MTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN 4

MTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN 4 DEFINICINEn mtodos numricos, los mtodos de Runge-Kutta son un conjunto de mtodos genricos iterativos, explcitos e implcitos, usados para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con valor inicial:

Es llamado mtodo de Runge-Kutta en honor a los matemticos alemanes que lo desarrollaron Carl Runge y Wilhelm Kutta.

ECUACIN GENERAL DE RUNGE-KUTTA Existen muchas variantes, pero todas tienen la siguiente forma:

Donde se conoce como funcin incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en el intervalo. La funcin incremento se escribe en forma general como

ECUACIN GENERAL DE RUNGE-KUTTA

Donde las son constantes y las k son:

Donde las letras p y q son constantes Mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4)La siguiente, es la forma comnmente usada y, por lo tanto, le llamamos mtodo clsico RK4:

Donde:

EjercicioUsando el mtodo de RK4 clsico, con h=1 , estimar y(2) en el P.V.I: Para en el intervalo [0,2]

Primera Iteracin:Primero identificamos las condiciones iniciales el intervalo y la funcin:

EjercicioPara poder calcular el valor de y1, debemos calcular primero los valores de k1, k2, k3 y k4. Tenemos entonces que para la primera iteracin:De aqu se tiene que:

Ejercicio

As se obtiene:

EjercicioSegunda Iteracin:

Ejercicio Por lo tanto,

La solucin analtica del EDO con valor inicial es:

Aplicacin en Ingeniera qumica Reaccin en un Reactor BatchEl reactivo es consumido por una reaccin de 1er. Orden.La velocidad de reaccin por unidad de volumen de fluido en el reactor es r=-kc.Donde k es una constante, y ces la concentracin del reactivo en el reactor.

Aplicacin en Ingeniera qumica El balance de materia en el reactor suministra la siguiente ecuacin:

La concentracin del reactivo esta determinada por:

Donde c es la concentracin al tiempo t y es la concentracin inicial.Si establecemos que:

Aplicacin en Ingeniera qumica Entonces:

Y tenemos que:

Conclusin El mtodo de Runge Kutta, tiene como objetivo principal el anlisis y solucin de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias, siendo estos una extensin del mtodo de euler para resolverlas, pero con un orden de exactitud ms alto que este, logrando as la exactitud del procedimiento sin requerir el clculo de derivadas superiores.Bibliografa Edwards, H., & Penney, ,. D. (2001). Ecuaciones diferenciales. Pearson Educacin.Ricardo, H. (2008). Ecuaciones diferenciales: una introduccin moderna. Reverte.Robles del Peso, A., & Garca, J. (2006). Mtodos numricos en ingeniera: prcticas con Matlab. Universidad de Oviedo.