a resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales

ordinarias (EDOS) mediante el método de Runge Kutta

3. MARCO TEORICO

Para resolver el problema de valores iniciales dado ,tendríamos que haber

estudiado un método para ecuaciones diferenciales de tercer grado.

Tenga en cuenta que incluso si f (x) se supone diferenciable en todas partes

(un tipo estándar de hipótesis para ED), no hay ninguna razón para este tipo de

ecuación que tiene las soluciones de valor real en absoluto. Lo que no puede

esperar a obtener es "fórmulas explícitas" de estas soluciones en cuanto a la

entrada de datos f(x) .

Esto no es sólo una expectativa razonable sobre ecuaciones diferenciales, en

general. La "fórmula" fenómeno es más o menos exclusiva de ecuaciones

lineales y ecuaciones que se puede reducir de alguna manera (por ejemplo, un

cambio de variable o algún otro truco) de las ecuaciones lineales. Incluso para

las ecuaciones lineales de la historia, se complica.

Para las ecuaciones de orden n lineales con coeficientes constantes, escribir las

soluciones "explícitas" que necesita fórmulas para las raíces de dicho

polinomio. No es tarea fácil, en realidad, incluso para las computadoras, si el

grado del polinomio es alto .

Para los coeficientes no constantes que es molesto, incluso en el caso de primer

orden. Los libros de texto dan fórmulas generales para la solución a + y 'P

(x) y = Q (x) en términos de integrales de funciones que implican P (x) y Q (x)




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METODOS NUMERICOS


(por ejemplo, a través del método de utilizar un "factor de integración" ), pero

incluso si las funciones P y Q son "buenos" (por ejemplo, se utilizan fórmulas

simples para ellos) no hay garantía de que las integrales que necesita para

tomar será (fuera de los problemas de los libros de texto, de todos modos). Paralas ecuaciones lineales de segundo orden, por ejemplo, y''+ P (x) y '+ Q (x) = R

(x), libros de texto generalmente no incluyen en general . Los libros de texto por

lo general tratan de la existencia y unicidad de soluciones a estas ecuaciones a

través de los resultados generales que no se basan en fórmulas en absoluto,

sino más bien tratar el tema de la existencia abstracta. (*Podemos escribir una

fórmula para el wronskiano de dos soluciones de una ecuación, en términos de

integrales y P, Q, R, de las mismas soluciones) .

La falta de una solución general en términos de una f dada (x) no impide que una

de resolución de casos particulares. Por ejemplo (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 0 tienesolamente la solución y = 0. (La razón: si (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 0 para todos los

valores de x, entonces (y') ^ 2 =-y ^ 2 para todos los valores de x. En cuanto a la

parte derecha aparece este valor común es <= 0, y mirando a la izquierda se ve

este valor común es> = 0. Por lo tanto, de hecho, (y) ^ 2 =-y ^ 2 = 0 para todo x,

y, por tanto y = 0 para todo x)

por ejemplo (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 1 se puede tratar como y' = sqrt (1 - y ^ 2) o y '=-

sqrt (1-y ^ 2) y estas son las ecuaciones separables para que una norma

procedimiento de solución se aplica. Que se obtiene como soluciones de las

funciones y = sen (x - c) con c arbitrario (tenga en cuenta que cos x es una de

ellas como cos x = sen (x - 3pi / 2)).

4. METODO DE RUNGE-KUTTA




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METODOS NUMERICOS


El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica

de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente

desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W.

Kutta.

En esencia los métodos de Runge Kutta son generalizaciones de la formula

básica de Euler, es así que podemos decir que el método de Euler es un método

de Runge Kutta de primer orden.

La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a

paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite evaluar Yi+1 tan

pronto se conozcan los valores Yi , Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El

más simple de estos métodos, debido a Euler , es aplicable a ecuaciones de

primer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.

Dado el problema de valores iniciales

Se debe integrar la ecuación diferencial en el intervalo y evaluar la integral

aplicando la fórmula de integración numérica:

(4)

Entonces


http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial

http://es.wikipedia.org/wiki/1900


http://es.wikipedia.org/wiki/C._Runge

http://es.wikipedia.org/wiki/M._W._Kutta


http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial


http://es.wikipedia.org/wiki/C._Runge





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METODOS NUMERICOS


De donde se obtiene la siguiente expresión aproximada llamada fórmula de

Euler

Yi+1 = Yi + h f(Xi, Yi) (5)

4.1 EXPLICACION METODO DE RUNGE-KUTTA

En la introducción se estableció que el método de Euler para resolver la

ecuación diferencial de primer orden

Y' = f(X, Y) (7)

Con la condición inicial

Y(X0) = Y0 (8)

Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia

Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... (9)

Para determinar la solución de la ecuación diferencial en

X = X1, X2, X3, ...

Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (7), en (9), se tiene que

Yn+1 = Yn + h Y'n (10)

Expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un

valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al

siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo

punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.




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METODOS NUMERICOS


De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la

solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la

tangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza

una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral

en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1)en

donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler,

como se muestra en la siguiente gráfica:




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METODOS NUMERICOS


Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden

de definido por la expresión

(11)

En donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:

X = Xn+1

Y = Yn + h f(Xn, Yn)

Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse

que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia

(12)

En donde




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METODOS NUMERICOS


(13)

En el método de Euler y

(14)

En lo que

Y' = f(X, Y) (15)

en el método de Euler Mejorado.

Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común:

1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer

únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior.

2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la

función f(X, Y).

Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos

como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se

define la función que aparece en la expresión (12).

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son unos conjuntos de métodos iterativos

(implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones

diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea

una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un

conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea


http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria


http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_inicial



http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_valor_inicial



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METODOS NUMERICOS


Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma

más general:

,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento Δ t n entre

los sucesivos puntos t n y t n + 1. Los coeficientes k i son términos de aproximación

intermedios, evaluados en ƒ de manera local

con aij ,bi ,c i coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de

la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser

explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta

matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal

iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i ,...,s, los esquemas son explícitos.

Ejemplo

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = t n y otra en t = t n + Δt n. ƒ(t ,y (t ))

en la primera etapa es:

Para estimar ƒ(t ,y ) en t = t n + Δt n se usa un esquema Euler

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

de manera que se obtiene la expresión:

Los coeficientes propios de este esquema son: b1 = b2 = 1 / 2;a21 = 1;c 2 = 1.


http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler



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METODOS NUMERICOS


Variantes

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-

Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de

métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos

algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error

acotado y hacer una buena elección de paso.

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante

familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las

soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas

fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl

David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

4.2 METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente

que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.

Definamos un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente

ecuación:

Donde

Así, el siguiente valor (y n+1) es determinado por el presente valor(y n) más el

producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente


http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_iterativo


http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_David_Tolm%C3%A9_Runge


http://es.wikipedia.org/wiki/Martin_Wilhelm_Kutta

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_iterativo




http://es.wikipedia.org/wiki/Martin_Wilhelm_Kutta



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METODOS NUMERICOS


es un promedio ponderado de pendientes, donde k 1 es la pendiente al principio

del intervalo, k 2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k 1 para

determinar el valor de y en el punto usando el método. k 3 es otra vez la

pendiente del punto medio, pero ahora usando k 2 para determinar el valor dey k 4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k 3.

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en

el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual

significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total

acumulado tiene el ordenO(h4).

4 .3 EJEMPLO ILUSTRATIVO

Considere el problema de valor inicial y’=x²+y³, y(1).

a) Usar el método de Runge Kutta de cuarto orden (RK4) en el intervalo

[1,1.4] con tamaños de paso h=0.5 y h=0.05.

b) Utilice un programa de de solución numérica para graficar la solución de

problema de valor inicial en el intervalo [1,1.4].




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METODOS NUMERICOS


5. CALCULO DEL PROBLEMA PROPUESTO

La reacción química en la que dos moléculas de dicromato solido de potasio ,dos moléculas de agua y tres átomos de azufre solido se combinan para

producir tres moléculas de dióxido gaseoso de azufre, cuatro moléculas de

hidróxido de potasio y dos moléculas de óxido solido de cromo, puede

representarse simbólicamente por la ecuación estequiometria




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METODOS NUMERICOS


Si originalmente se dispone de n1 moléculas de dicromato solido de potasio , n2

moléculas de agua y n3 moléculas de azufre, la siguiente ecuación diferencial

describe la cantidad x(t) de hidróxido solido de potasio después del tiempo t

Donde k es la constante de velocidad de reacción. Si k=6.22x10^-

19.n1=n2=2x10^3 y n3=3x10^3. ¿cuántas unidades de hidróxido de potasio se

formaran después de 0.2 s?

Solución

Este es un tipo de problema solamente aplicativo hemos visto que los valores

iniciales son t=0 , y como es una reacción química vemos que en el t=0 la

cantidad de sustancia reactante es 0 por lo que y(0)=0 y tenemos que el tiempo

final es o.2 segundos( ver el problema )

Luego :

a=t0=0seg

b=t=0.2seg

α=w1=0unidades de hidróxido de potasio

n=20 tomado por conveniencia

h=(t-t0)/n=0.01

Vemos la primera iteración:

- Primero hallamos los coeficientes

k1 =f1(x0)= 2.6870e+005

k2=f1(x0+h*k1/2)= 1.5311e+004

k3=f1(x0+h*k2/2) 2.3471e+005

k4=f1(x0+h*k3) = 552.8654

- Hallamos el valor para la siguiente y ó w1




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METODOS NUMERICOS


w1 =w0+h/6*(k1+2*K2+2*k3+k4) = 1.2822e+003

- Aquí presentamos todas las iteraciones con sus respectivos errores

presentados en la última columna

Error=

En un tiempo 0.00000000000 1282.157267

En un tiempo 1.000000e-002 1282.157267 147.188780

En un tiempo 2.000000e-002 1429.346046 104.893205

En un tiempo 3.000000e-002 1534.239252 80.759610

En un tiempo 4.000000e-002 1614.998862 65.255873

En un tiempo 5.000000e-002 1680.254735 54.505193

En un tiempo 6.000000e-002 1734.759928 46.639842

En un tiempo 7.000000e-002 1781.399770 40.651919

En un tiempo 8.000000e-002 1822.051689 35.951051

En un tiempo 9.000000e-002 1858.002740 32.169196

En un tiempo 1.000000e-001 1890.171936 29.065383

En un tiempo 1.100000e-001 1919.237319 26.475453

En un tiempo 1.200000e-001 1945.712772 24.283843

En un tiempo 1.300000e-001 1969.996615 22.406929

En un tiempo 1.400000e-001 1992.403544 20.782755

En un tiempo 1.500000e-001 2013.186299 19.364480

En un tiempo 1.600000e-001 2032.550779 18.116055

En un tiempo 1.700000e-001 2050.666834 17.009303

En un tiempo 1.800000e-001 2067.676137 16.021893

En un tiempo 1.900000e-001 2083.698029 15.135904




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METODOS NUMERICOS


En un tiempo 2.000000e-001 2098.833934 14.336799

- Para ilustrar el resultado decidimos presentar una grafica que relaciona el

tiempo con la cantidad de hidróxido de potasio y algunas funciones

cercanas que se pueden ajustar

Por ende tenemos como resultado que en 0.2s tenemos 2098.833934

moléculas de KOH que se pueden aproximar a 2099 moléculas

6. CONCLUSIONES

-Aprendimos la relación entre el método de Euler y el método de Runge Kutta.

-Podemos concluir que el método de Euler es el método de Runge Kutta de

primer orden.

-Concluimos que es posible aplicar más de un método a un problema dado.

7. RECOMENDACIONES

-Se recomienda tener mucho cuidado con las formulas de cada método.




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METODOS NUMERICOS


-Es recomendable usar software matemáticos para la resolución de los

problemas, ya que muchas veces el cálculo resultara muy tedioso.

8. BIBLIOGRAFIA

-Análisis Numérico – Richard L. Barden

-Métodos Numéricos –Antonio Nieves

-Ecuaciones Diferenciales – Dennis G. Zill


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